Strikt ordningsförhållande. Strikt ordningsrelation En strikt linjär ordningsrelation har egenskaperna

Ordet "ordning" används ofta i de mest skilda frågor. Officeren ger kommandot: "Beräkna i siffror", aritmetiska operationer utförs i en viss ordning, idrottare blir i höjd, alla ledande schackspelare ordnas i en viss ordning enligt de så kallade Elo-koefficienterna (en amerikansk professor som utvecklade systemet koefficienter, som gör det möjligt att ta hänsyn till alla framgångar och misslyckanden av spelarna), efter mästerskapet, är alla fotbollslag arrangerade i en viss ordning, etc. planterade en åsna inte "!).

Genom att arrangera elementen i en viss uppsättning efter varandra, ordnar vi dem eller upprättar någon relation mellan dem. på rad. Det enklaste exemplet är den naturliga ordningen av naturliga tal. Dess naturlighet ligger i det faktum att vi för två naturliga tal vet vilket av dem som följer efter det andra eller vilket av dem som är större än det andra, så vi kan ordna de naturliga talen i en sekvens så att det större talet kommer att lokaliseras, för exempel, till höger om den mindre: 1, 2, 3, ... . Naturligtvis kan sekvensen av element skrivas i vilken riktning som helst, och inte bara från vänster till höger. Själva begreppet naturliga tal innehåller redan idén om ordning. Genom att upprätta ett relativt arrangemang av elementen i vilken mängd som helst, sätter vi därigenom en binär ordningsrelation på den, som i varje specifikt fall kan ha sitt eget namn, till exempel "vara mindre", "vara äldre", "innehålls i " , "följ", etc. Symboler för beställning kan också vara olika, till exempel Í osv.

Ordningsrelationens främsta utmärkande drag är att den har egenskapen transitivitet. Så, om vi har att göra med en sekvens av några objekt x 1, x 2, ..., x n,... , beställt till exempel i förhållande till , då från det som utförs x 1x 2... x n..., det bör följa det för vilket par som helst x i, x j element i denna sekvens utförs också x ixj:

För ett par element x ij i relationsgrafen ritar vi en pil från toppen x i till toppen xj, dvs från ett mindre element till ett större.

Ordningsrelationsgrafen kan förenklas genom att använda den sk Hasse diagram. Hasse-diagrammet är konstruerat enligt följande. Mindre element placeras under, och stora är ovanför. Eftersom en sådan regel inte räcker för bilden, ritas linjer som visar vilket av de två elementen som är större och vilket som är mindre än det andra. I det här fallet räcker det att bara rita linjer för att omedelbart följa varandras element. Exempel på Hasse-diagram visas i figuren:

Pilar kan utelämnas i ett Hasse-diagram. Hasse-diagrammet kan roteras i planet, men inte godtyckligt. Vid svängning är det nödvändigt att bibehålla den relativa positionen (ovanför - nedan) för diagrammets hörn:

Attityd R i mängd X kallad förhållande av en strikt ordning, om den är transitiv och asymmetrisk.

En uppsättning där en strikt ordningsrelation definieras kallas ordnad. Till exempel är mängden naturliga tal ordnad efter relationen "mindre än". Men samma uppsättning ordnas också av en annan relation - "delas med" och "större".

Grafen för "mindre än"-relationen i uppsättningen naturliga tal kan representeras som en stråle:

Attityd R i X kallas relationen icke-strikt (partiell) ordning, om den är transitiv och antisymmetrisk. Varje relation av icke-strikt ordning är reflexiv.

Epitetet "partiell" uttrycker det faktum att kanske inte alla delar av en uppsättning är jämförbara i detta avseende.

Typiska exempel på en partiell ordningsrelation är "inte mer", "inte mindre", "inte äldre". Partikeln "inte" i relationernas namn tjänar till att uttrycka deras reflexivitet. Relationen "inte mer" sammanfaller med relationen "mindre än eller lika med", och relationen "inte mindre" är detsamma som "större än eller lika med". I detta avseende kallas också den partiella ordningen slapp i ordning. Ofta betecknas en partiell (icke-strikt) ordningsrelation med symbolen "".

