Відношення суворого порядку. Відношення суворого порядку Відношення суворого лінійного порядку має властивості
Слово «порядок» часто застосовують у найрізноманітніших питаннях. Офіцер дає команду: «По порядку номерів розрахуйся», арифметичні дії виконуються в певному порядку, спортсмени стають за зростанням, всі провідні шахісти розташовуються в певному порядку за так званими коефіцієнтами Ело (американський професор, який розробив систему коефіцієнтів, що дозволяє враховувати всі успіхи та невдачі гравців), після першості всі футбольні команди розташовуються в певному порядку і т. д. Існує порядок виконання операцій при виготовленні деталі, порядок слів у реченні (спробуйте зрозуміти, що означає пропозиція «на він старого посадив осла не»!).
Маючи в своєму розпорядженні елементи деякої множини один за одним, ми тим самим упорядковуємо їх або встановлюємо між ними деяке відношення по-рядку.Найпростішим прикладом є природний порядок натуральних чисел. Його природність полягає в тому, що для будь-яких двох натуральних чисел ми знаємо, яке з них слідує за іншим або яке з них більше іншого, тому ми можемо розмістити натуральні числа в послідовності так, що більше буде розташовано, наприклад, правіше меншого: 1, 2, 3, ... . Зрозуміло, послідовність елементів можна виписувати в будь-якому напрямку, а не тільки зліва направо. Саме поняття натуральних чисел містить у собі ідею впорядкованості. Встановлюючи деяке відносне розташування елементів будь-якої множини, ми тим самим задаємо на ньому деяке бінарне відношення порядку, яке в кожному конкретному випадку може мати свою назву, наприклад, "бути менше", "бути старшими", "утримуватися в ", " слідувати за " і т. д. Символічні позначення порядку також можуть бути різноманітними, наприклад, І, і т. д.
Головною відмітною ознакою відношення порядку є наявність у нього транзитивності. Так, якщо ми маємо справу з послідовністю якихось об'єктів x 1, х 2, ..., х n,... , упорядкованих, наприклад, по відношенню , то з того, що виконується х 1х 2... х п..., повинно слідувати, що для будь-якої пари х i , х jелементів цієї послідовності також виконується x ix j:
Для пари елементів x ijу графі відносини ми проводимо стрілку від вершини x iдо вершини x j, тобто від меншого елемента до більшого.
Граф відносини порядку можна спростити, якщо скористатися методом так званих діаграм Хассе.Діаграма Хассе будується таким чином. Менші по порядку елементи мають у своєму розпорядженні нижче, а великі - вище. Оскільки одного такого правила недостатньо для зображення, проводять лінії, що показують, який із двох елементів більше, а який менше іншого. При цьому достатньо намалювати лише лінії для наступних один за одним елементів. Приклади діаграм Хассе показані малюнку:
У діаграмі Хасс можна не вказувати стрілки. Діаграму Хассе можна повертати у площині, але не довільно. При поворотах необхідно зберігати відносне положення (вище – нижче) вершин діаграми:
Відношення Rу безлічі Xназивається ставленням суворого порядку,якщо воно транзитивне та асиметричне.
Безліч, в якому визначено відношення суворого порядку, називають упорядкованим.Наприклад, безліч натуральних чисел упорядковано ставленням «менше». Але це ж безліч упорядковано й іншим ставленням – «ділиться на» та «більше».
Граф відношення «менше» у безлічі натуральних чисел можна зобразити у вигляді променя:
Ставлення Rв Xназивається ставленням нестро-гого (часткового) порядку, якщо воно транзитивне та антисиметричне. Будь-яке ставлення не суворого порядку рефлексивне.
Епітет "частковий" висловлює той факт, що, можливо, не всі елементи множини можна порівняти в цьому відношенні.
Типовими прикладами відношення часткового порядку є відносини "не більше", "не менше", "не старше". Частка "не" в назвах відносин служить для вираження їхньої рефлексивності. Відношення "не більше" збігається з ставленням "менше або одно", а відношення "не менше" те ж саме, що і "більше або одно". У зв'язку з цим частковий порядок ще називають несуворимпорядком. Часто відношення часткового (не суворого) порядку позначають символом "".
