कडक ऑर्डर संबंध. कठोर ऑर्डर संबंध कठोर रेखीय ऑर्डर संबंधात गुणधर्म असतात

"ऑर्डर" हा शब्द बर्‍याचदा विविध समस्यांमध्ये वापरला जातो. अधिकारी आज्ञा देतो: "संख्येच्या क्रमाने गणना करा", अंकगणित ऑपरेशन्स एका विशिष्ट क्रमाने केले जातात, अॅथलीट उंचीवर जातात, सर्व आघाडीच्या बुद्धिबळपटूंना तथाकथित एलो गुणांकानुसार एका विशिष्ट क्रमाने व्यवस्था केली जाते (एक अमेरिकन प्राध्यापक ज्याने सिस्टम गुणांक विकसित केले, खेळाडूंचे सर्व यश आणि अपयश विचारात घेण्यास परवानगी दिली), चॅम्पियनशिपनंतर सर्व फुटबॉल संघ एका विशिष्ट क्रमाने आयोजित केले जातात, इत्यादींनी गाढव लावले नाही "!).

एकामागून एक विशिष्ट संचाच्या घटकांची मांडणी करून, आम्ही त्याद्वारे त्यांना क्रम देतो किंवा त्यांच्यामध्ये काही संबंध प्रस्थापित करतो. एका रांगेत.सर्वात सोपे उदाहरण म्हणजे नैसर्गिक संख्यांचा नैसर्गिक क्रम. त्याची नैसर्गिकता या वस्तुस्थितीमध्ये आहे की कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्यांसाठी आपल्याला माहित आहे की त्यापैकी कोणती दुसऱ्याला फॉलो करते किंवा त्यापैकी कोणती संख्या दुसऱ्यापेक्षा मोठी आहे, म्हणून आपण नैसर्गिक संख्यांची क्रमवारी लावू शकतो जेणेकरून मोठी संख्या स्थित असेल. उदाहरणार्थ, लहानाच्या उजवीकडे: 1, 2, 3, ... . अर्थात, घटकांचा क्रम डावीकडून उजवीकडे नव्हे तर कोणत्याही दिशेने लिहिला जाऊ शकतो. नैसर्गिक संख्यांच्या संकल्पनेत आधीच ऑर्डरची कल्पना आहे. कोणत्याही संचाच्या घटकांची काही सापेक्ष व्यवस्था स्थापित करून, आम्ही त्यावर काही बायनरी ऑर्डर रिलेशन सेट करतो, ज्याचे प्रत्येक विशिष्ट बाबतीत स्वतःचे नाव असू शकते, उदाहरणार्थ, "कमी असणे", "मोठे असणे", "यात समाविष्ट असणे. ", "फॉलो", इ. ऑर्डरसाठी चिन्हे देखील भिन्न असू शकतात, उदाहरणार्थ, Í, इ.

ऑर्डर रिलेशनचे मुख्य वेगळे वैशिष्ट्य म्हणजे त्यात संक्रमणाची मालमत्ता आहे. तर, जर आपण काही वस्तूंचा क्रम हाताळत आहोत x 1, x 2, ..., x n,... , आदेश दिले, उदाहरणार्थ, संबंधात, नंतर काय केले जाते पासून x १x २... x n..., कोणत्याही जोडीसाठी ते अनुसरण केले पाहिजे x i, x jया क्रमाचे घटक देखील केले जातात x ix j:

घटकांच्या जोडीसाठी x ijरिलेशनशिप ग्राफमध्ये, आम्ही वरच्या बाजूने एक बाण काढतो x iशीर्षस्थानी x j, म्हणजे एका लहान घटकापासून मोठ्या घटकापर्यंत.

