Diskrečiosios matematikos pagrindai.

Rinkinio samprata. Ryšys tarp aibių.

Rinkinys yra daiktų, turinčių tam tikrą savybę, rinkinys, sujungtas į vieną visumą.

Aibę sudarantys objektai vadinami elementai rinkiniai. Tam, kad tam tikras objektų rinkinys būtų vadinamas rinkiniu, turi būti įvykdytos šios sąlygos:

· Turėtų būti taisyklė, pagal kurią galima nustatyti, ar elementas priklauso tam tikrai kolekcijai.

· Turi būti taisyklė, pagal kurią elementus būtų galima atskirti vienas nuo kito.

Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis, o jos elementai – mažosiomis raidėmis. Būdai nurodyti rinkinius:

· Aibės elementų išvardijimas. - baigtiniams rinkiniams.

Nurodant būdingą savybę .

tuščias rinkinys- vadinama aibe, kurioje nėra jokio elemento (Ø).

Sakoma, kad dvi aibės yra lygios, jei jos susideda iš tų pačių elementų. , A=B

Krūva B vadinamas aibės poaibiu A( , jei ir tik visi rinkinio elementai B priklauso rinkiniui A.

Pavyzdžiui: , B =>

Nuosavybė:

Pastaba: paprastai apsvarstykite tos pačios aibės poaibį, kuris vadinamas Universalus(u). Universaliame rinkinyje yra visi elementai.

Operacijos rinkiniuose.

A

B

1. asociacija 2 aibėmis A ir B vadinama tokia aibė, kuriai priklauso aibės A arba aibės B elementai (bent vienos iš aibių elementai).

2.kirtimas 2 rinkiniai yra naujas rinkinys, susidedantis iš elementų, kurie vienu metu priklauso ir pirmajam, ir antrajam rinkiniui.

Nr: , ,

Savybė: susijungimo ir sankryžos operacijos.

· Komutatyvumas.

Asociatyvumas. ;

· Paskirstymo. ;

U

4.Papildymas. Jeigu A yra universalios aibės poaibis U, tada aibės papildinys A per daug U(žymimas) – aibė, susidedanti iš tų aibės elementų U, kurie nepriklauso rinkiniui A.

Dvejetainiai santykiai ir jų savybės.

Leisti A Ir IN tai išvestinio pobūdžio rinkiniai, apsvarstykite sutvarkytą elementų porą (a, c) a ϵ A, c ϵ B užsakytus „enkus“ galima laikyti.

(a 1, a 2, a 3,...a n), Kur A 1 ϵ A 1; A 2 ϵ A 2; …; A n ϵ A n ;

Dekartinis (tiesioginis) aibių sandauga A 1, A 2, ..., A n, vadinama aibe, kurią sudaro formos n k eilės tvarka.

Nr: M= {1,2,3}

M × M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Dekarto sandaugos poaibiai vadinamas laipsnių santykiu n arba enarinis santykis. Jeigu n=2, tada apsvarstykite dvejetainis santykiai. Ką jie taip sako a 1, a 2 yra dvejetainiame santykyje R, Kada a 1 R a 2.

Dvejetainis ryšys aibėje M vadinamas aibės tiesioginės sandaugos poaibiu n ant savęs.

M × M = M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) ankstesniame pavyzdyje santykis rinkinyje yra mažesnis M sugeneruoja šį rinkinį: ((1,2);(1,3); (2,3))

Dvejetainiai santykiai turi įvairių savybių, įskaitant:

Refleksyvumas: .

· Antirefleksyvumas (irrefleksyvumas): .

· Simetrija: .

· Antisimetrija: .

· Tranzityvumas: .

· Asimetrija: .

Santykių tipai.

Ekvivalentiškumo santykis;

· Užsakymo santykis.

v Refleksinis pereinamasis ryšys vadinamas kvazitvarkės ryšiu.

v Refleksinis simetrinis tranzityvinis ryšys vadinamas ekvivalentiškumu.

v Refleksinis antisimetrinis tranzityvinis ryšys vadinamas (dalinės) eilės ryšiu.

v Antirefleksinis antisimetrinis tranzityvinis ryšys vadinamas griežtos eilės ryšiu.

Apibrėžimas. Dvejetainis santykis R vadinamas porų pogrupiu (a,b)∈R Dekarto sandauga A×B, ty R⊆A×B . Tuo pačiu metu daugelis A vadinama santykio R apibrėžimo sritimi, aibė B – reikšmių sritimi.

Žymėjimas: aRb (t. y. a ir b yra susiję su R). /

komentuoti: jei A = B , tai R yra aibės A ryšys.