Відношення включення між підмножинами деякої множини також є частковим порядком. Очевидно, що не будь-які два підмножини можна порівняти з цього відношення. Нижче на малюнку показаний частковий порядок за включенням на множині всіх підмножин множини (1,2,3). Стрілки на графі, які мають бути спрямовані нагору, не показані.
Безліч, на яких заданий частковий порядок, називають частково упорядкованими,або просто упорядкованимимножинами.
Елементи хі участково впорядкованої множини називаються порівнянними,якщо хуабо ух.В іншому випадку вони не можна порівняти.
Упорядкована множина, в якій будь-які два елементи можна порівняти, називається лінійно упорядкованим, А порядок - лінійним порядком. Лінійний порядок ще називають досконалим порядком.
Наприклад, безліч усіх дійсних чисел з природним порядком, а також усі його підмножини, лінійно впорядковані.
Об'єкти різної природи можуть бути впорядковані ієрархічно.Ось кілька прикладів.
Приклад 1. Частини книги впорядковані так, що книга містить розділи, розділи містять розділи, а розділи складаються з підрозділів.
Приклад 2.Папки у файловій системі комп'ютера вкладені один в одного, утворюючи структуру, що гілкується.
Приклад 3.Ставлення батьки - діти може бути зображено у вигляді так званого генеалогічного дерева,яке показує, хто чиїм предком (чи сином) є.
Нехай на безлічі Азаданий частковий порядок. Елемент хназивається максимальним (мінімальним)елементом множини А, якщо з того, що ху(ух),слідує рівність х= у.Інакше кажучи, елемент хє максимальним (мінімальним), якщо для будь-якого елемента учи не так, що ху(ух), або виконується х=у.Таким чином, максимальний (мінімальний) елемент більше (менше) відмінних від нього елементів, з якими він знаходиться у відношенні .
Елемент хназивається найбільшим (найменшим),якщо для будь-кого уÎ Авиконується у< х (х< у).
У частково впорядкованому множині може бути кілька мінімальних та/або максимальних елементів , але найменших та найбільших елементів не може бути більше одного. Найменший (найбільший) елемент є одночасно мінімальним (максимальним), але зворотне твердження неправильно. На малюнку зліва показаний частковий порядок з двома мінімальними і двома максимальними елементами, а праворуч - частковий порядок з найменшим і найбільшим елементами:
У кінцевому частково впорядкованому множині завжди існують мінімальний і максимальний елементи.
Упорядковане безліч, у якого є найбільший і найменший елементи, називається обмеженим.На малюнку показаний приклад нескінченної обмеженої множини. Зрозуміло, зобразити безліч на кінцевій сторінці не можна, але можна показати принцип його побудови. Тут петлі біля вершин не показані спрощення малюнка. З тієї ж причини не показані дуги, що забезпечують відображення транзитивності властивості. Інакше кажучи, малюнку представлена діаграма Хассе відносини порядку.
Нескінченні множини можуть не мати максимальних, або мінімальних, або тих та інших елементів. Наприклад, множина натуральних чисел (1,2, 3, ...) має найменший елемент 1, але не має максимальних. Безліч всіх дійсних чисел з природним порядком не має ні найменшого, ні найбільшого елемента. Однак його підмножина, що складається з усіх чисел х< 5 має найбільший елемент (число 5), але не має найменшого.
Нехай R - бінарне відношення на множині А.
ВИЗНАЧЕННЯ. Бінарне відношення R на множині А називається ставленням порядку А або порядком А, якщо воно транзитивно і антисиметрично.
ВИЗНАЧЕННЯ. Відношення порядку R на множині А називається нестрогим, якщо воно рефлексивне на А, тобто для кожного з А.
Відношення порядку R називають суворим (на А), якщо воно антирефлексивно на А, тобто для будь-якого з А. Однак з антирефлексивності транзитивного відношення R випливає його антисиметричність. Тому можна дати таке еквівалентне визначення.
ВИЗНАЧЕННЯ. Бінарне відношення R на множині А називається строгим порядком на А, якщо воно транзитивно та антирефлексивно на А.
приклади. 1. Нехай - множина всіх підмножин множини М. Відношення включення на множині є відношення нестрогого порядку.
2. Відносини на безлічі дійсних чисел є відповідно ставленням суворого та не суворого порядку.
