Griežtas tvarkos santykis. Griežtos tvarkos santykis Griežtas tiesinės tvarkos ryšys turi savybių

Žodis „užsakymas“ dažnai vartojamas pačiais įvairiausiais klausimais. Pareigūnas duoda komandą: „Skaičiuokite skaičių tvarka“, tam tikra tvarka atliekami aritmetiniai veiksmai, sportininkai tampa ūgio, visi pirmaujantys šachmatininkai išsidėsto tam tikra tvarka pagal vadinamuosius Elo koeficientus (amerikiečių profesorius kurie sukūrė sistemos koeficientus, leidžiančius atsižvelgti į visas žaidėjų sėkmes ir nesėkmes), po čempionato visos futbolo komandos yra išsidėsčiusios tam tikra tvarka ir t.t. pasodino asilą ne „!).

Išdėstę tam tikros aibės elementus vieną po kito, mes juos sutvarkome arba nustatome tam tikrą ryšį tarp jų. eilėje. Paprasčiausias pavyzdys yra natūraliųjų skaičių tvarka. Jo natūralumas slypi tame, kad bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių atveju mes žinome, kuris iš jų seka kitą arba kuris iš jų yra didesnis už kitą, todėl natūraliuosius skaičius galime išdėstyti tokia seka, kad būtų didesnis skaičius, nes pavyzdžiui, į dešinę nuo mažesnio: 1, 2, 3, ... . Žinoma, elementų seka gali būti rašoma bet kuria kryptimi, o ne tik iš kairės į dešinę. Pačioje natūraliųjų skaičių sąvokoje jau yra tvarkos idėja. Nustatydami tam tikrą santykinį bet kurios aibės elementų išdėstymą, mes nustatome joje tam tikrą dvejetainės eilės santykį, kuris kiekvienu konkrečiu atveju gali turėti savo pavadinimą, pavyzdžiui, "būk mažesnis", "būk senesnis", "būti įtrauktas į ", "sekite" ir tt Užsakymo simboliai taip pat gali būti įvairūs, pvz., Í ir kt.

Pagrindinis tvarkos santykio skiriamasis bruožas yra tas, kad jis turi tranzityvumo savybę. Taigi, jei turime reikalą su kai kurių objektų seka x 1, x 2, ..., x n,... , užsakyta, pavyzdžiui, atsižvelgiant į , tada nuo to, kas atliekama x 1x 2... x n..., tai turėtų sekti bet kuriai porai x i , x j taip pat atliekami šios sekos elementai x ix j:

Dėl poros elementų x ij santykių grafike nubrėžiame rodyklę iš viršaus x i iki viršaus x j, ty iš mažesnio elemento į didesnį.

Užsakymo santykių grafiką galima supaprastinti naudojant vadinamąjį Hasse diagramos. Hasse diagrama sudaryta taip. Mažesni elementai yra apačioje, o dideli - viršuje. Kadangi vaizdui vienos tokios taisyklės neužtenka, brėžiamos linijos, rodančios, kuris iš dviejų elementų yra didesnis, o kuris mažesnis už kitą. Tokiu atveju pakanka nubrėžti tik linijas, kad iškart sektų vienas kitą. Hasse diagramų pavyzdžiai pateikti paveikslėlyje:

Hasse diagramoje rodyklių galima praleisti. Hasse diagramą galima pasukti plokštumoje, bet ne savavališkai. Sukant būtina išlaikyti santykinę diagramos viršūnių padėtį (viršuje - apačioje):

Požiūris R gausybėje X paskambino griežtos tvarkos santykis, jei jis yra tranzityvus ir asimetriškas.

Iškviečiama aibė, kurioje apibrėžtas griežtos eilės ryšys tvarkingas. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė yra išdėstyta santykiu „mažiau nei“. Tačiau tą patį rinkinį tvarko ir kitas santykis – „skirstomas iš“ ir „didesnis“.

Natūraliųjų skaičių aibės santykio „mažiau nei“ grafikas gali būti pavaizduotas kaip spindulys:

Požiūris R in X vadinamas santykiu negriežta (dalinė) tvarka, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas. Kiekvienas negriežtos tvarkos santykis yra refleksyvus.