ऑर्डर रिलेशन आलेख तथाकथित वापरून सरलीकृत केले जाऊ शकते हॅसे आकृत्या.हॅसे आकृती खालीलप्रमाणे तयार केली आहे. लहान घटक खाली ठेवलेले आहेत आणि मोठे घटक वर आहेत. असा एक नियम प्रतिमेसाठी पुरेसा नसल्यामुळे, दोन घटकांपैकी कोणता घटक मोठा आहे आणि कोणता इतर घटकांपेक्षा लहान आहे हे दर्शविणाऱ्या रेषा काढल्या जातात. या प्रकरणात, एकमेकांच्या घटकांचे त्वरित अनुसरण करण्यासाठी फक्त रेषा काढणे पुरेसे आहे. हॅसे आकृतीची उदाहरणे आकृतीमध्ये दर्शविली आहेत:

हॅसे डायग्राममध्ये बाण वगळले जाऊ शकतात. हॅसे आकृती विमानात फिरवता येते, परंतु अनियंत्रितपणे नाही. वळताना, आकृतीच्या शिरोबिंदूंची सापेक्ष स्थिती (वर - खाली) राखणे आवश्यक आहे:

वृत्ती आरगर्दीत एक्सम्हणतात कठोर आदेशाचा संबंध,जर ते सकर्मक आणि असममित असेल.

एक संच ज्यामध्ये कठोर ऑर्डर संबंध परिभाषित केला जातो त्याला म्हणतात व्यवस्थितउदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्यांचा संच "त्यापेक्षा कमी" या संबंधाने क्रमबद्ध केला जातो. परंतु समान संच दुसर्‍या नात्याद्वारे देखील क्रमाने दिलेला आहे - “विभाजित आहे” आणि “मोठे”.

नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये "त्यापेक्षा कमी" संबंधाचा आलेख किरण म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो:

वृत्ती आरमध्ये एक्ससंबंध म्हणतात कठोर नसलेला (आंशिक) ऑर्डर, जर ते सकर्मक आणि विषमताविरोधी असेल. नॉनस्ट्रिक्ट ऑर्डरचा प्रत्येक संबंध रिफ्लेक्सिव्ह असतो.

"आंशिक" हे विशेषण हे वस्तुस्थिती व्यक्त करते की संचाचे सर्व घटक या संदर्भात तुलना करता येत नाहीत.

आंशिक ऑर्डर संबंधाची विशिष्ट उदाहरणे "अधिक नाही", "कमी नाही", "जुने नाही" आहेत. नातेसंबंधांच्या नावातील "नाही" हा कण त्यांची रिफ्लेक्सिव्हिटी व्यक्त करतो. "आणखी नाही" हे संबंध "किंवा त्यापेक्षा कमी किंवा समान" या संबंधाशी जुळतात आणि "कमी नाही" हे संबंध "त्यापेक्षा मोठे किंवा समान" सारखे आहे. या संदर्भात, आंशिक आदेश देखील म्हणतात शिथिलक्रमाने बर्‍याचदा, "" चिन्हाद्वारे आंशिक (नॉन-कठोर) ऑर्डर संबंध दर्शविला जातो.

काही संचाच्या उपसंचांमधील U समावेशन संबंध देखील एक आंशिक क्रम आहे. अर्थात, या संदर्भात कोणतेही दोन उपसंच तुलना करता येत नाहीत. खालील आकृती संच (1,2,3) च्या सर्व उपसंचांच्या संचावर समावेश करून आंशिक क्रम दर्शवते. आलेखावरील बाण, जे वरच्या दिशेने निर्देशित केले पाहिजेत, ते दर्शविलेले नाहीत.

ज्या सेटवर आंशिक ऑर्डर दिली जाते त्यांना कॉल केले जाते अंशतः आदेश दिलेला,किंवा फक्त व्यवस्थितसंच

घटक एक्सआणि येथेअर्धवट ऑर्डर केलेले संच म्हणतात तुलना करातर एक्सयेथेकिंवा येथेएक्स.अन्यथा, त्यांची तुलना होऊ शकत नाही.

एक क्रमबद्ध संच ज्यामध्ये कोणतेही दोन घटक तुलना करता येतात त्याला म्हणतात रेखीय क्रमाने, आणि ऑर्डर एक रेखीय क्रम आहे. रेखीय क्रमाला परिपूर्ण ऑर्डर देखील म्हणतात.

