Основи дискретної математики.

Поняття множини. Відношення між множинами.

Безліч - сукупність об'єктів, які мають певну властивість, об'єднаних в єдине ціле.

Об'єкти, що становлять безліч називаються елементамимножини. Для того, щоб деяку сукупність об'єктів можна було називати безліччю, повинні виконуватися такі умови:

· Повинно існувати правило, яким моно визначити чи належить елемент до цієї сукупності.

· Повинне існувати правило, яким елементи можна відрізнити друг від друга.

Безліч позначаються великими літерами, яке елементи дрібними. Способи завдання множин:

· Перерахування елементів множини. - для кінцевих множин.

· Вказівка ​​характеристичної властивості .

Порожнім безліччю- називається безліч, що не містить жодного елемента (Ø).

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів. , A=B

Безліч Bназивається підмножиною множини А( , Тоді і тільки тоді, коли всі елементи множини Bналежать безлічі A.

Наприклад: , B =>

Властивість:

Примітка: зазвичай розглядають підмножину однієї й тієї множини, яка називається універсальним(u). Універсальна множина містить усі елементи.

Операції над безліччю.

A

B

1. Об'єднанням 2-х множин А і В називається така множина, якій належать елементи множини А або множини В (елементи хоча б однієї з множин).

2.Перетином 2-х множин називається нове безліч, що складається з елементів, одночасно належать і першій і другій множині.

Н-р: , ,

Властивість: операції об'єднання та перетину.

· Комутативність.

· Асоціативність. ;

· Дистрибутивний. ;

U

4.Доповнення. Якщо А- підмножина універсальної множини U, то доповненням безлічі Адо множини U(позначається ) називається безліч складається з тих елементів множини U, які не належать безлічі А.

Бінарні відносини та його властивості.

Нехай Аі Уце безліч похідної природи, розглянемо впорядковану пару елементів (а, в) а ϵ А, ϵ Вможна розглядати впорядковані «енкі».

(а 1, а 2, а 3, ... а n), де а 1 ϵ А 1; а 2 ϵ А 2; …; а n ϵ А n;

Декартовим (прямим) твором множин А 1, А 2, …, А n, Називається мн-во, яке складається з упорядкованих n k виду .

Н-р: М= {1,2,3}

М × М = М 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Підмножини декартового твору називається ставленням ступеня nчи енарним ставленням. Якщо n=2, то розглядають бінарнівідносини. При чому кажуть, що а 1 , а 2перебувають у бінарному відношенні R, коли а 1 R а 2.

Бінарним ставленням на безлічі Mназивається підмножина прямого твору множини nсамого на себе.

М × М = М 2= {(a, b)| a, b ϵ M) у попередньому прикладі ставлення менше на безлічі Мпороджує таку безліч: ((1,2);(1,3); (2,3))

Бінарні відносини мають різні властивості в тому числі:

· Рефлексивність: .

· Антирефлексивність (іррефлексивність): .

· Симетричність: .

· Антисиметричність: .

· Транзитивність: .

· Асиметричність: .

Види відносин.

· Відношення еквівалентності;

· Відношення порядку.

v Рефлексивне транзитивне ставлення називається ставленням квазіпорядку.

v Рефлексивне симетричне транзитивне відношення називається відношенням еквівалентності.

v Рефлексивне антисиметричне транзитивне відношення називається відношенням (часткового) порядку.

v Антирефлексивне антисиметричне транзитивне відношення називається ставленням суворого порядку.

Визначення. Бінарним ставленням Rназивається підмножина пар (a,b)∈Rдекартові твори A×B, тобто R⊆A×B . При цьому безліч Aназивають областю визначення відношення R, множина B – областю значень.

Позначення: aRb (тобто a і b знаходяться щодо R). /

Зауваження: якщо A = B , то кажуть, що R є відношення на множині A .

Способи завдання бінарних відносин

1. Списком (перерахуванням пар), котрим це ставлення виконується.

