Дія зовнішніх сил на тверде тіло призводить до виникнення у точках його обсягу напруг та деформацій. При цьому напружений стан у точці, зв'язок між напругами на різних майданчиках, що проходять через цю точку, визначаються рівняннями статики та не залежать від фізичних властивостей матеріалу. Деформований стан, зв'язок між переміщеннями та деформаціями встановлюються із залученням геометричних чи кінематичних міркувань і також не залежать від властивостей матеріалу. Для того щоб встановити зв'язок між напругою та деформаціями, необхідно враховувати реальні властивості матеріалу та умови навантаження. Математичні моделі, що описують співвідношення між напругами та деформаціями, розробляються на основі експериментальних даних. Ці моделі повинні з достатнім ступенем точності відображати реальні властивості матеріалів та умови навантаження.

Найбільш поширеними для конструкційних матеріалів є моделі пружності та пластичності. Пружність це властивість тіла змінювати форму і розміри під дією зовнішніх навантажень і відновлювати вихідну конфігурацію при знятті навантажень. Математично властивість пружності виявляється у встановленні взаємно однозначної функціональної залежності між компонентами тензора напруг і тензора деформацій. Властивість пружності відбиває як властивості матеріалів, а й умови навантаження. Для більшості конструкційних матеріалів властивість пружності проявляється при помірних значеннях зовнішніх сил, що призводять до малих деформацій, і при малих швидкостях навантаження, коли втрати енергії за рахунок температурних ефектів дуже малі. Матеріал називається лінійно-пружним, якщо компоненти тензора напруги і тензора деформацій пов'язані лінійними співвідношеннями.

При високих рівнях навантаження, коли в тілі виникають значні деформації, матеріал частково втрачає пружні властивості: при розвантаженні його початкові розміри і форма не відновлюються, а при повному знятті зовнішніх навантажень фіксуються залишкові деформації. В цьому випадку залежність між напругами та деформаціями перестає бути однозначною. Ця властивість матеріалу називається пластичністю.Залишкові деформації, що накопичуються в процесі пластичного деформування, називаються пластичними.

Високий рівень навантаження може викликати руйнування, тобто поділ тіла на частини.Тверді тіла, виконані з різних матеріалів, руйнуються за різної величини деформації. Руйнування має крихкий характер при малих деформаціях і відбувається, як правило, без помітних пластичних деформацій. Така руйнація характерна для чавуну, легованих сталей, бетону, скла, кераміки та деяких інших конструкційних матеріалів. Для маловуглецевих сталей, кольорових металів, пластмас характерний пластичний тип руйнування за наявності значних залишкових деформацій. Однак підрозділ матеріалів за характером руйнування на крихкі та пластичні вельми умовно, він зазвичай відноситься до деяких стандартних умов експлуатації. Один і той же матеріал може вести себе в залежності від умов (температура, характер навантажених, технологія виготовлення та ін) як тендітний або як пластичний. Наприклад, пластичні за нормальної температури матеріали руйнуються як крихкі за низьких температур. Тому правильніше говорити не про крихкі і пластичні матеріали, а про крихкий або пластичний стан матеріалу.

Нехай матеріал є лінійно-пружним та ізотропним. Розглянемо елементарний обсяг, що перебуває в умовах одновісного напруженого стану (рис. 1), так що тензор напруг має вигляд

При такому навантаженні відбувається збільшення розмірів у бік осі Ох,характеризується лінійною деформацією, яка пропорційна величині напруги

Рис.1.Одновісний напружений стан

Це співвідношення є математичним записом закону Гука, встановлює пропорційну залежність між напругою та відповідною лінійною деформацією при одновісному напруженому стані. Коефіцієнт пропорційності E називається модулем поздовжньої пружності чи модулем Юнга.Він має розмірність напруги.

Поряд із збільшенням розмірів у напрямку дії; ж напруги відбувається зменшення розмірів у двох ортогональних напрямках (рис. 1). Відповідні деформації позначимо через і , причому ці деформації негативні за позитивних і пропорційні :

При одночасному дії напруги по трьох ортогональних осях, коли відсутні дотичні напруги, для лінійно-пружного матеріалу справедливий принцип суперпозиції (накладання рішень):

З урахуванням формул (1 4 ) отримаємо

Дотичні напруження викликають кутові деформації, причому при малих деформаціях вони не впливають на зміну лінійних розмірів, а отже, на лінійні деформації. Тому вони справедливі також у разі довільного напруженого стану та виражають так званий узагальнений закон Гука.

