Relationen r ges på mängden x. Binära relationer och deras egenskaper

Ansiktsvård

Grunderna i diskret matematik.

Konceptet med en uppsättning. Förhållande mellan uppsättningar.

En uppsättning är en samling objekt som har en viss egenskap, förenade till en enda helhet.

De objekt som utgör en uppsättning kallas element set. För att en viss uppsättning objekt ska kallas en uppsättning måste följande villkor vara uppfyllda:

· Det bör finnas en regel enligt vilken det är mono för att avgöra om ett element tillhör en given samling.

· Det måste finnas en regel genom vilken element kan särskiljas från varandra.

Uppsättningar betecknas med stora bokstäver och dess element med små bokstäver. Sätt att ange uppsättningar:

· Uppräkning av mängdelement. - för ändliga mängder.

Ange en karakteristisk egenskap .

tom uppsättning- kallas en mängd som inte innehåller något element (Ø).

Två mängder sägs vara lika om de består av samma element. , A=B

Mycket av B kallas en delmängd av mängden MEN( , om och endast om alla element i uppsättningen B tillhör uppsättningen A.

Till exempel: , B =>

Fast egendom:

Obs: betrakta vanligtvis en delmängd av samma uppsättning, som kallas universell(u). Den universella uppsättningen innehåller alla element.

Operationer på uppsättningar.

1. Förening 2 mängder A och B kallas en sådan mängd som elementen i mängd A eller mängd B hör till (element i minst en av mängderna).

2.korsning 2 set är en ny uppsättning som består av element som samtidigt tillhör både den första och andra uppsättningen.

Nr: , ,

Fastighet: förbunds- och korsningsverksamhet.

· Kommutativitet.

Associativitet. ;

· Distributivt. ;

4.Tillägg. Om en MENär en delmängd av den universella mängden U, sedan komplementet till uppsättningen MEN för många U(betecknad) är den mängd som består av dessa element i mängden U, som inte hör till uppsättningen MEN.

Binära relationer och deras egenskaper.

Låta MEN och PÅ dessa är uppsättningar av härledd natur, betrakta ett ordnat par av element (a, c) a ϵ A, c ϵ B beställda "enks" kan övervägas.

(a 1, a 2, a 3,...a n), var a 1 ϵ Ai; a 2 ϵA2; …; a n ϵAn;

Kartesisk (direkt) produkt av uppsättningar A 1, A 2, ..., A n, kallas en mängd, som består av ordnade n k av formen .

Nr: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Delmängder av den kartesiska produkten kallas gradkvoten n eller enär relation. Om en n=2, överväg sedan binär relationer. Vad säger de det en 1, en 2är i binär relation R, när a 1 R a 2.

Binär relation på en uppsättning M kallas en delmängd av den direkta produkten av mängden n på sig själv.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) i föregående exempel är förhållandet mindre på uppsättningen M genererar följande uppsättning: ((1,2);(1,3); (2,3))

Binära relationer har olika egenskaper inklusive:

Reflexivitet: .

· Antireflexivitet (irreflexivitet): .

· Symmetri: .

· Antisymmetri: .

· Transitivitet: .

· Asymmetri: .

Typer av relationer.

Ekvivalensförhållande;

· Orderrelation.

v En reflexiv transitiv relation kallas en kvasiordningsrelation.

v En reflexiv symmetrisk transitiv relation kallas en ekvivalensrelation.

v En reflexiv antisymmetrisk transitiv relation kallas en (partiell) ordningsrelation.

v En antireflexiv antisymmetrisk transitiv relation kallas en strikt ordningsrelation.

Definition. Binär relation R kallas en delmängd av par (a,b)∈R den kartesiska produkten A×B, dvs R⊆A×B . Samtidigt många A kallas definitionsdomänen för relationen R, mängden B kallas värdedomänen.

Notation: aRb (dvs a och b står i relation till R). /

Kommentar: om A = B sägs R vara en relation på mängden A .