2. Матрицею. Бінарному відношенню R ∈ A ? дорівнює 1, якщо між a i і a j має місце відношення R або 0, якщо воно відсутнє:

Властивості відносин

Нехай R – відношення на множині A, R ∈ A×A. Тоді відношення R:

рефлексивно, якщо Ɐ a ∈ A: a Ra (головна діагональ матриці рефлексивного відношення містить лише одиниці);

антирефлексивно, якщо Ɐ a ∈ A: a Ra (головна діагональ матриці рефле сивного відношення містить тільки нулі);

симетрично, якщо Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (матриця такого відношення симетрична щодо головної діагоналі, тобто c ij c ji);

антисиметрично, якщо Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (у матриці такого відношення відсутні одиниці, симетричні щодо головної діагоналі);

транзитивно, якщо Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (у матриці такого відношення має виконуватися умова: якщо в i-му рядку стоїть одиниця, наприклад, у j-ій координаті (стовпці) рядки, тобто c ij = 1 , то всім одиницям у j-му рядку (нехай цим одиницям відповідають k е координати такі, що c jk = 1) повинні відповідати одиниці в i-му рядку в тих же k-х координатах, тобто c ik = 1 (і, можливо, ще й в інших координатах).

Завдання 3.1.Визначте властивості відношення R – бути дільником, заданого на безлічі натуральних чисел.

Рішення.

відношення R = ((a, b): a дільник b):

рефлексивно, не антирефлексивно, оскільки будь-яке число ділить саме себе без залишку: a/a = 1 всім a∈N ;

не симетрично, антисиметрично, наприклад, дільник 2 4, але 4 не є дільником 2;

транзитивно,таккакеслі b/a ∈ N і c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, наприклад, якщо 6/3 = 2∈N і 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Завдання 3.2.Визначте властивості відношення R – бути братом, заданого на безлічі людей.
Рішення.

Відношення R = ((a, b): a - брат b):

не рефлексивно, антирефлексивно через очевидну відсутність aRa для всіх a;

не симетрично, тому що в загальному випадку між братом a і сестрою b має місце aRb, але не bRa;

не антисиметрично, оскільки якщо a і b-брати, то aRb і bRa, але a≠b;

транзитивно, якщо називати братами людей, які мають спільних батьків (батька та матір).

Завдання 3.3.Визначте властивості відношення R – «бути начальником», заданого на безлічі елементів структури

Рішення.

Відношення R = ((a, b): a - начальник b):

• не рефлексивно, антирефлексивно, якщо у конкретній інтерпретації немає сенсу;
• не симетрично, антисиметрично, так як для всіх a≠b не виконується одночасно aRb та bRa;
• транзитивно, оскільки якщо начальник b і b начальник c , то a начальник c .

Визначте властивості відношення R i , заданого на множині M i матрицею, якщо:

1. R 1 «мати той самий залишок від розподілу на 5»; M 1 безліч натуральних чисел.
2. R 2 "бути рівним"; M 2 безліч натуральних чисел.
3. R 3 "жити в одному місті"; M 3 багато людей.
4. R 4 бути знайомим; M 4 багато людей.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - парне; M 5 безліч чисел (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - парне; M 6 безліч чисел (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R 7 ((a,b):(a+1) - дільник (a+b)); M 7 - множина (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 ((a,b):a - дільник (a+b),a≠1); M 8 – безліч натуральних чисел.
9. R 9 бути сестрою; M 9 – безліч людей.
10. R 10 "бути дочкою"; M 10 – безліч людей.

Операції над бінарними відносинами

Нехай R 1 R 1 є відносини, задані на множині A .

об'єднання R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 або (a,b) ∈ R 2 );

перетин R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 і (a,b) ∈ R 2 );

різниця R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 і (a, b) ∉ R 2);

універсальне відношення U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

доповнення R 1 U \ R 1 де U = A × A;

тотожне ставлення I: = ((a; a) / a ∈ A);

зворотне ставлення R -1 1 : R -1 1 = ((a, b) : (b, a) ∈ R 1);

композиція R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), де R 1 ⊂ A × C і R 2 ⊂ C × B;

Визначення. ступенем відносини R на множині A називається його композиція із самим собою.

Позначення:

Визначення. Якщо R ⊂ A × B , то R º R -1 називається ядром відношення R .

Теорема 3.1.Нехай R ⊂ A × A – відношення, задане на множині A .

1. R рефлексивно тоді і лише тоді, (далі використовується знак ⇔) коли I ⊂ R.
2. R симетрично ⇔ R = R -1.
3. R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
4. R антисиметрично ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Завдання 3.4 . Нехай R - відношення між множинами (1,2,3) і (1,2,3,4), задане перерахуванням пар: R = ((1,1), (2,3), (2,4), ( 3,1), (3,4)). Крім того, S - відношення між множинами S = ​​((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Обчисліть R -1 , S -1 і S º R. Перевірте, що (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Рішення.
R -1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Завдання 3.5 . Нехай R відношення «...батько...», а S відношення «...брат...» на багатьох людей. Дайте короткий словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 і R º R.

