Hubungan pesanan yang ketat. Relasi orde ketat Relasi orde linier ketat memiliki sifat-sifat

Kata "urutan" sering digunakan dalam masalah yang paling beragam. Petugas memberikan perintah: "Hitung dalam urutan angka", operasi aritmatika dilakukan dalam urutan tertentu, atlet menjadi tinggi, semua pemain catur terkemuka diatur dalam urutan tertentu sesuai dengan apa yang disebut koefisien Elo (seorang profesor Amerika yang mengembangkan koefisien sistem, memungkinkan untuk memperhitungkan semua keberhasilan dan kegagalan para pemain), setelah kejuaraan, semua tim sepak bola diatur dalam urutan tertentu, dll. Ada perintah untuk melakukan operasi dalam pembuatan bagian , urutan kata dalam sebuah kalimat (coba pahami apa arti kalimat "he is an old man" artinya menanam keledai bukan "!).

Dengan mengatur elemen-elemen dari himpunan tertentu satu demi satu, dengan demikian kita mengurutkannya atau membangun beberapa hubungan di antara mereka. berturut-turut. Contoh paling sederhana adalah urutan alami bilangan asli. Kealamiannya terletak pada kenyataan bahwa untuk dua bilangan asli mana pun kita tahu yang mana yang mengikuti yang lain atau mana yang lebih besar dari yang lain, sehingga kita dapat mengatur bilangan asli secara berurutan sehingga bilangan yang lebih besar akan ditemukan, karena contoh, di sebelah kanan yang lebih kecil: 1, 2, 3, ... . Tentu saja, urutan elemen dapat ditulis ke segala arah, dan tidak hanya dari kiri ke kanan. Konsep bilangan asli sudah mengandung gagasan keteraturan. Dengan menetapkan beberapa pengaturan relatif dari elemen-elemen himpunan apa pun, dengan demikian kami menetapkan beberapa relasi urutan biner di atasnya, yang dalam setiap kasus tertentu dapat memiliki namanya sendiri, misalnya, "lebih kecil", "lebih tua", "terkandung dalam " , "ikuti", dll. Simbol untuk memesan juga bisa bermacam-macam, misalnya, , dll.

Fitur pembeda utama dari hubungan urutan adalah bahwa ia memiliki sifat transitivitas. Jadi, jika kita berurusan dengan urutan beberapa objek x 1, x 2, ..., x n,... , memerintahkan, misalnya, dalam kaitannya dengan , maka dari apa yang dilakukan x 1x 2... x n..., itu harus mengikuti itu untuk pasangan apa pun x i , x j elemen dari urutan ini juga dilakukan x sayax j:

Untuk sepasang elemen x sayaj dalam grafik hubungan, kami menggambar panah dari atas x saya ke atas x j, yaitu dari elemen yang lebih kecil ke elemen yang lebih besar.

Grafik relasi order dapat disederhanakan dengan menggunakan apa yang disebut diagram Hasse. Diagram Hasse dibangun sebagai berikut. Elemen yang lebih kecil ditempatkan di bawah, dan yang besar di atas. Karena satu aturan seperti itu tidak cukup untuk gambar, garis digambar menunjukkan mana dari dua elemen yang lebih besar dan mana yang lebih kecil dari yang lain. Dalam hal ini, cukup menggambar garis saja untuk segera mengikuti satu sama lain. Contoh diagram Hasse ditunjukkan pada gambar:

Panah dapat dihilangkan dalam diagram Hasse. Diagram Hasse dapat diputar di pesawat, tetapi tidak sewenang-wenang. Saat berputar, perlu untuk mempertahankan posisi relatif (atas - bawah) dari simpul diagram:

Sikap R dalam banyak X ditelepon hubungan perintah yang ketat, jika transitif dan asimetris.

Himpunan di mana relasi orde ketat didefinisikan disebut tertib. Misalnya, himpunan bilangan asli diurutkan oleh relasi "kurang dari". Tetapi himpunan yang sama juga diurutkan oleh relasi lain - "dibagi dengan" dan "lebih besar".