Sätt att specificera binära relationer

1. Lista (uppräkning av par) för vilka detta förhållande är uppfyllt.

2. Matris. Den binära relationen R ∈ A × A , där A = (a 1 , a 2 ,..., a n), motsvarar en kvadratisk matris av ordningen n , i vilken elementet c ij , som är i skärningspunkten mellan i:et -th rad och j:te kolumnen, är lika med 1 om det finns en relation R mellan a i och a j , eller 0 om den saknas:

Relationsegenskaper

Låt R vara en relation på en mängd A, R ∈ A×A . Då är relationen R:

reflexmässigt om Ɐ a ∈ A: a R a (huvuddiagonalen i matrisen för den reflexiva relationen innehåller endast ettor);

är antireflexiv om Ɐ a ∈ A: a R a (huvuddiagonalen i den reflexiva relationsmatrisen innehåller endast nollor);

symmetrisk om Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (matrisen för en sådan relation är symmetrisk med avseende på huvuddiagonalen, d.v.s. c ij c ji);

antisymmetrisk om Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (i matrisen för en sådan relation finns inga ettor som är symmetriska med avseende på huvuddiagonalen);

transitivt om Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c rad, dvs c ij = 1 , då alla ettor i den j:te raden (låt dessa enheter motsvara k e-koordinater så att, c jk = 1) måste motsvara ettor i den i:te raden i samma k-koordinater, dvs c ik = 1 (och kanske även i andra koordinater).

Uppgift 3.1. Bestäm egenskaperna för relationen R - "att vara en divisor", given på mängden naturliga tal.

Lösning.

förhållande R = ((a,b):a divisor b):

reflexiv, inte antireflexiv, eftersom vilket tal som helst delar sig utan rest: a/a = 1 för alla a∈N ;

inte symmetrisk, antisymmetrisk, till exempel, 2 är en divisor av 4, men 4 är inte en divisor av 2;

transitivt, eftersom om b/a ∈ N och c/b ∈ N, då c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, till exempel, om 6/3 = 2∈N och 18/6 = 3∈N , sedan 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Uppgift 3.2. Bestäm egenskaperna för relationen R - "att vara en bror", given på en uppsättning människor.
Lösning.

Förhållande R = ((a,b):a - bror till b):

icke-reflexiv, anti-reflexiv på grund av den uppenbara frånvaron av aRa för alla a;

inte symmetrisk, eftersom det i allmänhet finns aRb mellan broder a och syster b, men inte bRa ;

inte antisymmetrisk, eftersom om a och b är bröder, då aRb och bRa, men a≠b;

transitivt, om vi kallar bröder människor som har gemensamma föräldrar (far och mor).

Uppgift 3.3. Bestäm egenskaperna för relationen R - "att vara chef" specificerad på uppsättningen av strukturelement

Lösning.

Förhållande R = ((a,b): a - boss b):

icke-reflexiv, anti-reflexiv, om det inte är vettigt i en viss tolkning;
inte symmetrisk, antisymmetrisk, eftersom för alla a≠b aRb och bRa inte är uppfyllda samtidigt;
transitivt, eftersom om a är huvudet på b och b är huvudet på c, så är a huvudet på c .

Bestäm egenskaperna för relationen R i, definierad på mängden Mi av en matris, om:

R1 "har samma återstod när de divideras med 5"; M 1 är mängden naturliga tal.
R2 "vara lika"; M 2 är mängden naturliga tal.
R 3 "bor i samma stad"; M 3 uppsättning människor.
R4 "vara bekant"; M 4 många människor.
R5 ((a,b):(a-b) - jämn; M5 uppsättning tal (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R6 ((a,b):(a+b) - jämn; M6 uppsättning tal (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R7 ((a,b):(a+l)-divisor (a+b)); M7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R8 ((a,b):a-divisor (a+b),a≠1); M 8 är mängden naturliga tal.
R 9 "att vara en syster"; M 9 - mycket folk.
R 10 "att vara en dotter"; M 10 - mycket folk.

Operationer på binära relationer

Låt R 1 , R 1 vara relationer definierade på mängden A .

En förening R1®R2: R1®R2 = ((a,b): (a,b) ∈R1 eller (a,b)∈R2);

genomskärning R1∩R2: R1∩R2 = ((a,b): (a,b) ∈R1 och (a,b)∈R2);

skillnad Ri\R2: Ri\R2 = ((a,b): (a,b) ∈R1 och (a,b) ∉R2);

universell relation U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

tillägg R1U\R1, där U = A x A;

identitetsförhållande I: = ((a;a)/a ∈A);

omvänd relation R-1 1 :R-1 1 = ((a,b): (b,a) ∈Ri);

sammansättning R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), där R 1 ⊂ A × C och R 2 ⊂ C×B;

Definition. Grad av relation R på en mängd A är dess sammansättning med sig själv.