Рішення.

R -1 - відношення «... дитина ...»;

S -1 - ставлення «...брат чи сестра...»;

R º S - відношення «...батько...»;

S -1 º R -1 - відношення «...дитина...»

R º R - відношення «...бабуся чи дідусь...»

Завдання для самостійного вирішення

1) Нехай R - ставлення «...батько...», а S - відношення «...сестра...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Нехай R - ставлення «...брат...», а S - відношення «...мати...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Нехай R - ставлення «...дід...», а S - відношення «...син...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

4) Нехай R - відношення «...дочка...», а S - відношення «...бабуся...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

5) Нехай R - ставлення «...племінниця...», а S - відношення «...батько...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Нехай R - ставлення «сестра...», а S - ставлення «мати...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Нехай R - відношення «...мати...», а S - відношення «...сестра...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Нехай R - ставлення «...син...», а S - відношення «...дід...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Нехай R - відношення «...сестра...», а S - відношення «...батько...» на множині всіх людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Нехай R - ставлення «...мати...», а S - відношення «...брат...» на багатьох людей. Дайте словесний опис відносин:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Визначення

• 1. Бінарним ставленням між елементами множин А і В називається будь-яке підмножина декартового твору RAB, RAА.
• 2. Якщо А = В, то R – це бінарне відношення на A.
• 3. Позначення: (x, y)R xRy.
• 4. Область визначення бінарного відношення R - це множина R = (x: існує y таке, що (x, y)R).
• 5. Область значень бінарного відношення R – це безліч R = (y: існує x таке, що (x, y) R).
• 6. Доповнення бінарного відношення R між елементами А та В – це безліч R = (AB) R.
• 7. Зворотне відношення для бінарного відношення R - це безліч R1 = ((y, x): (x, y) R).
• 8. Добуток відносин R1AB і R2BC - це відношення R1 R2 = ((x, y): існує zB таке, що (x, z) R1 і (z, y) R2).
• 9. Відношення f називається функцією А в В, якщо виконується дві умови:
  • а) f = А, f В
  • б) всім x, y1, y2 з те, що (x, y1)f і (x, y2)f слід y1=y2.
• 10. Відношення f називається функцією А на В, якщо в першому пункті буде виконуватися f = А, f = В.
• 11. Позначення: (x, y) f y = f (x).
• 12. Тотожна функція iA: AA визначається так: iA(x) = x.
• 13. Функція f називається 1-1-функцією, якщо для будь-яких x1, x2, y з того, що y = f(x1) та y = f(x2) слід x1=x2.
• 14. Функція f: AB здійснює взаємно однозначну відповідність між А та В, якщо f = А, f = В і f є 1-1-функцією.
• 15. Властивості бінарного відношення R на множині А:
  • - Рефлексивність: (x, x) R для всіх xA.
  • - іррефлексивність: (x, x)R для всіх xA.
  • - Симетричність: (x, y)R (y, x)R.
  • - антисиметричність: (x, y)R та (y, x)R x=y.
  • - транзитивність: (x, y)R та (y, z)R (x, z)R.
  • - дихотомія: або (x, y)R, або (y, x)R для всіх xA та yA.
• 16. Безліч А1, A2, ..., Аr з Р(А) утворюють розбиття множини А, якщо
• - Аi, i = 1, ..., r,
• - A = A1A2 ... Ar,
• - AiAj = , i j.

Підмножини Аi, i = 1, ..., r називаються блоками розбиття.

• 17. Еквівалентність на безлічі А - це рефлексивне, транзитивне та симетричне відношення на А.
• 18. Клас еквівалентності елемента x за еквівалентністю R - це безліч [x] R = (y: (x, y) R).
• 19. Фактор множини A по R - це множина класів еквівалентності елементів множини А. Позначення: A/R.
• 20. Класи еквівалентності (елементи фактор множини А/R) утворюють розбиття множини А. Назад. Будь-якому розбиттю множини А відповідає відношення еквівалентності R, класи еквівалентності якого збігаються з блоками зазначеного розбиття. По іншому. Кожен елемент множини А потрапляє до певного класу еквівалентності A/R. Класи еквівалентності або перетинаються, або збігаються.
• 21. Порядок на безлічі A - це рефлексивне та транзитивне відношення на А.
• 22. Частковий порядок на множині A - це рефлексивне, транзитивне та антисиметричне відношення на А.
• 23. Лінійний порядокна безлічі A – це рефлексивне, транзитивне та антисиметричне відношення на А, що задовольняє властивості дихотомії.

