स्वतंत्र गणिताची मूलभूत तत्त्वे.

सेटची संकल्पना. सेट दरम्यान संबंध.

एक संच म्हणजे वस्तूंचा संग्रह ज्यामध्ये विशिष्ट गुणधर्म असतात, एका संपूर्णमध्ये एकत्रित होतात.

संच तयार करणाऱ्या वस्तूंना म्हणतात घटकसेट वस्तूंच्या ठराविक संचाला संच म्हणायचे असल्यास, खालील अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत:

· एखादा घटक दिलेल्या संग्रहातील आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी एक नियम असावा.

· एक नियम असावा ज्याद्वारे घटक एकमेकांपासून वेगळे केले जाऊ शकतात.

संच मोठ्या अक्षरांद्वारे आणि त्यातील घटक लहान अक्षरांद्वारे दर्शविले जातात. सेट निर्दिष्ट करण्याचे मार्ग:

· सेट घटकांची गणना. - मर्यादित संचांसाठी.

वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म निर्दिष्ट करणे .

रिकामा संच- याला संच म्हणतात ज्यामध्ये कोणतेही घटक (Ø) नसतात.

जर दोन संच समान घटक असतील तर ते समान आहेत असे म्हटले जाते. , A=B

चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड बीसंचाचा उपसंच म्हणतात आणि( , जर आणि फक्त जर सेटचे सर्व घटक असतील बीसंचाशी संबंधित आहेत ए.

उदाहरणार्थ: , बी =>

मालमत्ता:

टीप: सामान्यतः समान संचाचा उपसंच विचारात घ्या, ज्याला म्हणतात सार्वत्रिक(u). युनिव्हर्सल सेटमध्ये सर्व घटक असतात.

सेटवर ऑपरेशन्स.

ए

बी

1. असोसिएशन 2 संच A आणि B ला अशा संच म्हणतात ज्यात संच A किंवा संच B चे घटक असतात (किमान एका संचाचे घटक).

2.क्रॉसिंग 2 संच हा एक नवीन संच आहे ज्यामध्ये घटकांचा समावेश आहे जे एकाच वेळी पहिल्या आणि दुसऱ्या दोन्ही संचांचे आहेत.

क्रमांक: , ,

मालमत्ता: युनियन आणि छेदनबिंदू ऑपरेशन्स.

· कम्युटेटिव्हिटी.

सहवास. ;

· वितरणात्मक. ;

यू

4.या व्यतिरिक्त. तर आणिसार्वत्रिक संचाचा उपसंच आहे यू, नंतर सेटचे पूरक आणिअनेकांना यू(निदर्शित) हा संचाच्या त्या घटकांचा समावेश असलेला संच आहे यू, जे सेटशी संबंधित नाहीत आणि.

बायनरी संबंध आणि त्यांचे गुणधर्म.

असू द्या आणिआणि एटीहे व्युत्पन्न निसर्गाचे संच आहेत, घटकांच्या क्रमबद्ध जोडीचा विचार करा (a, c) a ϵ A, c ϵ Bऑर्डर केलेले "enks" मानले जाऊ शकते.

(a 1, a 2, a 3,…a n), कुठे a 1 ϵ A 1; a 2 ϵ A 2; …; a n ϵ A n ;

संचांचे कार्टेशियन (थेट) उत्पादन A 1, A 2, ..., A n, याला संच म्हणतात, ज्यामध्ये फॉर्मचा क्रमबद्ध n k असतो.

Nr: एम= {1,2,3}

M× M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

कार्टेशियन उत्पादनाचे उपसंच पदवी गुणोत्तर म्हणतात nकिंवा enary संबंध. तर n=2, नंतर विचार करा बायनरीसंबंध. असे ते काय म्हणतात a 1, a 2बायनरी संबंधात आहेत आर, कधी a 1 R a 2.

सेटवर बायनरी संबंध एमसंचाच्या थेट उत्पादनाचा उपसंच म्हणतात nस्वत: वर.

M× M = M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) मागील उदाहरणामध्ये, सेटवर गुणोत्तर लहान आहे एमखालील संच व्युत्पन्न करते: ((1,2);(1,3); (2,3))

बायनरी संबंधांमध्ये विविध गुणधर्म आहेत:

रिफ्लेक्सिव्हिटी: .

· अँटी-रिफ्लेक्सिव्हिटी (अपरिवर्तनीयता): .

· सममिती: .

· विषमता विरोधी: .

· संक्रमणशीलता: .

· विषमता: .

संबंधांचे प्रकार.

समतुल्य संबंध;

· ऑर्डर संबंध.

v रिफ्लेक्सिव्ह ट्रान्सिटिव्ह रिलेशनला अर्ध-क्रम संबंध म्हणतात.

v प्रतिक्षिप्त सममितीय संक्रामक संबंधाला समतुल्य संबंध म्हणतात.

v रिफ्लेक्सिव्ह अँटिसिमेट्रिक ट्रान्सिटिव्ह रिलेशनला (आंशिक) ऑर्डर रिलेशन म्हणतात.

v अँटीरिफ्लेक्सिव्ह अँटीसिमेट्रिक ट्रान्सिटिव्ह रिलेशनला कडक ऑर्डर रिलेशन म्हणतात.

व्याख्या. बायनरी संबंध आरजोड्यांचा उपसंच म्हणतात (a,b)∈Rकार्टेशियन उत्पादन A×B, म्हणजे R⊆A×B. त्याच वेळी, अनेक एनात्याला R च्या व्याख्येचे डोमेन म्हणतात, B संचाला मूल्यांचे डोमेन म्हणतात.

नोटेशन: aRb (म्हणजे a आणि b हे R च्या संबंधात आहेत). /

टिप्पणी: जर A = B असेल तर R हा संच A वर संबंध असल्याचे म्हटले जाते.

बायनरी संबंध निर्दिष्ट करण्याचे मार्ग

1. यादी (जोड्यांची गणना) ज्यासाठी हे नाते समाधानी आहे.