उदाहरणार्थ, नैसर्गिक क्रमासह सर्व वास्तविक संख्यांचा संच, तसेच त्याचे सर्व उपसंच, रेखीय क्रमाने दिलेले आहेत.

सर्वात वैविध्यपूर्ण निसर्गाच्या वस्तू ऑर्डर केल्या जाऊ शकतात श्रेणीबद्धपणे.येथे काही उदाहरणे आहेत.

उदाहरण 1: पुस्तकाचे भाग क्रमाने दिलेले आहेत जेणेकरून पुस्तकात अध्याय आहेत, अध्यायांमध्ये विभाग आहेत आणि विभागांमध्ये उपविभाग आहेत.

उदाहरण 2. कॉम्प्युटर फाइल सिस्टीममधील फोल्डर्स एकमेकांमध्ये नेस्टेड केले जातात, एक शाखा संरचना तयार करतात.

उदाहरण 3. पालक-मुलांचे नाते तथाकथित स्वरूपात चित्रित केले जाऊ शकते वंशावळ,जे कोणाचे पूर्वज (किंवा संतती) कोण आहे हे दर्शविते.

सेटवर येऊ द्या परंतुआंशिक आदेश दिले. घटक एक्सम्हणतात कमाल (किमान)संच A चा घटक, जर वस्तुस्थिती असेल तर एक्सयेथे(येथेएक्स),समानता खालीलप्रमाणे आहे एक्स= yदुसऱ्या शब्दांत, घटक एक्सकोणत्याही घटकासाठी कमाल (किमान) आहे येथेकिंवा ते खरे नाही एक्सयेथे(येथेएक्स), किंवा केले जाते एक्स=yअशा प्रकारे, कमाल (किमान) घटक इतर सर्व घटकांपेक्षा जास्त (कमी) आहे ज्यांच्याशी तो संबंध आहे.

घटक एक्सम्हणतात सर्वात मोठा (सर्वात लहान),जर कोणत्याहीसाठी येथेÎ परंतुकेले येथे< х (х< у).

अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये अनेक किमान आणि/किंवा कमाल घटक असू शकतात, परंतु एकापेक्षा जास्त किमान आणि कमाल घटक असू शकत नाहीत. सर्वात लहान (सर्वात मोठे) घटक देखील किमान (कमाल) आहे, परंतु संवाद सत्य नाही. डावीकडील आकृती दोन किमान आणि दोन कमाल घटकांसह आंशिक क्रम दर्शविते आणि उजवीकडे - सर्वात लहान आणि सर्वात मोठ्या घटकांसह आंशिक क्रम:

मर्यादित अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये, नेहमी किमान आणि कमाल घटक असतात.

सर्वात मोठा आणि सर्वात लहान घटक असलेल्या ऑर्डर केलेल्या सेटला म्हणतात मर्यादितआकृती अनंत बाउंडेड सेटचे उदाहरण दाखवते. अर्थात, मर्यादित पृष्ठावर अनंत संचाचे चित्रण करणे अशक्य आहे, परंतु त्याच्या बांधकामाचे तत्त्व दर्शविणे शक्य आहे. येथे रेखाचित्र सुलभ करण्यासाठी शिरोबिंदूंजवळील लूप दाखवले जात नाहीत. त्याच कारणास्तव, ट्रान्झिटिव्हिटी गुणधर्माचे प्रदर्शन प्रदान करणारे आर्क्स दर्शविले जात नाहीत. दुसऱ्या शब्दांत, आकृती ऑर्डर रिलेशनचे हॅसे आकृती दर्शवते.

अनंत संचांमध्ये कमाल किंवा किमान किंवा दोन्ही असू शकत नाहीत. उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये (1,2, 3, ...) सर्वात लहान घटक 1 आहे परंतु कमाल नाही. नैसर्गिक क्रमाने सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठा घटक नसतो. तथापि, त्याचा उपसंच सर्व संख्यांचा समावेश होतो एक्स< 5 मध्ये सर्वात मोठा घटक आहे (संख्या 5) परंतु सर्वात लहान घटक नाही.