Dvejetainių ryšių nustatymo būdai

1. Sąrašas (porų išvardijimas), kurioms šis ryšys tenkinamas.

2. Matrica. Dvejetainis ryšys R ∈ A × A , kur A = (a 1 , a 2 ,..., a n), atitinka kvadratinę n eilės matricą, kurioje elementas c ij , kuris yra i sankirtoje. -toji eilutė ir j-tas stulpelis yra lygus 1, jei yra ryšys R tarp a i ir a j , arba 0, jei jo nėra:

Santykių savybės

Tegu R yra aibės A santykis, R ∈ A×A . Tada santykis R:

refleksiškai, jei Ɐ a ∈ A: a R a (pagrindinėje refleksinio ryšio matricos įstrižainėje yra tik vienetai);

yra antirefleksinis, jei Ɐ a ∈ A: a R a (pagrindinėje refleksinio ryšio matricos įstrižainėje yra tik nuliai);

simetriškas, jei Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (tokio ryšio matrica yra simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, t. y. c ij c ji);

antisimetriškas, jei Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (tokio ryšio matricoje simetriškų pagrindinės įstrižainės atžvilgiu nėra);

tranzityviai, jei Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c eilutė, ty c ij = 1 , tai visi j-oje eilutėje esantys vienetai (tegul šie vienetai atitinka k e koordinates, kad, c jk = 1) turi atitikti esančius i-oje eilutėje tose pačiose k koordinatėse, ty c ik = 1 (ir, galbūt, ir kitose koordinatėse).

3.1 užduotis. Nustatykite santykio R - "būti dalikliu" savybes, pateiktą natūraliųjų skaičių aibėje.

Sprendimas.

santykis R = ((a,b):a daliklis b):

refleksinis, o ne antirefleksinis, nes bet kuris skaičius dalijasi be liekanos: a/a = 1 visiems a∈N ;

ne simetriškas, antisimetriškas, pavyzdžiui, 2 yra 4 daliklis, bet 4 nėra 2 daliklis;

tranzityviai, nes jei b/a ∈ N ir c/b ∈ N, tai c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, pavyzdžiui, jei 6/3 = 2∈N ir 18/6 = 3∈N , tada 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

3.2 užduotis. Nustatykite santykio R savybes - „būti broliu“, pateikto žmonių rinkinyje.
Sprendimas.

Santykis R = ((a,b):a – b brolis):

nerefleksinis, antirefleksinis dėl akivaizdaus aRa nebuvimo visiems a;

ne simetriškas, nes apskritai tarp brolio a ir sesers b yra aRb, bet ne bRa ;

ne antisimetriškas, nes jei a ir b yra broliai, tai aRb ir bRa, bet a≠b;

tranzityviai, jei broliais vadiname žmones, turinčius bendrus tėvus (tėvą ir motiną).

3.3 užduotis. Nustatykite struktūros elementų rinkinyje nurodyto santykio R - "būti viršininku" savybes

Sprendimas.

Santykis R = ((a,b) : a – viršininkas b):

• nerefleksyvus, antirefleksyvus, jei tai neturi prasmės tam tikru aiškinimu;
• ne simetriškas, antisimetriškas, nes visiems a≠b aRb ir bRa netenkinami vienu metu;
• tranzityviai, nes jei a yra b galvutė ir b yra c galva, tai a yra c galva.

Nustatykite sąryšio R i, apibrėžto aibėje M i matrica, savybes, jei:

1. R 1 "turi tą patį likutį, kai dalijamas iš 5"; M 1 yra natūraliųjų skaičių aibė.
2. R2 "būti lygus"; M 2 yra natūraliųjų skaičių aibė.
3. R 3 „gyvena tame pačiame mieste“; M 3 žmonių rinkinys.
4. R 4 „būk pažįstamas“; M 4 daug žmonių.
5. R 5 ((a,b):(a-b) – lyginis; M 5 skaičių rinkinys (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) – lyginis; M 6 skaičių rinkinys (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R7 ((a,b):(a+1) – daliklis (a+b)); M 7 - rinkinys (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R8 ((a,b):a - daliklis (a+b),a≠1); M 8 yra natūraliųjų skaičių aibė.
9. R 9 „būti seserimi“; M 9 – daug žmonių.
10. R 10 „būti dukra“; M 10 – daug žmonių.

Dvejetainių santykių operacijos

Tegu R 1 , R 1 yra aibėje A apibrėžti santykiai.

sąjunga R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 arba (a,b) ∈ R2);

sankryža R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 ir (a, b) ∈ R 2 );

skirtumas R1\R2: R1\R2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 ir (a,b) ∉ R2);

universalus požiūris U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

papildymas R 1 U \ R 1 , kur U = A × A;

tapatybės santykis I: = ((a;a) / a ∈ A);

atvirkštinis santykis R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

kompozicija R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a, b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), kur R 1 ⊂ A × C ir R 2 ⊂ C×B;

Apibrėžimas. Santykių laipsnis R aibėje A yra jos sudėtis su savimi.

Pavadinimas:

Apibrėžimas. Jei R ⊂ A × B, vadinasi R º R -1 santykio branduolys R .

3.1 teorema. Tegu R ⊂ A × A yra aibėje A apibrėžtas ryšys.

1. R yra refleksinis tada ir tik tada (toliau naudojamas ženklas ⇔), kai I ⊂ R.
2. R yra simetriškas ⇔ R = R -1 .
3. R yra tranzityvus ⇔ R º R ⊂ R
4. R yra antisimetriškas ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R yra antirefleksinis ⇔ R ⌒ I = ∅ .