Кутова деформація обумовлена ​​дотичною напругою, а деформації і відповідно напругами і. Між відповідними дотичними напругами та кутовими деформаціями для лінійно-пружного ізотропного тіла існують пропорційні залежності.

які виражають закон Гука при зсуві.Коефіцієнт пропорційності G називається модулем зсуву.Істотно, що нормальна напруга не впливає на кутові деформації, оскільки змінюються лише лінійні розміри відрізків, а не кути між ними (рис. 1).

Лінійна залежність існує також між середньою напругою (2.18), пропорційною першому інваріанту тензора напруг, і об'ємною деформацією (2.32), що збігається з першим інваріантом тензора деформацій:

Рис.2.Плоска деформація зсуву

Відповідний коефіцієнт пропорційності Доназивається об'ємним модулем пружності.

У формули (1 7) входять пружні характеристики матеріалу Е, , Gі До,визначальні його пружні властивості. Однак ці характеристики не є незалежними. Для ізотропного матеріалу незалежними пружними характеристиками є дві, якими зазвичай вибираються модуль пружності Ета коефіцієнт Пуассона. Щоб висловити модуль зсуву Gчерез Еі , розглянемо плоску деформацію зсуву під впливом дотичних напруг (рис. 2). Для спрощення викладок використовуємо квадратний елемент зі стороною а.Обчислимо головну напругу , . Ця напруга діє на майданчиках, розташованих під кутом до вихідних майданчиків. З рис. 2 знайдемо зв'язок між лінійною деформацією у напрямку дії напруги та кутовою деформацією . Велика діагональ ромба, що характеризує деформацію, дорівнює

Для малих деформацій

З урахуванням цих співвідношень

До деформації ця діагональ мала розмір . Тоді матимемо

З узагальненого закону Гука (5) отримаємо

Порівняння отриманої формули із записом закону Гука при зрушенні (6) дає

У результаті отримаємо

Порівнюючи цей вислів з об'ємним законом Гука (7), приходимо до результату

Механічні характеристики Е, , Gі Дознаходяться після обробки експериментальних даних випробувань зразків різні види навантажень. З фізичного сенсу всі ці показники неможливо знайти негативними. Крім того, з останнього виразу випливає, що коефіцієнт Пуассон для ізотропного матеріалу не перевищує значення 1/2. Таким чином, отримуємо наступні обмеження для пружних постійних ізотропних матеріалів:

Граничне значення призводить до граничного значення , що відповідає стисканому матеріалу (при ). На закінчення висловимо із співвідношень пружності (5) напруги через деформації. Запишемо перше із співвідношень (5) у вигляді

З використанням рівності (9) матимемо

Аналогічні співвідношення можна вивести для і. В результаті отримаємо

Тут використано співвідношення (8) для зсувного модуля. Крім того, введено позначення

ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ ПРУГОЇ ДЕФОРМАЦІЇ

Розглянемо спочатку елементарний обсяг dV=dxdydzза умов одновісного напруженого стану (рис. 1). Подумки закріпимо майданчик х = 0(Рис. 3). На протилежний майданчик діє сила . Ця сила здійснює роботу на переміщенні . При збільшенні напруги від нульового рівня до значення відповідна деформація в силу закону Гука також збільшується від нуля до значення , а робота пропорційна заштрихованій на рис. 4 площі: . Якщо знехтувати кінетичною енергієюі втратами, пов'язаними з тепловими, електромагнітними та іншими явищами, то в силу закону збереження енергії виконувана робота перейде в потенційну енергію,накопичується в процесі деформування: . Розмір Ф= dU/dVназивається питомою потенційною енергією деформації,має сенс потенційної енергії, накопиченої в одиниці об'єму тіла У разі одновісного напруженого стану

2.6. Межа міцності

2.7. Умови міцності

3.Внутрішні силові фактори (ВСФ)

3.1. Випадок впливу зовнішніх сил в одній площині

3.2. Основні співвідношення між погонною силою q, поперечною силою Qy і згинальним моментом Mx