Grafik hubungan "kurang dari" dalam himpunan bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai sinar:

Sikap R di X disebut relasi urutan tidak ketat (sebagian), jika transitif dan antisimetris. Setiap hubungan tatanan tidak ketat adalah refleksif.

Julukan "sebagian" mengungkapkan fakta bahwa mungkin tidak semua elemen dari suatu himpunan dapat dibandingkan dalam hal ini.

Contoh umum dari hubungan urutan parsial adalah "tidak lebih", "tidak kurang", "tidak lebih tua". Partikel "tidak" atas nama hubungan berfungsi untuk mengekspresikan refleksivitas mereka. Relasi "tidak lebih" bertepatan dengan relasi "kurang dari atau sama dengan", dan relasi "tidak kurang" sama dengan "lebih besar atau sama dengan". Dalam hal ini, urutan parsial juga disebut longgar memesan. Seringkali, relasi orde parsial (tidak ketat) dilambangkan dengan simbol "".

Relasi inklusi U antara himpunan bagian dari beberapa himpunan juga merupakan orde parsial. Jelas, tidak ada dua himpunan bagian yang sebanding dalam hal ini. Gambar di bawah menunjukkan orde parsial dengan penyertaan pada himpunan semua himpunan bagian dari himpunan (1,2,3). Panah pada grafik, yang seharusnya mengarah ke atas, tidak ditampilkan.

Himpunan yang memberikan orde parsial disebut sebagian dipesan, atau hanya tertib set.

Elemen X dan pada himpunan yang terurut sebagian disebut membandingkan, jika Xpada atau padaX. Kalau tidak, mereka tidak sebanding.

Himpunan terurut yang setiap dua elemennya sebanding disebut terurut secara linier, dan ordonya adalah orde linier. Urutan linier disebut juga keteraturan sempurna.

Misalnya, himpunan semua bilangan real dengan urutan alami, serta semua himpunan bagiannya, diurutkan secara linier.

Benda-benda alam yang paling beragam dapat dipesan secara hierarkis. Berikut adalah beberapa contoh.

Contoh 1: Bagian-bagian buku disusun sedemikian rupa sehingga buku itu berisi bab, bab berisi bagian, dan bagian terdiri dari subbagian.

Contoh 2. Folder dalam sistem file komputer bersarang satu sama lain, membentuk struktur bercabang.

Contoh 3. Hubungan orang tua - anak dapat digambarkan dalam bentuk yang disebut pohon keluarga, yang menunjukkan siapa nenek moyang (atau keturunannya).

Biarkan di set TETAPI diberi perintah parsial. Elemen X ditelepon maksimum (minimal) elemen dari himpunan A, jika dari fakta bahwa Xpada(padaX), kesetaraan mengikuti X= y. Dengan kata lain, elemen X adalah maksimum (minimum) jika untuk setiap elemen pada atau tidak benar itu Xpada(padaX), atau dilakukan X=y. Dengan demikian, elemen maksimum (minimum) lebih besar (kurang) daripada semua elemen lain yang terkait dengannya.

Elemen X ditelepon terbesar (terkecil), jika untuk apapun padaÎ TETAPI dilakukan pada< х (х< у).

Himpunan terurut sebagian dapat memiliki beberapa elemen minimum dan/atau maksimum, tetapi tidak boleh ada lebih dari satu elemen minimum dan maksimum. Elemen terkecil (terbesar) juga minimum (maksimum), tetapi kebalikannya tidak benar. Gambar di sebelah kiri menunjukkan urutan parsial dengan dua elemen minimum dan dua maksimum, dan di sebelah kanan - urutan parsial dengan elemen terkecil dan terbesar:

Dalam himpunan berhingga sebagian, selalu ada elemen minimum dan maksimum.

Himpunan terurut yang memiliki anggota terbesar dan terkecil disebut terbatas . Gambar tersebut menunjukkan contoh himpunan berbatas tak hingga. Tentu saja, tidak mungkin untuk menggambarkan himpunan tak terbatas pada halaman yang terbatas, tetapi mungkin untuk menunjukkan prinsip konstruksinya. Di sini loop di dekat simpul tidak diperlihatkan untuk menyederhanakan gambar. Untuk alasan yang sama, busur yang memberikan tampilan properti transitivitas tidak ditampilkan. Dengan kata lain, gambar tersebut menunjukkan diagram Hasse dari relasi order.