3.4 užduotis . Tegu R yra ryšys tarp aibių (1,2,3) ir (1,2,3,4), gautas išvardijant poras: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Be to, S yra ryšys tarp aibių S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Apskaičiuokite R -1 , S -1 ir S º R. Patikrinkite, ar (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Sprendimas.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

3.5 užduotis . Tegul R yra santykis „...tėvas...“, o S – santykis „...brolis...“ visų žmonių aibėje. Trumpai apibūdinkite santykius žodžiu:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 ir R º R.

Sprendimas.

R -1 - santykis "... vaikas ...";

S -1 - santykis "... brolis ar sesuo ...";

R º S - santykis "... tėvas ...";

S -1 º R -1 - santykis "... vaikas ..."

R º R - santykis "...močiutė ar senelis..."

Savarankiško sprendimo užduotys

1) Tegul R yra santykis „...tėvas...“, o S – santykis „...sesuo...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , R º R.

2) Tegul R yra santykis „...brolis...“, o S – santykis „...motina...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Tegul R yra santykis „...senelis...“, o S – santykis „...sūnus...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

4) Tegul R yra santykis „...dukra...“, o S – santykis „...močiutė...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

5) Tegul R yra santykis „...dukterėčia...“, o S – santykis „...tėvas...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Tegul R yra santykis „sesuo...“, o S – santykis „motina...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

7) Tegul R yra santykis „...motina...“, o S – santykis „...sesuo...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Tegul R yra santykis „...sūnus...“, o S – santykis „...senelis...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Tegul R yra santykis „...sesuo...“, o S – santykis „...tėvas...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

10) Tegul R yra santykis „...motina...“, o S – santykis „...brolis...“ visų žmonių aibėje. Žodžiu apibūdinkite santykius:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Apibrėžimai

• 1. Dvejetainis ryšys tarp aibių A ir B elementų yra bet kuris Dekarto sandaugos RAB, RAA poaibis.
• 2. Jei A=B, tai R yra dvejetainis A santykis.
• 3. Žymėjimas: (x, y)R xRy.
• 4. Dvejetainio ryšio R sritis yra aibė R = (x: yra y, kad (x, y)R).
• 5. Dvejetainio ryšio R diapazonas yra aibė R = (y: yra x, kad (x, y)R).
• 6. Dvejetainio ryšio R tarp elementų A ir B komplementas yra aibė R = (AB) R.
• 7. Dvejetainio ryšio R atvirkštinis ryšys yra aibė R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Ryšių R1AB ir R2BC sandauga yra santykis R1 R2 = ((x, y) : egzistuoja toks zB, kad (x, z)R1 ir (z, y)R2).
• 9. Ryšys f vadinamas funkcija nuo A iki B, jei tenkinamos dvi sąlygos:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) visiems x, y1, y2, tai, kad (x, y1)f ir (x, y2)f reiškia y1=y2.
• 10. Ryšys f vadinamas funkcija nuo A iki B, jei pirmoje pastraipoje f = A, f = B.
• 11. Žymėjimas: (x, y)f y = f(x).
• 12. Identifikavimo funkcija iA: AA apibrėžiama taip: iA(x) = x.
• 13. Funkcija f vadinama 1-1 funkcija, jei bet kuriam x1, x2, y tai, kad y = f(x1) ir y = f(x2) reiškia, kad x1=x2.
• 14. Funkcija f: AB atlieka A ir B atitikimą vienas su vienu, jei f = A, f = B ir f yra 1-1 funkcija.
• 15. Dvejetainio ryšio R savybės aibėje A:
  • - refleksyvumas: (x, x)R visiems xA.
  • - nerefleksyvumas: (x, x)R visiems xA.
  • - simetrija: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisimetrija: (x, y)R ir (y, x)R x=y.
  • - tranzityvumas: (x, y)R ir (y, z)R (x, z)R.
  • - dichotomija: arba (x, y)R arba (y, x)R visiems xA ir yA.
• 16. Aibės A1, A2, ..., Ar iš P(A) sudaro aibės A skaidinį, jei
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Poaibiai Аi , i = 1, ..., r, vadinami skaidinių blokais.

• 17. Ekvivalentiškumas aibėje A yra refleksinis, pereinamasis ir simetriškas santykis su A.
• 18. Elemento x lygiavertiškumo klasė pagal ekvivalentą R yra aibė [x]R=(y: (x, y)R).
• 19. Koeficientų aibė A iš R yra aibės A elementų lygiavertiškumo klasių aibė. Pavadinimas: A/R.
• 20. Ekvivalentiškumo klasės (faktorių aibės A/R elementai) sudaro aibės A skaidinį. Ir atvirkščiai. Bet kuri aibės A skaidinys atitinka ekvivalentiškumo santykį R, kurio lygiavertiškumo klasės sutampa su nurodytos skaidinio blokais. Kitaip. Kiekvienas aibės A elementas patenka į kurią nors lygiavertiškumo klasę iš A/R. Ekvivalentiškumo klasės arba nesikerta, arba sutampa.
• 21. Aibės A išankstinis užsakymas yra refleksyvus ir pereinamasis santykis su A.
• 22. Dalinė tvarka aibėje A yra refleksinis, pereinamasis ir antisimetrinis santykis A.
• 23. Linijinė tvarka aibėje A yra refleksinis, tranzityvus ir antisimetriškas santykis A, kuris tenkina dichotomijos savybę.