2. मॅट्रिक्स. बायनरी संबंध R ∈ A × A , जेथे A = (a 1 , a 2 ,..., a n), क्रम n च्या चौरस मॅट्रिक्सशी संबंधित आहे, ज्यामध्ये c ij घटक, जो i च्या छेदनबिंदूवर आहे. -वी पंक्ती आणि j-वा स्तंभ, जर i आणि a j मध्ये R संबंध असेल तर 1 समान आहे, किंवा 0 अनुपस्थित असल्यास:

नातेसंबंध गुणधर्म

R ला संच A, R ∈ A×A वर संबंध असू द्या. मग संबंध आर:

रिफ्लेक्झिव्हली जर Ɐ a ∈ A: a R a (प्रतिक्षेपी संबंधाच्या मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णात फक्त तेच असतात);

प्रतिक्षिप्त आहे जर Ɐ a ∈ A: a R a (रिफ्लेक्सिव्ह रिलेशन मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णात फक्त शून्य असतात);

सममितीय असल्यास Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (अशा संबंधाचा मॅट्रिक्स मुख्य कर्णाच्या संदर्भात सममितीय असतो, म्हणजे c ij c ji);

antisymmetric if Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (अशा संबंधाच्या मॅट्रिक्समध्ये, मुख्य कर्णाच्या संदर्भात कोणतेही सममित नसतात);

संक्रामकपणे जर Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c पंक्ती, म्हणजे c ij = 1 , तर j-व्या पंक्तीतील सर्व (ही एकके k e समन्वयांशी संबंधित असू द्या जसे की, c jk = 1) समान k निर्देशांकातील i-व्या पंक्तीशी संबंधित असणे आवश्यक आहे, म्हणजे c ik = 1 (आणि कदाचित, इतर निर्देशांकांमध्ये देखील).

कार्य 3.1.नैसर्गिक संख्यांच्या संचावर दिलेल्या R - "भाजक असणे" चे गुणधर्म निश्चित करा.

निर्णय.

गुणोत्तर R = ((a,b):a भाजक b):

रिफ्लेक्झिव्ह, अँटीरेफ्लेक्सिव्ह नाही, कारण कोणतीही संख्या उर्वरित न करता स्वतःला विभाजित करते: a/a = 1 सर्व a∈N साठी;

सममितीय नाही, सममितीय नाही, उदाहरणार्थ, 2 हा 4 चा विभाजक आहे, परंतु 4 हा 2 चा विभाजक नाही;

संक्रमणात्मक रीतीने, जर b/a ∈ N आणि c/b ∈ N, तर c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, उदाहरणार्थ, जर 6/3 = 2∈N आणि 18/6 = 3∈N , नंतर 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

कार्य 3.2.नातेसंबंधाचे गुणधर्म निश्चित करा - "एक भाऊ असणे", लोकांच्या संचावर दिलेले.
निर्णय.

गुणोत्तर R = ((a,b):a - b चा भाऊ):

सर्व a साठी aRa च्या स्पष्ट अनुपस्थितीमुळे नॉन-रिफ्लेक्सिव्ह, अँटी-रिफ्लेक्सिव्ह;

सममितीय नाही, कारण सर्वसाधारणपणे भाऊ a आणि बहीण b मध्ये aRb आहे, परंतु bRa नाही;

विषमता नाही, कारण a आणि b भाऊ आहेत, तर aRb आणि bRa, परंतु a≠b;

संक्रामकपणे, जर आपण भाऊ असे म्हणतो ज्यांचे सामान्य पालक (वडील आणि आई) आहेत.

कार्य 3.3.रचना घटकांच्या संचावर निर्दिष्ट केलेल्या R - "बॉस होण्यासाठी" संबंधाचे गुणधर्म निश्चित करा

निर्णय.

गुणोत्तर R = ((a,b): a - boss b):

• नॉन-रिफ्लेक्झिव्ह, अँटी-रिफ्लेक्सिव्ह, जर एखाद्या विशिष्ट व्याख्येमध्ये त्याचा अर्थ नसेल;
• सममितीय नाही, विषमता नाही, कारण सर्व a≠b aRb आणि bRa एकाच वेळी समाधानी नाहीत;
• संक्रमणात्मक रीतीने, जर a हे b चे हेड असेल आणि b हे c चे हेड असेल तर a हे c चे हेड आहे.

मॅट्रिक्सद्वारे M i या संचावर परिभाषित केलेल्या R i चे गुणधर्म निश्चित करा, जर:

1. R 1 "5 ने भागल्यावर समान शिल्लक आहे"; M 1 हा नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे.
2. आर 2 "समान व्हा"; M 2 हा नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे.
3. आर 3 "त्याच शहरात राहतात"; मी 3 लोकांचा संच.
4. आर 4 "परिचित व्हा"; मी 4 अनेक लोक.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - सम; M 5 संख्यांचा संच (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - सम; M 6 संख्यांचा संच (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R 7 ((a,b):(a+1) - भाजक (a+b)); M 7 - संच (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 (a,b):a - भाजक (a+b),a≠1); M 8 हा नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे.
9. आर 9 "बहीण होण्यासाठी"; एम 9 - बरेच लोक.
10. आर 10 "मुलगी होण्यासाठी"; एम 10 - बरेच लोक.

बायनरी संबंधांवर ऑपरेशन्स

R 1 , R 1 हे संच A वर परिभाषित संबंध असू द्या.

एक संघटना R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b): (a,b) ∈ R 1 किंवा (a,b) ∈ R 2);

छेदनबिंदू R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b): (a,b) ∈ R 1 आणि (a,b) ∈ R 2 );

फरक R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b): (a,b) ∈ R 1 आणि (a,b) ∉ R 2 );

सार्वत्रिक संबंध U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

या व्यतिरिक्त R 1 U \ R 1 , जेथे U = A × A;

ओळख संबंध I: = ((a;a) / a ∈ A);

उलट संबंधआर-1 1 :R-1 1 = ((a,b): (b,a) ∈ R 1);

रचना R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), जेथे R 1 ⊂ A × C आणि R 2 ⊂ C×B;

व्याख्या. नातेसंबंधाची पदवीसंच A वर R ही त्याची स्वतःची रचना आहे.

पदनाम:

व्याख्या. जर R ⊂ A × B असेल, तर R º R -1 म्हणतात नात्याचा कर्नल आर .

प्रमेय 3.1. R ⊂ A × A हे संच A वर परिभाषित केलेले संबंध असू द्या.

1. जर आणि फक्त जर (यापुढे ⇔ चिन्ह वापरले असेल) तेव्हा R हे प्रतिक्षेपी आहे जेव्हा I ⊂ R.
2. R सममितीय आहे ⇔ R = R -1 .
3. R हा सकर्मक आहे ⇔ R º R ⊂ R
4. R हे विषमताविरोधी आहे ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R हे प्रतिक्षिप्त आहे ⇔ R ⌒ I = ∅ .