Epitetas „dalinis“ išreiškia faktą, kad galbūt ne visi rinkinio elementai šiuo atžvilgiu yra palyginami.

Tipiški dalinės tvarkos santykio pavyzdžiai yra „ne daugiau“, „ne mažiau“, „ne senesnis“. Dalelė „ne“ santykių pavadinimuose išreiškia jų refleksiškumą. Santykis „ne daugiau“ sutampa su santykiu „mažiau arba lygus“, o santykis „ne mažiau“ yra toks pat kaip „didesnis arba lygus“. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinama dalinė tvarka atsainiai tvarka. Dažnai dalinės (ne griežtos) tvarkos santykis žymimas simboliu "".

Įtraukimo santykis U tarp kai kurių aibių poaibių taip pat yra dalinė tvarka. Akivaizdu, kad šiuo požiūriu negalima palyginti jokių dviejų pogrupių. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta dalinė tvarka, įtraukiant į visų rinkinio poaibių rinkinį (1,2,3). Rodyklės grafike, kurios turėtų būti nukreiptos į viršų, nerodomos.

Iškviečiami rinkiniai, kuriuose pateikiamas dalinis nurodymas iš dalies užsakyta, arba tiesiog tvarkingas rinkiniai.

Elementai X ir adresu iš dalies užsakytas rinkinys vadinamas palyginti, jeigu Xadresu arba adresuX. Priešingu atveju jie nėra lyginami.

Vadinamas sutvarkytas rinkinys, kuriame bet kurie du elementai yra palyginami tiesiškai sutvarkytas, o tvarka yra tiesinė. Linijinė tvarka dar vadinama tobula tvarka.

Pavyzdžiui, visų natūralios eilės realiųjų skaičių aibė, kaip ir visi jos poaibiai, yra tiesine tvarka.

Galima užsakyti pačios įvairiausios prigimties objektus hierarchiškai.Štai keletas pavyzdžių.

1 pavyzdys: knygos dalys išdėstytos taip, kad knygoje būtų skyriai, skyriuose – skyriai, o skyriuose – poskyriai.

2 pavyzdys. Kompiuterinės failų sistemos aplankai yra sudėti vienas į kitą ir sudaro šakojančią struktūrą.

3 pavyzdys. Tėvų ir vaikų santykiai gali būti pavaizduoti vadinamuoju pavidalu šeimos medis, kuri parodo, kas yra kieno protėvis (ar palikuonis).

Leisk į filmavimo aikštelę BET duotas dalinis nurodymas. Elementas X paskambino maksimalus (minimalus) aibės A elementas, jei nuo to, kad Xadresu(adresuX), seka lygybė X= y. Kitaip tariant, elementas X yra maksimalus (minimalus), jei bet kuriam elementui adresu arba tai netiesa Xadresu(adresuX), arba atliekama X=y. Taigi maksimalus (minimalus) elementas yra didesnis (mažesnis) už visus kitus elementus, su kuriais jis yra susijęs.

Elementas X paskambino didžiausias (mažiausias), jei dėl kokių nors adresuÎ BET atlikta adresu< х (х< у).

Iš dalies užsakytas rinkinys gali turėti kelis minimalius ir (arba) maksimalius elementus, tačiau negali būti daugiau nei vienas minimalus ir maksimalus elementas. Mažiausias (didžiausias) elementas taip pat yra minimalus (maksimalus), tačiau atvirkščiai nėra tiesa. Paveikslėlyje kairėje parodyta dalinė tvarka su dviem minimaliais ir dviem didžiausiais elementais, o dešinėje - dalinė tvarka su mažiausiais ir didžiausiais elementais:

Baigtiniame iš dalies užsakytame rinkinyje visada yra minimalūs ir didžiausi elementai.