Beteckning:

Definition. Om R ⊂ A × B, så kallas R º R -1 kärnan i relationen R .

Sats 3.1. Låt R ⊂ A × A vara en relation definierad på en mängd A .

R är reflexiv om och endast om (nedan används tecknet ⇔) när I ⊂ R.
R är symmetrisk ⇔ R = R-1.
R är transitiv ⇔ R º R ⊂ R
R är antisymmetrisk ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
R är antireflexiv ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Uppgift 3.4 . Låt R vara relationen mellan mängderna (1,2,3) och (1,2,3,4) som ges av uppräkningen av par: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Dessutom är S en relation mellan mängderna S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Beräkna R -1 , S -1 och S º R. Kontrollera att (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Lösning.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
SºR = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(SºR) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R-1ºS-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (SºR)-on.

Uppgift 3.5 . Låt R vara relationen "...förälder..." och S relationen "...bror..." på mängden av alla människor. Ge en kort muntlig beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 och R º R.

Lösning.

R -1 - relation "... barn ...";

S -1 - relation "... bror eller syster ...";

R º S - relation "... förälder ...";

S -1 º R -1 - relation "... barn ..."

R º R - relation "...mormor eller farfar..."

Uppgifter för självständig lösning

1) Låt R vara relationen "...far...", och S vara relationen "...syster..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, R º R.

2) Låt R vara relationen "...bror...", och S vara relationen "...mor..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Låt R vara relationen "...farfar...", och S vara relationen "...son..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

4) Låt R vara relationen "...dotter...", och S vara relationen "...farmor..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

5) Låt R vara relationen "...systerdotter...", och S vara relationen "...fader..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Låt R vara relationen "syster..." och S vara relationen "mor..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Låt R vara relationen "...mamma...", och S vara relationen "...syster..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Låt R vara relationen "...son...", och S vara relationen "...farfar..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Låt R vara relationen "...syster...", och S vara relationen "...fader..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Låt R vara relationen "...mor...", och S vara relationen "...bror..." på uppsättningen av alla människor. Ge en verbal beskrivning av förhållandet:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Definitioner

1. En binär relation mellan elementen i mängderna A och B är vilken delmängd som helst av den kartesiska produkten RAB, RAA.
2. Om A=B är R en binär relation på A.
3. Notation: (x, y)R xRy.
4. Domänen för den binära relationen R är mängden R = (x: det finns y så att (x, y)R).
5. Området för den binära relationen R är mängden R = (y: det finns x så att (x, y)R).
6. Komplementet av en binär relation R mellan elementen A och B är mängden R = (AB) R.
7. Den omvända relationen för den binära relationen R är mängden R1 = ((y, x) : (x, y)R).
8. Produkten av relationerna R1AB och R2BC är relationen R1 R2 = ((x, y): det finns zB så att (x, z)R1 och (z, y)R2).
9. Relationen f kallas en funktion från A till B om två villkor är uppfyllda:
- a) f \u003d A, f B
- b) för alla x, y1, y2, det faktum att (x, y1)f och (x, y2)f innebär y1=y2.
10. Relationen f kallas en funktion från A till B om i första stycket f = A, f = B.
11. Notation: (x, y)f y = f(x).
12. Identitetsfunktionen iA: AA definieras enligt följande: iA(x) = x.
13. En funktion f kallas en 1-1-funktion om för någon x1, x2, y det faktum att y = f(x1) och y = f(x2) innebär x1=x2.
14. Funktionen f: AB utför en en-till-en-överensstämmelse mellan A och B om f = A, f = B och f är en 1-1 funktion.
15. Egenskaper för den binära relationen R på mängden A:
- - reflexivitet: (x, x)R för alla xA.
- - irreflexivitet: (x, x)R för alla xA.
- - symmetri: (x, y)R (y, x)R.
- - antisymmetri: (x, y)R och (y, x)R x=y.
- - transitivitet: (x, y)R och (y, z)R (x, z)R.
- - dikotomi: antingen (x, y)R eller (y, x)R för alla xA och yA.
16. Mängderna A1, A2, ..., Ar från P(A) bildar en partition av mängden A om
- Аi , i = 1, ..., r,
- A = A1A2...Ar,
- AiAj = , i j.

Delmängder Аi , i = 1, ..., r, kallas partitionsblock.