Tegu A=(1, 2, 3), B=(a, b). Išrašykime Dekarto sandaugą: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Paimkite bet kurį šio Dekarto sandaugos poaibį: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Tada R yra dvejetainis ryšys aibėse A ir B.

Ar šis santykis bus funkcija? Patikrinkime dviejų sąlygų 9a) ir 9b) įvykdymą. Ryšio R sritis yra aibė R = (1, 2) (1, 2, 3), tai yra, netenkinama pirmoji sąlyga, todėl vieną iš porų reikia pridėti prie R: (3, a) arba (3, b). Sudėjus abi poras, antroji sąlyga nebus įvykdyta, nes ab. Dėl tos pačios priežasties vieną iš porų (1, a) arba (1, b) reikia išmesti iš R. Taigi santykis R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) yra funkcija. Atminkite, kad R nėra 1–1 funkcija.

Duotose aibėse A ir B šie ryšiai taip pat bus funkcijos: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), (1, b), (2, b), (3, b) ) ir kt.

Tegu A=(1, 2, 3). Ryšio aibėje A pavyzdys yra R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Aibės A funkcijos pavyzdys yra f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1. Raskite R, R, R1, RR, RR1, R1R, jei R = ((x, y) | x, y D ir x+y0).

Jei (x, y)R, tai x ir y eina per visus realiuosius skaičius. Todėl R = R = D.

Jei (x, y)R, tai x+y0, taigi y+x0 ir (y, x)R. Todėl R1=R.

Bet kuriam xD, yD imame z=-|max(x, y)|-1, tada x+z0 ir z+y0, t.y. (x, z)R ir (z, y)R. Todėl RR = RR1 = R1R = D2.

2. Kuriems dvejetainiams ryšiams R yra teisingas R1= R?

Tegul RAB. Galimi du atvejai:

• (1) AB. Paimkime xAB. Tada (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Prieštaravimas.
• (2) AB=. Kadangi R1BA ir RAB, tai R1= R= . Iš R1 = išeina, kad R = . Iš R = išeina, kad R = AB. Prieštaravimas.

Todėl jei A ir B, tai tokių ryšių R nėra.

3. Realiųjų skaičių aibėje D apibrėžiame ryšį R taip: (x, y)R (x-y) yra racionalusis skaičius. Įrodykite, kad R yra ekvivalentas.

Refleksyvumas:

Bet kuriam xD x-x=0 yra racionalus skaičius. Kadangi (x, x)R.

Simetrija:

Jei (x, y)R, tai x-y = . Tada y-x=-(x-y)=- yra racionalus skaičius. Todėl (y, x)R.

Tranzityvumas:

Jei (x, y)R, (y, z)R, tai x-y = ir y-z =. Sudėjus šias dvi lygtis, gauname, kad x-z = + yra racionalus skaičius. Todėl (x, z)R.

Taigi R yra lygiavertė.

4. Plokštumos D2 pertvara susideda iš blokų, pavaizduotų a paveiksle). Užrašykite šią skaidinį atitinkantį ekvivalentiškumo santykį R ir lygiavertiškumo klases.

Panaši b) ir c) problema.

a) du taškai yra lygiaverčiai, jei jie yra tiesėje, kurios formos y=2x+b, kur b yra bet koks realusis skaičius.

b) du taškai (x1,y1) ir (x2,y2) yra lygiaverčiai, jei (sveikaoji x1 dalis lygi x2 sveikajai daliai) ir (sveikaoji y1 dalis lygi y2 sveikajai daliai).

c) Spręskite patys.

Savarankiško sprendimo užduotys

• 1. Įrodykite, kad jei f yra funkcija nuo A iki B ir g yra funkcija nuo B iki C, tai fg yra funkcija nuo A iki C.
• 2. Tegu A ir B yra baigtinės aibės, sudarytos atitinkamai iš m ir n elementų.

Kiek dvejetainių ryšių egzistuoja tarp aibių A ir B elementų?

Kiek funkcijų yra nuo A iki B?

Kiek 1-1 funkcijų yra nuo A iki B?

Kokiam m ir n yra vienas su vienu atitikimas tarp A ir B?

3. Įrodykite, kad f tenkina bet kurių A ir B sąlygą f(AB)=f(A)f(B) tada ir tik tada, kai f yra funkcija 1-1.

Aibėje apibrėžtas ryšys gali turėti daugybę savybių, būtent:

2. Refleksyvumas

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas refleksiniu, jei kiekvienas elementas X rinkiniai X yra santykyje R Su savimi.