R ला संच A वर बायनरी संबंध समजा.

व्याख्या. बायनरी संबंधसंच A वरील R ला A वरील ऑर्डर संबंध म्हणतात किंवा A वरील ऑर्डर संक्रामक आणि प्रति-सममित असल्यास.

व्याख्या. संच A वरील ऑर्डर संबंध R ला नॉन-स्ट्रिक्ट म्हणतात जर ते A वर रिफ्लेक्सिव्ह असेल, म्हणजे, A साठी.

ऑर्डर रिलेशन R ला कडक (A वर) असे म्हटले जाते जर ते A वर अँटीरेफ्लेक्सिव्ह असेल, म्हणजे, A पैकी कोणत्याही साठी. तथापि, संक्रमणात्मक संबंध R ची अँटीरिफ्लेक्सिव्ह आहे या वस्तुस्थितीवरून दिसून येते. म्हणून, आम्ही खालील समतुल्य व्याख्या देऊ शकतो.

व्याख्या. A संच A वरील बायनरी संबंध R ला A वर कठोर क्रम म्हणतात जर ते A वर संक्रामक आणि प्रतिरक्षी असेल.

उदाहरणे. 1. संच M च्या सर्व उपसंचांचा संच असू द्या. संचावरील समावेशन संबंध हा एक कठोर क्रम नसलेला संबंध आहे.

2. वास्तविक संख्यांच्या संचावरील संबंध हे अनुक्रमे कठोर आणि कठोर नसलेल्या क्रमाचे संबंध आहेत.

3. नैसर्गिक संख्यांच्या संचामधील विभाज्यता संबंध हा कठोर क्रम नसलेला संबंध आहे.

व्याख्या. A संच A वरील बायनरी संबंध R ला प्रीऑर्डर रिलेशन किंवा A वर प्रीऑर्डर असे म्हणतात जर ते रिफ्लेक्सिव्ह ऑन आणि ट्रांझिटिव्ह असेल.

उदाहरणे. 1. पूर्णांकांच्या संचामध्ये विभाज्यतेचे गुणोत्तर हा क्रम नाही. तथापि, ते रिफ्लेक्सिव्ह आणि ट्रांझिटिव्ह आहे, याचा अर्थ तो एक प्रीऑर्डर आहे.

2. तार्किक परिणाम संबंध हा प्रस्तावित तर्क सूत्रांच्या संचावर पूर्वक्रम आहे.

रेखीय क्रम. ऑर्डरचा एक महत्त्वाचा विशेष केस म्हणजे रेखीय ऑर्डर.

व्याख्या. सेटवरील ऑर्डर रिलेशनला रेखीय क्रम संबंध किंवा रेखीय क्रम असे म्हणतात जर ते ऑन जोडलेले असेल, म्हणजे A पासून कोणत्याही x, y साठी.

रेखीय नसलेल्या ऑर्डर संबंधाला सामान्यतः आंशिक ऑर्डर संबंध किंवा आंशिक ऑर्डर म्हणून संबोधले जाते.

उदाहरणे. 1. वास्तविक संख्यांच्या संचावरील "त्यापेक्षा कमी" हा संबंध रेखीय क्रमाचा संबंध आहे.

2. रशियन भाषेच्या शब्दकोषांमध्ये स्वीकारल्या जाणार्‍या क्रम संबंधांना लेक्सोग्राफिक म्हणतात. रशियन भाषेतील शब्दांच्या संचावरील कोशलेखन क्रम एक रेखीय क्रम आहे.

"ऑर्डर" हा शब्द अनेकदा विविध समस्यांमध्ये वापरला जातो. अधिकारी आज्ञा देतो: "संख्येच्या क्रमाने गणना करा", अंकगणित ऑपरेशन्स एका विशिष्ट क्रमाने केले जातात, अॅथलीट्स उंचीवर जातात, भागाच्या निर्मितीमध्ये ऑपरेशन्स करण्यासाठी ऑर्डर असते, वाक्यात शब्द क्रम असतो.

