Išorinių jėgų poveikis kietam kūnui lemia įtempių ir deformacijų atsiradimą jo tūrio taškuose. Šiuo atveju įtempių būsena taške, ryšys tarp įtempių skirtingose ​​vietose, einančiose per šį tašką, yra nustatomas pagal statikos lygtis ir nepriklauso nuo medžiagos fizikinių savybių. Deformuota būsena, ryšys tarp poslinkių ir deformacijų nustatomi remiantis geometriniais arba kinematine svarstymais ir taip pat nepriklauso nuo medžiagos savybių. Norint nustatyti ryšį tarp įtempių ir deformacijų, būtina atsižvelgti į faktines medžiagos savybes ir apkrovos sąlygas. Eksperimentinių duomenų pagrindu sukurti matematiniai modeliai, apibūdinantys įtempių ir deformacijų ryšį. Šie modeliai turi pakankamai tiksliai atspindėti tikrąsias medžiagų savybes ir apkrovos sąlygas.

Konstrukcinėms medžiagoms dažniausiai naudojami elastingumo ir plastiškumo modeliai. Elastingumas – tai kūno savybė, veikiant išorinėms apkrovoms, pakeisti formą ir dydį ir, pašalinus apkrovas, atkurti pradinę konfigūraciją. Matematiškai elastingumo savybė išreiškiama nustatant funkcinį ryšį vienas su vienu tarp įtempių tenzoriaus ir deformacijos tenzoriaus komponentų. Elastingumo savybė atspindi ne tik medžiagų savybes, bet ir apkrovos sąlygas. Daugumos konstrukcinių medžiagų elastingumo savybė pasireiškia esant vidutinėms išorinių jėgų vertėms, dėl kurių susidaro nedidelės deformacijos, ir esant mažoms apkrovoms, kai energijos nuostoliai dėl temperatūros poveikio yra nereikšmingi. Medžiaga vadinama tiesiškai tampria, jei įtempių tenzoriaus ir deformacijos tenzoriaus komponentai yra sujungti tiesiniais ryšiais.

Esant dideliems apkrovimo lygiams, atsiradus didelėms kūno deformacijoms, medžiaga iš dalies praranda savo elastines savybes: iškraunant jos pirminiai matmenys ir forma visiškai neatkuriami, o visiškai pašalinus išorines apkrovas – fiksuojamos liekamosios deformacijos. Tokiu atveju ryšys tarp įtempių ir deformacijų nustoja būti vienareikšmis. Ši materialinė savybė vadinama plastiškumas. Plastinės deformacijos procese susikaupusios liekamosios deformacijos vadinamos plastinėmis.

Didelis streso lygis gali sukelti destrukcija, t.y. kūno padalijimas į dalis. Kietieji kūnai, pagaminti iš skirtingų medžiagų, sunaikinami esant skirtingam deformacijos dydžiui. Lūžis yra trapus esant nedideliems tempimams ir paprastai vyksta be pastebimų plastinių deformacijų. Toks sunaikinimas būdingas ketui, legiruotam plienui, betonui, stiklui, keramikai ir kai kurioms kitoms konstrukcinėms medžiagoms. Mažai anglies turinčiam plienui, spalvotiesiems metalams, plastikams, esant didelėms liekanoms deformacijoms, būdingas plastikinis lūžių tipas. Tačiau medžiagų skirstymas pagal jų sunaikinimo pobūdį į trapias ir plastiškas yra labai sąlyginis, dažniausiai tai susiję su kai kuriomis standartinėmis eksploatavimo sąlygomis. Viena ir ta pati medžiaga, priklausomai nuo sąlygų (temperatūros, apkrovos pobūdžio, gamybos technologijos ir kt.), gali būti trapi arba plastiška. Pavyzdžiui, medžiagos, kurios normalioje temperatūroje yra plastikinės, žemoje temperatūroje sunaikinamos kaip trapios. Todėl teisingiau kalbėti ne apie trapias ir plastikines medžiagas, o apie trapią ar plastišką medžiagos būklę.

Tegul medžiaga yra tiesiškai elastinga ir izotropinė. Nagrinėkime elementarųjį tūrį vienaašės įtempimo būsenos sąlygomis (1 pav.), kad įtempių tenzorius turėtų formą

Esant tokiai apkrovai, matmenys didėja ašies kryptimi Oi, būdinga tiesine deformacija, kuri yra proporcinga įtempių dydžiui

1 pav. Vienaašė įtempio būsena

Šis santykis yra matematinis žymėjimas Huko dėsnis, nustatantis proporcingą ryšį tarp įtempių ir atitinkamos tiesinės deformacijos vienaašėje įtempių būsenoje. Proporcingumo koeficientas E vadinamas išilginio tamprumo moduliu arba Youngo moduliu. Jis turi įtempių dimensiją.