Звідси випливає співвідношення, яке називається першим рівнянням рівноваги елемента балки

4.Епюри всф

5. Правила контролю побудови епюр

6. Загальний випадок напруженого стану

6.1.Нормальні та дотичні напруги

6.2. Закон парності дотичних напруг

7. Деформації

8. Основні припущення та закони, що використовуються в опорі матеріалів

8.1. Основні припущення, що використовуються в опорі матеріалів

8.2. Основні закони, що використовуються у опорі матеріалів

За наявності перепаду температур тіла змінюють свої розміри, причому прямо пропорційно до цього перепаду температур.

9. Приклади використання законів механіки для розрахунку будівельних споруд

9.1. Розрахунок статично невизначених систем

9.1.1. Статично невизначена залізобетонна колона

9.1.2 Температурна напруга

9.1.3. Монтажна напруга

9.1.4. Розрахунок колони з теорії граничної рівноваги

9.2. Особливості температурних та монтажних напруг

9.2.1. Незалежність температурної напруги від розмірів тіла

9.2.2. Незалежність монтажної напруги від розмірів тіла

9.2.3. Про температурні та монтажні напруги в статично визначених системах

9.3. Незалежність граничного навантаження від самоврівноваженої початкової напруги

9.4. Деякі особливості деформування стрижнів при розтягуванні та стисканні з урахуванням сили тяжіння

9.5. Розрахунок елементів конструкцій із тріщинами

Порядок розрахунку тіл із тріщинами

9.6. Розрахунок конструкцій на довговічність

9.6.1. Довговічність залізобетонної колони за наявності повзучості бетону

9.6.2. Умова незалежності напруг від часу в конструкціях з в'язкопружних матеріалів

9.7 Теорія накопичення мікроушкоджень

10. Розрахунок стрижнів та стерневих систем на жорсткість

Складові стрижні

Стрижневі системи

10.1. Формула Мора для обчислення переміщення конструкції

10.2. Формула Мора для стрижневих систем

11. Закономірності руйнування матеріалу

11.1. Закономірності складного напруженого стану

11.2. Залежність і від дотичних напруг

11.3. Головні напруження

Обчислення

11.4. Види руйнувань матеріалів

11.5.Теорії короткочасної міцності

11.5.1.Перша теорія міцності

11.5.2.Друга теорія міцності

11.5.3. Третя теорія міцності (теорія максимальних дотичних напруг)

11.5.4. Четверта теорія (енергетична)

11.5.5. П'ята теорія – критерій Мора

12. Короткий виклад теорій міцності у задачах опору матеріалів

13. Розрахунок циліндричної оболонки під впливом внутрішнього тиску

14. Втомне руйнування (циклічна міцність)

14.1. Розрахунок споруд при циклічному навантаженні за допомогою диграми Велера

14.2. Розрахунок споруд при циклічному навантаженні з теорії тріщин, що розвиваються.

15. Вигин балок

15.1. Нормальна напруга. Формула Навье

15.2. Визначення положення нейтральної лінії (осі х) у перерізі

15.3 Момент опору

15.4 Помилка Галілея

15.5 Дотичні напруги в балці

15.6. Дотичні напруги в полиці двотавра

15.7. Аналіз формул для напруг

15.8. Ефект Емерсона

15.9. Парадокси формули Журавського

15.10. Про максимальні дотичні напруги (τzy)max

15.11. Розрахунки балки на міцність

1. Руйнування зламом

2.Руйнування зрізом (розшарування).

3. Розрахунок балки за основною напругою.

4. Розрахунок за III та IV теоріями міцності.

16. Розрахунок балки на жорсткість

16.1. Формула Мора для обчислення прогину

16.1.1 Методи обчислення інтегралів. Формули трапецій та Сімпсона

Формула трапецій

Формула Сімпсона

. Обчислення прогинів на основі розв'язання диференціального рівняння вигнутої осі балки

16.2.1 Вирішення диференціального рівняння вигнутої осі балки

16.2.2 Правила Клебшу

16.2.3 Умови для визначення с та d

Приклад обчислення прогину

16.2.4. Балки на пружній основі. Закон Вінклера

16.4. Рівняння вигнутої осі балки на пружній основі

16.5. Нескінченна балка на пружній основі

17. Втрата стійкості

17.1 Формула Ейлера

17.2 Інші умови закріплення.