कार्य 3.4 . R ला जोड्यांच्या गणनेने दिलेले संच (1,2,3) आणि (1,2,3,4) यांच्यातील संबंध असू द्या: R = (1,1), (2,3), (2, ४), (३.१), (३.४ टक्के). याशिवाय, S हा S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)) या संचांमधील संबंध आहे. R -1 , S -1 आणि S º R ची गणना करा. तपासा की (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

निर्णय.
आर -1 = (1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = (1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
Sº R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(Sº R)-1 = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = (1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.2), (2.3)) = (S º R) -one .

कार्य 3.5 . सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...पालक..." आणि S चे नाते "...भाऊ..." असू द्या. नात्याचे थोडक्यात मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 आणि R º R.

निर्णय.

आर -1 - संबंध "... मूल ...";

एस -1 - संबंध "... भाऊ किंवा बहीण ...";

आर º एस - संबंध "... पालक ...";

एस -1 º आर -1 - संबंध "... मूल ..."

आर º आर - नाते "...आजी किंवा आजोबा..."

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये

1) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...वडील...", आणि S हे नाते "...बहीण..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

२) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...भाऊ...", आणि S हे नाते "...आई..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...आजोबा...", आणि S हे नाते "...मुलगा..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

४) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...मुलगी...", आणि S हे नाते "...आजी..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

५) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...भाची...", आणि S हे नाते "...वडील..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

६) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "बहीण..." आणि S हे नाते "आई..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , Sº S.

7) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...आई...", आणि S हे नाते "...बहीण..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...मुलगा...", आणि S हे नाते "...आजोबा..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

९) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...बहिण...", आणि S हे नाते "...वडील..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , Sº S.

10) सर्व लोकांच्या सेटवर R हे नाते "...आई...", आणि S हे नाते "...भाऊ..." असू द्या. नातेसंबंधाचे मौखिक वर्णन द्या:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

व्याख्या

• 1. संच A आणि B च्या घटकांमधील बायनरी संबंध हा कार्टेशियन उत्पादन RAB, RAA चा कोणताही उपसंच आहे.
• 2. जर A=B असेल, तर R हा A वर बायनरी संबंध आहे.
• 3. नोटेशन: (x, y)R xRy.
• 4. बायनरी रिलेशन R चे डोमेन R = (x: y असे आहे की (x, y)R).
• 5. बायनरी संबंध R ची श्रेणी R हा संच आहे = (y: तेथे x आहे की (x, y)R).
• 6. A आणि B घटकांमधील बायनरी संबंध R चा पूरक R = (AB) R हा संच आहे.
• 7. बायनरी संबंध R साठी व्यस्त संबंध R1 = ((y, x): (x, y)R) हा संच आहे.
• 8. R1AB आणि R2BC संबंधांचे उत्पादन R1 R2 = (x, y) संबंध आहे : (x, z)R1 आणि (z, y)R2 असे zB अस्तित्वात आहे.
• 9. दोन अटी पूर्ण झाल्यास संबंध f ला A ते B फंक्शन असे म्हणतात:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) सर्व x, y1, y2 साठी, वस्तुस्थिती आहे की (x, y1)f आणि (x, y2)f चा अर्थ y1=y2 आहे.
• 10. पहिल्या परिच्छेदात f = A, f = B मधील संबंध f ला A ते B फंक्शन असे म्हणतात.
• 11. नोटेशन: (x, y)f y = f(x).
• 12. ओळख कार्य iA: AA खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे: iA(x) = x.
• 13. कोणत्याही x1, x2, y साठी y = f(x1) आणि y = f(x2) हे x1=x2 सूचित करत असल्यास फंक्शन f ला 1-1-फंक्शन म्हणतात.
• 14. फंक्शन f: AB हे A आणि B मध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार करते जर f = A, f = B आणि f हे 1-1 फंक्शन असेल.
• 15. संच A वर बायनरी संबंध R चे गुणधर्म:
  • - रिफ्लेक्सिव्हिटी: (x, x)R सर्व xA साठी.
  • - irreflexivity: (x, x)R सर्व xA साठी.
  • - सममिती: (x, y)R (y, x)R.
  • - प्रतिसममिती: (x, y)R आणि (y, x)R x=y.
  • - संक्रमणशीलता: (x, y)R आणि (y, z)R (x, z)R.
  • - द्विविभाजन: एकतर (x, y)R किंवा (y, x)R सर्व xA आणि yA साठी.
• 16. P(A) मधील A1, A2, ..., Ar हे संच A चे विभाजन करतात जर
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

उपसंच Аi , i = 1, ..., r, यांना विभाजन ब्लॉक म्हणतात.

• 17. A संचावरील समतुल्यता A वरील प्रतिक्षेपी, सकर्मक आणि सममितीय संबंध आहे.
• 18. समतुल्य R द्वारे x घटकाचा समतुल्य वर्ग हा [x]R=(y: (x, y)R) हा संच आहे.
• 19. R द्वारे A हा घटक संच A च्या घटकांच्या समतुल्य वर्गांचा संच आहे. पदनाम: A/R.
• 20. समतुल्य वर्ग (फॅक्टर सेट A/R चे घटक) सेट A चे विभाजन बनवतात. उलट. संच A चे कोणतेही विभाजन समतुल्य संबंध R शी सुसंगत असते ज्याचे समतुल्य वर्ग निर्दिष्ट विभाजनाच्या ब्लॉक्सशी जुळतात. वेगळ्या पद्धतीने. संच A चा प्रत्येक घटक A/R पासून काही समतुल्य वर्गात येतो. समतुल्य वर्ग एकतर एकमेकांना छेदत नाहीत किंवा जुळत नाहीत.
• 21. सेट A वरील प्रीऑर्डर A वरील रिफ्लेक्झिव्ह आणि संक्रमणात्मक संबंध आहे.
• 22. संच A वरील आंशिक क्रम A वरील रिफ्लेक्सिव्ह, ट्रांझिटिव्ह आणि अँटिसिमेट्रिक संबंध आहे.
• 23. रेखीय क्रमसंच A वर एक प्रतिक्षेपी, सकर्मक आणि विषमताविरोधी संबंध आहे जो द्विविभाजन गुणधर्माचे समाधान करतो.

A=(1, 2, 3), B=(a, b). चला कार्टेशियन उत्पादन लिहू: AB = ((1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). या कार्टेशियन उत्पादनाचा कोणताही उपसंच घ्या: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). मग R हा A आणि B या संचावरील बायनरी संबंध आहे.

