Relasi r diberikan pada himpunan x. Relasi biner dan propertinya

Perawatan wajah

Dasar-dasar matematika diskrit.

Konsep himpunan. Hubungan antar himpunan.

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang memiliki sifat tertentu, disatukan menjadi satu kesatuan.

Benda-benda yang membentuk himpunan disebut elemen set. Agar himpunan objek tertentu disebut himpunan, kondisi berikut harus dipenuhi:

· Harus ada aturan yang mono untuk menentukan apakah suatu elemen milik koleksi tertentu.

· Harus ada aturan dimana unsur-unsur dapat dibedakan satu sama lain.

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, dan unsur-unsurnya dengan huruf kecil. Cara untuk menentukan set:

· Pencacahan elemen himpunan. - untuk himpunan berhingga.

Menentukan properti karakteristik .

set kosong- disebut himpunan yang tidak mengandung elemen (Ø).

Dua himpunan dikatakan sama jika terdiri dari unsur-unsur yang sama. , A=B

Banyak B disebut himpunan bagian dari himpunan TETAPI( , jika dan hanya jika semua elemen himpunan B milik himpunan SEBUAH.

Sebagai contoh: , B =>

Properti:

Catatan: biasanya mempertimbangkan subset dari himpunan yang sama, yang disebut universal(u). Himpunan universal berisi semua elemen.

Operasi pada himpunan.

SEBUAH
B
1. Asosiasi 2 himpunan A dan B disebut himpunan yang memiliki elemen-elemen himpunan A atau himpunan B (elemen-elemen dari paling sedikit satu himpunan).

2.persimpangan 2 set adalah set baru yang terdiri dari elemen-elemen yang secara bersamaan termasuk dalam set pertama dan kedua.

Nn: , ,

Properti: operasi serikat dan persimpangan.

· Komutatifitas.

Asosiatif. ;

· Distributif. ;

kamu
4.Tambahan. Jika sebuah TETAPI adalah himpunan bagian dari himpunan semesta kamu, maka komplemen dari himpunan TETAPI terlalu banyak kamu(dilambangkan) adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen himpunan tersebut kamu, yang bukan milik himpunan TETAPI.

Relasi biner dan propertinya.

Membiarkan TETAPI dan PADA ini adalah himpunan sifat turunan, pertimbangkan pasangan elemen yang teratur (a, c) a A, c B memerintahkan "enks" dapat dipertimbangkan.

(a 1, a 2, a 3,… a n), di mana sebuah 1 1; sebuah 2 A 2; …; sebuah n n ;

Produk Cartesian (langsung) dari himpunan A 1, A 2, ..., A n, disebut himpunan, yang terdiri dari n k terurut dari bentuk .

No: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subset dari produk Cartesian disebut rasio derajat n atau relasi enari. Jika sebuah n= 2, maka pertimbangkan biner hubungan. Apa yang mereka katakan itu? a 1 , a 2 berada dalam relasi biner R, Kapan a 1 R a 2.

Relasi biner pada himpunan M disebut himpunan bagian dari hasil kali langsung himpunan tersebut n pada dirinya sendiri.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b M) pada contoh sebelumnya, rasionya lebih kecil pada himpunan M menghasilkan set berikut: ((1,2);(1,3); (2,3))

Relasi biner memiliki berbagai properti antara lain:

Refleksivitas: .

· Anti-refleksivitas (irefleksivitas): .

· Simetri: .

· Antisimetri: .

· Transitivitas: .

· Asimetri: .

Jenis hubungan.

hubungan kesetaraan;

· Hubungan pesanan.

v Relasi transitif refleksif disebut relasi quasi-order.

v Relasi transitif simetris refleksif disebut relasi ekivalensi.

v Relasi transitif antisimetris refleksif disebut relasi orde (parsial).

v Relasi transitif antirefleksif antisimetri disebut relasi orde ketat.

Definisi. Relasi biner R disebut himpunan bagian dari pasangan (a,b)∈R produk Cartesian A×B, yaitu R⊆A×B . Pada saat yang sama, banyak SEBUAH disebut domain definisi dari relasi R, himpunan B disebut domain nilai.