17.3 Гранична гнучкість. Довгий стрижень.

17.4 Формула Ясинського.

17.5 Поздовжній вигин

18. Кручення валів

18.1. Кручення круглих валів

18.2. Напруги в перерізах валу

18.3. Розрахунок валу на жорсткість

18.4. Вільне кручення тонкостінних стрижнів

18.5. Напруги при вільному крученні тонкостінних стрижнів замкнутого профілю

18.6. Кут закрутки тонкостінних стрижнів замкнутого профілю

18.7. Кручення стрижнів відкритого профілю

19. Складна деформація

19.1. Епюри внутрішніх силових факторів (ВСФ)

19.2. Розтяг з вигином

19.3. Максимальна напруга при розтягуванні з вигином

19.4 Косий вигин

19.5. Перевірка міцності круглих стрижнів під час кручення з вигином

19.6 Позацентрове стискування. Ядро перерізу

19.7 Побудова ядра перерізу

20. Динамічні завдання

20.1. Удар

20.2 Область застосування формули для коефіцієнта динамічності

Вираз коефіцієнта динамічності через швидкість ударяючого тіла

20.4. Принцип Даламбера

20.5. Коливання пружних стрижнів

20.5.1. Вільні коливання

20.5.2. Вимушені коливання

Способи боротьби з резонансом

20.5.3 Вимушені коливання стрижня з демпфером

21. Теорія граничної рівноваги та її використання при розрахунку конструкцій

21.1. Завдання вигину балки Граничний момент.

21.2. Застосування теорії граничної рівноваги до розрахунку

Література

Зміст

8.2. Основні закони, що використовуються у опорі матеріалів

Співвідношення статики. Їх записують у вигляді наступних рівнянь рівноваги.

Закон Гука ( 1678 рік): що більше сила, то більше вписувалося деформація, причому, прямо пропорційно силі. Фізично це означає, що всі тіла є пружини, але з великою жорсткістю. При простому розтягуванні бруса поздовжньою силою N= Fцей закон можна записати у вигляді:

Тут
поздовжня сила, l- Довжина бруса, А- Площа його поперечного перерізу, Е- Коефіцієнт пружності першого роду ( модуль Юнга).

З урахуванням формул для напружень та деформацій, закон Гука записують так:
.

Аналогічний зв'язок спостерігається в експериментах і між дотичними напругами та кутом зсуву:

.

G називаютьмодулем зсуву , Рідше - модулем пружності другого роду. Як і будь-який закон, має межу застосовності та закон Гука. Напруга
, до якого справедливий закон Гука, називається межею пропорційності(Це найважливіша характеристика у супроматі).

Зобразимо залежність  від  графічно (рис.8.1). Ця картина називається діаграмою розтягування . Після точки В (тобто при
) ця залежність перестає бути прямолінійною.

При
після розвантаження в тілі з'являються залишкові деформації, тому називається межою пружності .

При досягненні напругою величини σ = σ т багато металів починають проявляти властивість, яка називається плинністю. Це означає, що навіть при постійному навантаженні матеріал продовжує деформуватися (тобто поводиться як рідина). Графічно це означає, що діаграма паралельна абсцисі (ділянка DL). Напруга σ т, коли матеріал тече, називається межею плинності .

Деякі матеріали (Ст.3 - будівельна сталь) після нетривалого перебігу знову починають чинити опір. Опір матеріалу триває до деякого максимального значення пр, надалі починається поступове руйнування. Величина σ пр - називається межею міцності (Синонім для сталі: тимчасовий опір, для бетону – кубикова або призмінна міцність). Застосовують також наступні позначення:

=R b

Аналогічна залежність спостерігається в експериментах між дотичними напругами та зсувами.

3) Закон Дюгамеля – Неймана (лінійного температурного розширення):

За наявності перепаду температур тіла змінюють свої розміри, причому прямо пропорційно до цього перепаду температур.

Нехай є перепад температур
. Тоді цей закон має вигляд:

Тут α - коефіцієнт лінійного температурного розширення, l - довжина стрижня, Δ l- його подовження.