3. Відношення ділимості у багатьох натуральних чисел є відношення нестрогого порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ. Бінарне відношення R на множині А називається ставленням передпорядку або передпорядком на А, якщо воно рефлексивно і транзитивно.
приклади. 1. Відношення ділимості в багатьох цілих чисел не є порядком. Однак воно рефлексивне і транзитивне, отже, є передпорядком.
2. Відношення логічного прямування є передпорядком на безлічі формул логіки висловлювань.
Лінійний лад. Важливим окремим випадком порядку є лінійний порядок.
ВИЗНАЧЕННЯ. Відношення порядку на множині називається ставленням лінійного порядку або лінійним порядком на , якщо воно пов'язане на , тобто для будь-яких х, у з А
Ставлення порядку, яке є лінійним, зазвичай називають ставленням часткового порядку чи частковим порядком.
приклади. 1. Відношення «менше» на множині дійсних чисел є відношення лінійного порядку.
2. Ставлення порядку, прийняте у словниках російської, називається лексикографічним. Лексикографічний порядок на безлічі слів російської є лінійний порядок.
Слово «порядок» часто застосовують у різних питаннях. Офіцер дає команду: «По порядку номерів розрахуйся», арифметичні дії виконуються у порядку, спортсмени стають зростанням, існує порядок виконання операцій під час виготовлення деталі, порядок слів у пропозиції.
Що ж спільного у всіх випадках, коли йдеться про порядок? У тому, що в слово «порядок» вкладається такий зміст: воно означає, який елемент тієї чи іншої множини за яким слідує (або який елемент передує).
Відношення « хслід за у» транзитивно: якщо « хслід за у» та « услід за z», то « xслід за z». Крім того, це відношення має бути антисиметричним: для двох різних хі у, якщо хслід за у, то уне слід за х.
Визначення.Ставлення Rна безлічі Xназивають ставленням суворого порядку, якщо воно транзитивне та антисиметричне.
З'ясуємо особливості графа та графіка відносин строгого порядку.
Розглянемо приклад. На безлічі X= (5, 7, 10, 15, 12) ставлення R: « х < у». Задамо це відношення перерахуванням пар
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
Побудуємо його граф. Ми бачимо, що граф цього відношення не має петель. На графі немає подвійних стрілок. Якщо з хйде стрілка в у, а з у– у z, то з хйде стрілка в z(Рис. 8).
Побудований граф дозволяє розмістити елементи множини Xу такому порядку:
{5, 7, 10, 12, 15}.
На рис.6 (§ 6 цього розділу) графи VII, VIII – це графи відносин строгого порядку.
Відношення не суворого порядку
Відносно «менше» у безлічі дійсних чисел протилежне відношення «не менше». Воно вже не є ставленням суворого порядку. Справа в тому, що х = у, виконуються відносини х ³ уі у ³ х, тобто. відношення «не менше» має рефлексивність.
Визначення.Ставлення Rна безлічі Xназивають ставленням не суворого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне.
Такі відносини є об'єднаннями відносини суворого порядку із ставленням тотожності.
Розглянемо відношення «не більше» (£) для множини
X= (5, 7, 10, 15, 12). Побудуємо його граф (рис. 9).
Граф відносини нестрогого порядку, на відміну графа відносини строгого порядку, у кожному вершині має петлі.
На рис. 6 (§ 6 цього розділу) графи V, VI – це графи відносин нестрогого порядку.
Упорядковані множини
Безліч може виявитися впорядкованим (говорять також повністю упорядкованим) деяким ставленням порядку, інше ж неупорядкованим або частково впорядкованим таким ставленням.
Визначення.Безліч Xназивають упорядкованимдеяким ставленням порядку Rякщо для будь-яких двох елементів х, уз Х:
(х, у) Î Rабо ( у, х) Î R.
Якщо R- Відношення суворого порядку, то безліч Хупорядковано цим ставленням за умови: якщо х, убудь-які два нерівні елементи множини Х, то ( х, у) Î Rабо ( у, х) Î R, або будь-які два елементи х, убезлічі Хрівні.
Зі шкільного курсу математики відомо, що числові множини N , Z , Q , R упорядковані ставленням «менше» (<).
Безліч підмножин певної множини не впорядковане введенням відношення включення (Í), або суворого включення (Ì) у зазначеному вище сенсі, т.к. існують підмножини жодне з яких не включається до іншого. У цьому випадку кажуть, що ця множина частково впорядкована ставленням Í (або Ì).
