Deformationer och förskjutningar. Hookes lag
Verkan av yttre krafter på en fast kropp leder till uppkomsten av spänningar och spänningar vid punkter i dess volym. I detta fall bestäms spänningstillståndet vid en punkt, förhållandet mellan spänningar på olika platser som passerar genom denna punkt, av statiska ekvationer och beror inte på materialets fysikaliska egenskaper. Det deformerade tillståndet, förhållandet mellan förskjutningar och deformationer fastställs med hjälp av geometriska eller kinematiska överväganden och beror inte heller på materialets egenskaper. För att fastställa ett samband mellan spänningar och töjningar är det nödvändigt att ta hänsyn till materialets faktiska egenskaper och belastningsförhållandena. Matematiska modeller som beskriver sambandet mellan spänningar och töjningar utvecklas på basis av experimentella data. Dessa modeller bör återspegla de verkliga egenskaperna hos material och belastningsförhållanden med en tillräcklig grad av noggrannhet.
De vanligaste för konstruktionsmaterial är modeller av elasticitet och plasticitet. Elasticitet är egenskapen hos en kropp att ändra sin form och dimensioner under påverkan av yttre belastningar och att återställa sin ursprungliga konfiguration när belastningarna tas bort. Matematiskt uttrycks elasticitetsegenskapen i upprättandet av ett en-till-en funktionellt förhållande mellan komponenterna i spänningstensorn och töjningstensorn. Elasticitetsegenskapen återspeglar inte bara materialens egenskaper utan även belastningsförhållandena. För de flesta konstruktionsmaterial visar sig elasticitetsegenskapen vid måttliga värden av yttre krafter, vilket leder till små deformationer och vid låga belastningshastigheter, när energiförlusterna på grund av temperatureffekter är försumbara. Ett material kallas linjärt elastiskt om komponenterna i spänningstensorn och töjningstensorn är sammankopplade genom linjära relationer.
Vid höga belastningsnivåer, när betydande deformationer inträffar i kroppen, förlorar materialet delvis sina elastiska egenskaper: när det är avlastat återställs inte dess ursprungliga dimensioner och form helt, och när yttre belastningar helt avlägsnas fixeras kvarvarande deformationer. I detta fall förhållandet mellan spänningar och töjningar upphör att vara entydigt. Denna materiella egenskap kallas formbarhet. De återstående deformationerna som ackumuleras i processen med plastisk deformation kallas plast.
En hög nivå av stress kan orsaka förstörelse, d.v.s. uppdelningen av kroppen i delar. Fasta kroppar gjorda av olika material förstörs vid olika stor deformation. Fraktur är spröd vid små töjningar och uppstår som regel utan märkbara plastiska deformationer. Sådan förstörelse är typisk för gjutjärn, legerat stål, betong, glas, keramik och vissa andra strukturella material. För lågkolhaltiga stål, icke-järnmetaller, plaster är en plastisk typ av brott karakteristisk i närvaro av betydande restdeformationer. Men uppdelningen av material enligt arten av deras förstörelse i spröda och duktila är mycket villkorad; det hänvisar vanligtvis till vissa standarddriftsförhållanden. Ett och samma material kan, beroende på förhållandena (temperatur, belastningens beskaffenhet, tillverkningsteknik, etc.), uppträda som sprött eller formbart. Till exempel förstörs material som är plastiskt vid normala temperaturer som spröda vid låga temperaturer. Därför är det mer korrekt att inte tala om spröda och plastiska material, utan om materialets spröda eller plastiska tillstånd.
Låt materialet vara linjärt elastiskt och isotropiskt. Låt oss betrakta en elementär volym under förhållanden med ett enaxligt spänningstillstånd (fig. 1), så att spänningstensorn har formen
Under sådan belastning sker en ökning av dimensionerna i axelns riktning Åh, kännetecknas av linjär deformation, som är proportionell mot spänningens storlek
Figur 1. Uniaxiellt spänningstillstånd
Detta förhållande är en matematisk notation Hookes lag, upprättande av ett proportionellt förhållande mellan spänning och motsvarande linjära deformation i ett enaxligt spänningstillstånd. Proportionalitetskoefficienten E kallas longitudinell elasticitetsmodul eller Youngs modul. Den har dimensionen av spänningar.