Нехай A = (1, 2, 3), B = (a, b). Випишемо декартове твір: AB = ((1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)). Візьмемо будь-яке підмножина цього декартового твору: R = ((1, a), (1, b), (2, b)). Тоді R - це бінарне відношення на множинах A і B.

Чи буде це відношення функцією? Перевіримо виконання двох умов 9a) та 9б). Область визначення відношення R - це безліч R = (1, 2) (1, 2, 3), тобто перша умова не виконується, тому R потрібно додати одну з пар: (3, a) або (3, b). Якщо додати обидві пари, то не виконуватиметься друга умова, оскільки ab. З цієї причини з R потрібно викинути одну з пар: (1, a) або (1, b). Таким чином, відношення R = ((1, a), (2, b), (3, b)) є функцією. Зауважимо, що R не є 1-1 функцією.

На заданих множинах A і В функціями також будуть наступні відносини: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), (3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) і т.д.

Нехай A = (1, 2, 3). Прикладом відношення на множині A є R = ((1, 1), (2, 1), (2, 3)). Прикладом функції на множині A є f = ((1, 1), (2, 1), (3, 3)).

Приклади розв'язання задач

1. Знайти R, R, R1, RR, RR1, R1R для R = ((x, y) | x, y D і x + y0).

Якщо (x, y)R, то x і y пробігають усі дійсні числа. Тому R = R = D.

Якщо (x, y)R, то x+y0 означає y+x0 і (y, x)R. Тому R1 = R.

Для будь-яких xD, yD візьмемо z=-|max(x, y)|-1, тоді x+z0 і z+y0, тобто. (x, z)R та (z, y)R. Тому RR = RR1 = R1R = D2.

2. Для яких бінарних відносин R справедливо R1 = R?

Нехай RAB. Можливі два випадки:

• (1) AB. Візьмемо xAB. Тоді (x, x) R (x, x) R1 (x, x) R (x, x) (AB) R (x, x) R. Протиріччя.
• (2) AB=. Оскільки R1BA, а RAB, R1= R= . З R1 = випливає, що R = . З R = випливає, що R = AB. Протиріччя.

Тому якщо A і B, таких відносин R не існує.

3. На множині D дійсних чисел визначимо відношення R наступним чином: (x, y) R (x-y) – раціональне число. Довести, що R є еквівалентністю.

Рефлексивність:

Для будь-якого xD x-x=0 – раціональне число. Тому (x, x)R.

Симетричність:

Якщо (x, y) R, то x-y = . Тоді y-x=-(x-y)=- - раціональне число. Тому (y, x) R.

Транзитивність:

Якщо (x, y) R, (y, z) R, то x-y = та y-z =. Складаючи ці два рівняння, отримуємо, що x-z = + – раціональне число. Тому (x, z) R.

Отже, R – це еквівалентність.

4. Розбиття площини D2 складається з блоків, зображених малюнку а). Виписати відношення еквівалентності R, що відповідає цьому розбиття, та класи еквівалентності.

Аналогічне завдання для b) та c).

а) дві точки еквівалентні, якщо лежать на прямій виді y = 2x + b, де b - будь-яке дійсне число.

b) дві точки (x1, y1) і (x2, y2) еквівалентні, якщо (ціла частина x1 дорівнює цілій частині x2) і (ціла частина y1 дорівнює цілій частині y2).

с) вирішити самостійно.

Завдання для самостійного вирішення

• 1. Довести, що якщо f є функція A в B і g є функція B в C, то fg є функція з A в C.
• 2. Нехай A і B - кінцеві множини, що складаються з m і n елементів відповідно.

Скільки існує бінарних відносин між елементами множин A та B?

Скільки є функцій з A до B?

Скільки є 1-1 функцій з A до B?

За яких m і n існує взаємно-однозначна відповідність між A та B?