Розглянемо безліч X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) і в ньому два відносини "менше" і "ділиться на". Легко перевірити, що ці відносини є відносинами порядку. Граф відношення «менше» можна зобразити у вигляді променя.
Граф відносини «ділиться на» можна зобразити лише з площині.
Крім того, на графі другого відношення є вершини, які не з'єднані стрілкою. Наприклад, немає стрілки, що з'єднує числа 4 та 5 (рис. 10).
Перше ставлення « х < у» називається лінійним. Взагалі, якщо відношення порядку R(суворого та не суворого) на безлічі Xмає властивість: для будь-яких х, уÎ Хабо хRy, або yRx, то його називають ставленням лінійного порядку, а безліч X- Лінійно впорядкованим безліччю.
Якщо безліч Xзвичайно, і складається з nелементів, то лінійне впорядкування Хзводиться до нумерації його елементів числами 1,2,3, ..., n.
Лінійно впорядковані множини мають ряд властивостей:
1°. Нехай а, в, з- Елементи множини X, упорядкованого ставленням R. Якщо відомо, що aRві вRс, то кажуть, що елемент влежить між елементами аі з.
2 °. Безліч X, лінійно впорядковане ставленням R, називається дискретним, якщо між будь-якими двома його елементами лежить лише кінцева множина елементів цієї множини.
3 °. Лінійно впорядкована множина називається щільною, якщо для будь-яких двох різних елементів цієї множини існує елемент множини, що лежить між ними.
Важливий тип бінарних відносин – відносини порядку. Відношення суворого порядку -бінарне відношення, що є антирефлексивним, антисиметричним та транзитивним:
позначення - (апередує Ь).Прикладами можуть бути
відносини "більше", "менше", "старші" і т.п. Для чисел звичайне позначення – знаки.<", ">".
Відношення нестрогого порядку -бінарне рефлексивне, антисиметричне та транзитивне відношення. Поряд із природними прикладами нестрогих нерівностей для чисел прикладом може бути відношення між точками площини або простору "перебувати ближче до початку координат". Нестрого нерівність, для цілих і дійсних чисел можна також розглядати як диз'юнкцію відносин рівності та суворого порядку.
Якщо спортивному турнірі не передбачається розподілу місць (тобто. кожен учасник отримує певне, лише їм/ присуджене місце), це приклад суворого порядку; в іншому випадку - не суворого.
Відносини порядку встановлюються на безлічі, коли для деяких або всіх пар його.
Попередження. Завдання-для безлічі деякого відношення порядку називається його "упорядкуванням,а "само.множина в результаті цього стає упорядкованим.Відносини порядку можуть вводитися різними способами. Для кінцевої множини будь-яка перестановка його елементів "задає деякий строгий порядок. Нескінченну множину можна впорядкувати нескінченним безліччю способів. Цікаві тільки ті впорядкування, які мають змістовний зміст.
Якщо для відношення порядку Rна безлічі .Мі деяких різних елементів виконується хоча б одне із відносин
aRbабо bRa ,то елементи аі Ьназиваються порівнянними,в іншому випадку - незрівнянними.
Повністю (або лінійно) впорядковане безліч М -
множина, на якій задано відношення порядку, причому будь-які два елементи множини Мможна порівняти; частково впорядковане безліч- те саме, але допускаються пари незрівнянних елементів.
Лінійно впорядкованим є безліч точок на прямій із ставленням "правіше", безлічі цілих, раціональних, дійсних чисел по відношенню "більше" і т.п.
Прикладом частково впорядкованої множини можуть бути тривимірні вектори, якщо порядок заданий так , якщо
Ті якщо попередження виконано за всіма трьома координатами, вектори (2, 8, 5) і (6, 9, 10) можна порівняти, а вектори (2, 8, 5) і (12, 7, 40) не можна порівняти. Цей спосіб упорядкування можна поширити на вектори будь-якої розмірності: вектор
передує йектору якщо
І виконано
На багатьох векторах можна розглянути й інші приклади впорядкування.
1) частковий порядок: 
, якщо
Тобто. за довжиною векторів; незрівнянними є вектори однакової довжини.