Tillsammans med ökningen i storlek i handlingsriktningen; under samma spänning minskar dimensionerna i två ortogonala riktningar (fig. 1). Motsvarande deformationer kommer att betecknas med och , och dessa deformationer är negativa för positiva och är proportionella mot:
Med den samtidiga verkan av spänningar längs tre ortogonala axlar, när det inte finns några tangentiella spänningar, är principen för superposition (överlagring av lösningar) giltig för ett linjärt elastiskt material:
Med hänsyn till formler (1 - 4) får vi
|
Tangentialspänningar orsakar vinkeldeformationer, och vid små deformationer påverkar de inte förändringen i linjära dimensioner och därför linjära deformationer. Därför är de också giltiga i fallet med ett godtyckligt stresstillstånd och uttrycker den sk generaliserade Hookes lag.
Vinkeldeformationen beror på skjuvspänningen och deformationerna och beror på spänningarna resp. Mellan motsvarande skjuvspänningar och vinkeldeformationer för en linjärt elastisk isotrop kropp finns det proportionella samband
som uttrycker lagen Haka på skift. Proportionalitetsfaktorn G kallas skjuvmodul. Det är signifikant att den normala spänningen inte påverkar vinkeldeformationerna, eftersom i detta fall endast segmentens linjära dimensioner ändras och inte vinklarna mellan dem (fig. 1).
Ett linjärt samband finns också mellan medelspänningen (2,18), som är proportionell mot den första invarianten av spänningstensorn, och den volymetriska töjningen (2,32), som sammanfaller med töjningstensorns första invariant:
Fig.2. Plan skjuvtöjning
Motsvarande bildförhållande Till kallad bulk elasticitetsmodul.
Formlerna (1 - 7) inkluderar materialets elastiska egenskaper E, , G och TILL, bestämma dess elastiska egenskaper. Dessa egenskaper är dock inte oberoende. För ett isotropiskt material väljs vanligtvis två oberoende elastiska egenskaper som elasticitetsmodulen E och Poissons förhållande. För att uttrycka skjuvmodulen G genom E och , Låt oss betrakta en plan skjuvdeformation under inverkan av skjuvspänningar (Fig. 2). För att förenkla beräkningarna använder vi ett kvadratiskt element med en sida a. Beräkna huvudspänningarna , . Dessa spänningar verkar på platser som ligger i en vinkel mot de ursprungliga platserna. Från fig. 2 hitta sambandet mellan linjär deformation i spänningsriktningen och vinkeldeformation . Den stora diagonalen av romben som kännetecknar deformationen är lika med
För små deformationer
Med tanke på dessa förhållanden
Innan deformationen hade denna diagonal storleken . Då har vi
Från den generaliserade Hookes lag (5) får vi
Jämförelse av den erhållna formeln med Hookes lag med skift (6) ger
Som ett resultat får vi
Genom att jämföra detta uttryck med Hookes volymetriska lag (7) kommer vi fram till resultatet
Mekaniska egenskaper E, , G och Till hittas efter bearbetning av experimentella data från testexemplar för olika typer av belastningar. Ur fysisk synvinkel kan alla dessa egenskaper inte vara negativa. Dessutom följer av det sista uttrycket att Poissons förhållande för ett isotropt material inte överstiger 1/2. Således får vi följande begränsningar för de elastiska konstanterna för ett isotropiskt material:
Gränsvärde leder till gränsvärde , vilket motsvarar ett inkompressibelt material ( vid ). Sammanfattningsvis uttrycker vi spänningarna i termer av deformationer från elasticitetsrelationerna (5). Vi skriver den första av relationerna (5) i formuläret
Genom att använda jämlikhet (9), kommer vi att ha
Liknande relationer kan härledas för och . Som ett resultat får vi
|
Här används relation (8) för skjuvmodulen. Därtill kommer beteckningen
POTENTIELL ENERGI FÖR ELASTISK DEFORMATION
Tänk först på den elementära volymen dV=dxdydz under förhållanden med enaxligt spänningstillstånd (fig. 1). Fixa sidan mentalt x=0(Fig. 3). En kraft verkar på motsatt sida .