Kartu su dydžio padidėjimu veiksmų kryptimi; esant tokiam pat įtempimui, matmenys mažėja dviem statmenomis kryptimis (1 pav.). Atitinkamos deformacijos bus pažymėtos ir , o šios deformacijos yra neigiamos teigiamoms ir yra proporcingos:

Vienu metu veikiant įtempiams išilgai trijų stačiakampių ašių, kai nėra tangentinių įtempių, linijinei elastinei medžiagai galioja superpozicijos (sprendinių superpozicijos) principas:

Atsižvelgdami į formules (1 4), gauname

Tangentiniai įtempiai sukelia kampines deformacijas, o esant mažoms deformacijoms jie neturi įtakos linijinių matmenų pokyčiui, taigi ir tiesinėms deformacijoms. Todėl jie galioja ir esant savavališkai įtempių būsenai ir išreiškia vadinamąją apibendrintas Huko dėsnis.

Kampinė deformacija atsiranda dėl šlyties įtempių , o deformacijų ir atitinkamai dėl įtempių ir . Tarp atitinkamų šlyties įtempių ir kampinių deformacijų tiesiškai elastingam izotropiniam kūnui yra proporcingi ryšiai

kurios išreiškia teisę Kabliukas ant pamainos. Proporcingumo koeficientas G vadinamas šlyties modulis. Svarbu, kad normalioji įtampa nedarytų įtakos kampinėms deformacijoms, nes tokiu atveju keičiasi tik atkarpų tiesiniai matmenys, o ne kampai tarp jų (1 pav.).

Taip pat yra tiesinė priklausomybė tarp vidutinio įtempio (2.18), kuris yra proporcingas pirmajam įtempio tenzoriaus invariantui, ir tūrinės deformacijos (2.32), kuri sutampa su pirmuoju tempimo tenzoriaus invariantu:

2 pav. Plokštuminė šlyties deformacija

Atitinkamas kraštinių santykis KAM paskambino tūrinis tamprumo modulis.

Formulės (1 7) apima medžiagos elastingumo charakteristikas E, , G Ir Į, nustatant jo elastines savybes. Tačiau šios savybės nėra nepriklausomos. Izotropinei medžiagai kaip tamprumo modulis paprastai pasirenkamos dvi nepriklausomos tamprumo charakteristikos E ir Puasono koeficientas. Šlyties moduliui išreikšti G per E Ir , Panagrinėkime plokštumos šlyties deformaciją veikiant šlyties įtempiams (2 pav.). Norėdami supaprastinti skaičiavimus, naudojame kvadratinį elementą su šonine A. Apskaičiuokite pagrindinius įtempius , . Šie įtempiai veikia vietas, esančias kampu į pradines vietas. Iš pav. 2 rasti ryšį tarp tiesinės deformacijos įtempių kryptimi ir kampinės deformacijos . Deformaciją apibūdinanti didžioji rombo įstrižainė lygi

Mažoms deformacijoms

Atsižvelgiant į šiuos santykius

Prieš deformaciją ši įstrižainė turėjo tokio dydžio . Tada turėsime

Iš apibendrinto Huko dėsnio (5) gauname

Gautos formulės palyginimas su Huko dėsniu su poslinkiu (6) duoda

Kaip rezultatas, mes gauname

Palyginę šią išraišką su Huko tūriniu dėsniu (7), gauname rezultatą

Mechaninės charakteristikos E, , G Ir KAM randami apdorojus įvairių tipų apkrovų bandinių bandymų eksperimentinius duomenis. Fiziniu požiūriu visos šios savybės negali būti neigiamos. Be to, iš paskutinės išraiškos matyti, kad Puasono santykis izotropinei medžiagai neviršija 1/2. Taigi gauname šiuos izotropinės medžiagos tamprumo konstantų apribojimus:

Ribinė vertė veda prie ribinės vertės , kuri atitinka nesuspaudžiamą medžiagą ( at ). Apibendrinant, įtempius išreiškiame deformacijomis iš elastingumo santykių (5). Pirmąjį iš santykių (5) parašykime formoje

Naudodami lygybę (9), turėsime

Panašūs santykiai gali būti išvesti ir . Kaip rezultatas, mes gauname

Čia naudojamas šlyties modulio santykis (8). Be to, pavadinimas

POTENCIALI ELASTINIO DEFORMACIJOS ENERGIJA

Pirmiausia apsvarstykite elementarų tūrį dV=dxdydz vienaašės įtempių būsenos sąlygomis (1 pav.). Psichiškai pataisykite platformą x=0(3 pav.). Jėga veikia priešingoje pusėje . Ši jėga veikia poslinkio metu. . Įtampai didėjant nuo nulio iki vertės atitinkama deformacija pagal Huko dėsnį taip pat didėja nuo nulio iki vertės , o darbas proporcingas tamsintajam pav. 4 kvadratai: . Jei nepaisysime kinetinė energija ir nuostolius, susijusius su šiluminiais, elektromagnetiniais ir kitais reiškiniais, tada, remiantis energijos tvermės dėsniu, atliktas darbas virs potencinė energija susikaupę deformacijos proceso metu: . F= dU/dV paskambino specifinė potenciali deformacijos energija, reikšmingas potencinė energija sukaupta kūno tūrio vienetui. Esant vienaašiai įtempių būsenai