4) Закон повзучості .

Дослідження показали, що всі матеріали дуже неоднорідні в малому. Схематичне будову стали зображено на рис.8.2.

Деякі зі складових мають властивості рідини, тому багато матеріалів під навантаженням з часом отримує додаткове подовження
(рис.8.3.) (метали за високих температур, бетон, дерево, пластики – за нормальних температурах). Це явище називається повзучістюматеріалу.

Для рідини справедливий закон: чим більше силатим більше швидкість руху тіла в рідині. Якщо це співвідношення лінійно (тобто сила пропорційна швидкості), можна записати його як:

Е
якщо перейти до відносних сил і відносних подовжень, то отримаємо

Тут індекс « cr »означає, що розглядається та частина подовження, яка викликана повзучістю матеріалу. Механічна характеристика називається коефіцієнтом в'язкості.

Закон збереження енергії.

Розглянемо навантажений брус

Введемо поняття переміщення точки, наприклад,

- вертикальне переміщення точки;

- горизонтальне усунення точки С.

Сили
при цьому виконують деяку роботу U. Враховуючи, що сили
починають зростати поступово і припускаючи, що зростають вони пропорційно до переміщень, отримаємо:

.

Відповідно до закону збереження: ніяка робота не зникає, вона витрачається на виконання іншої роботи або переходить в іншу енергію (енергія- Це робота, яку може здійснити тіло.).

Робота сил
витрачається на подолання опору пружних сил, що виникають у нашому тілі. Щоб підрахувати цю роботу врахуємо, що тіло можна вважати що складається з малих пружних частинок. Розглянемо одну з них:

З боку сусідніх частинок на нього діє напруга . Рівнодійна напруга буде

Під дією частка подовжиться. Відповідно до визначення відносне подовження це подовження на одиницю довжини. Тоді:

Обчислимо роботу dW, яку робить сила dN (тут також враховується, що сили dNпочинають зростати поступово і зростають вони пропорційні до переміщень):

Для всього тіла отримаємо:

.

Робота W, яку зробило , називають енергією пружної деформації.

Відповідно до закону збереження енергії:

6)Принцип можливих переміщень .

Це один з варіантів запису закону збереження енергії.

Нехай на брус діють сили F 1 , F 2 , … . Вони викликають у тілі переміщення точки
та напруги
. Дамо тілу додаткові малі можливі переміщення
. У механіці запис виду
означає фразу «можливе значення величини а». Ці можливі переміщення викличуть у тілі додаткові можливі деформації
. Вони призведуть до появи додаткових зовнішніх сил та напруг.
, δ.

Обчислимо роботу зовнішніх сил на додаткових можливих малих переміщеннях:

Тут
- додаткові переміщення тих точок, у яких прикладено сили F 1 , F 2 , …

Розглянемо знову малий елемент із поперечним перетином dA та довжиною dz (див. рис.8.5. та 8.6.). Відповідно до визначення додаткове подовження  dzцього елемента обчислюється за такою формулою:

dz=  dz.

Сила розтягування елемента:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

p align="justify"> Робота внутрішніх сил на додаткових переміщеннях обчислюється для малого елемента наступним чином:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

З
уммуючи енергію деформації всіх малих елементів отримаємо повну енергію деформації:

Закон збереження енергії W = Uдає:

.

Це співвідношення і називається принципом можливих переміщень(його називають також принципом віртуальних переміщень).Аналогічно можна розглянути випадок, коли діють ще дотичні напруги. Тоді можна отримати, що до енергії деформації Wдодасться наступний доданок:

Тут  - дотична напруга,  -зсув малого елемента. Тоді принцип можливих переміщеньнабуде вигляду:

На відміну від попередньої форми запису закону збереження енергії, тут немає припущення про те, що сили починають зростати поступово, і зростають вони пропорційно до переміщень.

7) Ефект Пуассон.

Розглянемо картину подовження зразка:

Явище укорочення елемента тіла поперек напряму подовження називається ефектом Пуассона.

Знайдемо поздовжню відносну деформацію.

Поперечна відносна деформація буде:

Коефіцієнтом Пуассонаназивається величина:

Для ізотропних матеріалів (сталь, чавун, бетон) коефіцієнт Пуассона

Це означає, що у поперечному напрямку деформація меншепоздовжній.