Notasi: aRb (yaitu a dan b berhubungan dengan R). /

Komentar: jika A = B , maka R dikatakan relasi pada himpunan A .

Cara untuk menentukan hubungan biner

1. Daftar (pencacahan pasangan) yang memenuhi hubungan ini.

2. Matriks. Relasi biner R A × A , di mana A = (a 1 , a 2 ,..., a n), sesuai dengan matriks bujur sangkar orde n , di mana elemen c ij , yang berada di persimpangan i baris ke-j dan kolom ke-j, sama dengan 1 jika ada relasi R antara a i dan a j , atau 0 jika tidak ada:

Properti Hubungan

Misalkan R suatu relasi pada himpunan A, R A×A . Maka relasi R:

    secara refleks jika a A: a R a (diagonal utama dari matriks relasi refleksif hanya berisi satu);

    adalah antirefleksif jika a A: a R a (diagonal utama dari matriks relasi refleksif hanya berisi nol);

    simetris jika a , b A: a R b ⇒ b R a (matriks dari relasi tersebut simetris terhadap diagonal utama, yaitu c ij c ji);

    antisimetris jika a, b A: a R b & b R a a = b (dalam matriks dari relasi tersebut, tidak ada yang simetris terhadap diagonal utama);

    secara transitif jika a, b, c ∈ A: a R b & b R c a R c baris, yaitu c ij = 1 , maka semua yang ada di baris ke-j (biarkan unit-unit ini sesuai dengan koordinat k e sehingga, c jk = 1) harus sesuai dengan yang ada di baris ke-i di koordinat k yang sama, yaitu c ik = 1 (dan, mungkin, juga di koordinat lain).

Tugas 3.1. Tentukan sifat-sifat relasi R - "menjadi pembagi", diberikan pada himpunan bilangan asli.

Larutan.

rasio R = ((a,b):a pembagi b):

    refleksif, bukan antirefleksif, karena bilangan apa pun membagi dirinya sendiri tanpa sisa: a/a = 1 untuk semua a∈N ;

    tidak simetris, antisimetris, misalnya, 2 adalah pembagi dari 4, tetapi 4 bukan merupakan pembagi dari 2;

    transitif, karena jika b/a N dan c/b N, maka c/a = b/a c/b N, misalnya jika 6/3 = 2∈N dan 18/6 = 3∈N , maka 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Tugas 3.2. Tentukan sifat-sifat relasi R - "menjadi saudara", diberikan pada sekumpulan orang.
Larutan.

Rasio R = ((a,b):a - saudara dari b):

    non-reflektif, anti-reflektif karena tidak adanya aRa untuk semua a;

    tidak simetris, karena pada umumnya terdapat aRb antara saudara a dan saudara b, tetapi tidak bRa ;

    tidak antisimetris, karena jika a dan b bersaudara, maka aRb dan bRa, tetapi a≠b;

    Secara transitif, jika kita menyebut saudara laki-laki yang memiliki orang tua yang sama (ayah dan ibu).

Tugas 3.3. Tentukan properti dari relasi R - "menjadi bos" yang ditentukan pada himpunan elemen struktur

Larutan.

Rasio R = ((a,b) : a - bos b):

  • non-reflektif, anti-reflektif, jika tidak masuk akal dalam interpretasi tertentu;
  • tidak simetris, antisimetris, karena untuk semua a≠b aRb dan bRa tidak terpenuhi secara bersamaan;
  • transitif, karena jika a adalah kepala b dan b adalah kepala c , maka a adalah kepala c .

Tentukan sifat-sifat relasi R i , yang didefinisikan pada himpunan M i oleh sebuah matriks, jika:

  1. R 1 "memiliki sisa yang sama jika dibagi 5"; M1 adalah himpunan bilangan asli.
  2. R 2 "sama"; M2 adalah himpunan bilangan asli.
  3. R 3 "tinggal di kota yang sama"; M 3 set orang.
  4. R 4 "menjadi akrab"; M 4 banyak orang.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - genap; M 5 himpunan angka (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - genap; M 6 himpunan angka (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - pembagi (a+b)) ; M 7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - pembagi (a+b),a≠1); M 8 adalah himpunan bilangan asli.
  9. R 9 "menjadi saudara perempuan"; M 9 - banyak orang.
  10. R 10 "menjadi anak perempuan"; M 10 - banyak orang.