17. Ekvivalens på en mängd A är en reflexiv, transitiv och symmetrisk relation på A.
18. Ekvivalensklassen för ett element x med ekvivalens R är mängden [x]R=(y: (x, y)R).
19. Faktormängden A med R är uppsättningen av ekvivalensklasser av element i mängden A. Beteckning: A/R.
20. Ekvivalensklasser (element i faktormängden A/R) bildar en partition av mängden A. Omvänt. Varje partition av mängden A motsvarar en ekvivalensrelation R vars ekvivalensklasser sammanfaller med blocken för den specificerade partitionen. Annorlunda. Varje element i mängden A faller i någon ekvivalensklass från A/R. Ekvivalensklasserna antingen inte skär varandra eller sammanfaller.
21. En förbeställning på en mängd A är en reflexiv och transitiv relation på A.
22. En partiell ordning på en mängd A är en reflexiv, transitiv och antisymmetrisk relation på A.
23. Linjär ordning på mängden A är en reflexiv, transitiv och antisymmetrisk relation på A som uppfyller dikotomiegenskapen.

Låt A=(1, 2, 3), B=(a, b). Låt oss skriva ut den kartesiska produkten: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Ta vilken delmängd som helst av denna kartesiska produkt: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Då är R en binär relation på mängderna A och B.

Kommer denna relation att vara en funktion? Låt oss kontrollera uppfyllandet av två villkor 9a) och 9b). Domänen för relationen R är mängden R = (1, 2) (1, 2, 3), det vill säga det första villkoret är inte uppfyllt, så ett av paren måste läggas till R: (3, a) eller (3, b). Om båda paren läggs till, kommer det andra villkoret inte att vara uppfyllt, eftersom ab. Av samma anledning måste ett av paren (1, a) eller (1, b) släppas från R. Således är relationen R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) en funktion. Observera att R inte är en 1-1 funktion.

På de givna mängderna A och B kommer följande relationer också att vara funktioner: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) etc.

Låt A=(1, 2, 3). Ett exempel på en relation på en mängd A är R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Ett exempel på en funktion i mängden A är f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Exempel på problemlösning

1. Hitta R, R, R1, RR, RR1, R1R för R = ((x, y) | x, y D och x+y0).

Om (x, y)R går x och y genom alla reella tal. Därför R = R = D.

Om (x, y)R, då x+y0, så y+x0 och (y, x)R. Därför R1=R.

För alla xD, yD tar vi z=-|max(x, y)|-1, sedan x+z0 och z+y0, dvs. (x, z)R och (z, y)R. Därför RR = RR1 = R1R = D2.

2. För vilka binära relationer R är R1= R sann?

Låt RAB. Två fall är möjliga:

(1) AB. Låt oss ta xAB. Därefter (x, x)R (x, x)Rl (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Motsägelse.
(2) AB=. Eftersom R1BA och RAB, då R1= R= . Av R1 = följer att R = . Av R = följer att R=AB. Motsägelse.

Därför, om A och B, så existerar inte sådana relationer R.

3. På mängden D av reella tal definierar vi relationen R enligt följande: (x, y)R (x-y) är ett rationellt tal. Bevisa att R är en ekvivalens.

Reflexivitet:

För varje xD är x-x=0 ett rationellt tal. Eftersom (x, x)R.

Symmetri:

Om (x, y)R så är x-y = . Då är y-x=-(x-y)=- ett rationellt tal. Därför (y, x)R.

Transitivitet:

Om (x, y)R, (y, z)R, då x-y = och y-z =. Om vi adderar dessa två ekvationer får vi att x-z = + är ett rationellt tal. Därför (x, z)R.

Därför är R en ekvivalens.

4. Avdelningen av planet D2 består av blocken som visas i figur a). Skriv ner ekvivalensrelationen R som motsvarar denna partition och ekvivalensklasserna.

Liknande problem för b) och c).

a) två punkter är ekvivalenta om de ligger på en rät linje av formen y=2x+b, där b är vilket reellt tal som helst.

b) två punkter (x1,y1) och (x2,y2) är ekvivalenta om (heltalsdelen av x1 är lika med heltalsdelen av x2) och (heltalsdelen av y1 är lika med heltalsdelen av y2).

c) Bestäm själv.

Uppgifter för självständig lösning

1. Bevisa att om f är en funktion från A till B och g är en funktion från B till C, så är fg en funktion från A till C.
2. Låt A och B vara finita mängder bestående av m respektive n element.

Hur många binära relationer finns det mellan elementen i mängderna A och B?