हा संबंध फंक्शन असेल का? 9a) आणि 9b) दोन अटींची पूर्तता तपासू. संबंध R चे डोमेन R = (1, 2) (1, 2, 3) हा संच आहे, म्हणजेच, पहिली अट समाधानी नाही, म्हणून जोड्यांपैकी एक R मध्ये जोडणे आवश्यक आहे: (3, a) किंवा (3, b). दोन्ही जोड्या जोडल्या गेल्यास, ab असल्याने दुसरी अट पूर्ण होणार नाही. त्याच कारणास्तव, R मधून (1, a) किंवा (1, b) जोड्यांपैकी एक वगळणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे संबंध R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) हे कार्य आहे. लक्षात घ्या की R हे 1-1 फंक्शन नाही.

दिलेल्या A आणि B संचांवर, खालील संबंध देखील फंक्शन्स असतील: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) इ.

A=(1, 2, 3) द्या. A संचावरील संबंधाचे उदाहरण म्हणजे R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). सेट A वरील फंक्शनचे उदाहरण f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ) आहे.

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे

1. R = ((x, y) | x, y D आणि x+y0) साठी R, R, R1, RR, RR1, R1R शोधा.

जर (x, y)R, तर x आणि y सर्व वास्तविक संख्यांमधून धावतात. म्हणून R = R = D.

जर (x, y)R, नंतर x+y0, तर y+x0 आणि (y, x)R. म्हणून R1=R.

कोणत्याही xD, yD साठी आम्ही z=-|max(x, y)|-1 घेतो, नंतर x+z0 आणि z+y0, म्हणजे. (x, z)R आणि (z, y)R. म्हणून RR = RR1 = R1R = D2.

2. कोणत्या बायनरी संबंधांसाठी R R1= R खरे आहे?

RAB द्या. दोन प्रकरणे शक्य आहेत:

• (1) ए.बी. चला xAB घेऊ. नंतर (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. विरोधाभास.
• (2) AB =. R1BA आणि RAB असल्याने, नंतर R1= R= . R1 वरून = ते R = चे अनुसरण करते. R = ते R=AB वरून येते. विरोधाभास.

म्हणून, जर A आणि B, तर असे संबंध R अस्तित्वात नाहीत.

3. वास्तविक संख्यांच्या संच D वर, आपण R संबंध खालीलप्रमाणे परिभाषित करतो: (x, y)R (x-y) ही परिमेय संख्या आहे. R हे समतुल्य आहे हे सिद्ध करा.

रिफ्लेक्सिव्हिटी:

कोणत्याही xD साठी x-x=0 ही परिमेय संख्या आहे. कारण (x, x)R.

सममिती:

जर (x, y)R, तर x-y = . नंतर y-x=-(x-y)=- ही परिमेय संख्या आहे. म्हणून (y, x)R.

संक्रमणशीलता:

जर (x, y)R, (y, z)R, तर x-y = आणि y-z =. ही दोन समीकरणे जोडल्यास x-z = + ही परिमेय संख्या आहे. म्हणून (x, z)R.

म्हणून R हे समतुल्य आहे.

4. विमान D2 च्या विभाजनामध्ये आकृती a मध्ये दर्शविलेले ब्लॉक्स असतात). या विभाजनाशी आणि समतुल्य वर्गांशी संबंधित R समतुल्यता संबंध लिहा.

b) आणि c) साठी समान समस्या.

a) दोन बिंदू समतुल्य आहेत जर ते y=2x+b फॉर्मच्या सरळ रेषेवर असतील, जेथे b ही कोणतीही वास्तविक संख्या आहे.

b) दोन बिंदू (x1,y1) आणि (x2,y2) समतुल्य असल्यास (x1 चा पूर्णांक भाग x2 च्या पूर्णांक भागाच्या बरोबरीचा आहे) आणि (y1 चा पूर्णांक भाग y2 च्या पूर्णांक भागाच्या बरोबरीचा आहे).

क) स्वतःसाठी निर्णय घ्या.

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये

• 1. हे सिद्ध करा की जर f हे A ते B पर्यंतचे फंक्शन आहे आणि g हे B ते C चे फंक्शन आहे, तर fg हे A ते C मधील फंक्शन आहे.
• 2. A आणि B हे अनुक्रमे m आणि n घटकांचा समावेश असलेले मर्यादित संच असू द्या.

संच A आणि B च्या घटकांमध्ये किती बायनरी संबंध अस्तित्त्वात आहेत?

A ते B पर्यंत किती कार्ये आहेत?

A ते B पर्यंत किती 1-1 फंक्शन्स आहेत?

कोणत्या m आणि n साठी A आणि B मध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार आहे?

3. सिद्ध करा की f कोणत्याही A आणि B साठी f(AB)=f(A)f(B) ही स्थिती पूर्ण करते आणि जर f 1-1 फंक्शन असेल तरच.

सेटवर परिभाषित संबंधात अनेक गुणधर्म असू शकतात, म्हणजे:

2. रिफ्लेक्सिव्हिटी

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सप्रत्येक घटकाला रिफ्लेक्सिव्ह म्हणतात एक्ससंच एक्ससंबंधात आहे आरस्वतःशी.

चिन्हांचा वापर करून, हा संबंध खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

आरप्रतिबिंबितपणे वर एक्स Û(" एक्सÎ एक्स) x आर x

उदाहरण.सेगमेंट्सच्या सेटवरील समानतेचा संबंध रिफ्लेक्सिव्ह आहे, पासून प्रत्येक विभाग स्वतःसारखा आहे.

रिफ्लेक्सिव्ह रिलेशन आलेखामध्ये सर्व शिरोबिंदूंवर लूप असतात.

2. अँटीरेफ्लेक्सिव्हिटी

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सघटक नसल्यास प्रतिक्षेपक म्हणतात एक्ससंच एक्सनात्यात नाही आरस्वतःशी.

आर antireflexively चालू एक्स Û(" एक्सÎ एक्स)

उदाहरण.संबंध "थेट एक्सरेषेला लंब येथे» विमानातील रेषांच्या सेटवर अँटीरेफ्लेक्सिव्ह आहे, कारण विमानाची कोणतीही सरळ रेषा स्वतःला लंबवत नसते.

अँटीरिफ्लेक्सिव्ह रिलेशनच्या आलेखामध्ये कोणतेही लूप नसतात.

लक्षात घ्या की असे संबंध आहेत जे रिफ्लेक्सिव्ह किंवा अँटीरेफ्लेक्सिव्ह नाहीत. उदाहरणार्थ, संबंध "बिंदूचा विचार करा एक्सएका बिंदूसाठी सममितीय येथे» विमानाच्या बिंदूंच्या सेटवर.