Naudojant simbolius, šis ryšys gali būti parašytas taip:

R reflektyviai ant X Û(" XÎ X) x R x

Pavyzdys. Lygybės santykis segmentų aibėje yra refleksinis, nes kiekvienas segmentas yra lygus sau.

Refleksinio ryšio grafikas turi kilpas visose viršūnėse.

2. Antirefleksyvumas

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas antirefleksiniu, jei nėra elemento X rinkiniai X ne santykyje R Su savimi.

R antirefleksiškai įjungtas X Û(" XÎ X)

Pavyzdys. Santykiai „tiesioginiai X statmenai linijai adresu» linijų rinkinyje plokštumoje yra antirefleksinis, nes jokia plokštumos tiesė nėra statmena sau pačiai.

Antirefleksinio ryšio grafike nėra kilpų.

Atkreipkite dėmesį, kad yra santykių, kurie nėra nei refleksyvūs, nei antirefleksyvūs. Pavyzdžiui, apsvarstykite santykį „taškas X simetriškas taškui adresu» plokštumos taškų rinkinyje.

Taškas X simetriškas taškui X- tiesa; taškas adresu simetriškas taškui adresu- yra klaidingas, todėl negalime teigti, kad visi plokštumos taškai yra simetriški patys sau, taip pat negalime teigti, kad nė vienas plokštumos taškas nėra simetriškas sau pačiam.

3. Simetrija

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas simetriniu, jei nuo to, kad elementas X yra santykyje R su elementu adresu, iš to seka, kad elementas adresu yra santykyje R su elementu X.

R simetriškas X Û(" X, adresuÎ X) x R y Þ y R x

Pavyzdys. Santykiai „tiesioginiai X kerta liniją adresu plokštumos tiesių aibėje“ yra simetriška, nes jei tiesus X kerta liniją adresu, tada tiesi linija adresu turi kirsti liniją X.

Simetrinių santykių grafikas kartu su kiekviena rodykle iš taško X tiksliai adresu turėtų būti rodyklė, jungianti tuos pačius taškus, bet priešinga kryptimi.

4. Asimetrija

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas asimetrine, jei nėra elementų X, adresu iš daugelio X negali atsitikti, kad elementas X yra santykyje R su elementu adresu ir elementas adresu yra santykyje R su elementu X.

R asimetrinis X Û(" X, adresuÎ X) x R y Þ

Pavyzdys. Požiūris " X < adresu» asimetriškai, nes bet kuriai elementų porai X, adresu negalima sakyti, kad tuo pačiu metu X < adresu Ir adresu<X.

Asimetrinio ryšio grafikas neturi kilpų, o jei dvi grafiko viršūnės yra sujungtos rodykle, tai ši rodyklė yra tik viena.

5. Antisimetrija

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas antisimetriniu, jei nuo to, kad X yra santykiuose su adresu, A adresu yra santykiuose su X seka tuo X = y.

R antisimetriškas X Û(" X, adresuÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Pavyzdys. Požiūris " X£ adresu» yra antisimetriškas, nes sąlygos X£ adresu Ir adresu£ X yra vykdomi tuo pačiu metu tik tada, kai X = y.

Antisimetrinio ryšio grafikas turi kilpas, o jei dvi grafo viršūnės yra sujungtos rodykle, tai ši rodyklė yra tik viena.

6. Tranzityvumas

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X yra vadinamas tranzityviniu, jei bet kokiems elementams X, adresu, z iš daugelio X nuo ko X yra santykiuose su adresu, A adresu yra santykiuose su z seka tuo X yra santykiuose su z.

R tranzityvus X Û(" X, adresu, zÎ X) x R y Ù adresu RzÞ x Rz

Pavyzdys. Požiūris " X daugkartinis adresu» yra tranzityvus, nes jei pirmasis skaičius yra antrojo kartotinis, o antrasis yra trečiojo kartotinis, tai pirmasis skaičius yra trečiojo kartotinis.

Pereinamojo ryšio diagrama su kiekviena rodyklių pora iš XĮ adresu ir iš adresuĮ z yra rodyklė iš XĮ z.

7. Ryšys

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas prijungtu, jei bet kokiems elementams X, adresu iš daugelio x x yra santykiuose su adresu arba adresu yra santykiuose su X arba x = y.

R prijungtas X Û(" X, adresu, zÎ X) x R y Ú adresu RzÚ X= adresu

Kitaip tariant: santykis R filmavimo aikštelėje X vadinamas sujungtu, jei bet kokiems atskiriems elementams X, adresu iš daugelio x x yra santykiuose su adresu arba adresu yra santykiuose su X arba x = y.

Pavyzdys. Požiūris " X< adresu» yra prijungtas, nes kad ir kokius tikrus skaičius imtume, vienas iš jų tikrai bus didesnis už kitą arba lygus.

Santykių grafe visos viršūnės yra sujungtos rodyklėmis.