Inklusionsrelationen U mellan delmängder av någon mängd är också en partiell ordning. Uppenbarligen är inte två undergrupper jämförbara i detta avseende. Figuren nedan visar en partiell ordning genom inkludering i uppsättningen av alla delmängder av uppsättningen (1,2,3). Pilarna på grafen, som ska peka uppåt, visas inte.

Uppsättningar på vilka en delorder ges anropas delvis beställd, eller bara ordnad set.

Element X och på delvis beställda set kallas jämföra, om Xpå eller påX. Annars är de inte jämförbara.

En ordnad uppsättning där två valfria element är jämförbara kallas linjärt ordnade, och ordningen är en linjär ordning. Linjär ordning kallas också perfekt ordning.

Till exempel är mängden av alla reella tal med en naturlig ordning, såväl som alla dess delmängder, linjärt ordnade.

Föremål av den mest olika karaktär kan beställas hierarkiskt. Här är några exempel.

Exempel 1: Delarna i en bok är ordnade så att boken innehåller kapitel, kapitel innehåller avsnitt och avsnitt består av underavdelningar.

Exempel 2. Mappar i datorns filsystem är kapslade i varandra och bildar en grenstruktur.

Exempel 3. Relationen föräldrar - barn kan avbildas i form av den sk släktträd, som visar vem som är vems förfader (eller avkomma).

Släpp på uppsättningen MEN ges en delorder. Element X kallad maximum (minimum) element i mängden A, om från det faktum att Xpå(påX), jämställdhet följer X= y. Med andra ord, elementet Xär max (minimum) om för något element på eller så är det inte sant Xpå(påX), eller utförs X=y. Således är det maximala (minsta) elementet större (mindre) än alla andra element som det är i relation till.

Element X kallad störst (minst), om för någon påÎ MEN genomförde på< х (х< у).

En delvis beställd uppsättning kan ha flera minimi- och/eller maximumelement, men det kan inte finnas mer än ett minimum- och maximumelement. Det minsta (största) elementet är också minimum (maximum), men det omvända är inte sant. Bilden till vänster visar en delordning med två minsta och två högsta element, och till höger - en delordning med de minsta och största elementen:

I en ändlig, delvis ordnad uppsättning finns det alltid minimum och maximum element.

En beställd uppsättning som har de största och minsta elementen kallas begränsad . Figuren visar ett exempel på en oändlig avgränsad mängd. Naturligtvis är det omöjligt att avbilda en oändlig uppsättning på en ändlig sida, men det är möjligt att visa principen för dess konstruktion. Här visas inte slingor nära hörnen för att förenkla ritningen. Av samma anledning visas inte bågarna som ger visningen av transitivitetsegenskapen. Figuren visar med andra ord ett Hasse-diagram över ordningsrelationen.

Oändliga uppsättningar kanske inte har ett maximum, eller ett minimum, eller båda. Till exempel har mängden naturliga tal (1,2, 3, ...) det minsta elementet 1 men inget maximum. Mängden av alla reella tal med naturlig ordning har varken det minsta eller största elementet. Men dess delmängd består av alla siffror X< 5 har ett största element (nummer 5) men inget minsta element.

Låt R vara en binär relation på en mängd A.

DEFINITION. binär relation R på en mängd A kallas en ordningsrelation på A eller en ordning på A om den är transitiv och antisymmetrisk.

DEFINITION. En ordningsrelation R på en mängd A kallas icke-strikt om den är reflexiv på A, det vill säga för någon av A.

En ordningsrelation R sägs vara strikt (på A) om den är antireflexiv på A, d.v.s. för någon av A. Antisymmetrin hos en transitiv relation R följer dock av att den är antireflexiv. Därför kan vi ge följande ekvivalenta definition.

DEFINITION. En binär relation R på en mängd A kallas en strikt ordning på A om den är transitiv och antireflexiv på A.

Exempel. 1. Låt vara mängden av alla delmängder av mängden M. Inklusionsrelationen på mängden är en icke-strikt ordningsrelation.

2. Relationer på mängden reella tal är en relation av strikt respektive icke-strikt ordning.

3. Delbarhetsrelationen i mängden naturliga tal är en relation av icke-strikt ordning.

DEFINITION. En binär relation R på en mängd A kallas en förorderrelation eller en förordning på A om den är reflexiv på och transitiv.