2.6. Tempimo stiprumas

2.7. Stiprumo būklė

3. Vidinės jėgos veiksniai (vsf)

3.1. Išorinių jėgų atvejis vienoje plokštumoje

3.2. Pagrindiniai ryšiai tarp tiesinės jėgos q, šlyties jėgos Qy ir lenkimo momento Mx

Tai reiškia ryšį, vadinamą pirmąja pluošto elemento pusiausvyros lygtimi

4. Sklypai vsf

5. Diagramų konstravimo valdymo taisyklės

6. Bendras streso būsenos atvejis

6.1 Normalūs ir šlyties įtempiai

6.2. Šlyties įtempių poravimosi dėsnis

7. Deformacijos

8. Pagrindinės medžiagų stiprumo prielaidos ir dėsniai

8.1. Pagrindinės medžiagų stiprumo prielaidos

8.2. Pagrindiniai medžiagų stiprumo įstatymai

Esant temperatūros skirtumui, kūnas keičia savo dydį ir yra tiesiogiai proporcingas šiam temperatūros skirtumui.

9. Mechanikos dėsnių panaudojimo statybinių konstrukcijų skaičiavimui pavyzdžiai

9.1. Statiškai neapibrėžtų sistemų skaičiavimas

9.1.1. statiškai neapibrėžta gelžbetoninė kolona

9.1.2 Šiluminiai įtempiai

9.1.3. Montavimo įtempiai

9.1.4. Stulpelio apskaičiavimas pagal ribinės pusiausvyros teoriją

9.2. Temperatūros ir montavimo įtempių ypatumai

9.2.1. Šiluminių įtempių nepriklausomumas nuo kūno matmenų

9.2.2. Montavimo įtempių nepriklausomumas nuo kėbulo matmenų

9.2.3. Dėl šiluminių ir montavimo įtempių statiškai nulemtose sistemose

9.3. Didžiausios apkrovos nepriklausomumas nuo savaime subalansuotų pradinių įtempių

9.4. Kai kurios strypų deformacijos tempimo ir gniuždymo metu ypatybės, atsižvelgiant į gravitacijos jėgą

9.5. Konstrukcinių elementų su įtrūkimais skaičiavimas

Kūnų su įtrūkimais skaičiavimo procedūra

9.6. Konstrukcijų ilgaamžiškumo skaičiavimas

9.6.1. Gelžbetoninės kolonos ilgaamžiškumas esant betono valkšnumui

9.6.2. Įtempių nepriklausomumo nuo laiko sąlyga konstrukcijose, pagamintose iš viskoelastinių medžiagų

9.7 Mikropažeidimų kaupimosi teorija

10. Strypų ir ražienų sistemų standumo skaičiavimas

Kompozitiniai strypai

Strypų sistemos

10.1. Mohro formulė konstrukcijos poslinkiui apskaičiuoti

10.2. Mohr formulė strypų sistemoms

11. Medžiagos naikinimo modeliai

11.1. Sudėtingos streso būsenos dėsningumai

11.2. Priklausomybė nuo šlyties įtempių

11.3. Pagrindiniai įtempiai

skaičiavimas

11.4. Medžiagų naikinimo rūšys

11.5 Trumpalaikio stiprumo teorijos

11.5.1 Pirmoji stiprumo teorija

11.5.2 Antroji stiprumo teorija

11.5.3. Trečioji stiprumo teorija (didžiausių šlyties įtempių teorija)

11.5.4. Ketvirtoji teorija (energija)

11.5.5. Penktoji teorija – Mohro kriterijus

12. Trumpa stiprumo teorijų santrauka medžiagų stiprumo problemose

13. Cilindrinio apvalkalo apskaičiavimas veikiant vidiniam slėgiui

14. Nuovargio gedimas (ciklinis stiprumas)

14.1. Konstrukcijų, veikiančių ciklinę apkrovą, skaičiavimas naudojant Wöhler diagramą

14.2. Konstrukcijų, veikiančių ciklinės apkrovos, skaičiavimas pagal plyšių susidarymo teoriją

15. Sijos lenkimas

15.1. normalus stresas. Navier formulė

15.2. Neutralios linijos (x ašies) padėties atkarpoje nustatymas

15.3 Modulis

15.4 Galilėjaus klaida

15.5 Šlyties įtempiai sijoje

15.6. Šlyties įtempiai I formos sijos flanše

15.7. Įtempių formulių analizė

15.8. Emersono efektas

15.9. Žuravskio formulės paradoksai

15.10. Ant didžiausių šlyties įtempių (τzy)max

15.11. Sijos stiprumo skaičiavimai

1. Sunaikinimas lūžiu

2. Naikinimas pjūviu (stratifikacija).

3. Sijos apskaičiavimas pagal pagrindinius įtempius.

4. Skaičiavimas pagal III ir IV stiprumo teorijas.

16. Sijos standumo skaičiavimas

16.1. Mohro deformacijos formulė

16.1.1 Integralų skaičiavimo metodai. Trapecijos ir Simpsono formulės

Trapecijos formos formulė

Simpsono formulė

. Įkrypimų skaičiavimas pagal sijos lenkimo ašies diferencialinės lygties sprendimą