डॉट एक्सएका बिंदूसाठी सममितीय एक्स- खरे; बिंदू येथेएका बिंदूसाठी सममितीय येथे- असत्य आहे, म्हणून, आम्ही असे म्हणू शकत नाही की विमानाचे सर्व बिंदू स्वतःला सममितीय आहेत किंवा आम्ही असे म्हणू शकत नाही की विमानाचा कोणताही बिंदू स्वतःला सममितीय नाही.

3. सममिती

व्याख्या. वृत्ती आरसेटवर एक्सघटकाच्या वस्तुस्थितीवरून, जर सममितीय म्हणतात एक्ससंबंधात आहे आरघटकासह येथे, ते त्या घटकाचे अनुसरण करते येथेसंबंधात आहे आरघटकासह एक्स.

आरसममितीय एक्स Û(" एक्स, येथेÎ एक्स) x R y Þ y R x

उदाहरण.संबंध "थेट एक्सरेषा ओलांडते येथेविमानाच्या सरळ रेषांच्या सेटवर” सममितीय आहे, कारण सरळ असल्यास एक्सरेषा ओलांडते येथे, नंतर सरळ रेषा येथेओळ ओलांडली पाहिजे एक्स.

बिंदूपासून प्रत्येक बाणासह सममितीय संबंध आलेख एक्सनक्की येथेसमान बिंदूंना जोडणारा बाण असावा, परंतु उलट दिशेने.

4. विषमता

व्याख्या. वृत्ती आरसेटवर एक्सघटक नसल्यास असममित म्हणतात एक्स, येथेअनेकांकडून एक्सघटक असे होऊ शकत नाही एक्ससंबंधात आहे आरघटकासह येथेआणि घटक येथेसंबंधात आहे आरघटकासह एक्स.

आरअसममित एक्स Û(" एक्स, येथेÎ एक्स) x R y Þ

उदाहरण.वृत्ती " एक्स < येथे» असममितपणे, कारण घटकांच्या कोणत्याही जोडीसाठी एक्स, येथेएकाच वेळी असे म्हणता येणार नाही एक्स < येथेआणि येथे<एक्स.

असममित संबंधाच्या आलेखाला लूप नसतात आणि आलेखाचे दोन शिरोबिंदू बाणाने जोडलेले असतील, तर हा बाण फक्त एक आहे.

5. विषमता

व्याख्या. वृत्ती आरसेटवर एक्सअसममित म्हणतात जर, वस्तुस्थितीवरून एक्सच्या संबंधात आहे येथे, अ येथेच्या संबंधात आहे एक्सत्याचे अनुसरण करते एक्स = y

आरसममितीय एक्स Û(" एक्स, येथेÎ एक्स) x R y Ù y R xÞ x = y

उदाहरण.वृत्ती " एक्स£ येथे» विषमताविरोधी आहे, कारण परिस्थिती एक्स£ येथेआणि येथे£ एक्सकेवळ तेव्हाच कार्यान्वित केले जातात एक्स = y

अँटिसिमेट्रिक रिलेशनच्या आलेखाला लूप असतात आणि जर आलेखाचे दोन शिरोबिंदू बाणाने जोडलेले असतील, तर हा बाण फक्त एक आहे.

6. संक्रमणशीलता

व्याख्या. वृत्ती आरसेटवर एक्सकोणत्याही घटकांसाठी असल्यास त्याला संक्रमण म्हणतात एक्स, येथे, zअनेकांकडून एक्सकशापासून एक्सच्या संबंधात आहे येथे, अ येथेच्या संबंधात आहे zत्याचे अनुसरण करते एक्सच्या संबंधात आहे z

आरसकर्मक एक्स Û(" एक्स, येथे, zÎ एक्स) x R y Ù Rz वरÞ x Rz

उदाहरण.वृत्ती " एक्सएकाधिक येथे»संक्रामक आहे, कारण जर पहिली संख्या दुसऱ्याचा गुणाकार असेल आणि दुसरी तिसऱ्याचा गुणाकार असेल, तर पहिली संख्या तिसऱ्याचा गुणाकार असेल.

पासून बाणांच्या प्रत्येक जोडीसह संक्रमणात्मक संबंधाचा आलेख एक्सकरण्यासाठी येथेआणि पासून येथेकरण्यासाठी zपासून जाणारा बाण आहे एक्सकरण्यासाठी z

7. कनेक्टिव्हिटी

व्याख्या. वृत्ती आरसेटवर एक्सकोणत्याही घटकांसाठी कनेक्टेड म्हटले जाते एक्स, येथेअनेकांकडून x xच्या संबंधात आहे येथेकिंवा येथेच्या संबंधात आहे एक्सकिंवा x = y.

आरजोडलेले एक्स Û(" एक्स, येथे, zÎ एक्स) x R y Ú Rz वरÚ एक्स= येथे

दुसऱ्या शब्दांत: संबंध आरसेटवर एक्सकोणत्याही वेगळ्या घटकांसाठी कनेक्टेड म्हटले जाते एक्स, येथेअनेकांकडून x xच्या संबंधात आहे येथेकिंवा येथेच्या संबंधात आहे एक्सकिंवा x = y.

उदाहरण.वृत्ती " एक्स< येथे» जोडलेले आहे, कारण आपण कितीही वास्तविक संख्या घेतो, त्यापैकी एक निश्चित आहे की दुसर्‍यापेक्षा मोठी आहे किंवा ती समान आहेत.

संबंध आलेखावर, सर्व शिरोबिंदू बाणांनी जोडलेले आहेत.

उदाहरण.कोणते गुणधर्म तपासा

वृत्ती " X -दुभाजक येथे» सेटवर परिभाषित

एक्स= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) हा संबंध प्रतिक्षिप्त आहे, कारण दिलेल्या संचातील प्रत्येक संख्या हा स्वतःचा विभाजक आहे;

2) या संबंधात अँटीरेफ्लेक्सिव्हिटीची मालमत्ता नाही;

3) सममिती गुणधर्म समाधानी नाही, कारण उदाहरणार्थ, 2 हा 4 चा विभाजक आहे, परंतु 4 हा 2 चा विभाजक नाही;

4) हा संबंध विषमता आहे: दोन संख्या एकाच वेळी एकमेकांचे विभाजक असू शकतात जर या संख्या समान असतील;

5) नातेसंबंध सकारात्मक आहे, पासून जर एक संख्या दुसऱ्याचा विभाजक असेल आणि दुसरी संख्या तिसऱ्याचा विभाजक असेल, तर पहिली संख्या तिसऱ्याचा विभाजक असेल;

6) संबंधात कनेक्टिव्हिटीची मालमत्ता नाही, कारण उदाहरणार्थ, आलेखावरील 2 आणि 3 क्रमांक बाणाने जोडलेले नाहीत, कारण दोन भिन्न संख्या 2 आणि 3 एकमेकांचे विभाजक नाहीत.