Operasi pada relasi biner

Misalkan R 1 , R 1 adalah relasi yang didefinisikan pada himpunan A .

    sebuah asosiasi R 1 R 2: R 1 R 2 = ((a,b) : (a,b) R 1 atau (a,b) R 2 );

    persimpangan R 1 R 2: R 1 R 2 = ((a,b) : (a,b) R 1 dan (a,b) R 2 );

    perbedaan R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) R 1 dan (a,b) R 2 );

    hubungan universal U: = ((a;b)/a A & b A). ;

    tambahan R 1 U \ R 1 , di mana U = A × A;

    hubungan identitas I: = ((a;a) / a A);

    hubungan terbalik R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) R 1 );

    komposisi R 1 R 2: R 1 R 2: = ((a,b) / a A&b B& c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), di mana R 1 A × C dan R 2 C × B;

Definisi. Derajat hubungan R pada himpunan A adalah komposisinya dengan dirinya sendiri.

Penamaan:

Definisi. Jika R A × B, maka R R -1 disebut inti dari relasi R .

Teorema 3.1. Misalkan R A × A adalah relasi yang terdefinisi pada himpunan A .

  1. R adalah refleksif jika dan hanya jika (selanjutnya digunakan tanda ) ketika I R.
  2. R simetris R = R -1 .
  3. R transitif R R R
  4. R antisimetris R R -1 I .
  5. R adalah antirefleksif R I = .

Tugas 3.4 . Misalkan R adalah relasi antara himpunan (1,2,3) dan (1,2,3,4) yang diberikan oleh pencacahan pasangan: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Selain itu, S adalah relasi antar himpunan S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Hitung R -1 , S -1 dan S R. Periksa bahwa (S R) -1 = R -1 , S -1 .

Larutan.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2 .1), (2.2), (2.3)) = (S R ) -satu .

Tugas 3.5 . Biarkan R menjadi relasi "...parent..." dan S relasi "...brother..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal singkat tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , R S, S -1 R -1 dan R R.

Larutan.

R -1 - relasi "... anak ...";

S -1 - relasi "... kakak atau adik ...";

R S - relasi "... induk ...";

S -1 R -1 - relasi "... anak ..."

R R - relasi "...nenek atau kakek..."

Tugas untuk solusi independen

1) Misalkan R adalah relasi "...ayah...", dan S adalah relasi "...kakak..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , R S, S -1 R -1 , R R.

2) Misalkan R adalah relasi "...kakak...", dan S adalah relasi "...ibu..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , S R, R -1 S -1 , S S.

3) Misalkan R adalah relasi "...kakek...", dan S adalah relasi "...anak..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

4) Misalkan R adalah relasi “...putri...”, dan S adalah relasi “...nenek...” pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

5) Misalkan R adalah relasi "...keponakan...", dan S adalah relasi "...ayah..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , S R, R -1 S -1 , R R.

6) Biarkan R menjadi relasi "saudara perempuan..." dan S menjadi relasi "ibu..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , R S, S -1 R -1 , S S.

7) Misalkan R adalah relasi “...ibu...”, dan S adalah relasi “...kakak...” pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S1, R S, S1 R1, S S.

8) Misalkan R adalah relasi "...anak...", dan S adalah relasi "...kakek..." pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , S R, R -1 S -1 , R R.

9) Misalkan R adalah relasi “...kakak...”, dan S adalah relasi “...ayah...” pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , R S, S -1 R -1 , S S.