3. Довести, що f задовольняє умові f(AB)=f(A)f(B) для будь-яких A та B тоді і тільки тоді, коли f є 1-1 функція.

Відношення, задане на безлічі, може мати ряд властивостей, а саме:

2. Рефлексивність

Визначення.Ставлення Rна множині Хназивається рефлексивним, якщо кожен елемент хбезлічі Хзнаходиться у відношенні Rз самим собою.

Використовуючи символи, це відношення можна записати у такому вигляді:

Rрефлексивно на Х Û(" хÎ Х) х R х

приклад.Ставлення рівності на багатьох відрізках рефлексивно, т.к. кожен відрізок дорівнює собі самому.

Граф рефлексивного відношення у всіх вершинах має петлі.

2. Антирефлексивність

Визначення.Ставлення Rна множині Хназивається антирефлексивним, якщо жоден елемент хбезлічі Хне знаходиться у відношенні Rз самим собою.

Rантирефлексивно на Х Û(" хÎ Х)

приклад.Відношення «пряма хперпендикулярна до прямої у» на безлічі прямих площин антирефлексивно, т.к. жодна пряма площини не перпендикулярна до самої себе.

Граф антирефлексивного відношення не містить жодної петлі.

Зауважимо, що є відносини, які є ні рефлексивними, ні антирефлексивними. Наприклад, розглянемо ставлення «точка хсиметрична точка у» на безлічі точок площини.

Крапка хсиметрична точка х- Істинно; крапка усиметрична точка у- хибно, отже, ми можемо стверджувати, що це точки площини симетричні самі собі, також ми можемо і стверджувати, що жодна точка площини не симетрична сама собі.

3. Симетричність

Визначення. Ставлення Rна множині Хназивається симетричним, якщо з того, що елемент хзнаходиться у відношенні Rз елементом услід, як і елемент узнаходиться у відношенні Rз елементом х.

Rсиметрична Х Û(" х, уÎ Х) х R у Þ у R х

приклад.Відношення «пряма хперетинає пряму уна безлічі прямих площин» симетрично, т.к. якщо пряма хперетинає пряму у, то й пряма уобов'язково перетинатиме пряму х.

Граф симетричного відношення разом з кожною стрілкою з точки хв точку уповинен містити стрілку, що з'єднує ті ж точки, але у зворотному напрямку.

4. Асиметричність

Визначення. Ставлення Rна множині Хназивається асиметричним, якщо ні для яких елементів х, уз множини Хне може статися, що елемент хзнаходиться у відношенні Rз елементом ута елемент узнаходиться у відношенні Rз елементом х.

Rасиметрична Х Û(" х, уÎ Х) х R у Þ

приклад.Відношення « х < у»Асиметрично, т.к. ні для якої пари елементів х, уне можна сказати, що одночасно х < уі у<х.

Граф асиметричного відношення немає петель і якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка тільки одна.

5. Антисиметричність

Визначення. Ставлення Rна множині Хназивається антисиметричним, якщо з того що хзнаходиться у відношенні з у, а узнаходиться у відношенні з хвипливає, що х = у.

Rантисиметрична Х Û(" х, уÎ Х) х R у Ù у R хÞ х = у

приклад.Відношення « х£ у»антисиметрично, т.к. умови х£ уі у£ ходночасно виконуються лише тоді, коли х = у.

Граф антисиметричного відношення має петлі, і якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна.

6. Транзитивність

Визначення. Ставлення Rна множині Хназивається транзитивним, якщо для будь-яких елементів х, у, zз множини Хз того, що хзнаходиться у відношенні з у, а узнаходиться у відношенні з zвипливає, що хзнаходиться у відношенні з z.

Rтранзитивно Х Û(" х, у, zÎ Х) х R у Ù у R zÞ х R z

приклад.Відношення « хкратно у»Транзитивно, т.к. якщо перше число кратне другому, а друге кратно третьому, то перше число буде кратно третьому.

Граф транзитивного відносини з кожною парою стрілок від хдо уі от удо zмістить стрілку, що йде від хдо z.

7. Зв'язковість

Визначення. Ставлення Rна множині Хназивається зв'язковим, якщо для будь-яких елементів х, уз множини Х хзнаходиться у відношенні з уабо узнаходиться у відношенні з хабо х = у.