2) лінійний порядок: 
, якщо a
Останній приклад є поняття алфавітного порядку.
Алфавіт- це кортеж попарно різних символів, які називають літерами алфавіту. Прикладом є алфавіт будь-якої європейської мови, а також алфавіт з 10 арабських цифр У комп'ютері клавіатура та деякі допоміжні засоби визначають алфавіт допустимих символів.
Слово в алфавітіА -кортеж із символів алфавіту А.Слово записується символами алфавіту поспіль, ліворуч праворуч, без пробілів радикалів та ін; однак, шляхом деяких угод вона може бути приведена до запису в рядок, що й застосовується, наприклад, у комп'ютерному програмуванні (так, знак зведення у ступінь записується як 2 знаки множення поспіль: 5**3 означає третій ступінь числа 5).
Лексико-графічне (алфавітне) впорядкування -для різних слів в алфавіті з упорядкованими
символами встановлюється впорядкування: якщо
можливе уявлення 
, при якому або
(підслів може бути порожнім), або - порожнє підслівне
У цьому визначенні - префікс (початковий підслів), однаковий в обох слів - або перші за рахунком зліва різні
символи, або - останній символ у слові-хвостові
підслів.
Таким чином, алфавітне впорядкування слів визначається першим зліва символом, що розрізняє їх (наприклад, слово КОНУС передує слову КОСИНУС, оскільки вони вперше різняться в третій букві, і Н передує С в російському алфавіті). Вважається також, що символ пробілу передує будь-якому символу алфавіту – для випадку, коли одне зі слів є префіксом іншого (наприклад, КОН та КОНУС)
Вправа.Перевірте, що алфавітне впорядкування натуральних чисел, що мають однакову кількість розрядів у десятковому записі, збігаються з упорядкуванням їх за величиною.
Нехай А -частково впорядкована множина. Елемент називається максимальнимв А,якщо не існує елемента для якого а< b. Елемент аназивається найбільшимв А,якщо для будь-якого відмінного від аелемента виконано Ь<а-
Симетричним чином визначаються мінімальний та найменшийелементи. Поняття найбільшого та максимального (відповідно, найменшого та мінімального) елементів різні -див. приклад на рис.14. Безліч на рис. 14,а має найбільший елемент р,він же є максимальним, мінімальних елементів два: s та t,найменшого немає. На рис.14,б, навпаки, безліч, що має два максимальні елементи / і j ,найбільшого немає, мінімальний, він найменший - один: т.
Взагалі, якщо у множини є найбільший (відповідно, найменший) елемент, то тільки один (може не бути жодного).
Максимальних і мінімальних елементів може бути кілька (може не бути зовсім - у нескінченній множині; в кінцевому випадку обов'язково є).
Розберемо ще два приклади. - Відношення на безлічі N:
"Yділить X",або "Xє дільником числа Y"(наприклад,
) є рефлексивним та транзитивним. Розглянемо його на кінцевій множині дільників числа 30.
Ставлення є ставленням часткового порядку (не суворого)
і зображується наступною матрицею порядку 8, що містить знак 31
Відповідна схема з 8 вершинами повинна містити 31 зв'язок. . Однак вона буде більш зручною для огляду, якщо виключити 8
зв'язок-петель, що зображують рефлексивність відношення (діагональні елементи матриці) та транзитивні зв'язки, тобто. зв'язки
Якщо є проміжне число Z таке, що
(Наприклад, зв'язку , оскільки ). Тоді у схемі
залишиться 12 зв'язок (рис.15); відсутні ланки маються на увазі "по транзитивності". Число 1 є найменшим, а число 30
найбільшим елементами у . Якщо виключити з числа 30 і
розглянути той самий частковий порядок на безлічі , то
найбільшого елемента немає, але є 3 максимальні елементи: 6, 10, 15
Тепер збудуємо таку ж схему для відношення на булеані
(множині всіх підмножин) триелементної множини
Містить 8 елементів:
Перевірте, якщо порівняти елементам а,Ь,с,відповідно числа 2, 3, 5, а операції об'єднання множин - множення відповідних чисел (тобто, наприклад, підмножина відповідає
добуток 2 5 = 10), то матриця відношення буде точно такою
ж, як для відношення; схеми цих двох відносин із описаними
скороченнями петель та транзитивних зв'язок з точністю до позначень збігаються (див. рис.16). Найменшим елементом є
А найбільшим –
Бінарні відносини Rна безлічі Аі Sна безлічі Уназиваються ізоморфними,якщо між А і Вможна встановити взаємно однозначне відповідність Р, у якому, якщо (тобто.