16.2.1 Sijos kreivosios ašies diferencialinės lygties sprendimas

16.2.2 Klebšo taisyklės

16.2.3 c ir d nustatymo sąlygos

Įlinkio skaičiavimo pavyzdys

16.2.4. Sijos ant elastingo pagrindo. Winklerio dėsnis

16.4. Sijos lenktos ašies lygtis ant elastingo pagrindo

16.5. Begalinis sija ant elastingo pagrindo

17. Stabilumo praradimas

17.1 Eilerio formulė

17.2 Kitos tvirtinimo sąlygos.

17.3 Didžiausias lankstumas. Ilgas strypas.

17.4 Jasinskio formulė.

17.5 Sulenkimas

18. Veleno sukimas

18.1. Apvalių velenų sukimas

18.2. Įtempimai veleno sekcijose

18.3. Veleno standumo skaičiavimas

18.4. Laisvas plonasienių strypų sukimas

18.5. Įtempimai laisvo sukimosi metu plonasienių uždaro profilio strypų

18.6. Uždaro profilio plonasienių strypų sukimo kampas

18.7. Atviro profilio strypų sukimas

19. Kompleksinė deformacija

19.1. Vidinės jėgos faktorių (ISF) diagramos

19.2. Ištempkite su lenkimu

19.3. Didžiausi tempimo įtempiai su lenkimu

19.4 Įstrižas posūkis

19.5. Apvalių strypų stiprumo bandymas sukimo ir lenkimo metu

19.6 Ekscentrinis suspaudimas. Skyriaus branduolys

19.7 Sekcijos branduolio kūrimas

20. Dinaminės užduotys

20.1. Pataikė

20.2 Dinaminio faktoriaus formulės taikymo sritis

Dinaminio koeficiento išraiška smūgio kūno greičiu

20.4. d'Alembert principas

20.5. Elastinių strypų vibracijos

20.5.1. Laisvos vibracijos

20.5.2. Priverstinės vibracijos

Būdai kovoti su rezonansu

20.5.3 Priverstinės slopinto strypo vibracijos

21. Ribinės pusiausvyros teorija ir jos panaudojimas skaičiuojant konstrukcijas

21.1. Sijos lenkimo problema Galutinis momentas.

21.2. Ribinės pusiausvyros teorijos taikymas skaičiavimui

Literatūra

Turinys

8.2. Pagrindiniai medžiagų stiprumo įstatymai

Statikos ryšiai. Jos parašytos šių pusiausvyros lygčių forma.

Huko dėsnis ( 1678): kuo didesnė jėga, tuo didesnė deformacija, be to, ji yra tiesiogiai proporcinga jėgai. Fiziškai tai reiškia, kad visi kūnai yra spyruoklės, bet labai tvirti. Su paprastu sijos įtempimu išilgine jėga N= Fšis įstatymas gali būti parašytas taip:

Čia
išilginė jėga, l- juostos ilgis, A- jo skerspjūvio plotas, E- pirmos rūšies elastingumo koeficientas ( Youngo modulis).

Atsižvelgiant į įtempių ir deformacijų formules, Huko dėsnis parašytas taip:
.

Panašus ryšys stebimas atliekant eksperimentus tarp šlyties įtempių ir šlyties kampo:

.

G paskambinošlyties modulis , rečiau – antros rūšies tamprumo modulis. Kaip ir bet kuris įstatymas, jis turi taikymo ribą ir Huko dėsnį. Įtampa
, iki kurios galioja Huko dėsnis, vadinamas proporcingumo riba(tai yra svarbiausia sopromato savybė).

Pavaizduokime priklausomybę  iš  grafiškai (8.1 pav.). Šis paveikslas vadinamas tempimo diagrama . Po taško B (t. y
), ši priklausomybė nebėra tiesinė.

At
iškrovus kūne atsiranda liekamųjų deformacijų, todėl paskambino elastingumo riba .

Kai įtempis pasiekia reikšmę σ = σ t, daugelis metalų pradeda turėti savybę, vadinamą sklandumas. Tai reiškia, kad net esant pastoviai apkrovai medžiaga toliau deformuojasi (t.y. elgiasi kaip skystis). Grafiškai tai reiškia, kad diagrama yra lygiagreti abscisei (DL diagrama). Vadinamas įtempis σ t, kuriuo teka medžiaga takumo stiprumas .

Kai kurios medžiagos (3 str. – statybinis plienas) po trumpo tekėjimo vėl pradeda priešintis. Medžiagos atsparumas tęsiasi iki tam tikros didžiausios vertės σ pr, tada prasideda laipsniškas sunaikinimas. Reikšmė σ pr - vadinama atsparumas tempimui (plieno sinonimas: atsparumas tempimui, betonui - kubinis arba prizminis stiprumas). Taip pat naudojami šie pavadinimai:

=R b

Panaši priklausomybė stebima ir atliekant eksperimentus tarp tangentinių įtempių ir kirpimų.

3) Dugamelio – Neumano dėsnis (tiesinis šiluminis plėtimasis):

Esant temperatūros skirtumui, kūnas keičia savo dydį ir yra tiesiogiai proporcingas šiam temperatūros skirtumui.