Sutvarkytas rinkinys, turintis didžiausius ir mažiausius elementus, vadinamas ribotas . Paveikslėlyje parodytas begalinės ribos aibės pavyzdys. Žinoma, baigtiniame puslapyje neįmanoma pavaizduoti begalinio rinkinio, bet galima parodyti jo konstravimo principą. Čia kilpos šalia viršūnių nerodomos siekiant supaprastinti piešinį. Dėl tos pačios priežasties lankai, rodantys tranzityvumo savybę, nerodomi. Kitaip tariant, paveiksle parodyta eilės santykio Hasse diagrama.

Begaliniai rinkiniai gali neturėti maksimumo, minimumo arba abiejų. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibėje (1,2, 3, ...) yra mažiausias elementas 1, bet ne didžiausias. Visų natūraliosios tvarkos realiųjų skaičių aibė neturi nei mažiausio, nei didžiausio elemento. Tačiau jo poaibis susideda iš visų skaičių X< 5 turi didžiausią elementą (skaičius 5), bet ne mažiausią elementą.

Tegu R yra dvejetainis ryšys aibėje A.

APIBRĖŽIMAS. dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas eilės santykiu A arba tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.

APIBRĖŽIMAS. Tvarkos santykis R aibėje A vadinamas negriežtuoju, jei jis yra refleksinis A, ty bet kuriam iš A.

Sakoma, kad eilės santykis R yra griežtas (A), jei jis yra antirefleksinis A, ty bet kuriam iš A. Tačiau tranzityvinio santykio R antisimetrija išplaukia iš to, kad jis yra antirefleksinis. Todėl galime pateikti tokį lygiavertį apibrėžimą.

APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas griežta tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antirefleksinis A.

Pavyzdžiai. 1. Tegul yra visų aibės M poaibių aibė. Įtraukimo santykis aibėje yra negriežtos eilės ryšys.

2. Santykiai su realiųjų skaičių aibe yra atitinkamai griežtos ir negriežtos eilės ryšiai.

3. Natūraliųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis yra negriežtos eilės santykis.

APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis santykis R aibėje A vadinamas išankstiniu arba išankstiniu A ryšiu, jei jis yra refleksinis ir pereinamasis.

Pavyzdžiai. 1. Sveikųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis nėra tvarka. Tačiau jis yra refleksyvus ir pereinamasis, o tai reiškia, kad tai yra išankstinis užsakymas.

2. Loginių pasekmių santykis yra teiginių logikos formulių aibės išankstinė tvarka.

Linijinė tvarka. Svarbus specialus užsakymo atvejis yra linijinė tvarka.

APIBRĖŽIMAS. Aibės eilės santykis vadinamas tiesiniu eilės ryšiu arba tiesine tvarka, jei jis yra prijungtas prie , t. y. bet kuriam x, y iš A

Tvarkos ryšys, kuris nėra tiesinis, paprastai vadinamas dalinės tvarkos santykiu arba daline tvarka.

Pavyzdžiai. 1. Santykis "mažiau nei" realiųjų skaičių aibėje yra tiesinės eilės santykis.

2. Rusų kalbos žodynuose priimtas tvarkos santykis vadinamas leksikografiniu. Rusų kalbos žodžių rinkinio leksikografinė tvarka yra linijinė.

Žodis „užsakymas“ dažnai vartojamas įvairiais klausimais. Pareigūnas duoda komandą: „Skaičiuoti skaičių tvarka“, tam tikra tvarka atliekami aritmetiniai veiksmai, sportininkai tampa ūgio, yra detalės gamybos operacijų atlikimo tvarka, žodžių tvarka sakinyje.

Kas yra bendra visais atvejais, kai kalbama apie užsakymą? Tai, kad žodis „tvarka“ turi tokią reikšmę: tai reiškia, kuris tos ar kitos aibės elementas eina po kurio (arba kuris elementas yra prieš kurį).

Požiūris " X seka adresu» tranzityviai: jei « X seka adresu"ir" adresu seka z", tada" x seka z“. Be to, šis santykis turi būti antisimetriškas: dviem skirtingiems X ir adresu, jei X seka adresu, tada adresu neseka X.

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X paskambino griežtas tvarkos santykis, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.

Išsiaiškinkime grafiko ir griežtos eilės santykių grafiko ypatybes.