елементи знаходяться у відношенні R),то (образи
цих елементів знаходяться у відношенні S).
Так, частково впорядковані множини та ізоморфні.
Розглянутий приклад припускає узагальнення.
Ставлення на булеані є частковим порядком. Якщо
Тобто. безліч Емістить пелементів , то кожному
підмножині відповідає п-мірний вектор з
компонентами , де - характеристична функція
множини Л/. Сукупність всіх таких векторів можна як безліч точок п-мірного арифметичного простору з координатами 0 або 1, або по-іншому, як вершини п-мірного
одиничного куба, що позначається, тобто. куб з ребрами одиничної довжини. Для п = 1, 2, 3 зазначені точки є відповідно кінці відрізка, вершини квадрата і куба - звідси загальна назва. Для /7=4 графічне зображення цього відношення – на рис.17. Біля кожної вершини 4-мірного куба вказано відповідне
підмножина 4-елементної множини та чотиривимірний
вектор, що представляє характеристичну функцію цього підмножини. З'єднані між собою вершини, що відповідають підмножинам, що відрізняються присутністю рівно одного елемента.
На рис.17 чотиривимірний куб зображено так, що на одному
рівні розташовані попарно не порівняні елементи, що містять однакове число одиниць у записі (від 0 до 4), або, по-іншому, однакове число елементів у подмножествах, що подаються.
На рис.18а,б - інші наочні уявлення 4-мірного куба;
на рис.18а вісь першої змінної ОХспрямована вгору (навмисне відхилення від вертикалі, щоб не зливались різні ребра куба):
при цьому 3-мірний підкуб, відповідний X= 0 розташований нижче, а для X= 1 – вище. На рис. 186 та ж вісь ОХспрямована зсередини куба назовні внутрішній підкуб відповідає X= О, а зовнішній - X = 1.
У 
файл матеріалів наведено зображення 5-мірного одиничного куба (стор.134).
План лекції №14 Класифікація бінарних відносин
1. Класифікація антисиметричних відносин
2. Класифікація рефлексивних відносин
2.1. Відносини квазіпорядку
2.2. Відносини нестрогого часткового порядку
2.3. Відносини нестрого впорядкування
2.4. Несуворий якісний порядок
2.5. Нестрогий слабкий порядок
2.6. Нестрогий порядок
3. Подвійність відносин строгого та не суворого порядку
4. Огляд властивостей різних видів відносин
Класифікація антисиметричних відносин
Структура графів ациклічних відносин
Структура графів відносин якісного порядку
Структура графів відносин слабкого ладу
Відносини суворого порядку
Суворим порядком (суворою перевагою, сильним порядком, строгим лінійним порядком) називається антирефлексивне, транзитивне, слабозв'язне бінарне відношення (12).
Суворий порядок є окремим випадком слабкого порядку (суворої часткової переваги) з додатковою умовою слабозв'язності.
Приклад: Відношення "суворо менше" на множині цілих чисел.
Класифікація рефлексивних відносин
Відносини квазіпорядку
Ці бінарні відносини дозволяють порівнювати елементи деякої множини, але з подібності, а шляхом розташування елементів груп у певному порядку, тобто. шляхом часткового упорядкування.
Квазіпорядком (нестрогим частковим перевагою) називається рефлексивне та транзитивне бінарне відношення (3).
Приклад: "Бути братом" (Іван-Петро, Андрій-Анна)
Властивості квазіпорядків
1. Перетин квазіпорядків залишається квазіпорядком.
2. Симетрична частина квазіпорядку має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності і тому є відношенням еквівалентності. R с = R / R інв
3. За допомогою цього перетину можна виділити групи еквівалентних між собою варіантів, тоді між виділеними групами може бути встановлено відношення нестрогого часткового порядку, породжене вихідним ставленням.
4. Асиметрична частина квазіпорядку є транзитивним та антирефлексивним ставленням = якісний порядок.
Відносини нестрогого часткового порядку
Відношенням нестрогого часткового порядку (4) називається відношення, що має властивості рефлексивності, антисиметричності та транзитивності.