Rзв'язно Х Û(" х, у, zÎ Х) х R у Ú у R zÚ х= у

Іншими словами: ставлення Rна множині Хназивається зв'язковим, якщо для будь-яких різних елементів х, уз множини Х хзнаходиться у відношенні з уабо узнаходиться у відношенні з хабо х = у.

приклад.Відношення « х< у» складно, т.к. які б ми дійсні числа не взяли, обов'язково одне з них буде більшим за інше або вони рівні.

На графі зв'язного відношення всі вершини з'єднані між собою стрілками.

приклад.Перевірити, які властивості має

ставлення « х –дільник у», задане на безлічі

Х= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) це ставлення рефлексивно, т.к. кожне число з цієї множини є дільником самого себе;

2) властивістю антирефлексивності дане відношення не має;

3) якість симетричності не виконується, т.к. наприклад, 2 є дільником числа 4, але 4 дільником числа 2 не є;

4) це відношення антисиметрично: два числа можуть бути одночасно дільниками один одного тільки в тому випадку, якщо ці числа рівні;

5) ставлення транзитивно, т.к. якщо одне число є дільником другого, а друге дільником третього, то перше число обов'язково буде дільником третього;

6) ставлення властивістю зв'язності немає, т.к. наприклад, числа 2 та 3 на графі стрілкою не з'єднані, т.к. два різні числа 2 і 3 дільниками один одного не є.

Таким чином, дане відношення має властивості рефлексивності, асиметричності та транзитивності.

§ 3. Відношення еквівалентності.
Зв'язок відносини еквівалентності з розбиттям множини на класи

Визначення.Ставлення Rна безлічі Хназивається ставленням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне та транзитивне.

приклад.Розглянемо ставлення « ходнокурсник у» на багатьох студентів педфаку. Воно має властивості:

1) рефлексивність, т.к. кожен студент є однокурсником себе;

2) симетричність, т.к. якщо студент х у, то й студент ує однокурсником студента х;

3) транзитивності, т.к. якщо студент х- Однокурсник у, а студент у– однокурсник z, то студент хбуде однокурсником студента z.

Таким чином, дане відношення має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, а значить, є відношенням еквівалентності. У цьому безліч студентів педфака можна розбити на підмножини, які з студентів, які навчаються однією курсі. Отримуємо 5 підмножин.

Відношенням еквівалентності є також, наприклад, відношення паралельності прямих, відношення рівності фігур. Кожне таке відношення пов'язане з розбиттям множини на класи.

Теорема.Якщо на множині Хзадано ставлення еквівалентності, воно розбиває це безліч на попарно непересекающиеся підмножини (класи еквівалентності).

Правильне і зворотне твердження: якщо якесь відношення, задане на множині Х, породжує розбиття цієї множини на класи, вона є ставленням еквівалентності.

приклад.На безлічі Х= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) поставлено відношення «мати один і той же залишок при розподілі на 3». Чи воно є ставленням еквівалентності?

Побудуємо граф цього відношення:

Дане відношення має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності, отже, є відношення еквівалентності і розбиває безліч Хна класи еквівалентності. У кожному класі еквівалентності будуть числа, які при розподілі на 3 дають один і той самий залишок: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Вважають, клас еквівалентності визначається будь-яким своїм представником, тобто. довільним елементом цього. Так, клас рівних дробів можна задати, вказавши будь-який дріб, що належить цьому класу.

У початковому курсі математики також зустрічаються відносини еквівалентності, наприклад, «вирази хі умають однакові числові значення», «фігура хдорівнює фігурі у».

Нехай задано деяку непорожню множину А і R - деяке підмножина декартового квадрата множини А: R  A  A.

Відношенням Rна безлічі Аназивають підмножину множини А А(або А 2 ). Таким чином ставленняє окремий випадок відповідності, де область прибуття збігається з областю відправлення. Так само, як і відповідність, ставлення – це впорядковані пари, де обидва елементи належать одному й тому безлічі.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Той факт, що ( a, b)R можна записати так: a R b. Читається: « азнаходиться у відношенні R до b» або «між аі bмає місце відношення R». В іншому випадку записують: ( a, b)R або aR b.

Прикладом відношень на множині чисел є такі: «=», «», «», «>» і т.д. На безлічі співробітників будь-якої фірми - відношення "бути начальником" або "бути підлеглим", на безлічі родичів - "бути предком", "бути братом", "бути батьком" і т.д.