Himpunan tak berhingga mungkin tidak memiliki maksimum, atau minimum, atau keduanya. Misalnya, himpunan bilangan asli (1,2, 3, ...) memiliki elemen terkecil 1 tetapi tidak maksimum. Himpunan semua bilangan real dengan orde alami tidak memiliki elemen terkecil maupun terbesar. Namun, subsetnya terdiri dari semua angka X< 5 memiliki elemen terbesar (angka 5) tetapi tidak ada elemen terkecil.

Misalkan R adalah relasi biner pada himpunan A.

DEFINISI. relasi biner R pada himpunan A disebut relasi orde pada A atau orde pada A jika transitif dan antisimetri.

DEFINISI. Relasi orde R pada himpunan A disebut tidak ketat jika relasi tersebut refleksif pada A, yaitu untuk sembarang A.

Suatu relasi orde R dikatakan ketat (pada A) jika relasi tersebut antirefleksif pada A, yaitu, untuk sembarang A. Namun, antisimetri relasi transitif R mengikuti fakta bahwa relasi tersebut antirefleksif. Oleh karena itu, kita dapat memberikan definisi setara berikut.

DEFINISI. Relasi biner R pada himpunan A disebut orde ketat pada A jika relasi tersebut transitif dan antirefleksif pada A.

Contoh. 1. Misalkan adalah himpunan semua himpunan bagian dari himpunan M. Relasi inklusi pada himpunan tersebut adalah relasi orde tak tegas.

2. Relasi pada himpunan bilangan real berturut-turut merupakan relasi orde tegas dan tak ketat.

3. Relasi habis-habis dalam himpunan bilangan asli adalah relasi tak beraturan.

DEFINISI. Relasi biner R pada himpunan A disebut relasi preorder atau relasi preorder pada A jika relasi tersebut refleksif dan transitif.

Contoh. 1. Relasi keterbagian dalam himpunan bilangan bulat bukanlah suatu orde. Namun, itu adalah refleksif dan transitif, yang berarti itu adalah preorder.

2. Relasi konsekuensi logis merupakan preorder pada himpunan rumus logika proposisional.

Urutan linier. Kasus khusus yang penting dari suatu orde adalah orde linier.

DEFINISI. Suatu relasi orde pada suatu himpunan disebut relasi orde linier atau orde linier pada jika terhubung pada , yaitu untuk sembarang x, y dari A

Relasi orde yang tidak linier biasa disebut relasi orde parsial atau orde parsial.

Contoh. 1. Relasi “kurang dari” pada himpunan bilangan real adalah relasi orde linier.

2. Hubungan urutan yang diterima dalam kamus bahasa Rusia disebut leksikografis. Urutan leksikografis pada kumpulan kata dalam bahasa Rusia adalah urutan linier.

Kata "pesanan" sering digunakan dalam berbagai masalah. Petugas memberikan perintah: "Hitung dalam urutan angka", operasi aritmatika dilakukan dalam urutan tertentu, atlet menjadi tinggi, ada perintah untuk melakukan operasi dalam pembuatan bagian, urutan kata dalam kalimat.

Apa yang umum dalam semua kasus ketika datang untuk memesan? Fakta bahwa kata "urutan" memiliki arti seperti itu: itu berarti elemen mana dari himpunan ini atau itu mengikuti yang mana (atau elemen mana yang mendahului yang mana).

Sikap " X mengikuti pada» secara transitif: jika « X mengikuti pada" dan " pada mengikuti z", kemudian " x mengikuti z". Selain itu, rasio ini harus antisimetris: untuk dua yang berbeda X dan pada, jika X mengikuti pada, kemudian pada tidak mengikuti X.

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X ditelepon hubungan pesanan yang ketat, jika transitif dan antisimetris.