Denna kraft fungerar i förskjutning. .
När spänningen ökar från noll till värdet
motsvarande deformation, i kraft av Hookes lag, ökar också från noll till värdet ,
och arbetet är proportionellt mot det skuggade i fig. 4 rutor: 
. Om vi försummar rörelseenergi och förluster förknippade med termiska, elektromagnetiska och andra fenomen, kommer det arbete som utförs i kraft av lagen om energibevarande att bli till potentiell energi ackumulerat under deformationsprocessen: .
F= dU/dV kallad specifik potentiell deformationsenergi, meningsfull potentiell energi ackumuleras per volymenhet av kroppen. Vid ett enaxligt spänningstillstånd
8.2. Grundlagar som används i materialstyrka
Statiks relationer. De skrivs i form av följande jämviktsekvationer.
Hookes lag ( 1678): ju större kraft, desto större deformation, och är dessutom direkt proportionell mot kraften. Fysiskt betyder det att alla kroppar är fjädrar, men med stor styvhet. Med en enkel spänning av balken av den längsgående kraften N= F denna lag kan skrivas som:
Här 
längsgående kraft, l- stånglängd, MEN- dess tvärsnittsarea, E- elasticitetskoefficient av det första slaget ( Youngs modul).
Med hänsyn till formlerna för spänningar och töjningar är Hookes lag skriven enligt följande: 
.
Ett liknande förhållande observeras i experiment mellan skjuvspänningar och skjuvvinkel:
.
G
kalladskjuvmodul
, mindre ofta - elasticitetsmodulen av det andra slaget. Liksom alla lagar har den en gräns för tillämplighet och Hookes lag. Spänning 
, upp till vilken Hookes lag är giltig, kallas proportionalitetsgränsen(detta är den viktigaste egenskapen i sopromat).
Låt oss skildra beroendet
från
grafiskt (fig. 8.1). Denna målning kallas sträckdiagram
. Efter punkt B (dvs. kl 
), är detta beroende inte längre linjärt.
På 
efter lossning uppstår därför kvarvarande deformationer i kroppen 
kallad elastisk gräns
.
När spänningen når värdet σ = σ t börjar många metaller uppvisa en egenskap som kallas fluiditet. Detta innebär att även under konstant belastning fortsätter materialet att deformeras (dvs. beter sig som en vätska). Grafiskt betyder detta att diagrammet är parallellt med abskissan (DL-plot). Spänningen σ t vid vilken materialet flyter kallas sträckgräns .
Vissa material (Art. 3 - byggstål) börjar efter ett kort flöde att motstå igen. Materialets motstånd fortsätter upp till ett visst maxvärde σ pr, sedan börjar gradvis förstörelse. Värdet σ pr - kallas brottgräns (synonym för stål: draghållfasthet, för betong - kubisk eller prismatisk hållfasthet). Följande beteckningar används också:
=R b
Ett liknande beroende observeras i experiment mellan tangentiella spänningar och skjuvningar.
3) Dugamel–Neumanns lag (linjär termisk expansion):
I närvaro av en temperaturskillnad ändrar kroppen sin storlek och är direkt proportionell mot denna temperaturskillnad.
Låt det vara en temperaturskillnad 
. Sedan tar denna lag formen:
Här α - linjär termisk expansionskoefficient, l - stavlängd, Δ l- dess förlängning.
4) krypningslagen .
Studier har visat att alla material är mycket inhomogena i det lilla. Den schematiska strukturen av stål visas i fig. 8.2.
Vissa av komponenterna har flytande egenskaper, så många material under belastning får ytterligare förlängning med tiden. 
(fig.8.3.) (metaller vid höga temperaturer, betong, trä, plast - vid normala temperaturer). Detta fenomen kallas krypa material.
För en vätska är lagen sann: hur mer styrka, desto högre hastighet har kroppen i vätskan. Om detta förhållande är linjärt (dvs kraften är proportionell mot hastigheten), kan det skrivas som:
E 
Om vi går över till relativa krafter och relativa förlängningar får vi
Här är indexet " cr
" betyder att den del av förlängningen som orsakas av materialets krypning beaktas. Mekanisk egenskap 
kallas viskositetskoefficienten.