Hur många funktioner finns det från A till B?

Hur många 1-1 funktioner finns det från A till B?

För vilka m och n finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan A och B?

3. Bevisa att f uppfyller villkoret f(AB)=f(A)f(B) för alla A och B om och endast om f är en 1-1 funktion.

En relation definierad på en uppsättning kan ha ett antal egenskaper, nämligen:

2. Reflexivitet

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas reflexiv om varje element X set Xär i relation R Med mig själv.

Med hjälp av symboler kan detta förhållande skrivas på följande sätt:

R reflekterande på X Û(" XÎ X) x R x

Exempel. Relationen mellan jämlikhet på uppsättningen av segment är reflexiv, eftersom varje segment är lika med sig själv.

Den reflexiva relationsgrafen har loopar vid alla hörn.

2. Antireflexivitet

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas antireflexiv om inget element X set X inte i förhållande R Med mig själv.

R antireflexmässigt på X Û(" XÎ X)

Exempel. Relationen "direkt X vinkelrätt mot linjen på» på uppsättningen av linjer i planet är antireflexiv, eftersom ingen rät linje i ett plan är vinkelrät mot sig själv.

Grafen för en antireflexiv relation innehåller inga loopar.

Observera att det finns relationer som varken är reflexiva eller antireflexiva. Tänk till exempel på relationen "punkt X symmetrisk till en punkt på» på planets uppsättning punkter.

Punkt X symmetrisk till en punkt X- Sann; punkt på symmetrisk till en punkt på- är falskt, därför kan vi inte hävda att alla punkter på planet är symmetriska med sig själva, och vi kan inte heller hävda att ingen punkt på planet är symmetrisk med sig själv.

3. Symmetri

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas symmetrisk om, från det faktum att elementet Xär i relation R med element på, det följer att elementet påär i relation R med element X.

R symmetrisk X Û(" X, påÎ X) x R y Þ y R x

Exempel. Relationen "direkt X går över gränsen på på uppsättningen av planets raka linjer” är symmetrisk, eftersom om det är rakt X går över gränsen på, sedan den raka linjen på måste gå över gränsen X.

Symmetrisk relationsgraf tillsammans med varje pil från en punkt X exakt på bör innehålla en pil som förbinder samma punkter, men i motsatt riktning.

4. Asymmetri

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas asymmetrisk om för inga element X, på från många X det kan inte hända att elementet Xär i relation R med element på och element påär i relation R med element X.

R asymmetrisk X Û(" X, påÎ X) x R y Þ

Exempel. Attityd" X < på» asymmetriskt, eftersom för alla elementpar X, på kan inte sägas vara samtidigt X < på och på<X.

En graf av en asymmetrisk relation har inga slingor, och om två hörn av grafen är sammankopplade med en pil, är denna pil bara en.

5. Antisymmetri

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas antisymmetrisk om, från det faktum att Xär i relation med på, a påär i relation med X följer det X = y.

R antisymmetrisk X Û(" X, påÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Exempel. Attityd" X£ på» är antisymmetrisk, eftersom villkor X£ på och på£ X exekveras samtidigt endast när X = y.

Grafen för en antisymmetrisk relation har slingor, och om två hörn av grafen är förbundna med en pil, är denna pil bara en.

6. Transitivitet

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas transitiv om för några element X, på, z från många X från vad Xär i relation med på, a påär i relation med z följer det Xär i relation med z.

R transitiv X Û(" X, på, zÎ X) x R y Ù vid RzÞ x Rz

Exempel. Attityd" X flera olika på» är transitiv, eftersom om det första talet är en multipel av det andra och det andra är en multipel av det tredje, så är det första talet en multipel av det tredje.

Graf över en transitiv relation med varje par av pilar från X till på och från på till z innehåller en pil som går från X till z.

7. Anslutning

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas kopplat om för några element X, på från många x xär i relation med på eller påär i relation med X eller x = y.

R ansluten X Û(" X, på, zÎ X) x R y Ú vid RzÚ X= på

Med andra ord: relation R på uppsättningen X kallas kopplat om för några distinkta element X, på från många x xär i relation med på eller påär i relation med X eller x = y.

Exempel. Attityd" X< på» är ansluten, eftersom oavsett vilka reella tal vi tar, är en av dem säkerligen större än den andra eller så är de lika.

På en relationsgraf är alla hörn sammankopplade med pilar.