Mari kita cari tahu fitur grafik dan grafik hubungan orde ketat.

Pertimbangkan sebuah contoh. Di lokasi syuting X= (5, 7, 10, 15, 12) relasi R: « X < pada". Kami mendefinisikan hubungan ini dengan enumerasi pasangan
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Mari kita buat grafiknya. Kita melihat bahwa grafik hubungan ini tidak memiliki loop. Tidak ada panah ganda pada grafik. Jika dari X panah menuju ke pada, dan dari pada- di z, kemudian dari X panah menuju ke z(Gbr. 8).

Grafik yang dibangun memungkinkan Anda untuk mengatur elemen himpunan X dalam urutan ini:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Pada Gambar 6 ( 6 bab ini) kolom VII, VIII adalah grafik hubungan dengan urutan yang ketat.

Hubungan pesanan tidak ketat

Relasi "kurang dari" pada himpunan bilangan real berlawanan dengan relasi "tidak kurang". Ini bukan lagi perintah yang ketat. Intinya adalah, di X = pada, hubungan X ³ pada dan pada ³ X, yaitu hubungan "tidak kurang" adalah refleksif.

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X ditelepon hubungan urutan tidak ketat, jika refleksif, antisimetris dan transitif.

Relasi-relasi semacam itu merupakan penyatuan relasi keteraturan yang ketat dengan relasi identitas.

Pertimbangkan hubungan "tidak lebih" (£) untuk himpunan

X= (5, 7, 10, 15, 12). Mari kita buat grafiknya (Gbr. 9).

Graf relasi orde tak tegas, tidak seperti graf relasi orde ketat, memiliki loop di setiap simpul.

pada gambar. 6 (§ 6 dari bab ini) graf V, VI adalah graf-graf relasi tak beraturan.

Set yang dipesan

Suatu himpunan dapat berubah menjadi terurut (mereka juga mengatakan terurut sepenuhnya) oleh beberapa relasi keteraturan, sementara yang lain mungkin tidak terurut atau sebagian diurutkan oleh relasi semacam itu.

Definisi. Banyak X ditelepon tertib beberapa hubungan pesanan R jika untuk dua elemen x, y dari X:

(X, pada) Î R atau ( y, x) Î R.

Jika sebuah R adalah relasi orde ketat, maka himpunan X diurutkan oleh relasi ini dengan syarat: jika X, pada setiap dua elemen yang tidak sama dari suatu himpunan X, kemudian ( X, pada) Î R atau ( y, x) Î R, atau dua elemen apa pun x, y set X adalah sama.

Diketahui dari pelajaran matematika sekolah bahwa himpunan bilangan N , Z , Q , R diurutkan dengan rasio "kurang dari" (<).

Himpunan himpunan bagian dari himpunan tertentu tidak diurutkan dengan pengenalan hubungan inklusi (U), atau hubungan inklusi ketat (T) dalam pengertian di atas, karena ada subset yang tidak ada yang termasuk dalam yang lain. Dalam hal ini, himpunan yang diberikan dikatakan terurut sebagian oleh relasi (atau ).

Pertimbangkan himpunan X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) dan memiliki dua relasi "kurang dari" dan "habis dibagi". Sangat mudah untuk memeriksa bahwa kedua relasi ini adalah relasi order. Grafik relasi kurang dari dapat direpresentasikan sebagai sinar.

Grafik hubungan "dibagi dengan" hanya dapat direpresentasikan pada bidang.

Selain itu, ada simpul pada grafik relasi kedua yang tidak dihubungkan oleh panah. Misalnya, tidak ada panah yang menghubungkan angka 4 dan 5 (Gbr. 10).

Hubungan pertama X < pada' disebut linier. Secara umum, jika hubungan orde R(ketat dan tidak ketat) di lokasi syuting X memiliki properti: untuk setiap X, padaÎ X atau xRy, atau yRx, maka disebut relasi orde linier, dan himpunan X adalah himpunan terurut linier.

Jika himpunan X tentu saja, dan terdiri dari n elemen, maka urutan linier X dikurangi menjadi pencacahan elemen-elemennya dengan angka 1,2,3, ..., n.