अशा प्रकारे, या संबंधात रिफ्लेक्सिव्हिटी, असममितता आणि संक्रमणशीलता यांचे गुणधर्म आहेत.

§ 3. समतुल्य संबंध.
वर्गांमध्ये संचाच्या विभागणीसह समतुल्य संबंधाचे कनेक्शन

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सरिफ्लेक्सिव्ह, सिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असल्यास त्याला समतुल्य संबंध म्हणतात.

उदाहरण.नात्याचा विचार करा" एक्सवर्गमित्र येथे» अध्यापनशास्त्रीय विद्याशाखेच्या विद्यार्थ्यांच्या संचावर. त्यात गुणधर्म आहेत:

1) रिफ्लेक्सिव्हिटी, पासून प्रत्येक विद्यार्थी स्वतःचा वर्गमित्र असतो;

2) सममिती, कारण विद्यार्थी असल्यास एक्स येथे, नंतर विद्यार्थी येथेविद्यार्थ्याचा वर्गमित्र आहे एक्स;

3) संक्रमण, कारण विद्यार्थी असल्यास एक्स- वर्गमित्र येथे, आणि विद्यार्थी येथे- वर्गमित्र z, नंतर विद्यार्थी एक्सविद्यार्थ्याचे वर्गमित्र व्हा z.

अशाप्रकारे, या संबंधामध्ये रिफ्लेक्सिव्हिटी, सममिती आणि संक्रमणशीलता यांचे गुणधर्म आहेत आणि म्हणूनच समतुल्य संबंध आहे. त्याच वेळी, अध्यापनशास्त्रीय विद्याशाखेच्या विद्यार्थ्यांचा संच समान अभ्यासक्रमात प्रवेश घेतलेल्या विद्यार्थ्यांचा समावेश असलेल्या उपसंचांमध्ये विभागला जाऊ शकतो. आम्हाला 5 उपसंच मिळतात.

समतुल्यता संबंध देखील आहे, उदाहरणार्थ, समांतर रेषांचा संबंध, आकृत्यांच्या समानतेचा संबंध. असे प्रत्येक संबंध संचाच्या वर्गांमध्ये विभागणीशी जोडलेले आहे.

प्रमेय.सेटवर असल्यास एक्ससमतुल्य संबंध दिल्यास, तो या संचाला जोडीनुसार विभक्त उपसमूहांमध्ये (समतुल्य वर्ग) विभाजित करतो.

संभाषण विधान देखील सत्य आहे: सेटवर कोणतेही संबंध परिभाषित केले असल्यास एक्स, या संचाचे वर्गांमध्ये विभाजन निर्माण करते, नंतर ते समतुल्य संबंध आहे.

उदाहरण.सेटवर एक्स= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) संबंध "3 ने भागल्यावर समान शिल्लक आहे" दिले आहे. तो समतुल्य संबंध आहे का?

चला या नात्याचा आलेख तयार करूया:

या नात्यामध्ये रिफ्लेक्सिव्हिटी, सममिती आणि ट्रांझिटिव्हिटीचे गुणधर्म आहेत, म्हणून ते समतुल्य संबंध आहे आणि संचाला विभाजित करते. एक्ससमतुल्य वर्गात. प्रत्येक समतुल्य वर्गामध्ये अशी संख्या असेल ज्यांना 3 ने भागल्यावर, समान उरलेले असेल: एक्स 1 = {3; 6}, एक्स 2 = {1; 4; 7}, एक्स 3 = {2; 5; 8}.

असे मानले जाते की समतुल्य वर्ग त्याच्या कोणत्याही प्रतिनिधींद्वारे निर्धारित केला जातो, म्हणजे. या वर्गाचा अनियंत्रित घटक. तर, या वर्गाशी संबंधित कोणताही अपूर्णांक निर्दिष्ट करून समान अपूर्णांकांचा वर्ग निर्दिष्ट केला जाऊ शकतो.

गणिताच्या सुरुवातीच्या अभ्यासक्रमात, समतुल्य संबंध देखील आढळतात, उदाहरणार्थ, "अभिव्यक्ती एक्सआणि येथेसमान संख्यात्मक मूल्ये आहेत", "आकृती एक्सआकृतीच्या समान येथे».

काही रिकामा नसलेला संच A द्या आणि R हा संच A च्या कार्टेशियन वर्गाचा काही उपसंच असू द्या: आर  ए  ए.

वृत्ती आरसेटवर आणिसंचाला उपसंच म्हणतात आणि आणि(किंवा आणि 2 ). अशा प्रकारे वृत्तीजुळण्याचे एक विशेष प्रकरण आहे जेथे आगमन क्षेत्र निर्गमन क्षेत्रासारखेच आहे. जुळणीप्रमाणेच, संबंध ही एक क्रमबद्ध जोडी असते जिथे दोन्ही घटक एकाच संचाचे असतात.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

ही वस्तुस्थिति ( a, b)R खालीलप्रमाणे लिहिता येईल: a आर b. त्यात असे लिहिले आहे: " aआर च्या संबंधात आहे b"किंवा" दरम्यान aआणि bसंबंध R धारण करतो. अन्यथा लिहा: a, b)R किंवा a आर b.

संख्यांच्या संचावरील संबंधांचे उदाहरण खालीलप्रमाणे आहेत: "=", "", "", ">", इ. कोणत्याही कंपनीच्या कर्मचार्‍यांच्या सेटवर, "बॉस बनणे" किंवा "गौण असणे", नातेवाईकांच्या सेटवर - "पूर्वज असणे", "एक भाऊ असणे", "बाप होणे" ”, इ.

विचारात घेतलेल्या संबंधांना बायनरी (दोन-स्थान) एकसंध संबंध म्हणतात आणि ते गणितात सर्वात महत्वाचे आहेत. त्यांच्यासोबत त्यांचाही विचार होतो पी-स्थानिक किंवा पी-अरी संबंध:

R  A  A … A = A n = (a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

नातेसंबंध पत्रव्यवहाराचे एक विशेष प्रकरण असल्याने, त्यांना सेट करण्यासाठी पूर्वी वर्णन केलेल्या सर्व पद्धती वापरल्या जाऊ शकतात.