Tegul būna temperatūros skirtumas
. Tada šis įstatymas įgauna tokią formą:

Čia α - linijinio šiluminio plėtimosi koeficientas, l - strypo ilgis, Δ l- jo pailgėjimas.

4) šliaužimo dėsnis .

Tyrimai parodė, kad visos medžiagos yra labai nehomogeniškos mažose. Plieno schema pavaizduota 8.2 pav.

Kai kurie komponentai turi skysčių savybių, todėl daugelis apkrovos medžiagų laikui bėgant įgyja papildomą pailgėjimą.
(8.3 pav.) (metalai aukštoje temperatūroje, betonas, mediena, plastikai – normalioje temperatūroje). Šis reiškinys vadinamas šliaužti medžiaga.

Skysčiui galioja įstatymas: kaip daugiau galios, tuo didesnis kūno greitis skystyje. Jei šis ryšys yra tiesinis (ty jėga proporcinga greičiui), tada jį galima parašyti taip:

E
Jei pereisime prie santykinių jėgų ir santykinių pailgėjimų, gausime

Čia yra indeksas " kr “ reiškia, kad atsižvelgiama į pailgėjimo dalį, kurią sukelia medžiagos šliaužimas. Mechaninė charakteristika vadinamas klampos koeficientu.

Energijos tvermės dėsnis.

Apsvarstykite apkrautą spindulį

Pavyzdžiui, pristatykime taško perkėlimo sąvoką,

- vertikalus taško B judėjimas;

- taško C horizontalus poslinkis.

Jėgos
dirbdamas kokį nors darbą U. Atsižvelgiant į tai, kad jėgos
pradeda palaipsniui didėti ir darant prielaidą, kad jie didėja proporcingai poslinkiams, gauname:

.

Pagal gamtosaugos įstatymą: joks darbas nedingsta, jis išleidžiamas kitam darbui arba pereina į kitą energiją (energijos yra darbas, kurį gali atlikti kūnas.

Jėgų darbas
, išleidžiama mūsų kūne atsirandančių tamprumo jėgų pasipriešinimui įveikti. Norėdami apskaičiuoti šį darbą, atsižvelgiame į tai, kad kūnas gali būti laikomas sudarytu iš mažų elastingų dalelių. Panagrinėkime vieną iš jų:

Iš gretimų dalelių pusės jį veikia įtampa . Atsiras stresas

Esant įtakai dalelė pailgėjusi. Pagal apibrėžimą pailgėjimas yra ilgio vieneto pailgėjimas. Tada:

Paskaičiuokime darbą dW kad jėga daro dN (čia taip pat atsižvelgiama į tai, kad jėgos dN pradeda palaipsniui didėti ir didėja proporcingai poslinkiams):

Visam kūnui gauname:

.

Darbas Wįsipareigojo , paskambino elastinės deformacijos energija.

Pagal energijos tvermės dėsnį:

6)Principas galimi judesiai .

Tai vienas iš būdų parašyti energijos tvermės dėsnį.

Tegul jėgos veikia siją F 1 , F 2 , … . Jie sukelia taškų judėjimą kūne
ir stresas
. Duokime kūną papildomi nedideli galimi poslinkiai
. Mechanikoje formos įrašas
reiškia frazę „galima kiekio vertė A“. Šie galimi judesiai sukels organizme papildomos galimos deformacijos
. Jie sukels papildomų išorinių jėgų ir įtempių atsiradimą.
, δ.

Apskaičiuokime išorinių jėgų darbą esant papildomiems galimiems mažiems poslinkiams:

Čia
- papildomi tų taškų, kuriuose veikia jėgos, poslinkiai F 1 , F 2 , …

Dar kartą apsvarstykite nedidelį skerspjūvio elementą dA ir ilgis dz (žr. 8.5. ir 8.6 pav.). Pagal apibrėžimą papildomas pailgėjimas  dzŠio elemento kiekis apskaičiuojamas pagal formulę:

dz=  dz.

Elemento tempimo jėga bus tokia:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Vidinių jėgų darbas esant papildomiems poslinkiams mažam elementui apskaičiuojamas taip:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

SU
Susumavus visų mažų elementų deformacijos energiją, gauname bendrą deformacijos energiją:

Energijos tvermės dėsnis W = U suteikia:

.

Šis santykis vadinamas galimų judesių principas(taip pat vadinama virtualių judesių principas). Panašiai galime apsvarstyti atvejį, kai veikia ir šlyties įtempiai. Tada galima gauti padermės energiją W pridėti šį terminą:

Čia  - šlyties įtempis,  - mažo elemento šlytis. Tada galimų judesių principas bus tokia forma:

Skirtingai nuo ankstesnės energijos tvermės dėsnio rašymo formos, čia nėra prielaidos, kad jėgos pradeda didėti palaipsniui, o didėja proporcingai poslinkiams.

7) Poisson efektas.

Apsvarstykite pavyzdžio pailgėjimo modelį:

Kūno elemento trumpėjimo per ilgėjimo kryptį reiškinys vadinamas Poisson efektas.

Raskime išilginę santykinę deformaciją.