Lagen om energihushållning.
Tänk på en laddad balk
Låt oss introducera konceptet att flytta en punkt, till exempel,
- vertikal rörelse av punkt B;
- horisontell förskjutning av punkt C.
Krafter 
medan du jobbar U.
Med tanke på att krafterna 
börjar öka gradvis och antar att de ökar i proportion till förskjutningar får vi:
.
Enligt naturvårdslagen: inget arbete försvinner, det går åt till annat arbete eller går in i en annan energi (energiär det arbete som kroppen kan göra.
Krafternas arbete 
, spenderas på att övervinna motståndet från de elastiska krafterna som uppstår i vår kropp. För att beräkna detta arbete tar vi hänsyn till att kroppen kan betraktas som bestående av små elastiska partiklar. Låt oss överväga en av dem:
Från sidan av närliggande partiklar verkar en stress på den 
. Den resulterande stressen blir 
Under påverkan 
partikeln är långsträckt. Per definition är förlängning förlängningen per längdenhet. Sedan:
Låt oss beräkna arbetet dW att kraften gör det dN (här tas även hänsyn till att krafterna dN börjar öka gradvis och de ökar i proportion till förskjutningar):
För hela kroppen får vi:
.
Arbete W engagerad 
, ringde elastisk deformationsenergi.
Enligt lagen om energibevarande:
6)Princip möjliga rörelser .
Detta är ett av sätten att skriva lagen om energibevarande.
Låt krafter verka på balken F 1
,
F 2
,
…
. De får punkter att röra sig i kroppen 
och stress 
. Låt oss ge kroppen ytterligare små möjliga förskjutningar
. I mekanik, registrering av formuläret 
betyder frasen "möjligt värde av kvantiteten a". Dessa möjliga rörelser kommer att orsaka i kroppen ytterligare möjliga deformationer
. De kommer att leda till uppkomsten av ytterligare yttre krafter och spänningar. 
,
δ.
Låt oss beräkna externa krafters arbete på ytterligare möjliga små förskjutningar:
Här 
- ytterligare förskjutningar av de punkter där krafter appliceras F 1
,
F 2
,
…
Betrakta igen ett litet element med ett tvärsnitt dA och längd dz (se fig. 8.5. och 8.6.). Enligt definitionen ytterligare förlängning dz av detta element beräknas med formeln:
dz= dz.
Dragkraften hos elementet kommer att vara:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Arbetet med inre krafter på ytterligare förskjutningar beräknas för ett litet element enligt följande:
dW = dN dz = dA dz = dV
FRÅN 
genom att summera töjningsenergin för alla små element får vi den totala töjningsenergin:
Lagen om energihushållning W = U ger:
.
Detta förhållande kallas principen om möjliga rörelser(även kallad principen om virtuella rörelser). På samma sätt kan vi överväga fallet när skjuvspänningar också verkar. Då kan man få att töjningsenergin W lägg till följande term:
Här - skjuvspänning, - skjuvning av ett litet element. Sedan principen om möjliga rörelser kommer att ha formen:
Till skillnad från den tidigare formen att skriva lagen om energibevarande, finns det inget antagande här om att krafterna börjar öka gradvis, och de ökar i proportion till förskjutningarna
7) Poissoneffekt.
Tänk på provets förlängningsmönster:
Fenomenet med förkortning av ett kroppselement tvärs över förlängningsriktningen kallas Poissoneffekt.
Låt oss hitta den longitudinella relativa deformationen.
Den tvärgående relativa deformationen kommer att vara:
Poissons förhållande kvantitet kallas:
För isotropa material (stål, gjutjärn, betong) Poissons förhållande
Detta innebär att i tvärriktningen deformationen mindre längsgående.
Notera
: modern teknik kan skapa kompositmaterial med ett Poisson-förhållande > 1, det vill säga den tvärgående deformationen kommer att vara större än den längsgående. Detta är till exempel fallet för material förstärkt med hårda fibrer i låg vinkel. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, dvs. ju mindre 
, desto större är Poissons förhållande.