जेव्हा ऑर्डर येतो तेव्हा सर्व प्रकरणांमध्ये काय सामान्य आहे? वस्तुस्थिती की "ऑर्डर" या शब्दाचा असा अर्थ आहे: याचा अर्थ या किंवा त्या संचाचा कोणता घटक खालीलप्रमाणे आहे (किंवा कोणता घटक कोणत्या आधी आहे).

वृत्ती " एक्सअनुसरण करते येथे»संक्रामक: जर « एक्सअनुसरण करते येथे"आणि" येथेअनुसरण करते z", नंतर" xअनुसरण करते z" याव्यतिरिक्त, हे गुणोत्तर असममित असणे आवश्यक आहे: दोन भिन्नांसाठी एक्सआणि येथे, तर एक्सअनुसरण करते येथे, नंतर येथेअनुसरण करत नाही एक्स.

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सम्हणतात कडक ऑर्डर संबंध, जर ते सकर्मक आणि विषमताविरोधी असेल.

चला ग्राफची वैशिष्ट्ये आणि कठोर ऑर्डर संबंधांचा आलेख शोधू या.

एक उदाहरण विचारात घ्या. सेटवर एक्स= (5, 7, 10, 15, 12) संबंध आर: « एक्स < येथे" आम्ही हा संबंध जोड्यांच्या गणनेद्वारे परिभाषित करतो
आर = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

त्याचा आलेख तयार करू. आपण पाहतो की या संबंधाच्या आलेखाला लूप नाहीत. आलेखावर दुहेरी बाण नाहीत. जर पासून एक्सबाण जातो येथे, आणि पासून येथे- मध्ये z, नंतर पासून एक्सबाण जातो z(अंजीर 8).

तयार केलेला आलेख तुम्हाला संचाच्या घटकांची मांडणी करण्यास अनुमती देतो एक्सया क्रमाने:

{5, 7, 10, 12, 15}.

अंजीर मध्ये 6 (या प्रकरणातील § 6) स्तंभ VII, VIII हे कठोर क्रमाच्या संबंधांचे आलेख आहेत.

नॉन-कठोर ऑर्डर संबंध

वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये "कमी पेक्षा कमी" हा संबंध "कमी नाही" च्या विरुद्ध आहे. तो आता कडक आदेश नाही. मुद्दा आहे, येथे एक्स = येथे, संबंध एक्स ³ येथेआणि येथे ³ एक्स, म्हणजे संबंध "कमी नाही" हे प्रतिक्षेपी आहे.

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सम्हणतात गैर-कठोर ऑर्डर संबंध, जर ते रिफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असेल.

असे संबंध ओळखीच्या नातेसंबंधाशी कठोर क्रमाचे संबंध आहेत.

सेटसाठी "नो मोअर" (£) संबंध विचारात घ्या

एक्स= (5, 7, 10, 15, 12). त्याचा आलेख तयार करूया (चित्र 9).

कठोर ऑर्डर रिलेशन आलेखाच्या विपरीत नॉन-स्ट्रिक्ट ऑर्डर रिलेशन आलेखामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूवर लूप असतात.

अंजीर वर. 6 (या प्रकरणातील § 6) आलेख V, VI हे कठोर नसलेल्या क्रमाच्या संबंधांचे आलेख आहेत.

ऑर्डर केलेले सेट

एखादा संच काही ऑर्डर रिलेशन द्वारे ऑर्डर केला जाऊ शकतो (ते पूर्णपणे ऑर्डर केलेले देखील म्हणतात), तर दुसरा अशा रिलेशनद्वारे अक्रमित किंवा अंशतः ऑर्डर केला जाऊ शकतो.

व्याख्या.खूप एक्सम्हणतात व्यवस्थितकाही ऑर्डर संबंध आरकोणत्याही दोन घटकांसाठी असल्यास x, yपासून एक्स:

(एक्स, येथे) Î आरकिंवा ( y, x) Î आर.