Skersinė santykinė deformacija bus:

Puasono koeficientas kiekis vadinamas:

Izotropinėms medžiagoms (plienui, ketui, betonui) Puasono santykis

Tai reiškia, kad skersine kryptimi deformacija mažiau išilginis.

Pastaba : šiuolaikinės technologijos gali sukurti kompozitines medžiagas, kurių Puasono koeficientas > 1, tai yra, skersinė deformacija bus didesnė nei išilginė. Pavyzdžiui, tai pasakytina apie medžiagą, sustiprintą kietu pluoštu mažu kampu.
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, t.y. tuo mažiau , tuo didesnis Puasono koeficientas.

8.8 pav. 8.9 pav

Dar labiau stebina medžiaga, parodyta (8.9 pav.), O tokiam sutvirtinimui įvyksta paradoksalus rezultatas - išilginis pailgėjimas lemia kūno dydžio padidėjimą skersine kryptimi.

8) Apibendrintas Huko dėsnis.

Apsvarstykite elementą, kuris tęsiasi išilgine ir skersine kryptimis. Raskime deformacijas, kylančias šiomis kryptimis.

Apskaičiuokite deformaciją kylančių iš veiksmo :

Apsvarstykite deformaciją dėl veiksmo , kuris atsiranda dėl Puasono efekto:

Bendra deformacija bus:

Jei tai veikia ir , tada pridėkite dar vieną sutrumpinimą x ašies kryptimi
.

Taigi:

Panašiai:

Šie santykiai vadinami apibendrintas Huko dėsnis.

Įdomu tai, kad rašant Huko dėsnį daroma prielaida apie pailgėjimo deformacijų nepriklausomumą nuo šlyties deformacijų (apie nepriklausomumą nuo šlyties įtempių, tai yra tas pats) ir atvirkščiai. Eksperimentai gerai patvirtina šias prielaidas. Žvelgiant į ateitį, pastebime, kad stiprumas, priešingai, labai priklauso nuo šlyties ir normalių įtempių derinio.

Pastaba: Minėtus dėsnius ir prielaidas patvirtina daugybė tiesioginių ir netiesioginių eksperimentų, tačiau, kaip ir visi kiti dėsniai, jų taikymo sritis yra ribota.

Huko dėsnis paprastai vadinami tiesiniais ryšiais tarp deformacijos komponentų ir įtempių komponentų.

Paimkite elementarų stačiakampį gretasienį, kurio paviršiai lygiagrečiai koordinačių ašims, apkrauti normaliu įtempimu σ x, tolygiai paskirstytas dviejuose priešinguose paviršiuose (1 pav.). Kuriame y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Iki proporcingumo ribos santykinis pailgėjimas pateikiamas formule

Kur E yra tempimo modulis. Plienui E = 2*10 5 MPa, todėl deformacijos yra labai mažos ir matuojamos procentais arba 1 * 10 5 (deformacijas matuojančių deformacijų matuoklio prietaisuose).

Elemento išplėtimas ašies kryptimi X lydi jo susiaurėjimas skersine kryptimi, nulemtas deformacijos komponentų

Kur μ yra konstanta, vadinama skersiniu suspaudimo laipsniu arba Puasono koeficientu. Plienui μ paprastai imamas lygus 0,25-0,3.

Jei nagrinėjamas elementas vienu metu apkraunamas normaliais įtempiais σ x, y, σz, tolygiai paskirstytas jo paviršiuose, tada pridedamos deformacijos

Sudėjus deformacijos komponentus, kuriuos sukelia kiekvienas iš trijų įtempių, gauname ryšius

Šiuos santykius patvirtina daugybė eksperimentų. taikomos perdangos metodas arba superpozicijos Suminių deformacijų ir įtempimų, kuriuos sukelia daugybė jėgų, nustatymas yra teisėtas tol, kol deformacijos ir įtempimai yra maži ir tiesiškai priklauso nuo taikomų jėgų. Tokiais atvejais neatsižvelgiame į nedidelius deformuojamo kūno matmenų pokyčius ir nedidelius išorinių jėgų taikymo taškų poslinkius ir skaičiuodami remiamės pradiniais kūno matmenimis ir pradine forma.

Reikėtų pažymėti, kad jėgų ir deformacijų santykių tiesiškumas dar neišplaukia iš poslinkių mažumo. Taigi, pavyzdžiui, suspaustoje K strypas apkrautas papildoma skersine jėga R, net ir su nedideliu nuokrypiu δ yra papildomas momentas M = Qδ, todėl problema yra nelinijinė. Tokiais atvejais suminiai įlinkiai nėra tiesinės jėgų funkcijos ir jų negalima gauti naudojant paprastą perdangą (superpoziciją).

Eksperimentiškai nustatyta, kad jei šlyties įtempiai veikia visus elemento paviršius, tai atitinkamo kampo iškraipymas priklauso tik nuo atitinkamų šlyties įtempių komponentų.

Pastovus G vadinamas šlyties moduliu arba šlyties moduliu.