साहजिकच, गुणोत्तर मॅट्रिक्स पद्धतीने सेट केल्यास, आपल्याला एक चौरस मॅट्रिक्स मिळेल.

नातेसंबंधाच्या भौमितिक (ग्राफिक) प्रतिनिधित्वासह, आम्हाला एक आकृती मिळते ज्यामध्ये हे समाविष्ट आहे:

शिरोबिंदू, बिंदू किंवा वर्तुळांद्वारे दर्शविलेले, जे संचाच्या घटकांशी संबंधित आहेत,

आणि बायनरी संबंधांमध्ये समाविष्ट असलेल्या घटकांच्या जोड्यांशी संबंधित आर्क्स (रेषा), घटकाशी संबंधित शिरोबिंदूपासून निर्देशित केलेल्या बाणांसह रेषांनी दर्शविल्या जातात a घटकाशी संबंधित शीर्षस्थानी b , तर a आरb .

अशा आकृतीला बायनरी रिलेशनचा निर्देशित आलेख (किंवा डिग्राफ) म्हणतात.

कार्य 4.9.1 . प्रमाण "M = (1, 2, 3, 4) या संचावर भाजक असणे" दिले जाऊ शकते. मॅट्रिक्स:

गणना: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), (4.4));

भौमितिकदृष्ट्या (ग्राफिकदृष्ट्या):

1. संच A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) वर खालील बायनरी संबंधांशी संबंधित क्रमबद्ध जोड्या लिहा:

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. X = (a, b, c, d) संचावरील R हा संबंध मॅट्रिक्सने दिलेला आहे.

,

ज्यामध्ये पंक्ती आणि स्तंभांचा क्रम लिखित घटकांच्या क्रमाशी संबंधित आहे. दिलेल्या संबंधाशी संबंधित क्रमबद्ध जोड्यांची यादी करा. आलेख वापरून संबंध दर्शवा.

3. A = (1, 2, 3, 4) या संचावरील संबंध आलेखाद्वारे दर्शविला जातो. आवश्यक:

आर च्या मालकीच्या ऑर्डर केलेल्या जोड्यांची यादी करा;

संबंधित मॅट्रिक्स लिहा;

predicates वापरून हे नाते परिभाषित करा.

(उत्तर: a-b= 1).

४.१०. बायनरी संबंधांचे मूलभूत प्रकार (गुणधर्म).

बायनरी संबंध द्या आरसेटवर आणि 2 : R  A  A = ( a, b) | a ए, bA, ( a, b)आर)

बायनरी संबंध आर सेटवर आणि म्हणतात चिंतनशील, जर कोणत्याहीसाठी a ए केले aआरa, ते आहे ( a,a)  आर. रिफ्लेक्झिव्ह रिलेशन मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णात ते असतात. रिफ्लेक्सिव्ह रिलेशन आलेखामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूवर लूप असणे आवश्यक आहे.

उदाहरणेरिफ्लेक्सिव्ह रिलेशनशिप: , =,  वास्तविक संख्यांच्या सेटवर, कर्मचार्‍यांच्या सेटवर "बॉस नसणे".

बायनरी संबंध आरसेटवर A म्हणतात विरोधी प्रतिक्षेपी (अपरिवर्तनीय), असल्यास aA संबंध ठेवत नाही aआरa, ते आहे ( a,a)आर. अपरिवर्तनीय संबंध मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णात शून्य असतात. अपरिवर्तनीय संबंधाच्या आलेखाला लूप नसतात.

उदाहरणेप्रतिक्षेपी संबंध:<, >वास्तविक संख्यांच्या संचावर, रेषांच्या संचावर रेषांची लंबता.

बायनरी संबंध आर सेटवर ए म्हणतात सममितीय, जर कोणत्याहीसाठी a, bआणिपासून aआरbपाहिजे bआरa, म्हणजे, जर ( a, b)आर, मग आणि ( b, a)आर. सममितीय गुणोत्तर मॅट्रिक्स त्याच्या मुख्य कर्ण बद्दल सममित आहे ( σ ij = σ जी). सममितीय संबंधाचा आलेख निर्देशित केलेला नाही (बाणांशिवाय कडा दर्शविल्या जातात). येथे शिरोबिंदूंची प्रत्येक जोडी एका दिशाहीन काठाने जोडलेली आहे.

उदाहरणेसममितीय संबंध:  वास्तविक संख्यांच्या सेटवर, लोकांच्या सेटवर "सापेक्ष असणे".

बायनरी संबंध आर सेटवर ए म्हणतात:

विरोधीसममितीय, जर कोणत्याहीसाठी a, bआणिपासून aआरbआणि bआरaत्याचे अनुसरण करते a=b. म्हणजे, जर ( a, b)आरआणि( b, a)आर, नंतर ते त्याचे अनुसरण करते a=b. मुख्य कर्णाच्या बाजूने असममित गुणोत्तर मॅट्रिक्समध्ये सर्व 1 आहेत आणि 1 ची कोणतीही जोडी मुख्य कर्णाच्या संदर्भात सममितीय ठिकाणी स्थित नाही. दुसऱ्या शब्दांत, सर्वकाही σ ii=1, आणि जर σ ij=1, नंतर अपरिहार्यपणे σ जी=0. असीमेट्रिक रिलेशन आलेखामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूवर लूप असतात आणि शिरोबिंदू केवळ एका निर्देशित चापने जोडलेले असतात.

उदाहरणेसममितीय संबंध: , ,  वास्तविक संख्यांच्या संचावर; ,  सेटवर;

aसममितीय, जर कोणत्याहीसाठी a, bआणिपासून aआरb त्यानंतर अपयश bआरa, म्हणजे, जर ( a, b)आर, नंतर ( b, a) आर. मुख्य कर्णाच्या बाजूने स्क्यू रेशो मॅट्रिक्समध्ये शून्य आहे ( σ ij=0) सर्व आणि सममितीय जोड्या नाहीत (जर σ ij=1, नंतर अपरिहार्यपणे σ जी=0). असममित रिलेशनच्या आलेखाला लूप नसतात आणि शिरोबिंदू एका निर्देशित कमानीने जोडलेले असतात.

असममित संबंधांची उदाहरणे:<, >वास्तविक संख्यांच्या सेटवर, लोकांच्या सेटवर "बाप होण्यासाठी".