जर ए आरएक कडक ऑर्डर संबंध आहे, नंतर संच एक्सया संबंधाने अट अंतर्गत आदेश दिले: जर एक्स, येथेसंचाचे कोणतेही दोन असमान घटक एक्स, नंतर ( एक्स, येथे) Î आरकिंवा ( y, x) Î आर, किंवा कोणतेही दोन घटक x, yसंच एक्ससमान आहेत.

शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमावरून हे कळते की संख्या सेट होते एन , झेड , प्र , आर "पेक्षा कमी" गुणोत्तराने क्रमबद्ध (<).

विशिष्ट संचाच्या उपसमूहाचा संच समावेशन संबंध (U) किंवा वरील अर्थाने कठोर समावेशन संबंध (T) सादर करून क्रमबद्ध केला जात नाही, कारण तेथे उपसमूह आहेत ज्यापैकी एकही दुसऱ्यामध्ये समाविष्ट केलेला नाही. या प्रकरणात, दिलेला संच अंशतः संबंध Í (किंवा Ì) द्वारे क्रमबद्ध असल्याचे म्हटले जाते.

संच विचारात घ्या एक्स= (1, 2, 3, 4, 5, 6) आणि त्यात "पेक्षा कमी" आणि "ने भागाकार" असे दोन संबंध आहेत. हे दोन्ही संबंध ऑर्डर संबंध आहेत हे तपासणे सोपे आहे. रिलेशन पेक्षा कमी आलेख किरण म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो.

"भागून" या संबंधाचा आलेख केवळ समतल भागावर दर्शविला जाऊ शकतो.

याशिवाय, दुसऱ्या रिलेशनच्या आलेखावर असे शिरोबिंदू आहेत जे बाणाने जोडलेले नाहीत. उदाहरणार्थ, 4 आणि 5 (चित्र 10) या अंकांना जोडणारा कोणताही बाण नाही.

पहिला संबंध एक्स < येथे' रेखीय म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, ऑर्डर संबंध असल्यास आर(कठोर आणि कठोर नसलेल्या) सेटवर एक्समालमत्ता आहे: कोणत्याही साठी एक्स, येथेÎ एक्सकिंवा xRy, किंवा yRx, नंतर त्याला रेखीय क्रम संबंध आणि संच म्हणतात एक्सरेखीय क्रमाने केलेला संच आहे.

जर संच एक्सअर्थात, आणि यांचा समावेश आहे nघटक, नंतर रेखीय क्रम एक्सत्याच्या घटकांची संख्या 1,2,3, ..., ने कमी करते. n.

रेखीय क्रमाने दिलेल्या सेटमध्ये अनेक गुणधर्म आहेत:

1°. द्या a, b, c- घटक सेट करा एक्स, नातेसंबंधानुसार क्रमबद्ध आर. हे माहीत असेल तर aRvआणि vRc, मग आपण म्हणतो की घटक मध्येघटकांच्या दरम्यान स्थित आहे aआणि सह.

2°. खूप एक्स, नातेसंबंधाने रेखीय क्रमाने आर, त्याच्या कोणत्याही दोन घटकांमध्ये या संचाच्या घटकांचा केवळ मर्यादित संच असेल तर त्याला स्वतंत्र म्हणतात.

३°. जर या संचाच्या कोणत्याही दोन भिन्न घटकांसाठी त्यांच्यामध्ये संचाचा एक घटक असेल तर रेखीय क्रमाने तयार केलेल्या संचाला दाट असे म्हणतात.

द्विआधारी संबंधांचा एक महत्त्वाचा प्रकार म्हणजे ऑर्डर संबंध. कडक आदेश संबंध -बायनरी रिलेशन जे अँटीरेफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह आहे:

पदनाम - (अआधीचे b).उदाहरणे आहेत

संबंध "त्यापेक्षा मोठे", "त्यापेक्षा कमी", "जुने", इ. संख्यांसाठी, नेहमीच्या नोटेशन म्हणजे चिन्हे "<", ">".