Pavyzdys. Patikrinkite kokias savybes

požiūris " X - skirstytuvas adresu» apibrėžta rinkinyje

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) šis santykis yra refleksinis, nes kiekvienas skaičius iš duotosios aibės yra savęs daliklis;

2) šis santykis neturi antirefleksiškumo savybės;

3) simetrijos savybė netenkinama, nes pavyzdžiui, 2 yra 4 daliklis, bet 4 nėra 2 daliklis;

4) šis ryšys yra antisimetriškas: du skaičiai vienu metu gali būti vienas kito dalikliai tik tada, kai šie skaičiai yra lygūs;

5) santykis yra tranzityvus, kadangi jei vienas skaičius yra antrojo daliklis, o antrasis – trečiojo, tai pirmasis skaičius būtinai bus trečiojo daliklis;

6) ryšys neturi jungiamumo savybės, kadangi pavyzdžiui, skaičiai 2 ir 3 diagramoje nėra sujungti rodykle, nes du skirtingi skaičiai 2 ir 3 nėra vienas kito dalikliai.

Taigi šis santykis turi refleksyvumo, asimetrijos ir tranzityvumo savybes.

§ 3. Lygiavertiškumo santykis.
Ekvivalentiškumo ryšio ryšys su aibės skirstymu į klases

Apibrėžimas. Požiūris R filmavimo aikštelėje X vadinamas ekvivalentiškumu, jei jis yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus.

Pavyzdys. Apsvarstykite santykius " X klasiokas adresu» ant pedagoginio fakulteto studentų rinkinio. Jis turi savybių:

1) refleksyvumas, kadangi kiekvienas mokinys yra sau bendraklasis;

2) simetrija, nes jei studentas X adresu, tada studentas adresu yra mokinio bendraklasis X;

3) tranzityvumas, nes jei studentas X- klasiokas adresu, ir studentas adresu- klasiokas z, tada studentas X būti mokinio klasioku z.

Taigi šis ryšys turi refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo savybes, todėl yra lygiavertiškumo santykis. Tuo pačiu metu pedagoginio fakulteto studentų rinkinį galima suskirstyti į pogrupius, sudarytus iš studentų, įtrauktų į tą patį kursą. Gauname 5 pogrupius.

Ekvivalentiškumo santykis taip pat yra, pavyzdžiui, lygiagrečių tiesių santykis, figūrų lygybės santykis. Kiekvienas toks santykis yra susijęs su aibės padalijimu į klases.

Teorema. Jei filmavimo aikštelėje X atsižvelgiant į lygiavertiškumo santykį, tada jis padalija šią aibę į poromis disjunktinius poaibius (ekvivalentiškumo klases).

Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei aibėje apibrėžtas koks nors ryšys X, sugeneruoja šio rinkinio skaidinį į klases, tada tai yra ekvivalentiškumo santykis.

Pavyzdys. Filmavimo aikštelėje X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) pateiktas santykis „turėti tą patį likutį padalijus iš 3“. Ar tai lygiavertiškumo santykis?

Sukurkime šio ryšio grafiką:

Šis ryšys turi refleksiškumo, simetrijos ir tranzityvumo savybes, todėl yra lygiavertiškumo santykis ir skaido aibę Xį lygiavertiškumo klases. Kiekvienoje lygiavertiškumo klasėje bus skaičiai, kuriuos padalijus iš 3, gaunama tokia pati likutis: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Manoma, kad lygiavertiškumo klasę lemia bet kuris jos atstovas, t.y. savavališkas šios klasės elementas. Taigi lygių trupmenų klasę galima nurodyti nurodant bet kurią šiai klasei priklausančią trupmeną.

Pradiniame matematikos kurse pasitaiko ir lygiavertiškumo ryšių, pavyzdžiui, „išraiškos X Ir adresu turi tas pačias skaitines reikšmes“, „pav X lygus figūrai adresu».

Tegul kokia nors netuščia aibė A, o R yra koks nors aibės A Dekarto kvadrato poaibis: R  A  A.

požiūris R filmavimo aikštelėje A vadinamas aibės poaibiu A A(arba A 2 ). Taigi požiūris yra specialus derinimo atvejis, kai atvykimo zona yra tokia pati kaip išvykimo zona. Kaip ir atitikmuo, santykis yra sutvarkyta pora, kurioje abu elementai priklauso tai pačiai aibei.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Tai, kad ( a, b)R gali būti parašytas taip: a R b. Jame parašyta: " A yra susijęs su R b“ arba „tarp A Ir b galioja santykis R. Kitu atveju parašykite: a, b)R arba aR b.

Skaičių rinkinio santykių pavyzdys yra toks: "=", "", "", ">" ir kt. Bet kurios įmonės darbuotojų rinkinyje požiūris „būti viršininku“ arba „būti pavaldiniu“, giminaičių rinkinyje – „būti protėviu“, „būti broliu“, „būti tėvu“. “ ir kt.