Exempel. 1. Förhållandet mellan delbarhet i mängden heltal är inte en ordning. Det är dock reflexivt och transitivt, vilket betyder att det är en förbeställning.

2. Den logiska konsekvensrelationen är en förbeställning på uppsättningen av propositionella logiska formler.

Linjär ordning. Ett viktigt specialfall av en order är en linjär order.

DEFINITION. En ordningsrelation på en mängd kallas en linjär ordningsrelation eller en linjär ordning på om den är kopplad på , d.v.s. för valfritt x, y från A

En ordningsrelation som inte är linjär hänvisas vanligtvis till som en delordningsrelation eller partiell ordning.

Exempel. 1. Relationen "mindre än" på mängden reella tal är en relation av linjär ordning.

2. Ordningsrelationen som accepteras i ordböckerna för det ryska språket kallas lexikografisk. Den lexikografiska ordningen på uppsättningen av ord på det ryska språket är en linjär ordning.

Ordet "ordning" används ofta i en mängd olika frågor. Officeren ger kommandot: "Beräkna i siffror", aritmetiska operationer utförs i en viss ordning, idrottare blir i höjd, det finns en order för att utföra operationer vid tillverkning av en del, ordföljd i en mening.

Vad är vanligt i alla fall när det gäller beställning? Det faktum att ordet "ordning" har en sådan betydelse: det betyder vilket element i denna eller den uppsättningen som följer efter vilket (eller vilket element som föregår vilket).

Attityd" X följer på» transitivt: om « X följer på"och" på följer z", då" x följer z". Dessutom måste detta förhållande vara antisymmetriskt: för två olika X och på, om X följer på, då på följer inte X.

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallad strikt ordningsförhållande, om den är transitiv och antisymmetrisk.

Låt oss ta reda på egenskaperna hos grafen och grafen för strikta ordningsrelationer.

Tänk på ett exempel. På uppsättningen X= (5, 7, 10, 15, 12) relationen R: « X < på". Vi definierar denna relation genom uppräkning av par
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Låt oss bygga dess graf. Vi ser att grafen för denna relation inte har några loopar. Det finns inga dubbla pilar på grafen. Om från X pilen går till på, och från på- i z, sedan från X pilen går till z(Fig. 8).

Den konstruerade grafen låter dig ordna elementen i uppsättningen X i denna ordning:

{5, 7, 10, 12, 15}.

I fig. 6 (§ 6 i detta kapitel) är kolumnerna VII, VIII grafer över relationer av strikt ordning.

Icke strikt orderrelation

Relationen "mindre än" i mängden reella tal är motsatt till relationen "inte mindre". Det är inte längre en strikt ordning. Poängen är kl X = på, relationer X ³ på och på ³ X, dvs. relationen "inte mindre" är reflexiv.

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallad icke strikt ordningsförhållande, om den är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv.

Sådana relationer är sammanslutningar av en strikt ordningsrelation med en identitetsrelation.

Betrakta relationen "inte mer" (£) för uppsättningen

X= (5, 7, 10, 15, 12). Låt oss bygga dess graf (fig. 9).

En icke-strikt ordningsrelationsgraf, till skillnad från en strikt ordningsrelationsgraf, har loopar vid varje vertex.

På fig. 6 (§ 6 i detta kapitel) diagram V, VI är grafer över relationer av icke strikt ordning.

Beställda set

En uppsättning kan visa sig vara ordnad (de säger också helt ordnad) av någon ordningsrelation, medan en annan kan vara oordnad eller delvis ordnad av en sådan relation.

Definition. Mycket av X kallad ordnad något ordningsförhållande R om det gäller två element x, y från X:

(X, på) Î R eller ( y, x) Î R.

Om en Rär en strikt ordningsrelation, då uppsättningen X beställt av detta förhållande under villkoret: if X, på två olika element i en uppsättning X, sedan ( X, på) Î R eller ( y, x) Î R, eller vilka två element som helst x, y set Xär jämlika.

Det är känt från skolans matematikkurs att siffror sätter N , Z , F , R ordnade efter förhållandet "mindre än" (<).

Uppsättningen av delmängder av en viss uppsättning ordnas inte genom införandet av en inklusionsrelation (U), eller en strikt inklusionsrelation (T) i ovanstående mening, eftersom det finns delmängder av vilka ingen ingår i den andra. I detta fall sägs den givna mängden vara delvis ordnad av relationen Í (eller Ì).