Нестрогий частковий порядок є антисиметричним квазіпорядком
Приклад: відношення "бути частиною", визначене для множин (та їх підмножини)
Властивості нестрогих часткових порядків
1. Перетин нестрогих часткових порядків залишається нестрогим частковим порядком.
2. Симетрична частина нестрогого часткового порядку є діагоналлю.
3. Асиметрична частина нестрогого часткового порядку є (суворим) якісним порядком.
4. Теоретично інтелектуальних систем важливу роль відіграють частково впорядковані множини – домени разом із певними ними відносинами нестрогого часткового порядку.
5. Частково впорядковані множини з додатковою властивістю існування у кожної пари елементів верхньої та нижньої граней називаються гратами. Окремим випадком решіток є булеві алгебри.
Відносини не суворого впорядкування
Нестрогим упорядкуванням називається рефлексивне ставлення, що має властивість слабозв'язності (5).
Нестрого упорядкування можна визначити також як повнозв'язкове ставлення.
Ставлення суворого впорядкування можна як результат об'єднання деяких відносин толерантності і домінування.
Властивості відносин нестрогого часткового впорядкування
1. Перетин та об'єднання повнозв'язкових відносин залишається повнозв'язковим ставленням.
2. Симетрична частина нестрогого часткового впорядкування є толерантністю.
3. Асиметрична частина суворого часткового впорядкування є домінуванням.
4. Для повнозв'язкових відносин необхідною умовою транзитивності є негатранзитивність відносини.
5. Для пов'язаних відносин властивість транзитивності є достатньою умовою негатранзитивності відносини.
Відносини нестрого якісного порядку
Бінарне відношення R називається нестрогим якісним порядком, якщо воно негатразітивно і повнозв'язкове (6).
Несуворий якісний порядок є негатранзитивним нестрогим упорядкуванням.
Ставлення нестрого якісного порядку можна як результат об'єднання деяких відносин толерантності і якісного порядку.
Властивості відносин нестрого якісного порядку
1. Симетрична частина нестрого якісного порядку є толерантністю. НТ?
2. Асиметрична частина нестрого якісного порядку транзитивна, тому є ставленням якісного порядку.
3. Отже, ставлення нестрогого якісного порядку можна як результат об'єднання відносин толерантності і якісного порядку, породжених вихідним ставленням.
4. Подвійне ставлення має властивості асиметричності і транзитивності тому є ставленням якісного порядку.
Відносини не суворого слабкого порядку
Нестрогим слабким порядком називається повнозв'язне транзитивне та негатранзитивне відношення (7).
Нестрогим слабким порядком називається повнозв'язкове транзитивне ставлення.
Нестрогим слабким порядком називається транзитивне суворе впорядкування.
Властивості відносин не суворого слабкого порядку
1. Симетрична частина суворого слабкого порядку є еквівалентністю.
2. Асиметрична частина R ас нестрогого слабкого порядку транзитивна, тому є ставленням якісного порядку.
3. Отже, ставлення нестрогого слабкого порядку можна як результат об'єднання відносин еквівалентності і слабкого порядку, породжених вихідним ставленням.
4. Нестрогий слабкий порядок можна у вигляді безлічі частково упорядкованих верств, кожен із яких є класом еквівалентності.
Відносини не суворого (лінійного) порядку
Нестрогим порядком (нестрогим лінійним порядком) називається антисиметричне, транзитивне, повнозв'язкове бінарне ставлення (8).
Нестрогим порядком називається антисиметричний нестрогий слабкий лад.
Нестрогим порядком називається антисиметричне несуворе впорядкування.
Властивості відносин нестрогого лінійного порядку
1. Симетрична частина нестрогого порядку є діагоналлю.
2. Асиметрична частина R ас нестрогого порядку транзитивна і слабозв'язкова, тому є ставленням до строгого порядку.
3. Подвійне відношення має властивості асиметричності, негатранзитивності і слабозв'язності тому є ставленням суворого порядку. Крім того, воно збігається з R ас.
4. Отже, ставлення нестрогого порядку можна як результат об'єднання діагоналі і строгого порядку, породжених вихідним ставленням.
Подвійність відносин суворого та не суворого порядку
Огляд властивостей різних видів відносин