Exempel. Kolla vilka egenskaper

attityd" X - delare på» definieras på setet

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) denna relation är reflexiv, eftersom varje tal från den givna mängden är en divisor av sig själv;

2) denna relation har inte egenskapen antireflexivitet;

3) symmetriegenskapen är inte uppfylld, eftersom till exempel är 2 en divisor av 4, men 4 är inte en divisor av 2;

4) denna relation är antisymmetrisk: två tal kan samtidigt vara delare av varandra endast om dessa tal är lika;

5) relationen är transitiv, eftersom om ett tal är en divisor av det andra, och det andra är en divisor av det tredje, så kommer det första talet nödvändigtvis att vara en divisor av det tredje;

6) förhållandet har inte egenskapen anslutning, eftersom till exempel är siffrorna 2 och 3 på grafen inte förbundna med en pil, eftersom två distinkta tal 2 och 3 är inte delare av varandra.

Detta förhållande har alltså egenskaperna reflexivitet, asymmetri och transitivitet.

§ 3. Ekvivalensförhållande.
Koppling av ekvivalensrelationen med uppdelningen av en mängd i klasser

Definition. Attityd R på uppsättningen X kallas en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.

Exempel. Tänk på förhållandet" X klasskamrat på» på en uppsättning studenter vid den pedagogiska fakulteten. Den har egenskaper:

1) reflexivitet, sedan varje elev är en klasskamrat för sig själv;

2) symmetri, eftersom om student X på, sedan studenten påär en klasskamrat till en student X;

3) transitivitet, eftersom om student X- klasskamrat på, och studenten på- klasskamrat z, sedan studenten X vara en elevs klasskamrat z.

Således har denna relation egenskaperna reflexivitet, symmetri och transitivitet, och är därför en ekvivalensrelation. Samtidigt kan den pedagogiska fakultetens studenter delas upp i delmängder bestående av studenter inskrivna på samma kurs. Vi får 5 delmängder.

Ekvivalensrelationen är också till exempel förhållandet mellan parallella linjer, förhållandet mellan siffrors likhet. Varje sådan relation är kopplad till uppdelningen av mängden i klasser.

Sats. Om på uppsättningen X givet en ekvivalensrelation, delar den upp denna mängd i parvis disjunkta delmängder (ekvivalensklasser).

Det omvända påståendet är också sant: om någon relation definieras i mängden X, genererar en partition av denna uppsättning i klasser, då är det en ekvivalensrelation.

Exempel. På uppsättningen X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) förhållandet "har samma återstod när dividerat med 3" ges. Är det ett ekvivalensförhållande?

Låt oss bygga en graf över detta förhållande:

Denna relation har egenskaperna reflexivitet, symmetri och transitivitet, därför är den en ekvivalensrelation och delar upp mängden X i ekvivalensklasser. Varje ekvivalensklass kommer att ha tal som, när de divideras med 3, ger samma återstod: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Man tror att ekvivalensklassen bestäms av någon av dess representanter, dvs. godtycklig del av denna klass. Så, klassen av lika bråk kan specificeras genom att specificera vilken bråkdel som helst som tillhör denna klass.

I den inledande kursen i matematik förekommer även ekvivalensrelationer, till exempel "uttryck X och på har samma numeriska värden", "figur X lika med siffran på».

Låt någon icke-tom mängd A ges och R vara någon delmängd av den kartesiska kvadraten av mängd A: R  A  A.

attityd R på uppsättningen MEN kallas en delmängd av en mängd MEN MEN(eller MEN 2 ). På det här sättet attityd det finns ett specialfall av matchning där ankomstområdet är detsamma som avgångsområdet. Precis som en matchning är en relation ett ordnat par där båda elementen tillhör samma uppsättning.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Faktumet att ( a, b)R kan skrivas på följande sätt: a R b. Det står: " a står i relation R till b" eller "mellan a och b relation R håller. Skriv annars: a, b)R eller aR b.

Ett exempel på relationer på en uppsättning tal är följande: "=", "", "", ">", etc. På uppsättningen av anställda i vilket företag som helst, attityden "att vara chef" eller "att vara en underordnad", på en uppsättning släktingar - "att vara en förfader", "att vara en bror", "att vara en far ", etc.

De betraktade relationerna kallas binära (tvåplats) homogena relationer och är de viktigaste i matematik. Tillsammans med dem överväger de också P-lokal eller P-ära relationer:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Eftersom förhållandet är ett specialfall av korrespondens kan alla tidigare beskrivna metoder användas för att ställa in dem.