Примітка : сучасні технології можуть створити композиційні матеріали, у яких коефіцієнт Пуассон >1, тобто поперечна деформація буде більшою, ніж поздовжня. Наприклад, це має місце для матеріалу, армованого жорсткими волокнами під малим кутом.
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, тобто. чим менше тим більше коефіцієнт Пуассона.

Рис.8.8. Рис.8.9

Ще дивовижнішим є матеріал, наведений на (рис.8.9.), причому такого армування має місце парадоксальний результат – поздовжнє подовження веде до збільшення розмірів тіла й у поперечному напрямі.

8) Узагальнений закон Гука.

Розглянемо елемент, який розтягується у поздовжньому та поперечному напрямках. Знайдемо деформацію, що у цих напрямах.

Обчислимо деформацію , що виникає від дії :

Розглянемо деформацію від дії яка виникає в результаті ефекту Пуассона:

Загальна деформація буде:

Якщо діє і , то додатися ще одне укорочення в напрямку осіx
.

Отже:

Аналогічно:

Ці співвідношення називаються узагальненим законом Гука.

Цікаво, що при записі закону Гука робиться припущення про незалежність деформацій подовження від деформацій зсуву (про незалежність від дотичних напруг, що те саме) і навпаки. Експерименти добре підтверджують ці припущення. Забігаючи вперед, відзначимо, що міцність навпаки сильно залежить від поєднання дотичних та нормальних напруг.

Примітка: Наведені вище закони та припущення підтверджуються численними прямими та опосередкованими експериментами, але, як і всі інші закони, мають обмежену сферу застосування.

Законом Гуказазвичай називають лінійні співвідношення між компонентами деформацій та компонентами напруг.

Візьмемо елементарний прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним осям, навантажений нормальною напругою σ х, рівномірно розподіленим по двох протилежних гранях (рис. 1). При цьому σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.

До досягнення межі пропорційності відносне подовження дається формулою

де Емодуль пружності при розтягуванні. Для сталі Е = 2*10 5 МПатому деформації дуже малі і вимірюються у відсотках або в 1*10 5 (у тензометричних приладах, що вимірюють деформації).

Подовження елемента у напрямку осі хсупроводжується його звуженням у поперечному напрямку, що визначається компонентами деформацій

де μ - Константа, яка називається коефіцієнтом поперечного стиснення або коефіцієнтом Пуассона. Для сталі μ зазвичай приймається рівним 0,25-0,3.

Якщо аналізований елемент навантажений одночасно нормальними напругами σ x, σ y, σ z, рівномірно розподіленими за його межами, додаються деформації

Виробляючи накладення компонентів деформації, викликаних кожною з трьох напруг, отримаємо співвідношення

Ці співвідношення підтверджуються численними експериментами. Застосований метод накладанняабо суперпозиціїдля відшукання повних деформацій і напруг, викликаних декількома силами, є законним, поки деформації та напруги малі та лінійно залежать від прикладених сил. У таких випадках ми нехтуємо малими змінами розмірів тіла, що деформується, і малими переміщеннями точок застосування зовнішніх сил і засновуємо наші обчислення на початкових розмірах і початковій формі тіла.

Слід зазначити, що з дещо переміщень ще не випливає лінійність співвідношень між силами та деформаціями. Так, наприклад, у стислому силами Qстрижні, навантаженому додатково поперечною силою Рнавіть при малому прогині δ виникає додатковий момент М = Qδ, що робить завдання нелінійним. У таких випадках повні прогини не є лінійними функціями зусиль та не можуть бути отримані за допомогою простого накладання (суперпозиції).

Експериментально встановлено, що якщо дотичні напруги діють по всіх гранях елемента, спотворення відповідного кута залежить тільки від відповідних компонентів дотичної напруги.

Константа Gназивається модулем пружності при зсуві або модулем зсуву.