Tänk på uppsättningen X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) och den har två relationer "mindre än" och "delbart med". Det är lätt att kontrollera att båda dessa relationer är orderrelationer. Grafen mindre än relation kan representeras som en stråle.

Grafen för relationen "delas med" kan endast representeras på ett plan.

Dessutom finns det hörn på grafen för den andra relationen som inte är förbundna med en pil. Till exempel finns det ingen pil som förbinder siffrorna 4 och 5 (bild 10).

Den första relationen X < på' kallas linjär. I allmänhet, om orderrelationen R(strikt och icke-strikt) på uppsättningen X har egendomen: för någon X, påÎ X eller xRy, eller yRx, då kallas det en linjär ordningsrelation, och mängden Xär en linjärt ordnad uppsättning.

Om uppsättningen X naturligtvis, och består av n element, sedan den linjära ordningen X reducerar till uppräkning av dess element med siffrorna 1,2,3, ..., n.

Linjärt ordnade uppsättningar har ett antal egenskaper:

1°. Låta a, b, c– ställa in element X, ordnade efter relation R. Om man vet det aRv och vRc, då säger vi att elementet i ligger mellan elementen a och Med.

2°. Mycket av X, linjärt ordnad efter relationen R, kallas diskret om mellan två av dess element endast en ändlig uppsättning av element i denna mängd ligger.

3°. En linjärt ordnad mängd kallas tät om det för två distinkta element i denna mängd finns ett element i mängden som ligger mellan dem.

En viktig typ av binära relationer är orderrelationer. Strikt ordningsförhållande - en binär relation som är antireflexiv, antisymmetrisk och transitiv:

beteckning - (a föregått b). Exempel är

relationer "större än", "mindre än", "äldre" etc. För siffror är den vanliga notationen tecknen "<", ">".

Icke strikt orderrelation - binär reflexiv, antisymmetrisk och transitiv relation. Tillsammans med naturliga exempel på icke-strikta ojämlikheter för siffror är ett exempel förhållandet mellan punkter i ett plan eller utrymme "för att vara närmare origo". Icke-strikt olikhet, för heltal och reella tal, kan också betraktas som en disjunktion av likhet och strikta ordningsrelationer.

Om en sportturnering inte ger platsdelning (dvs. varje deltagare får en viss, endast ät-/tilldelad plats), så är detta ett exempel på en strikt ordning; annars icke-strikt.

Orderrelationer etableras på en mängd när, för några eller alla par av dess.element., relationen

företräde . Inställning-för en mängd kallas någon ordningsrelation hans "beställning, och "själv. inställd som ett resultat av detta blir ordnad. Ordningsrelationer kan införas på olika sätt. För en ändlig mängd specificerar varje permutation av dess element "en strikt ordning. En oändlig mängd kan ordnas på ett oändligt antal sätt. Endast de ordningsföljder som har meningsfull betydelse är av intresse.

Om för beställningsrelationen R på uppsättningen .M och några olika element, åtminstone en av relationerna har

aRb eller b Ra, sedan elementen a och b kallad jämförbar annars - makalös.

Helt (eller linjärt) beställt set M -

uppsättning på vilken ordningsrelationen ges, och två valfria element i mängden M jämförbar; delvis beställt set- samma, men par av ojämförliga element är tillåtna.

En linjärt ordnad mängd är en uppsättning punkter på en rät linje med relationen "till höger", en uppsättning heltal, rationella, reella tal med avseende på "större än", etc.

Ett exempel på en delvis ordnad mängd är tredimensionella vektorer, om ordningen ges som om

Det vill säga, om företrädet är uppfyllt i alla tre koordinaterna är vektorerna (2, 8, 5) och (6, 9, 10) jämförbara och vektorerna (2, 8, 5) och (12, 7, 40) ) är inte jämförbara. Detta sätt att ordna kan utökas till vektorer av vilken dimension som helst: vektor

föregår vektorn if

Och gjort

Andra exempel på ordning kan övervägas på uppsättningen av vektorer.

1) delordning: , om

De där. av vektorernas längd; vektorer av samma längd är ojämförliga.

2) linjär ordning: , om a om a-d, sedan b< е ; om jed \u003d c? u6 \u003d e, alltså