Uppenbarligen, genom att ställa in förhållandet på ett matrissätt, får vi en kvadratisk matris.

Med en geometrisk (grafisk) representation av sambandet får vi ett diagram som inkluderar:

hörn, betecknade med prickar eller cirklar, som motsvarar elementen i mängden,

och bågar (linjer) som motsvarar par av element som ingår i binära relationer, betecknade med linjer med pilar riktade från vertex som motsvarar elementet a till toppen som motsvarar elementet b , om a Rb .

En sådan figur kallas en riktad graf (eller digraf) av en binär relation.

Uppgift 4.9.1 . Förhållande "att vara en divisor i mängden M = (1, 2, 3, 4)" kan ges matris:

uppräkning: R = ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4));

geometriskt (grafiskt):

1. Skriv ut de ordnade paren som tillhör följande binära relationer på mängden A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Relationen R på mängden X = (a, b, c, d) ges av matrisen

där ordningen på rader och kolumner motsvarar ordningen på de utskrivna elementen. Lista de ordnade paren som hör till den givna relationen. Visa sambandet med hjälp av en graf.

3. Relationen på mängden A = (1, 2, 3, 4) representeras av en graf. Nödvändig:

lista de ordnade paren som hör till R;

skriv ut motsvarande matris;

definiera detta förhållande med hjälp av predikat.

(svar: a-b= 1).

4.10. Grundläggande typer (egenskaper) av binära relationer

Låt den binära relationen R på uppsättningen MEN 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

binär relation R på uppsättningen MEN kallad reflekterande, om för någon aA genomförde aRa, det är ( a,a)R. Den reflexiva relationsmatrisens huvuddiagonal består av ettor. En graf med reflekterande relationer har med nödvändighet slingor vid varje vertex.

Exempel reflexiva relationer: , =,  på uppsättningen av reella tal, "att inte vara chef" på uppsättningen anställda.

binär relation R på uppsättningen kallas A antireflexiv (irreflexiv), om för någon aA håller inte relationen aRa, det är ( a,a)R. Huvuddiagonalen för den irreflexiva relationsmatrisen består av nollor. Grafen för en irreflexiv relation har inga loopar.

Exempel antireflexiva relationer:<, >på mängden reella tal, vinkelräthet av linjer på mängden linjer.

binär relation R på set A kallad symmetrisk, om för någon a, bMEN från aRb skall bRa, det vill säga om ( a, b)R, sedan och ( b, a)R. Den symmetriska kvotmatrisen är symmetrisk kring sin huvuddiagonal ( σ I j = σ ji). Grafen för en symmetrisk relation är inte riktad (kanterna visas utan pilar). Varje par av hörn här är förbundna med en oriktad kant.

Exempel symmetriska relationer:  på mängden reella tal, "att vara släkting" på mängden människor.

binär relation R på set A kallad:

antisymmetrisk, om för någon a, bMEN från aRb och bRa följer det a=b. Det vill säga om ( a, b)R och( b, a)R, då följer det a=b. Den antisymmetriska kvotmatrisen längs huvuddiagonalen har alla 1:or och inga par av 1:or placerade på symmetriska ställen med avseende på huvuddiagonalen. Allt med andra ord σ ii=1, och om σ I j=1, då nödvändigtvis σ ji=0. En antisymmetrisk relationsgraf har slingor vid varje vertex, och hörnen är förbundna med endast en riktad båge.

Exempel antisymmetriska relationer: , ,  på mängden reella tal; ,  på uppsättningar;

asymmetrisk, om för någon a, bMEN från aRb följt av misslyckande bRa, det vill säga om ( a, b)R, sedan ( b, a) R. Skevningsförhållandematrisen längs huvuddiagonalen har nollor ( σ I j=0) alla och inga symmetriska par av ettor (om σ I j=1, då nödvändigtvis σ ji=0). En graf av en asymmetrisk relation har inga slingor, och hörnen är förbundna med en enda riktad båge.