Apsvarstykite pavyzdį. Filmavimo aikštelėje X= (5, 7, 10, 15, 12) santykis R: « X < adresu“. Šį ryšį apibrėžiame išvardindami poras
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Sukurkime jo grafiką. Matome, kad šio ryšio grafikas neturi kilpų. Diagramoje nėra dvigubų rodyklių. Jei nuo X rodyklė eina į adresu, ir iš adresu- į z, tada nuo X rodyklė eina į z(8 pav.).

Sudarytas grafikas leidžia išdėstyti aibės elementus X tokia tvarka:

{5, 7, 10, 12, 15}.

6 paveiksle (šio skyriaus 6 §) VII, VIII stulpeliai yra griežtos eilės santykių grafikai.

Negriežtas tvarkos santykis

Santykis „mažiau nei“ realiųjų skaičių aibėje yra priešingas ryšiui „ne mažiau“. Tai nebėra griežta tvarka. Esmė ta, kad X = adresu, santykiai X ³ adresu ir adresu ³ X, t.y. santykis „ne mažiau“ yra refleksinis.

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X paskambino negriežtas tvarkos santykis, jei jis yra refleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

Tokie santykiai yra griežtos tvarkos santykio sąjungos su tapatybės santykiu.

Apsvarstykite aibės santykį „ne daugiau“ (£).

X= (5, 7, 10, 15, 12). Sukurkime jo grafiką (9 pav.).

Negriežtos eilės santykių grafikas, skirtingai nei griežtos eilės santykių grafikas, turi kilpas kiekvienoje viršūnėje.

Ant pav. 6 (šio skyriaus 6 §) grafikai V, VI yra negriežtos eilės santykių grafikai.

Užsakyti rinkiniai

Aibė gali pasirodyti sutvarkyta (taip pat sakoma, kad visiškai sutvarkyta) pagal tam tikrą eilės santykį, o kitas gali būti nesutvarkytas arba iš dalies sutvarkytas pagal tokį ryšį.

Apibrėžimas. Daug X paskambino tvarkingas tam tikras tvarkos santykis R jei kuriam nors dviem elementams x, y iš X:

(X, adresu) Î R arba ( y, x) Î R.

Jeigu R yra griežtos tvarkos santykis, tada rinkinys X užsakyta pagal šį santykį su sąlyga: jei X, adresu bet kurie du nelygūs aibės elementai X, tada ( X, adresu) Î R arba ( y, x) Î R, arba bet kuriuos du elementus x, y rinkiniai X yra lygūs.

Iš mokyklinio matematikos kurso žinoma, kad skaičių rinkiniai N , Z , K , R išdėstytas pagal santykį „mažiau nei“ (<).

Tam tikros aibės poaibių aibė nėra sutvarkyta įvedus įtraukimo santykį (U) arba griežtą įtraukimo ryšį (T) aukščiau nurodyta prasme, nes yra poaibių, kurių nė vienas neįtrauktas į kitą. Šiuo atveju sakoma, kad duotoji aibė yra iš dalies sutvarkyta santykio Í (arba Ì).

Apsvarstykite rinkinį X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) ir jis turi du ryšius „mažiau nei“ ir „dalijasi iš“. Nesunku patikrinti, ar abu šie santykiai yra tvarkos santykiai. Mažiau nei santykio grafikas gali būti pavaizduotas kaip spindulys.

Ryšio "dalinta iš" grafikas gali būti pavaizduotas tik plokštumoje.

Be to, antrojo ryšio grafike yra viršūnių, kurios nėra sujungtos rodykle. Pavyzdžiui, nėra rodyklės, jungiančios skaičius 4 ir 5 (10 pav.).

Pirmasis santykis X < adresu“ vadinamas linijiniu. Apskritai, jei užsakymo santykis R(griežtas ir negriežtas) filmavimo aikštelėje X turi nuosavybę: už bet kurią X, adresuÎ X arba xRy, arba yRx, tada jis vadinamas tiesinės eilės ryšiu, o aibė X yra tiesiškai sutvarkytas rinkinys.

Jei rinkinys Xžinoma, ir susideda iš n elementų, tada tiesinė tvarka X sumažina iki jo elementų išvardijimo skaičiais 1,2,3, ..., n.