Fig.8.8. Fig.8.9
Ännu mer överraskande är materialet som visas i (Fig. 8.9.), Och för sådan förstärkning sker ett paradoxalt resultat - längsgående förlängning leder till en ökning av kroppens storlek i tvärriktningen.
8) Generaliserade Hookes lag.
Betrakta ett element som sträcker sig i längsgående och tvärgående riktningar. Låt oss hitta deformationen som uppstår i dessa riktningar. 
Beräkna deformationen 
som härrör från handlingen 
:
Tänk på deformationen från åtgärden 
, som är resultatet av Poisson-effekten:
Den totala deformationen blir:
Om det fungerar och 
, lägg sedan till ytterligare en förkortning i x-axelns riktning 
.
Följaktligen: 
Liknande: 
Dessa förhållanden kallas generaliserade Hookes lag.
Intressant nog, när man skriver Hookes lag, görs ett antagande om töjningstöjningarnas oberoende från skjuvspänningar (om oberoende av skjuvspänningar, vilket är samma sak) och vice versa. Experiment bekräftar väl dessa antaganden. Framöver noterar vi att styrkan tvärtom starkt beror på kombinationen av skjuvning och normala spänningar.
Notera: Ovanstående lagar och antaganden bekräftas av många direkta och indirekta experiment, men som alla andra lagar har de ett begränsat tillämpningsområde.
Hookes lag brukar kallas linjära samband mellan töjningskomponenter och spänningskomponenter.
Ta en elementär rektangulär parallellepiped med ytor parallella med koordinataxlarna, laddad med normal spänning σ x likformigt fördelade över två motsatta ytor (fig. 1). Vart i y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Fram till proportionalitetsgränsen ges den relativa förlängningen av formeln
var Eär dragmodulen. För stål E = 2*10 5 MPa, därför är deformationerna mycket små och mäts i procent eller i 1 * 10 5 (i töjningsmätinstrument som mäter deformationer).
Förlängning av ett element i axelriktningen Xåtföljs av dess avsmalning i tvärriktningen, bestämt av töjningskomponenterna
var μ är en konstant som kallas det tvärgående kompressionsförhållandet eller Poissons förhållande. För stål μ tas vanligtvis lika med 0,25-0,3.
Om det aktuella elementet samtidigt belastas med normala spänningar σ x, y, σz likformigt fördelade över dess ytor, sedan tillkommer deformationer
Genom att överlagra de deformationskomponenter som orsakas av var och en av de tre spänningarna får vi sambanden
Dessa förhållanden bekräftas av ett flertal experiment. applicerad överläggsmetod eller superpositioner att hitta de totala töjningarna och spänningarna orsakade av flera krafter är legitimt så länge som töjningarna och spänningarna är små och linjärt beroende av de applicerade krafterna. I sådana fall försummar vi små förändringar i den deformerbara kroppens dimensioner och små förskjutningar av appliceringspunkterna för yttre krafter och baserar våra beräkningar på kroppens initiala dimensioner och initiala form.
Det bör noteras att linjäriteten i sambanden mellan krafter och töjningar ännu inte följer av förskjutningarnas småhet. Så till exempel i en komprimerad F stång belastad med en extra tvärkraft R, även med en liten avböjning δ det finns ett extra ögonblick M = Q5, vilket gör problemet icke-linjärt. I sådana fall är de totala avböjningarna inte linjära funktioner av krafterna och kan inte erhållas med en enkel överlagring (superposition).
Det har experimentellt fastställts att om skjuvspänningar verkar på alla ytor av elementet, beror förvrängningen av motsvarande vinkel endast på motsvarande skjuvspänningskomponenter.
Konstant G kallas skjuvmodul eller skjuvmodul.
Det allmänna fallet med deformation av ett element från verkan av tre normala och tre tangentiella spänningskomponenter på det kan erhållas genom superposition: tre linjära deformationer bestämt av uttryck (5.2a) överlagras med tre skjuvdeformationer som bestäms av relationer (5.2b) . Ekvationerna (5.2a) och (5.2b) bestämmer sambandet mellan töjnings- och spänningskomponenterna och kallas generaliserade Hookes lag. Låt oss nu visa att skjuvmodulen G uttryckt i termer av dragmodul E och Poissons förhållande μ . För att göra detta, överväg ett specialfall där σ x = σ , y = -σ och σz = 0.