Загальний випадок деформації елемента від дії на нього трьох нормальних та трьох дотичних компонентів напруг можна отримати за допомогою накладання: на три лінійні деформації, що визначаються виразами (5.2а), накладаються три деформації зсуву, що визначаються співвідношеннями (5.2б). Рівняння (5.2а) та (5.2б) визначають зв'язок між компонентами деформацій та напруг і називаються узагальненим законом Гука. Покажемо тепер, що модуль зсуву Gвиражається через модуль пружності при розтягуванні Ета коефіцієнт Пуассона μ . Для цього розглянемо окремий випадок, коли σ х = σ , σ y = -σ і σ z = 0.

Виріжемо елемент abcdплощинами, паралельними осі zта нахиленими під кутом 45° до осей хі у(Рис. 3). Як випливає з умов рівноваги елемента 0 bс, нормальні напруження σ vна всіх гранях елемента abcdрівні нулю, а дотичні напруги рівні

Такий напружений стан називається чистим зрушенням. З рівнянь (5.2а) випливає, що

тобто подовження горизонтального елемента 0 cі скорочення вертикального елемента 0 b: ε y = -ε x.

Кут між гранями аbі bcзмінюється, та відповідну величину деформації зсуву γ можна знайти з трикутника 0 bс:

Звідси слідує що

При розтягуванні та стисканні стрижня змінюються його довжина та розміри поперечного перерізу. Якщо подумки виділити зі стрижня в недеформованому стані елемент завдовжки dx,то після деформації його довжина дорівнюватиме dx ((Рис. 3.6). При цьому абсолютне подовження у напрямку осі Охбуде одно

а відносна лінійна деформація е хвизначається рівністю

Оскільки вісь Охзбігається з віссю стрижня, вздовж якої діють зовнішні навантаження, назвемо деформацію е хпоздовжньою деформацією, у якої надалі індекс опускатимемо. Деформації у напрямах, перпендикулярних до осі, називаються поперечними деформаціями. Якщо позначити через bхарактерний розмір поперечного перерізу (рис. 3.6), то поперечна деформація визначається співвідношенням

Відносні лінійні деформації є безрозмірними величинами. Встановлено, що поперечні та поздовжні деформації при центральному розтягуванні та стисканні стрижня пов'язані між собою залежністю.

Вхідна в цю рівність величина v називається коефіцієнтом Пуассоначи коефіцієнтом поперечної деформації. Цей коефіцієнт є однією з основних постійних пружності матеріалу та характеризує його здатність до поперечних деформацій. Для кожного матеріалу він визначається з досвіду на розтяг або стиснення (див. § 3.5) і обчислюється за формулою

Як випливає з рівності (3.6), поздовжні та поперечні деформації мають протилежні знаки, що є підтвердженням очевидного факту - при розтягуванні розміри поперечного перерізу зменшуються, а при стисканні збільшуються.

Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона різний. Для ізотропних матеріалів може приймати значення не більше від 0 до 0,5. Наприклад, для пробкового дерева коефіцієнт Пуассон близький до нуля, а для гуми він близький до 0,5. Для багатьох металів за нормальних температур величина коефіцієнта Пуассона знаходиться в межах 0,25+0,35.

Як встановлено у численних експериментах, для більшості конструкційних матеріалів при малих деформаціях між напругами та деформаціями існує лінійний зв'язок

Цей закон пропорційності вперше було встановлено англійським вченим Робертом Гуком і називається законом Гука.

Гука, що входить до закону, постійна Еназивається модулем пружності. Модуль пружності є другою основною постійною пружністю матеріалу та характеризує його жорсткість. Оскільки деформації є безрозмірними величинами, (3.7) слід, що модуль пружності має розмірність напруги.

У табл. 3.1 наведено значення модуля пружності та коефіцієнта Пуассона для різних матеріалів.

При проектуванні та розрахунках конструкцій поряд з обчисленням напруги необхідно також визначати переміщення окремих точок і вузлів конструкцій. Розглянемо спосіб обчислення переміщень при центральному розтягуванні та стисканні стрижнів.