Розглянуті відносини звуться бінарних (двомісних) однорідних відносин і є найважливішими в математиці. Поряд із ними розглядають також п-місцеві або п-арні відносини:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Оскільки відношення є окремим випадком відповідності, для їх завдання можуть бути використані всі раніше описані способи.

Очевидно, що ставлячи відношення матричним способом, ми отримаємо квадратну матрицю.

При геометричному (графічному) зображенні відносини ми отримаємо схему, що включає:

вершини, що позначаються точками або кружальцями, які відповідають елементам множини,

і дуги (лінії), що відповідають парам елементів, що входять у бінарні відносини, що позначаються лініями зі стрілками, спрямованими від вершини, що відповідає елементу a до вершини, що відповідає елементу b , якщо a Rb .

Така постать називається орієнтованим графом (або орграфом) бінарного відношення.

Завдання 4.9.1 . Відношення R «бути дільником на множині M = (1, 2, 3, 4)» може бути поставлено матрицею:

перерахуванням: R = ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4) ));

геометрично (графічно):

1. Виписати упорядковані пари, що належать наступним бінарним відносинам на множині А = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)|x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)|x, yA; x< y}.

2. Відношення R на множині X = (a, b, c, d) задано матрицею

,

у якої порядок рядків та стовпців відповідає порядку виписаних елементів. Перелічити упорядковані пари, що належать цьому відношенню. Зобразити ставлення з допомогою графа.

3. Відношення на множині А = (1, 2, 3, 4) представлене графом. Необхідно:

перелічити упорядковані пари, що належать R;

виписати відповідну матрицю;

визначити це ставлення з допомогою предикатів.

(Відповідь: a-b= 1).

4.10. Основні типи (властивості) бінарних відносин

Нехай поставлено бінарне ставлення Rна безлічі А 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

Бінарне відношення R на безлічі А називається рефлексивним, якщо для будь-кого aА виконується aRa, тобто ( а,а)R. Головна діагональ матриці рефлексивного відношення складається із одиниць. Граф рефлексивного відношення обов'язково має петлі кожної вершини.

Прикладирефлексивних відносин: , =,  на множині дійсних чисел, «не бути начальником» на множині співробітників.

Бінарне відношення Rна множині А називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для будь-кого aА не виконується відношення aRa, тобто ( а,а)R. Головна діагональ матриці іррефлексивного відношення складається з нулів. Граф іррефлексивного відношення не має петель.

Прикладиантирефлексивних відносин:<, >на множині дійсних чисел, перпендикулярність прямих на множині прямих.

Бінарне відношення R на множині A називається симетричним, якщо для будь-яких a, bАз aRbслід bRa, тобто якщо ( a, b)R, то і ( b, a)R. Матриця симетричного відношення симетрична щодо своєї головної діагоналі ( σ ij = σ ji). Граф симетричного відношення не є орієнтованим (ребра зображуються без стрілок). Кожна пара вершин тут з'єднана неорієнтованим ребром.

Прикладисиметричних відносин:  на безлічі дійсних чисел, «бути родичем» на множині людей.

Бінарне відношення R на множині A називається:

антисиметричним, якщо для будь-яких a, bАз aRbі bRaвипливає, що a=b. Тобто, якщо ( a, b)Rі( b, a)R, то звідси випливає, що a=b. Матриця антисиметричного відношення вздовж головної діагоналі має всі одиниці і немає жодної пари одиниць, розташованих на симетричних місцях стосовно головної діагоналі. Іншими словами, все σ ii=1, і якщо σ ij=1, то обов'язково σ ji=0. Граф антисиметричного відношення має петлі у кожної вершини, а вершини з'єднуються лише однією спрямованою дугою.

Прикладиантисиметричних відносин: , ,  на безлічі дійсних чисел; ,  на множинах;

асиметричним, якщо для будь-яких a, bАз aRb слід невиконання bRa, тобто якщо ( a, b)R, то ( b, a) R. Матриця асиметричного відношення вздовж головної діагоналі має нулі. σ ij=0) все і жодної симетричної пари одиниць (якщо σ ij=1, то обов'язково σ ji=0). Граф асиметричного відношення не має петель, а вершини з'єднані однією спрямованою дугою.

Приклади асиметричних відносин:<, >на безлічі дійсних чисел, «бути батьком» на багатьох людей.