Klipp ut elementet abcd plan parallella med axeln z och lutande i en vinkel av 45° mot axlarna X och på(Fig. 3). Som följer av jämviktsförhållandena för elementet 0 före Kristus, normala påfrestningar σ v på alla sidor av elementet abcdär lika med noll och skjuvspänningar är lika
Detta stresstillstånd kallas rent skifte. Ekvationerna (5.2a) antyder det
det vill säga förlängningen av det horisontella elementet 0 cär lika med förkortningen av det vertikala elementet 0 b: εy = -ε x.
Vinkel mellan ansikten ab och före Kristus förändringar och motsvarande mängd skjuvtöjning γ kan hittas från triangeln 0 före Kristus:
Därav följer det
När en stav sträcks och komprimeras ändras dess längd och tvärsnittsdimensioner. Om vi mentalt väljer från staven i odeformerat tillstånd ett element av längd dx, sedan efter deformation kommer dess längd att vara lika med dx((Fig. 3.6). I detta fall den absoluta förlängningen i axelns riktning Åh kommer att vara lika med
och relativ linjär deformation e x definieras av jämlikheten
Sedan axeln Åh sammanfaller med stavens axel, längs vilken externa belastningar verkar, kallar vi deformationen e x longitudinell deformation, för vilken indexet kommer att utelämnas nedan. Deformationer i riktningar vinkelräta mot axeln kallas tvärgående deformationer. Om det anges med b karaktäristisk storlek på tvärsnittet (fig. 3.6), då bestäms tvärdeformationen av förhållandet 
Relativa linjära deformationer är dimensionslösa storheter. Det har fastställts att de tvärgående och längsgående deformationerna under den centrala spänningen och kompressionen av stången är sammankopplade av beroendet
Kvantiteten v som ingår i denna likhet kallas Poissons förhållande eller tvärtöjningskoefficient. Denna koefficient är en av materialets huvudsakliga elasticitetskonstanter och kännetecknar dess förmåga till tvärgående deformationer. För varje material bestäms den från ett drag- eller kompressionstest (se § 3.5) och beräknas med formeln
Som följer av likhet (3.6) har längsgående och tvärgående töjningar alltid motsatta tecken, vilket är en bekräftelse på det uppenbara faktum - vid sträckning minskar dimensionerna på tvärsnittet, och när de komprimeras ökar de.
Poissons förhållande är olika för olika material. För isotropa material kan det ta värden från 0 till 0,5. Till exempel för korkträ är Poissons förhållande nära noll, medan det för gummi är nära 0,5. För många metaller vid normala temperaturer är värdet på Poissons förhållande i intervallet 0,25 + 0,35.
Som fastställts i många experiment, för de flesta konstruktionsmaterial vid små töjningar, finns det ett linjärt samband mellan spänningar och töjningar
Denna proportionalitetslag fastställdes först av den engelske vetenskapsmannen Robert Hooke och kallas Hookes lag.
Konstanten som ingår i Hookes lag E kallas elasticitetsmodulen. Elasticitetsmodulen är den andra huvudsakliga elasticitetskonstanten för ett material och kännetecknar dess styvhet. Eftersom töjningar är dimensionslösa storheter, följer det av (3.7) att elasticitetsmodulen har dimensionen spänning.
I tabell. 3.1 visar värdena för elasticitetsmodulen och Poissons förhållande för olika material.
Vid design och beräkning av strukturer, tillsammans med beräkning av spänningar, är det också nödvändigt att bestämma förskjutningarna av enskilda punkter och noder av strukturer. Överväg en metod för att beräkna förskjutningar under central spänning och kompression av stänger.
