Variable rader. Absolut och villkorad konvergens Alternerande serieexempel på lösningar

Kosmetologi

En talserie som innehåller ett oändligt antal positiva och ett oändligt antal negativa termer kallas alternerande.

Absolut och villkorad konvergens

En serie kallas absolut konvergent om serien också konvergerar.

Om en serie konvergerar absolut, då är den konvergent (i vanlig mening). Det omvända är inte sant.

En serie sägs vara villkorligt konvergent om den själv konvergerar och serien som består av modulerna av dess medlemmar divergerar.

Undersök efter konvergensserier .

Låt oss tillämpa Leibniz tillräckligt test för alternerande serier. Vi får

eftersom det . Därför konvergerar denna serie.

38. Omväxlande rader. Leibniz tecken.

Ett specialfall av en alternerande serie är en alternerande serie, det vill säga en serie där på varandra följande termer har motsatta tecken.

Leibniz tecken

För de som alternerar i närheten gäller Leibniz tillräckligt konvergenstest.

Låt (an) vara en talföljd sådan att

1. an+1< an для всех n;

Sedan är alternerande serier utgående.

39. Funktionella rader. Power-serien. konvergensradie. Konvergensintervall.

Begreppet funktionella serier och kraftserier

Den vanliga nummerserien, kom ihåg, består av siffror:

Alla medlemmar i serien är NUMBERS.

Den funktionella raden består av FUNKTIONER:

Förutom polynom, faktorial och andra gåvor inkluderar den vanliga termen i serien verkligen bokstaven "x". Det ser till exempel ut så här:

Liksom en nummerserie kan alla funktionella serier skrivas i utökad form:

Som du kan se är alla medlemmar i funktionsserien funktioner.

Den mest populära typen av funktionella serier är kraftserie.

Definition:

En potensserie är en serie vars vanliga term inkluderar positiva heltalspotenser för den oberoende variabeln.

En förenklad potensserie i många läroböcker är skriven på följande sätt: , var är den gamla välbekanta "fyllningen" av talserier (polynom, grader, fakulteter som bara beror på "en"). Det enklaste exemplet:

Låt oss titta på denna nedbrytning och tänka om definitionen: medlemmarna i potensserien innehåller "x" i positiva heltals (naturliga) potenser.

Mycket ofta kan en potensserie hittas i följande "modifieringar": eller där a är en konstant. Till exempel:

Strängt taget, de förenklade representationerna av maktserien, eller inte helt korrekt. I exponenten, istället för den enda bokstaven "en", kan ett mer komplext uttryck lokaliseras, till exempel:

Eller den här kraftserien:

Om bara exponenterna vid "xAx" var naturliga.

Power Series Convergence.

Konvergensintervall, konvergensradie och konvergensarea

Det finns ingen anledning att vara rädd för ett sådant överflöd av termer, de går "bredvid varandra" och är inte särskilt svåra att förstå. Det är bättre att välja några enkla experimentella serier och omedelbart börja förstå.

Jag ber dig att älska och favorisera kraftserien Variabeln kan ta vilket verkligt värde som helst från "minus oändlighet" till "plus oändlighet". Ersätt flera godtyckliga x-värden i seriens vanliga term:

Om x=1 då

Om x=-1, då

Om x=3 då

Om x=-0,2, då

Det är uppenbart att genom att ersätta "x" i ett eller annat värde får vi olika numeriska serier. Vissa nummerserier kommer att konvergera och vissa kommer att divergera. Och vår uppgift är att hitta uppsättningen värden för "x" där kraftserien kommer att konvergera. En sådan uppsättning kallas seriens konvergensregion.

För varje effektserie (tillfälligt avvikande från ett specifikt exempel) är tre fall möjliga:

1) Effektserien konvergerar absolut på något intervall. Med andra ord, om vi väljer något värde på "x" från intervallet och ersätter det med den gemensamma termen för potensserien, får vi en absolut konvergent talserie. Ett sådant intervall kallas konvergensintervallet för potensserien.

Konvergensradien är helt enkelt halva längden av konvergensintervallet:

Geometriskt ser situationen ut så här:

I det här fallet, seriens konvergensintervall: seriens konvergensradie:

En talserie som innehåller ett oändligt antal positiva och ett oändligt antal negativa termer kallas alternerande.

Absolut och villkorad konvergens

En serie kallas absolut konvergent om serien också konvergerar.

Om en serie konvergerar absolut, då är den konvergent (i vanlig mening). Det omvända är inte sant.

En serie sägs vara villkorligt konvergent om den själv konvergerar och serien som består av modulerna av dess medlemmar divergerar.

Undersök efter konvergensserier .

Låt oss tillämpa Leibniz tillräckligt test för alternerande serier. Vi får

eftersom det . Därför konvergerar denna serie.

38. Omväxlande rader. Leibniz tecken.

Ett specialfall av en alternerande serie är en alternerande serie, det vill säga en serie där på varandra följande termer har motsatta tecken.

Leibniz tecken

För de som alternerar i närheten gäller Leibniz tillräckligt konvergenstest.

Låt (an) vara en talföljd sådan att

1. an+1< an для всех n;

Sedan är alternerande serier utgående.