Бінарне відношення R на множині A називається транзитивним, якщо для будь-яких a, b, зАз aRbі bRaслід, що і aRз. Тобто якщо ( a, b)Rі( b, з)Rвипливає, що ( а, з)R. Матриця транзитивного відношення характеризується тим, що якщо σ ij=1 і σ jm=1, то обов'язково σ im=1. Граф транзитивного відношення такий, що якщо з'єднані дугами, наприклад, перша-друга та друга-третя вершини, то обов'язково є дуги з першої до третьої вершини.

Прикладитранзитивних відносин:<, , =, >,  на безлічі дійсних чисел; «Бути начальником» на безлічі співробітників.

Бінарне відношення R на множині A називається антитранзитивним, якщо для будь-яких a, b, зАз aRbі bRaслід, що не виконується aRз. Тобто якщо ( a, b)Rі( b, з)Rвипливає, що ( а, з) R. Матриця антитранзитивного відношення характеризується тим, що якщо σ ij=1 і σ jm=1, то обов'язково σ im=0. Граф антитранзитивного відношення такий, що якщо з'єднані дугами, наприклад, перша-друга та друга-третя вершини, то обов'язково немає дуги з першої до третьої вершини.

Приклади антитранзитивних відносин: «Несупадність парності» на безлічі цілих чисел; «Бути безпосереднім начальником» на безлічі співробітників.

Якщо відношення не володіє деякою властивістю, то, додавши пари, можна отримати нове відношення з даною властивістю. Безліч таких відсутні пар називають замиканнямвідносини за цією властивістю. Позначають його як R* . Так можна отримати рефлексивне, симетричне та транзитивне замикання.

Завдання 4.10.1. На множині А = (1, 2, 3, 4) задано ставлення R=(( a,b)| a,bA, a+bпарне число). Визначити тип цього відношення.

Рішення. Матриця цього відношення:

. Очевидно, що ставлення є рефлексивним, тому що вздовж головної діагоналі розташовані одиниці. Воно симетрично: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . Транзитивно: (1,3)R, (3,1)R та (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R та (2,2)R і т.д.

Завдання 4.10.2. Якими властивостями на множині А = ( a, b, c, d) має бінарне відношення R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Рішення . Побудуємо матрицю даного відношення та його граф:

Ставлення іррефлексивно, тому що всі σ ii= 0. Воно не симетрично, оскільки σ 23 =1, а σ 32 =0, проте σ 12 = σ 21 =1. Ставлення не транзитивно, Оскільки 12 =1, 23 =1 і 13 =0; 12 = 1, 21 = 1 і 11 = 0; але при цьому 12 =1, 24 =1 і 14 =1.

Завдання 4.10.3. На множині А = (1,2,3,4,5) задано ставлення R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Визначити тип відношення та знайти наступні замикання для R:

рефлексивне;

симетричне;

транзитивний.

Рішення. Відношення іррефлексивне, оскільки немає жодного елемента виду ( а,а). Асиметрично, тому що не містить пар виду ( a,b) та ( b,a) і всі діагональні елементи дорівнюють 0. Антитранзитивно, оскільки (1,2)R, (2,3)R, але (1,3)R. Аналогічно (2,4)R, (4,5)R, а (2,5)R тощо.

рефлексивне замикання цього відношення R * = ((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

симетричне замикання: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

транзитивне замикання: R * = ((1,3), (1,4), (2,5)). Розглянемо граф вихідного відношення та отриманого транзитивного.

Завдання для самостійного вирішення.

1. Задано ставлення R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Визначити його тип і знайти замикання з рефлексивності, симетричності та транзитивності.

2.Ставление на безлічі слів російської визначено так: а R bтоді й лише тоді, коли вони мають хоч одну спільну букву. Визначити тип відношення на множині А = (корова, вагон, нитка, сокира).

3. Вказати приклади бінарних відносин на безлічі А = (1, 2) та В = (1, 2, 3), які були б:

не рефлексивний, не симетричний, не транзитивний;

рефлексивний, не симетричний, не транзитивний;

симетричне, але не рефлексивне та не транзитивне;

транзитивне, але не рефлексивне та не симетричне;

рефлексивний, симетричний, але не транзитивний;

рефлексивний, транзитивний, але не симетричний;

не рефлексивний, симетричний, транзитивний;

рефлексивний, симетричний, транзитивний.