Nagrinėjami ryšiai vadinami dvejetainiais (dviejų vietų) vienarūšiais ryšiais ir yra svarbiausi matematikoje. Kartu su jais jie taip pat svarsto P- vietinis arba P-ariniai santykiai:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Kadangi ryšys yra ypatingas susirašinėjimo atvejis, jiems nustatyti galima naudoti visus anksčiau aprašytus metodus.

Akivaizdu, kad nustatę santykį matriciniu būdu, gauname kvadratinę matricą.

Su geometriniu (grafiniu) santykių pavaizdavimu gauname diagramą, kurioje yra:

viršūnės, pažymėtos taškais arba apskritimais, atitinkančias aibės elementus,

ir lankai (linijos), atitinkantys elementų poras, įtrauktas į dvejetainius ryšius, žymimos linijomis su rodyklėmis, nukreiptomis iš elementą atitinkančios viršūnės a į elementą atitinkantį viršų b , Jei a Rb .

Tokia figūra vadinama dvejetainio ryšio nukreiptu grafiku (arba dvikalbiu).

4.9.1 užduotis . Santykis „būti aibės M = (1, 2, 3, 4) dalikliu“. matrica:

išvardijimas: R = ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4 ));

geometriškai (grafiškai):

1. Aibėje A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) išrašykite sutvarkytas poras, priklausančias šiems dvejetainiams ryšiams:

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Ryšys R aibėje X = (a, b, c, d) pateikiamas matrica

,

kurioje eilučių ir stulpelių tvarka atitinka išrašytų elementų tvarką. Išvardykite poras, kurios priklauso tam tikram ryšiui. Parodykite ryšį naudodami grafiką.

3. Ryšys aibėje A = (1, 2, 3, 4) pavaizduotas grafiku. Būtina:

surašyti sutvarkytas poras, kurios priklauso R;

išrašykite atitinkamą matricą;

apibrėžkite šį ryšį naudodami predikatus.

(atsakymas: a-b= 1).

4.10. Pagrindiniai dvejetainių santykių tipai (savybės).

Tegu dvejetainis santykis R filmavimo aikštelėje A 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

dvejetainis ryšys R filmavimo aikštelėje A paskambino atspindintis, jei kam aA atlikta aRa, tai yra ( A,A)R. Refleksinio ryšio matricos pagrindinė įstrižainė susideda iš vienetų. Refleksinio ryšio grafikas būtinai turi kilpas kiekvienoje viršūnėje.

Pavyzdžiai refleksiniai santykiai: , =,  realiųjų skaičių aibėje, „nebūti viršininku“ darbuotojų aibėje.

dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas antirefleksinis (nerefleksyvi), jei yra aA nesilaiko santykio aRa, tai yra ( A,A)R. Pagrindinė nerefleksyviojo ryšio matricos įstrižainė susideda iš nulių. Nerefleksinio ryšio grafikas neturi kilpų.

Pavyzdžiai antirefleksiniai santykiai:<, >realiųjų skaičių aibėje, eilučių statmenumas tiesių aibėje.

dvejetainis ryšys R filmavimo aikštelėje A paskambino simetriškas, jei kam a, bA iš aRb turėtų bRa ty jei ( a, b)R, tada ir ( b, a)R. Simetrinio santykio matrica yra simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu ( σ ij = σ ji). Simetrinio ryšio grafikas nėra nukreiptas (kraštinės rodomos be rodyklių). Kiekviena viršūnių pora čia yra sujungta nenukreipta briauna.

Pavyzdžiai simetriniai santykiai:  realiųjų skaičių aibėje, „būti giminaičiu“ žmonių aibėje.

dvejetainis ryšys R filmavimo aikštelėje A vadinamas:

antisimetriškas, jei kam a, bA iš aRb Ir bRa seka tuo a=b. Tai yra, jei ( a, b)R Ir ( b, a)R, tada iš to seka a=b. Antisimetrinio santykio matricoje išilgai pagrindinės įstrižainės yra visi 1 ir nėra 1 poros, esančios simetriškose vietose pagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Kitaip tariant, viskas σ ii=1, ir jei σ ij=1, tada būtinai σ ji=0. Antisimetrinio ryšio grafas turi kilpas kiekvienoje viršūnėje, o viršūnes jungia tik vienas nukreiptas lankas.

Pavyzdžiai antisimetriniai ryšiai: , ,  realiųjų skaičių aibėje; ,  ant rinkinių;

Asimetriškas, jei kam a, bA iš aRb sekė nesėkmė bRa ty jei ( a, b)R, tai ( b, a) R. Pasvirimo santykio matrica išilgai pagrindinės įstrižainės turi nulius ( σ ij=0) visi ir nėra simetriškų vienetų porų (jei σ ij=1, tada būtinai σ ji=0). Asimetrinio ryšio grafikas neturi kilpų, o viršūnes jungia vienas nukreiptas lankas.