Bendrąjį elemento deformacijos atvejį, kai jį veikia trys normaliosios ir trys tangentinės įtempių dedamosios, galima gauti naudojant superpoziciją: trys tiesinės deformacijos, nustatytos išraiškomis (5.2a), dedamos su trimis šlyties deformacijomis, nustatytomis ryšiais (5.2b). . Lygtys (5.2a) ir (5.2b) nustato ryšį tarp deformacijos ir įtempių komponentų ir yra vadinamos apibendrintas Huko dėsnis. Dabar parodykime, kad šlyties modulis G išreikštas tempimo moduliu E ir Puasono koeficientas μ . Norėdami tai padaryti, apsvarstykite ypatingą atvejį, kai σ x = σ , y = -σ Ir σz = 0.

Iškirpkite elementą abcd plokštumos lygiagrečios ašiai z ir pasviręs 45° kampu ašių atžvilgiu X Ir adresu(3 pav.). Kaip matyti iš 0 elemento pusiausvyros sąlygų bс, normalus stresas σ v visuose elemento paviršiuose abcd yra lygūs nuliui, o šlyties įtempiai yra lygūs

Ši streso būsena vadinama gryna pamaina. Lygtys (5.2a) reiškia, kad

tai yra horizontalaus elemento išplėtimas 0 c lygus vertikalaus elemento sutrumpėjimui 0 b: εy = -ε x.

Kampas tarp veidų ab Ir bc pokyčius ir atitinkamą šlyties įtempimo dydį γ galima rasti iš trikampio 0 bс:

Iš to išplaukia

Ištempus ir suspaudžiant strypą, pasikeičia jo ilgis ir skerspjūvio matmenys. Jei psichiškai išsirenkame iš nedeformuotos būsenos strypo ilgio elementą dx, tada po deformacijos jo ilgis bus lygus dx((3.6 pav.). Šiuo atveju absoliutus pailgėjimas ašies kryptimi Oi bus lygus

ir santykinė tiesinė deformacija e x yra apibrėžiamas lygybės

Nuo ašies Oi sutampa su strypo ašimi, išilgai kurios veikia išorinės apkrovos, vadiname deformacija e x išilginė deformacija, kurios indeksas toliau bus praleistas. Deformacijos ašiai statmenomis kryptimis vadinamos skersinėmis deformacijomis. Jei žymima b būdingas skerspjūvio dydis (3.6 pav.), tada skersinė deformacija nustatoma pagal ryšį

Santykinės tiesinės deformacijos yra be matmenų dydžiai. Nustatyta, kad strypo centrinio įtempimo ir gniuždymo metu skersinės ir išilginės deformacijos yra tarpusavyje susijusios priklausomybe.

Į šią lygybę įtrauktas kiekis v vadinamas Puasono koeficientas arba skersinės deformacijos koeficientas. Šis koeficientas yra viena iš pagrindinių medžiagos elastingumo konstantų ir apibūdina jos gebėjimą skersinėms deformacijoms. Kiekvienai medžiagai jis nustatomas atliekant tempimo arba gniuždymo bandymą (žr. § 3.5) ir apskaičiuojamas pagal formulę

Kaip matyti iš lygybės (3.6), išilginės ir skersinės deformacijos visada turi priešingus ženklus, o tai patvirtina akivaizdų faktą, kad įtempimo metu skerspjūvio matmenys mažėja, o gniuždant didėja.

Skirtingoms medžiagoms Puasono santykis yra skirtingas. Izotropinių medžiagų vertės gali svyruoti nuo 0 iki 0,5. Pavyzdžiui, kamštinės medienos Puasono koeficientas yra artimas nuliui, o gumos – artimas 0,5. Daugeliui metalų esant normaliai temperatūrai Puasono koeficiento reikšmė yra 0,25 + 0,35 intervale.

Daugelio eksperimentų metu nustatyta, kad daugumai konstrukcinių medžiagų esant mažoms deformacijoms yra tiesinis ryšys tarp įtempių ir deformacijų.

Šį proporcingumo dėsnį pirmasis nustatė anglų mokslininkas Robertas Hukas ir vadinamas Huko dėsnis.

Konstanta įtraukta į Huko dėsnį E vadinamas tamprumo moduliu. Tamprumo modulis yra antroji pagrindinė medžiagos tamprumo konstanta ir apibūdina jos standumą. Kadangi deformacijos yra bedimensiniai dydžiai, iš (3.7) išplaukia, kad tamprumo modulis turi įtempių matmenį.

Lentelėje. 3.1 rodo tamprumo modulio ir Puasono santykio reikšmes įvairioms medžiagoms.

Projektuojant ir skaičiuojant konstrukcijas, kartu su įtempių skaičiavimu, būtina nustatyti ir atskirų konstrukcijų taškų ir mazgų poslinkius. Apsvarstykite metodą, kaip apskaičiuoti poslinkius esant centrinei strypų įtempimui ir suspaudimui.