Absolut elementförlängningslängd dx(Fig. 3.6) enligt formel (3.5) är
Tabell 3.1
|
Material namn |
Elasticitetsmodul, MPa |
Koefficient Poisson |
|
Kolstål |
||
|
aluminiumlegeringar |
||
|
Titanlegeringar |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
längs fibrerna |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
över fibrerna |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
murverk |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Glasfiber SVAM |
||
|
Textolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Gummi på gummi |
Om vi integrerar detta uttryck i intervallet från 0 till x får vi
var dem) - axiell förskjutning av en godtycklig sektion (Fig. 3.7), och C= och( 0) - axiell förskjutning av den initiala sektionen x = 0. Om denna sektion är fixerad, då är u(0) = 0 och förskjutningen av en godtycklig sektion är
Förlängningen eller förkortningen av stången är lika med den axiella förskjutningen av dess fria ände (fig. 3.7), vars värde vi får från (3.8), förutsatt att x = 1:
Ersätter uttrycket deformationen i formeln (3.8)? från Hookes lag (3.7) får vi
För en stav gjord av ett material med en konstant elasticitetsmodul E axiella förskjutningar bestäms av formeln
Integralen som ingår i denna jämlikhet kan beräknas på två sätt. Det första sättet är att analytiskt skriva funktionen Åh) och efterföljande integration. Den andra metoden bygger på att den aktuella integralen är numeriskt lika med tomtarean a i sektionen. Introduktion av notationen
Låt oss överväga speciella fall. För ett spö sträckt av en koncentrerad kraft R(ris. 3.3, a), längsgående kraft. / V är konstant längs längden och är lika med R. Spänningarna a enligt (3.4) är också konstanta och lika med 
Sedan från (3.10) får vi
Det följer av denna formel att om spänningarna i en viss sektion av stången är konstanta, så ändras förskjutningarna enligt en linjär lag. Ersätter i den sista formeln x = 1, hitta stavens förlängning:
Arbete EF kallad stavens styvhet vid spänning och kompression. Ju större detta värde är, desto mindre förlängning eller förkortning av stången.
Betrakta en stång under inverkan av en jämnt fördelad last (Fig. 3.8). Den längsgående kraften i en godtycklig sektion, placerad på ett avstånd x från fästet, är lika med
Dela N på F, vi får formeln för stress
Att ersätta detta uttryck i (3.10) och integrera, finner vi
Den största förskjutningen, lika med förlängningen av hela stången, erhålls genom att ersätta x = / i (3.13):
Av formlerna (3.12) och (3.13) kan man se att om spänningarna beror linjärt på x, så ändras förskjutningarna enligt lagen för en kvadratisk parabel. Tomter N,åh och och visad i fig. 3.8.
Allmänna länkfunktioner för differentiellt beroende dem) och a(x), kan erhållas från relation (3.5). Genom att ersätta e från Hookes lag (3.7) i denna relation finner vi
Av detta beroende följer i synnerhet mönstren för förändring av funktionen som noteras i exemplen ovan dem).
Dessutom kan det noteras att om påfrestningarna i något avsnitt försvinner, då på diagrammet och det kan finnas ett extremum i detta avsnitt.
Som ett exempel, låt oss bygga ett diagram och för staven som visas i fig. 3.2, sätta E- 10 4 MPa. Beräknar tomtareor handla om för olika områden hittar vi:
sektion x = 1 m:
sektion x = 3 m:
sektion x = 5 m:
På den övre delen av diagramraden ochär en kvadratisk parabel (fig. 3.2, e). I detta fall finns det ett extremum i sektionen x = 1 m. I den nedre delen är diagrammets karaktär linjär.
Den totala förlängningen av stången, som i detta fall är lika med
kan beräknas med formlerna (3.11) och (3.14). Eftersom den nedre delen av stången (se fig. 3.2, a) sträckt med våld R ( dess förlängning enligt (3.11) är lika med
Kraftåtgärd R (överförs också till den övre delen av stången. Dessutom komprimeras den med kraft R 2 och sträcks av en jämnt fördelad last q. I enlighet med detta beräknas förändringen i dess längd med formeln
Genom att summera värdena för A/ och A/ 2 får vi samma resultat som ovan.
Sammanfattningsvis bör det noteras att trots det lilla värdet av förskjutningar och förlängningar (förkortningar) av stavar under spänning och kompression, kan de inte försummas. Förmågan att beräkna dessa kvantiteter är viktig i många tekniska problem (till exempel vid montering av strukturer), såväl som för att lösa statiskt obestämda problem.