कठोर आदेश नसलेला संबंध -बायनरी रिफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह रिलेशन. संख्यांसाठी कठोर नसलेल्या असमानतेच्या नैसर्गिक उदाहरणांसह, एक उदाहरण म्हणजे समतल किंवा अंतराळातील बिंदूंमधील संबंध "उत्पत्तीच्या जवळ असणे". पूर्णांक आणि वास्तविक संख्यांसाठी कठोर नसलेली असमानता, समानता आणि कठोर क्रम संबंधांचे विघटन म्हणून देखील मानले जाऊ शकते.

जर एखाद्या क्रीडा स्पर्धेमध्ये ठिकाणांची विभागणी केली जात नसेल (म्हणजे प्रत्येक सहभागीला ठराविक, फक्त खाणे/पुरस्कृत ठिकाण मिळते), तर हे कठोर आदेशाचे उदाहरण आहे; अन्यथा, कठोर नसलेले.

ऑर्डर संबंध सेटवर स्थापित केले जातात जेव्हा, त्याच्या घटकांच्या काही किंवा सर्व जोड्यांसाठी., संबंध

अग्रक्रम सेटिंग - सेटसाठी काही ऑर्डर रिलेशन म्हणतात त्याचा "ऑर्डर,आणि "स्व. याचा परिणाम म्हणून सेट होतो व्यवस्थितऑर्डर संबंध वेगवेगळ्या प्रकारे सादर केले जाऊ शकतात. एका मर्यादित संचासाठी, त्याच्या घटकांचे कोणतेही क्रमपरिवर्तन "काही कठोर क्रम निर्दिष्ट करते. अनंत संच अनंत मार्गांनी ऑर्डर केले जाऊ शकतात. केवळ तेच क्रम ज्यांना अर्थपूर्ण अर्थ आहे ते स्वारस्य आहे.

जर ऑर्डर संबंधासाठी आरसेटवर .एमआणि काही भिन्न घटक, किमान एक संबंध ठेवतो

aRbकिंवा ब रा,नंतर घटक aआणि bम्हणतात तुलना करण्यायोग्यअन्यथा - अतुलनीय

पूर्णपणे (किंवा रेखीय) ऑर्डर केलेला सेट मी -

संच ज्यावर ऑर्डर संबंध दिलेला आहे आणि सेटचे कोणतेही दोन घटक एमतुलना करण्यायोग्य अर्धवट ऑर्डर केलेला सेट- समान, परंतु अतुलनीय घटकांच्या जोड्यांना परवानगी आहे.

रेखीय क्रमाने दिलेला संच म्हणजे "उजवीकडे" संबंध असलेल्या सरळ रेषेवरील बिंदूंचा संच, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक संख्यांचा संच "त्यापेक्षा मोठा" इ.

अंशतः क्रमबद्ध केलेल्या संचाचे उदाहरण म्हणजे त्रिमितीय व्हेक्टर, जर क्रम असा दिला असेल तर

म्हणजेच, सर्व तीन निर्देशांकांमध्ये अग्रक्रम समाधानी असल्यास, व्हेक्टर (2, 8, 5) आणि (6, 9, 10) तुलना करता येतील आणि व्हेक्टर (2, 8, 5) आणि (12, 7, 40) ) तुलना करता येत नाही. क्रमवारीचा हा मार्ग कोणत्याही परिमाणाच्या सदिशांपर्यंत विस्तारित केला जाऊ शकतो: वेक्टर

जर व्हेक्टरच्या आधी

आणि केले

वेक्टर्सच्या सेटवर ऑर्डरिंगची इतर उदाहरणे विचारात घेतली जाऊ शकतात.

1) आंशिक ऑर्डर: , तर

त्या. वेक्टरच्या लांबीनुसार; समान लांबीचे वेक्टर अतुलनीय आहेत.

२) रेखीय क्रम: , तर a तर a-d,नंतर b< е ; जर jed \u003d c? u6 \u003d e, तर