39. Funktionella rader. Power-serien. konvergensradie. Konvergensintervall.

Begreppet funktionella serier och kraftserier

Den vanliga nummerserien, kom ihåg, består av siffror:

Alla medlemmar i serien är NUMBERS.

Den funktionella raden består av FUNKTIONER:

Förutom polynom, faktorial och andra gåvor inkluderar den vanliga termen i serien verkligen bokstaven "x". Det ser till exempel ut så här:

Liksom en nummerserie kan alla funktionella serier skrivas i utökad form:

Som du kan se är alla medlemmar i funktionsserien funktioner.

Den mest populära typen av funktionella serier är kraftserie.

Definition:

En potensserie är en serie vars vanliga term inkluderar positiva heltalspotenser för den oberoende variabeln.

Låt oss titta på denna nedbrytning och tänka om definitionen: medlemmarna i potensserien innehåller "x" i positiva heltals (naturliga) potenser.

Mycket ofta kan en potensserie hittas i följande "modifieringar": eller där a är en konstant. Till exempel:

Strängt taget, de förenklade representationerna av maktserien, eller inte helt korrekt. I exponenten, istället för den enda bokstaven "en", kan ett mer komplext uttryck lokaliseras, till exempel:

Eller den här kraftserien:

Om bara exponenterna vid "xAx" var naturliga.

Power Series Convergence.

Konvergensintervall, konvergensradie och konvergensarea

Om x=1 då

Om x=-1, då

Definition 1

Talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, vars medlemmar har godtyckliga tecken (+), (?), kallas en alternerande serie.

De alternerande serierna som betraktas ovan är ett specialfall av de alternerande serierna; det är tydligt att inte varje alternerande serie är alternerande. Till exempel, serien $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternerande men inte teckenalternerande serie.

Observera att i en omväxlande serie termer, både med tecknet (+) och med tecknet (-), finns det oändligt många. Om detta inte är sant, till exempel, innehåller serien ett ändligt antal negativa termer, då kan de kasseras och en serie sammansatt av endast positiva termer kan övervägas, och vice versa.

Definition 2

Om talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar och dess summa är S, och partiell summan är lika med $S_n$ , då kallas $r_(n) =S-S_(n) $ resten av serien, och $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, d.v.s. resten av den konvergerande serien tenderar till 0.

Definition 3

En serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ kallas absolut konvergent om serien består av de absoluta värdena för dess medlemmar $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Definition 4

Om talserien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar och serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\höger| $, sammansatt av de absoluta värdena för dess medlemmar, divergerar, då kallas den ursprungliga serien villkorligt (icke-absolut) konvergent.

Sats 1 (ett tillräckligt kriterium för konvergens av alternerande serier)

Den alternerande serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut om serien består av de absoluta värdena för dess medlemmar$\sum \limits _(n=1) ^ konvergerar (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Kommentar

Sats 1 ger bara ett tillräckligt villkor för konvergens av alternerande serier. Den omvända satsen är inte sann, d.v.s. om den alternerande serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar, är det inte nödvändigt att serien som består av moduler $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (det kan vara antingen konvergent eller divergent). Till exempel, serien $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\summa \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergerar enligt Leibniz-testet, och serien som består av de absoluta värdena av dess termer är $\sum \limits _(n) =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (övertonsserie) divergerar.

Fastighet 1

Om serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut, då konvergerar den absolut för varje permutation av dess medlemmar, och summan av serien beror inte på ordningen av medlemmarna. Om $S"$ är summan av alla dess positiva termer, och $S""$ är summan av alla absoluta värden av dess negativa termer, då är summan av serien $\summa \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ är lika med $S=S"-S""$.

Fastighet 2

Om serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergerar absolut och $C=(\rm const)$, då serien $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ konvergerar också absolut.

Fastighet 3

Om serierna $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ och $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ konvergerar absolut, då serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ konvergerar också absolut.

Egenskap 4 (Riemanns sats)

Om serien villkorligt konvergerar, så oavsett vilket nummer A vi tar, kan vi ordna om termerna för denna serie så att dess summa är exakt lika med A; dessutom är det möjligt att omordna termerna för en villkorligt konvergent serie på ett sådant sätt att den efter det divergerar.

Exempel 1

Undersök serien för villkorad och absolut konvergens

\[\summa \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Lösning. Denna serie är teckenalternerande, vars vanliga term vi betecknar: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n) =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Exempel 2

Undersök serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ för absolut och villkorlig konvergens.

Vi undersöker serien för absolut konvergens. Beteckna $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ och komponera en serie absoluta värden $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Vi får serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ med positiva termer, på vilka vi tillämpar gränskriteriet för seriejämförelse. För jämförelse med $\summa \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ betrakta en serie som har formen $\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\summa \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Denna serie är en Dirichlet-serie med exponent $p=\frac(1)(2)
Därefter undersöker vi den ursprungliga serien $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ för villkorlig konvergens. För att göra detta kontrollerar vi att villkoren för Leibniz-testet är uppfyllda. Villkor 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, där $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , dvs. denna serie är omväxlande. För att verifiera villkor 2) på den monotona minskningen av termerna i serien använder vi följande metod. Betrakta hjälpfunktionen $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definierad vid $x\in )