Himpunan terurut linier memiliki sejumlah properti:

1°. Membiarkan a, b, c- mengatur elemen X, diurutkan berdasarkan relasi R. Jika diketahui bahwa aRv dan vRc, maka kita katakan bahwa elemen di terletak di antara elemen sebuah dan Dengan.

2°. Banyak X, diurutkan secara linier oleh relasi R, disebut diskrit jika di antara dua elemennya hanya terdapat himpunan berhingga dari elemen-elemen dari himpunan ini.

3°. Himpunan terurut linier disebut rapat jika untuk setiap dua elemen berbeda dari himpunan ini ada elemen himpunan yang terletak di antara mereka.

Jenis penting dari relasi biner adalah relasi order. Hubungan pesanan yang ketat - relasi biner yang antirefleksif, antisimetris, dan transitif:

penamaan - (sebuah didahului b). Contohnya adalah

hubungan "lebih besar dari", "kurang dari", "lebih tua", dll. Untuk bilangan, notasi yang biasa digunakan adalah tanda “<", ">".

Hubungan pesanan tidak ketat - relasi refleksif biner, antisimetris dan transitif. Seiring dengan contoh alami ketidaksetaraan non-ketat untuk angka, hubungan antara titik-titik bidang atau ruang "untuk lebih dekat dengan asal koordinat" dapat berfungsi sebagai contoh. Pertidaksamaan tidak ketat, untuk bilangan bulat dan bilangan real, juga dapat dianggap sebagai disjungsi persamaan dan hubungan keteraturan ketat.

Jika turnamen olahraga tidak menyediakan pembagian tempat (yaitu setiap peserta menerima tempat khusus, hanya makan/berhadiah), maka ini adalah contoh perintah yang ketat; jika tidak, tidak ketat.

Relasi keteraturan dibuat pada suatu himpunan ketika, untuk beberapa atau semua pasangan elemen-elemennya, relasinya

diutamakan. Setting untuk suatu himpunan beberapa relasi order disebut "perintahnya, dan "diri. ditetapkan sebagai akibat dari ini menjadi tertib. Hubungan keteraturan dapat diperkenalkan dengan cara yang berbeda. Untuk himpunan berhingga, setiap permutasi dari elemen-elemennya "menentukan beberapa keteraturan yang ketat. Himpunan tak berhingga dapat diurutkan dalam jumlah cara yang tak terhingga. Hanya pengurutan yang memiliki makna bermakna yang menarik.

Jika untuk hubungan pesanan R di lokasi syuting .M dan beberapa elemen yang berbeda, setidaknya salah satu dari hubungan tersebut berlaku

aRb atau b Ra , maka elemen sebuah dan b ditelepon sebanding jika tidak - tak tertandingi.

Sepenuhnya (atau linier) set yang dipesan M -

himpunan di mana hubungan urutan diberikan, dan dua elemen dari himpunan tersebut M sebanding; set yang dipesan sebagian- sama, tetapi pasangan elemen yang tidak dapat dibandingkan diperbolehkan.

Himpunan terurut linier adalah himpunan titik-titik pada garis lurus dengan hubungan "ke kanan", himpunan bilangan bulat, rasional, bilangan real terhadap "lebih besar dari", dll.

Contoh himpunan terurut sebagian adalah vektor tiga dimensi, jika ordenya diberikan seperti

Artinya, jika prioritas dipenuhi di ketiga koordinat, vektor (2, 8, 5) dan (6, 9, 10) sebanding, dan vektor (2, 8, 5) dan (12, 7, 40 ) tidak sebanding. Cara pengurutan ini dapat diperluas ke vektor dari dimensi apa pun: vektor

mendahului vektor jika

Dan selesai

Contoh lain dari pemesanan dapat dipertimbangkan pada himpunan vektor.

1) pesanan sebagian: , jika

Itu. dengan panjang vektor; vektor dengan panjang yang sama tidak dapat dibandingkan.

2) urutan linier: , jika sebuah jika iklan, kemudian b< е ; jika jed \u003d c? u6 \u003d e, maka