बायनरी संबंध आर सेटवर ए म्हणतात सकर्मकnym, जर कोणत्याहीसाठी a, b, सहआणिपासून aआरbआणि bआरaते त्याचे अनुसरण करते आणि aआरसह. म्हणजे, जर ( a, b)आरआणि( b, सह)आरते खालीलप्रमाणे आहे ( a, सह)आर. ट्रांझिटिव्ह रिलेशन मॅट्रिक्स या वस्तुस्थितीद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे की जर σ ij=1 आणि σ jm=1, नंतर अपरिहार्यपणे σ im=1. संक्रामक संबंध आलेख असा आहे की, उदाहरणार्थ, जर पहिला-दुसरा आणि दुसरा-तिसरा शिरोबिंदू आर्क्सने जोडलेला असेल, तर पहिल्यापासून तिसऱ्या शिरोबिंदूपर्यंत चाप असणे आवश्यक आहे.

उदाहरणेसकर्मक संबंध:<, , =, >,  वास्तविक संख्यांच्या संचावर; कर्मचार्‍यांच्या सेटवर "बॉस होण्यासाठी".

बायनरी संबंध आर सेटवर ए म्हणतात संक्रमणविरोधीnym, जर कोणत्याहीसाठी a, b, सहआणिपासून aआरbआणि bआरaते पूर्ण होत नाही असे पुढे येते aआरसह. म्हणजे, जर ( a, b)आरआणि( b, सह)आरते खालीलप्रमाणे आहे ( a, सह) आर. antitransitive रिलेशन मॅट्रिक्स हे वस्तुस्थिती द्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे की जर σ ij=1 आणि σ jm=1, नंतर अपरिहार्यपणे σ im=0. अँटीट्रान्सिटिव्ह रिलेशनचा आलेख असा आहे की, जर, उदाहरणार्थ, पहिले-सेकंद आणि दुसरे-तिसरे शिरोबिंदू आर्क्सने जोडलेले असतील, तर पहिल्यापासून तिसऱ्या शिरोबिंदूपर्यंत कोणताही चाप नाही.

संक्रमणविरोधी संबंधांची उदाहरणे: पूर्णांकांच्या संचावर "समानता जुळत नाही"; कर्मचार्‍यांच्या संचावर "तत्काळ पर्यवेक्षक होण्यासाठी".

जर नातेसंबंधात काही मालमत्ता नसेल, तर गहाळ जोड्या जोडून, ​​तुम्ही या मालमत्तेशी नवीन संबंध मिळवू शकता. अशा गहाळ जोड्यांचा संच म्हणतात बंदया मालमत्तेसाठी संबंध. म्हणून नियुक्त करा आर* . अशा प्रकारे तुम्ही रिफ्लेक्झिव्ह, सिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह क्लोजर मिळवू शकता.

समस्या 4.10.1. A = (1, 2, 3, 4) संचावर R=(( a,b)| a,b ए, a+bसम संख्या). या संबंधाचा प्रकार निश्चित करा.

निर्णय. या संबंधाचे मॅट्रिक्स आहे:

. साहजिकच संबंध आहे चिंतनशील, कारण मुख्य कर्णाच्या बाजूने एकके आहेत. ते सममितीने: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . संक्रमणात्मक: (1,3)R, (3,1)R आणि (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R आणि (2,2)R इ.

समस्या 4.10.2. A = ( सेटवर कोणते गुणधर्म आहेत a, b, c, d) मध्ये बायनरी संबंध आहे R = ( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

निर्णय . चला या संबंधाचे मॅट्रिक्स आणि त्याचा आलेख बनवू:

वृत्ती अपरिवर्तनीयपणे, सर्व σ पासून ii= 0. ते नाही सममितीने, σ 23 =1 पासून, आणि σ 32 =0, तथापि, σ 12 =σ 21 =1. वृत्ती नाही संक्रमणात्मक, कारण σ 12 =1, σ 23 =1 आणि σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 आणि σ 11 =0; पण त्याच वेळी σ 12 =1, σ 24 =1 आणि σ 14 =1.

कार्य 4.10.3. A = (1,2,3,4,5) संचावर R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) संबंध दिलेला आहे. संबंधाचा प्रकार निश्चित करा आणि R साठी खालील बंद शोधा:

चिंतनशील

सममितीय;

सकर्मक

निर्णय. संबंध अपरिवर्तनीय आहे कारण फॉर्मचा कोणताही घटक नाही ( a,a). असममित, कारण त्यात फॉर्मच्या जोड्या नसतात ( a,b) आणि ( b,a) आणि सर्व कर्ण घटक 0 आहेत. (1,2)R, (2,3)R, परंतु (1,3)R पासून प्रतिजैविक. त्याचप्रमाणे (2.4)R, (4.5)R, आणि (2.5)R इ.

दिलेल्या रिलेशनचे रिफ्लेक्झिव्ह क्लोजर R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

सममितीय बंद: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

संक्रमणात्मक बंद: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). मूळ नात्याचा आलेख आणि परिणामी संक्रमणाचा विचार करा.

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये.

1. संबंध R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) दिलेला आहे. त्याचा प्रकार निश्चित करा आणि रिफ्लेक्झिव्हिटी, सममिती आणि संक्रमणात्मकता द्वारे बंद शोधा.

2. रशियन भाषेच्या शब्दांच्या संचावरील संबंध खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहेत: aआर bजर आणि फक्त त्यांच्याकडे किमान एक सामान्य अक्षर असेल तर. A = (गाय, वॅगन, धागा, कुऱ्हाडी) संचावरील संबंधाचा प्रकार निश्चित करा.

3. A = (1, 2) आणि B = (1, 2, 3) या संचावरील बायनरी संबंधांची उदाहरणे दर्शवा, जी असेल:

प्रतिक्षेपी नाही, सममितीय नाही, सकर्मक नाही;

प्रतिक्षेपी, सममितीय नाही, सकर्मक नाही;

सममितीय, परंतु प्रतिक्षेपी नाही आणि सकर्मक नाही;

संक्रामक, परंतु प्रतिक्षेपी नाही आणि सममितीय नाही;

प्रतिक्षेपी, सममितीय परंतु सकर्मक नाही;

रिफ्लेक्सिव्ह, सकर्मक, परंतु सममितीय नाही;

नॉन-रिफ्लेक्सिव्ह, सममितीय, सकर्मक;

प्रतिक्षेपी, सममितीय, सकर्मक.