Exempel på asymmetriska samband:<, >på uppsättningen av reella siffror, "att vara en far" på uppsättningen av människor.

binär relation R på set A kallad transitivnym, om för någon a, b, MedMEN från aRb och bRa det följer att och aRMed. Det vill säga om ( a, b)R och( b, Med)R det följer att ( a, Med)R. Den transitiva relationsmatrisen kännetecknas av det faktum att om σ I j=1 och σ jm=1, då nödvändigtvis σ jag är=1. Den transitiva relationsgrafen är sådan att om, till exempel, första-andra och andra-tredje hörnen är sammankopplade med bågar, så finns det nödvändigtvis bågar från den första till den tredje hörnen.

Exempel transitiva relationer:<, , =, >,  på uppsättningen av reella tal; "att vara chef" på en uppsättning anställda.

binär relation R på set A kallad antitransitivnym, om för någon a, b, MedMEN från aRb och bRa det följer att det inte är uppfyllt aRMed. Det vill säga om ( a, b)R och( b, Med)R det följer att ( a, Med) R. Den antitransitiva relationsmatrisen kännetecknas av det faktum att om σ I j=1 och σ jm=1, då nödvändigtvis σ jag är=0. Grafen för den antitransitiva relationen är sådan att om, till exempel, första-andra och andra-tredje hörnen är förbundna med bågar, så finns det nödvändigtvis ingen båge från den första till den tredje vinkeln.

Exempel på antitransitiva relationer: "paritetsfelmatchning" på uppsättningen av heltal; "att vara den omedelbara chefen" på en uppsättning anställda.

Om relationen inte har någon egenskap, kan du genom att lägga till de saknade paren få en ny relation med denna egenskap. Uppsättningen av sådana saknade par kallas stängning förhållande för denna fastighet. Beteckna det som R* . På så sätt kan du få en reflexiv, symmetrisk och transitiv stängning.

Problem 4.10.1. På mängden A = (1, 2, 3, 4) är relationen R=(( a,b)| a,bA, a+b ett jämnt antal). Bestäm typen av detta förhållande.

Lösning. Matrisen för denna relation är:

. Uppenbarligen är förhållandet det reflekterande, eftersom det finns enheter längs huvuddiagonalen. Det symmetriskt: σ 13 = σ 31, σ 24 = σ 42 . transitivt: (1,3)R, (3,1)R och (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R och (2,2)R etc.

Problem 4.10.2. Vilka egenskaper på uppsättningen A = ( a, b, c, d) har den binära relationen R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Lösning . Låt oss konstruera en matris av denna relation och dess graf:

Attityd irreflexivt, eftersom alla σ ii= 0. Det inte symmetriskt eftersom σ 23 = 1, och σ 32 = 0, däremot σ 12 = σ 21 = 1. Attityd inte transitivt eftersom σ12=1, σ23=1 och σ13=0; σ12=1, σ21=1 och σ11=0; men samtidigt σ 12 =1, σ 24 =1 och σ 14 =1.

Uppgift 4.10.3. På mängden A = (1,2,3,4,5) ges relationen R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Bestäm typen av relation och hitta följande stängningar för R:

reflekterande;

symmetrisk;

transitiv.

Lösning. Relationen är irreflexiv eftersom det inte finns något element i formen ( a,a). Asymmetrisk, eftersom den inte innehåller par av formen ( a,b) och ( b,a) och alla diagonala element är 0. Antitransitiv eftersom (1,2)R, (2,3)R, men (1,3)R. På samma sätt (2.4)R, (4.5)R och (2.5)R etc.

reflexiv stängning av den givna relationen R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

symmetrisk förslutning: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

transitiv stängning: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Betrakta grafen för den ursprungliga relationen och den resulterande transitiva.

Uppgifter för självständig lösning.

1. Relationen R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) ges. Bestäm dess typ och hitta stängningar genom reflexivitet, symmetri och transitivitet.

2. Relationen till uppsättningen av ord i det ryska språket definieras enligt följande: a R b om och bara om de har minst en gemensam bokstav. Bestäm typen av relation på uppsättningen A = (ko, vagn, tråd, yxa).

3. Ange exempel på binära relationer på mängden A = (1, 2) och B = (1, 2, 3), vilket skulle vara:

inte reflexiv, inte symmetrisk, inte transitiv;

reflexiv, inte symmetrisk, inte transitiv;

symmetrisk, men inte reflexiv och inte transitiv;

transitiv, men inte reflexiv och inte symmetrisk;

reflexiv, symmetrisk men inte transitiv;

reflexiv, transitiv, men inte symmetrisk;

icke-reflexiv, symmetrisk, transitiv;

reflexiv, symmetrisk, transitiv.