Linijiškai išdėstyti rinkiniai turi keletą savybių:

1°. Leisti a, b, c– rinkinio elementai X, užsakyta pagal santykį R. Jei žinoma, kad aRv ir vRc, tada sakome, kad elementas in yra tarp elementų a ir Su.

2°. Daug X, tiesiškai išdėstyta pagal ryšį R, vadinamas diskrečiu, jei tarp bet kurių dviejų jo elementų yra tik baigtinė šios aibės elementų rinkinys.

3°. Tiesiškai sutvarkyta aibė vadinama tankiąja, jei tarp bet kurių dviejų skirtingų šios aibės elementų yra aibės elementas.

Svarbi dvejetainių santykių rūšis yra tvarkos santykiai. Griežtas tvarkos santykis - dvejetainis ryšys, kuris yra antirefleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus:

paskirtis - (a prieš tai b). Pavyzdžiai yra

santykiai „didesnis nei“, „mažesnis nei“, „vyresnis“ ir kt. Skaičiams įprastas žymėjimas yra ženklai "<", ">".

Negriežtas tvarkos santykis - dvejetainis refleksinis, antisimetrinis ir tranzityvinis santykis. Kartu su natūraliais negriežtų skaičių nelygybių pavyzdžiais, pavyzdys yra santykis tarp taškų plokštumoje arba erdvėje „kad būtų arčiau pradžios“. Negriežta nelygybė, skirta sveikiesiems ir realiiesiems skaičiams, taip pat gali būti laikoma lygybės ir griežtos tvarkos santykių disjunkcija.

Jeigu sporto turnyre vietų pasiskirstymas nenumatytas (t.y. kiekvienas dalyvis gauna tam tikrą, tik valgymo/apdovanotą vietą), tai yra griežtos tvarkos pavyzdys; kitu atveju ne griežtas.

Eilės ryšiai nustatomi aibėje, kai kai kurioms ar visoms jos.elementų poroms santykis

pirmenybė . Nustatymas - aibei vadinamas tam tikras eilės ryšys jo „įsakymas, ir „savarankiškai. nustatytas dėl to tampa tvarkingas. Eiliškumo ryšius galima įvesti įvairiai. Baigtinei aibei bet kokia jos elementų permutacija „nurodo tam tikrą griežtą tvarką. Begalinė aibė gali būti išdėstyta be galo daug būdų. Domina tik tie išdėstymai, kurie turi prasmę.

Jei užsakymo santykiui R filmavimo aikštelėje .M ir kai kurie skirtingi elementai, galioja bent vienas iš ryšių

aRb arba b Ra , tada elementai a ir b paskambino palyginamas kitaip - nepalyginamas.

Visiškai (arba tiesiškai) užsakytas rinkinys M -

aibė, kurioje pateikiamas eilės santykis, ir bet kurie du aibės elementai M palyginamas; iš dalies užsakytas komplektas- tas pats, bet leidžiamos nepalyginamų elementų poros.

Tiesiškai sutvarkyta aibė – tai taškų rinkinys tiesėje su ryšiu „į dešinę“, sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų skaičių aibė „didesnio nei“ atžvilgiu ir kt.

Iš dalies sutvarkytos aibės pavyzdys yra trimačiai vektoriai, jei tvarka pateikiama tarsi

Tai yra, jei pirmenybė tenkinama visose trijose koordinatėse, vektoriai (2, 8, 5) ir (6, 9, 10) yra palyginami, o vektoriai (2, 8, 5) ir (12, 7, 40) ) nėra palyginami. Šis išdėstymo būdas gali būti išplėstas bet kokio matmens vektoriams: vektoriui

yra prieš vektorių, jei

Ir padaryta

Vektorių aibėje galima apsvarstyti kitus išdėstymo pavyzdžius.

1) dalinis užsakymas: , jei

Tie. pagal vektorių ilgį; vienodo ilgio vektoriai yra nepalyginami.

2) tiesinė tvarka: , jei a jeigu Reklama, tada b< е ; jei jed \u003d c? u6 \u003d e, tada