Asimetrinių santykių pavyzdžiai:<, >realiųjų skaičių rinkinyje, „būti tėvu“ žmonių aibėje.

dvejetainis ryšys R filmavimo aikštelėje A paskambino tranzityvusnym, jei kam a, b, SuA iš aRb Ir bRa iš to seka, kad ir aRSu. Tai yra, jei ( a, b)R Ir ( b, Su)R tai seka ( A, Su)R. Tranzityvinė santykio matrica pasižymi tuo, kad jei σ ij=1 ir σ jm=1, tada būtinai σ aš=1. Pereinamųjų santykių grafikas yra toks, kad jei, pavyzdžiui, pirmoji-antra ir antroji-trečia viršūnės yra sujungtos lankais, tai būtinai yra lankai nuo pirmosios iki trečiosios viršūnės.

Pavyzdžiai pereinamieji santykiai:<, , =, >,  realiųjų skaičių aibėje; „būti viršininku“ tam tikrai darbuotojų grupei.

dvejetainis ryšys R filmavimo aikštelėje A paskambino antitranzityvusnym, jei kam a, b, SuA iš aRb Ir bRa iš to išplaukia, kad jis neįvykdytas aRSu. Tai yra, jei ( a, b)R Ir ( b, Su)R tai seka ( A, Su) R. Antitranzityvinė santykio matrica pasižymi tuo, kad jei σ ij=1 ir σ jm=1, tada būtinai σ aš=0. Antitranzityvinio ryšio grafikas yra toks, kad jei, pavyzdžiui, pirmoji-antra ir antroji-trečia viršūnės yra sujungtos lankais, tai lanko nuo pirmos iki trečiosios viršūnės būtinai nėra.

Antitranzityvinių santykių pavyzdžiai: "pariteto neatitikimas" sveikųjų skaičių aibėje; „būti tiesioginiu vadovu“ tam tikram darbuotojų rinkiniui.

Jei ryšys neturi kokios nors savybės, tada pridėję trūkstamas poras galite gauti naują ryšį su šia savybe. Tokių trūkstamų porų aibė vadinama uždarymas santykiai su šiuo turtu. Pažymėkite kaip R* . Tokiu būdu galite gauti refleksinį, simetrišką ir pereinamąjį uždarymą.

4.10.1 uždavinys. Aibėje A = (1, 2, 3, 4) santykis R=(( a,b)| a,bA, a+b lyginis skaičius). Nustatykite šio ryšio tipą.

Sprendimas. Šio ryšio matrica yra tokia:

. Akivaizdu, kad santykiai yra atspindintis, nes pagrindinėje įstrižainėje yra vienetų. Tai simetriškai: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . tranzityviai: (1,3)R, (3,1)R ir (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R ir (2,2)R ir kt.

4.10.2 uždavinys. Kokios savybės aibėje A = ( a, b, c, d) turi dvejetainį ryšį R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Sprendimas . Sukurkime šio ryšio matricą ir jo grafiką:

Požiūris nerefleksiškai, kadangi visi σ ii= 0. Tai Ne simetriškai, kadangi σ 23 =1 ir σ 32 =0, tačiau σ 12 =σ 21 =1. Požiūris Ne tranzityviai, nes σ 12 =1, σ 23 =1 ir σ 13 =0; σ 12 = 1, σ 21 = 1 ir σ 11 = 0; bet tuo pačiu metu σ 12 =1, σ 24 =1 ir σ 14 =1.

4.10.3 užduotis. Aibėje A = (1,2,3,4,5) pateiktas santykis R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Nustatykite ryšio tipą ir raskite šiuos R uždarymus:

atspindintis;

simetriškas;

tranzityvus.

Sprendimas. Santykis yra nerefleksyvus, nes nėra formos elemento ( A,A). Asimetriškas, nes jame nėra formos porų ( a,b) Ir ( b,a) ir visi įstrižainės elementai yra 0. Antitranzityvūs, nes (1,2)R, (2,3)R, bet (1,3)R. Panašiai (2.4)R, (4.5)R ir (2.5)R ir kt.

refleksinis duoto santykio uždarymas R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

simetriškas uždarymas: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

pereinamasis uždarymas: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Apsvarstykite pradinio ryšio ir gauto pereinamojo ryšio grafiką.

Savarankiško sprendimo užduotys.

1. Pateiktas santykis R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Nustatykite jo tipą ir raskite uždarymus pagal refleksyvumą, simetriją ir tranzityvumą.

2. Santykis rusų kalbos žodžių rinkinyje apibrėžiamas taip: A R b jei ir tik jie turi bent vieną bendrą raidę. Nustatykite santykio tipą aibėje A = (karvė, vagonas, siūlas, kirvis).

3. Nurodykite dvejetainių ryšių pavyzdžius aibėje A = (1, 2) ir B = (1, 2, 3), kurie būtų:

nerefleksyvus, ne simetriškas, ne tranzityvus;

refleksinis, ne simetriškas, ne tranzityvus;

simetriškas, bet nerefleksyvus ir ne tranzityvus;

tranzityvus, bet ne refleksyvus ir ne simetriškas;

refleksinis, simetriškas, bet ne tranzityvus;

refleksinis, tranzityvus, bet ne simetriškas;

nerefleksyvus, simetriškas, tranzityvus;

refleksinis, simetriškas, tranzityvus.