Абсолютне подовження елемента завдовжки dx(рис. 3.6) згідно з формулою (3.5) дорівнює

Таблиця 3.1

найменування матеріалу	Модуль пружності, МПа	Коефіцієнт Пуассона
Сталь вуглецева
Сплави алюмінію
Сплави титану
	(1,15-s-1,6) 10 5
вздовж волокон	(0,1 ^ 0,12) 10 5
поперек волокон	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
Кладка з цегли	(0,027 +0,03)-10 5
Склопластик СВАМ
Текстоліт	(0,07 + 0,13)-10 5
Гума на каучуку

Інтегруючи цей вираз у межах від 0 до х, отримаємо

де і (х) - осьове переміщення довільного перерізу (рис. 3.7), а З = і ( 0) - осьове переміщення початкового перерізу х = 0.Якщо цей переріз закріплено, то і (0) = 0 і переміщення довільного перерізу дорівнює

Подовження або укорочення стрижня дорівнює осьовому переміщенню його вільного торця (рис. 3.7), величину якого отримаємо з (3.8), прийнявши х = 1:

Підставивши у формулу (3.8) вираз для деформації? із закону Гука (3.7), отримаємо

Для стрижня з матеріалу з постійним модулем пружності Еосьові переміщення визначаються за формулою

Інтеграл, що входить у цю рівність, можна обчислити двома способами. Перший спосіб полягає в аналітичному запису функції а(х)та подальшому інтегруванні. Другий спосіб заснований на тому, що аналізований інтеграл чисельно дорівнює площі епюри на ділянці .Вводячи позначення

Розглянемо окремі випадки. Для стрижня, що розтягується зосередженою силою Р(Рис. 3.3, а),поздовжня сила./Vпостійна за довжиною і дорівнює Р.Напруги а згідно (3.4) також постійні та рівні

Тоді з (3.10) отримуємо

З цієї формули випливає, що якщо напруга на деякій ділянці стрижня постійна, то переміщення змінюються за лінійним законом. Підставляючи в останню формулу х = 1,знайдемо подовження стрижня:

твір EFназивається жорсткістю стрижня при розтягуванні та стисканні.Чим більша ця величина, тим менше подовження або скорочення стрижня.

Розглянемо стрижень, що під дією рівномірно розподіленого навантаження (рис. 3.8). Поздовжня сила в довільному перерізі, що знаходиться на відстані х від закріплення, дорівнює

Розділивши Nна F,отримаємо формулу для напруг

Підставляючи цей вираз у (3.10) та інтегруючи, знаходимо

Найбільше переміщення, що дорівнює подовженню всього стрижня, отримаємо, підставивши в (3.13)х = /:

З формул (3.12) і (3.13) видно, що якщо напруги лінійно залежать відх, то переміщення змінюються за законом квадратної параболи. Епюри N,про і іпоказано на рис. 3.8.

Загальна диференціальна залежність, яка зв'язує функції і(х)і а(х), може бути отримана із співвідношення (3.5). Підставляючи це співвідношення з закону Гука (3.7), знайдемо

З цієї залежності випливають, зокрема, зазначені у розглянутих вище прикладах закономірності зміни функції та(х).

Крім того, можна помітити, що якщо в якому-небудь перерізі напруги звертаються в нуль, то на епюрі іу цьому перерізі може бути екстремум.

Як приклад збудуємо епюру ідля стрижня, зображеного на рис. 3.2, поклавши Е- 10 4 МПа. Обчислюючи площі епюри одля різних ділянок, знаходимо:

перетин х = 1 м:

перетин х = 3 м:

перетин х = 5 м:

На верхній ділянці стрижня епюра іє квадратною параболою (рис. 3.2, е).При цьому в перерізі х = 1 м є екстремум. На нижній ділянці характер епюри є лінійним.

Загальне подовження стрижня, яке в даному випадку дорівнює

можна обчислити, скориставшись формулами (3.11) та (3.14). Оскільки нижня ділянка стрижня (див. рис. 3.2, а)розтягується силою Р (його подовження згідно (3.11) дорівнює

Дія сили Р (передається також і на верхню ділянку стрижня. Крім того, він стискається силою Р 2і розтягується рівномірно розподіленим навантаженням q.Відповідно до цього зміна його довжини обчислюється за формулою

Підсумовуючи значення А/, і А/ 2 отримаємо той же результат, що наведено вище.

На закінчення слід зазначити, що, незважаючи на малу величину переміщень та подовжень (укорочень) стрижнів при розтягуванні та стисканні, нехтувати ними не можна. Вміння обчислювати ці величини є важливим у багатьох технологічних завданнях (наприклад, при монтажі конструкцій), а також для вирішення статично невизначених завдань.