Absoliutus elemento pratęsimo ilgis dx(3.6 pav.) pagal (3.5) formulę yra

3.1 lentelė

Medžiagos pavadinimas	Tamprumo modulis, MPa	Koeficientas nuodai
Anglinio plieno
aliuminio lydiniai
Titano lydiniai
	(1,15-s-1,6) 10 5
palei pluoštus	(0,1 ^ 0,12) 10 5
per pluoštus	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
plytų mūras	(0,027 +0,03)-10 5
Stiklo pluoštas SVAM
Tekstolitas	(0,07 + 0,13)-10 5
Guma ant gumos

Integruodami šią išraišką diapazone nuo 0 iki x, gauname

Kur jų) - savavališkos sekcijos ašinis poslinkis (3.7 pav.), ir C= ir( 0) - pradinės sekcijos ašinis poslinkis x = 0. Jei ši atkarpa fiksuota, tai u(0) = 0, o savavališkos atkarpos poslinkis yra

Strypo pailgėjimas arba sutrumpėjimas lygus jo laisvojo galo ašiniam poslinkiui (3.7 pav.), kurio reikšmę gauname iš (3.8), darant prielaidą, kad x = 1:

Pakeisti į (3.8) formulę deformacijos išraišką? iš Huko dėsnio (3.7), gauname

Strypui, pagamintam iš pastovaus tamprumo modulio medžiagos E ašiniai poslinkiai nustatomi pagal formulę

Į šią lygybę įtrauktas integralas gali būti apskaičiuojamas dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitiškai parašyti funkciją Oi) ir vėlesnė integracija. Antrasis metodas pagrįstas tuo, kad nagrinėjamas integralas yra skaitiniu požiūriu lygus sklypo plotui a atkarpoje. Pristatome užrašą

Panagrinėkime ypatingus atvejus. Dėl sutelktos jėgos ištemptam meškerės R(ryžiai. 3.3, a), išilginė jėga. / V yra pastovi išilgai ir yra lygi R.Įtempiai a pagal (3.4) taip pat yra pastovūs ir lygūs

Tada iš (3.10) gauname

Iš šios formulės išplaukia, kad jei įtempiai tam tikroje strypo atkarpoje yra pastovūs, tai poslinkiai kinta pagal tiesinį dėsnį. Keičiant paskutinę formulę x = 1, Raskite strypo pailgėjimą:

Darbas EF paskambino strypo standumas įtempiant ir suspaudžiant. Kuo didesnė ši vertė, tuo mažesnis strypo pailgėjimas arba sutrumpėjimas.

Apsvarstykite strypą, kurį veikia tolygiai paskirstyta apkrova (3.8 pav.). Išilginė jėga savavališkame pjūvyje, nutolusiu atstumu x nuo tvirtinimo, yra lygi

Skirstymas Nįjungta F, gauname įtempių formulę

Pakeitę šią išraišką į (3.10) ir integruodami, randame

Didžiausias poslinkis, lygus viso strypo pailgėjimui, gaunamas x = / pakeičiant į (3.13):

Iš (3.12) ir (3.13) formulių matyti, kad jei įtempiai tiesiškai priklauso nuo x, tai poslinkiai kinta pagal kvadratinės parabolės dėsnį. Sklypai N, oi ir Ir parodyta pav. 3.8.

Bendrosios diferencinės priklausomybės susiejimo funkcijos jų) ir a(x), galima gauti iš santykio (3.5). Į šį ryšį pakeitę e iš Huko dėsnio (3.7), randame

Iš šios priklausomybės visų pirma išplaukia pirmiau pateiktuose pavyzdžiuose nurodyti funkcijos kitimo modeliai jų).

Be to, galima pastebėti, kad jei kurioje nors dalyje įtempiai išnyksta, tada diagramoje Iršioje dalyje gali būti ekstremumas.

Kaip pavyzdį sukurkime diagramą Ir strypui, parodytam fig. 3.2, dėjimas el. 10 4 MPa. Sklypo plotų skaičiavimas O skirtingoms sritims randame:

sekcija x = 1 m:

sekcija x = 3 m:

sekcija x = 5 m:

Viršutinėje diagramos juostos dalyje Ir yra kvadratinė parabolė (3.2 pav., e).Šiuo atveju atkarpoje x = 1 m yra ekstremumas. Apatinėje dalyje diagramos pobūdis yra tiesinis.

Bendras strypo pailgėjimas, kuris šiuo atveju yra lygus

galima apskaičiuoti naudojant (3.11) ir (3.14) formules. Kadangi apatinė strypo dalis (žr. 3.2 pav., A) ištemptas jėga R ( jo pailgėjimas pagal (3.11) lygus

Jėgos veiksmas R ( taip pat perduodama į viršutinę strypo dalį. Be to, jis suspaudžiamas jėga R 2 ir ištemptas tolygiai paskirstytos apkrovos q. Pagal tai jo ilgio pokytis apskaičiuojamas pagal formulę

Susumavus A/ ir A/ 2 reikšmes, gauname tą patį rezultatą kaip aukščiau.

Apibendrinant reikia pažymėti, kad nepaisant mažos strypų poslinkių ir pailgėjimų (sutrumpėjimų) įtempimo ir suspaudimo vertės, jų negalima nepaisyti. Galimybė apskaičiuoti šiuos dydžius svarbi daugeliui technologinių problemų (pavyzdžiui, montuojant konstrukcijas), taip pat sprendžiant statiškai neapibrėžtus uždavinius.