10) Misalkan R adalah relasi “...ibu...”, dan S adalah relasi “...kakak...” pada himpunan semua orang. Berikan deskripsi verbal tentang hubungan tersebut:

R -1 , S -1 , S R, R -1 S -1 , R R.

definisi

  • 1. Relasi biner antara elemen himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari hasil kali Cartesian RAB, RAA.
  • 2. Jika A=B, maka R adalah relasi biner pada A.
  • 3. Notasi: (x, y)R xRy.
  • 4. Domain dari relasi biner R adalah himpunan R = (x: ada y sehingga (x, y)R).
  • 5. Rentang relasi biner R adalah himpunan R = (y: ada x sehingga (x, y)R).
  • 6. Komplemen relasi biner R antara elemen A dan B adalah himpunan R = (AB) R.
  • 7. Relasi invers untuk relasi biner R adalah himpunan R1 = ((y, x) : (x, y)R).
  • 8. Hasil kali relasi R1AB dan R2BC adalah relasi R1 R2 = ((x, y) : terdapat zB sedemikian sehingga (x, z)R1 dan (z, y)R2).
  • 9. Relasi f disebut fungsi dari A ke B jika dua kondisi terpenuhi:
    • a) f \u003d A, f B
    • b) untuk semua x, y1, y2, fakta bahwa (x, y1)f dan (x, y2)f menyiratkan y1=y2.
  • 10. Relasi f disebut fungsi dari A ke B jika pada paragraf pertama f = A, f = B.
  • 11. Notasi: (x, y)f y = f(x).
  • 12. Fungsi identitas iA: AA didefinisikan sebagai berikut: iA(x) = x.
  • 13. Suatu fungsi f disebut fungsi 1-1 jika untuk sembarang x1, x2, y fakta bahwa y = f(x1) dan y = f(x2) menyiratkan x1=x2.
  • 14. Fungsi f: AB melakukan korespondensi satu-satu antara A dan B jika f = A, f = B dan f adalah fungsi 1-1.
  • 15. Sifat-sifat relasi biner R pada himpunan A:
    • - refleksivitas: (x, x)R untuk semua xA.
    • - irrefleksivitas: (x, x)R untuk semua xA.
    • - simetri: (x, y)R (y, x)R.
    • - antisimetri: (x, y)R dan (y, x)R x=y.
    • - transitivitas: (x, y)R dan (y, z)R (x, z)R.
    • - dikotomi: baik (x, y)R atau (y, x)R untuk semua xA dan yA.
  • 16. Himpunan A1, A2, ..., Ar dari P(A) membentuk partisi dari himpunan A jika
  • - i , i = 1, ..., r,
  • - A = A1A2...Ar,
  • - AiAj = , i j.

Subset i , i = 1, ..., r, disebut blok partisi.

  • 17. Persamaan pada himpunan A adalah relasi refleksif, transitif, dan simetris pada A.
  • 18. Kelas ekivalen suatu elemen x dengan ekivalen R adalah himpunan [x]R=(y: (x, y)R).
  • 19. Faktor himpunan A oleh R adalah himpunan kelas-kelas ekivalen dari elemen-elemen himpunan A. Sebutan: A/R.
  • 20. Kelas ekivalen (elemen dari himpunan faktor A/R) membentuk partisi dari himpunan A. Sebaliknya. Setiap partisi dari himpunan A sesuai dengan relasi ekivalensi R yang kelas ekivalensinya berimpit dengan blok-blok dari partisi yang ditentukan. Berbeda. Setiap elemen dari himpunan A jatuh ke dalam beberapa kelas ekivalensi dari A/R. Kelas ekivalensi tidak berpotongan atau berhimpitan.
  • 21. Preorder pada himpunan A adalah relasi refleksif dan transitif pada A.
  • 22. Orde parsial pada himpunan A adalah relasi refleksif, transitif, dan antisimetris pada A.
  • 23. Urutan linier pada himpunan A adalah relasi refleksif, transitif, dan antisimetris pada A yang memenuhi sifat dikotomi.

Misalkan A=(1, 2, 3), B=(a, b). Mari kita tuliskan hasil kali Cartesian: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Ambil setiap subset dari produk Cartesian ini: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Maka R adalah relasi biner pada himpunan A dan B.

Akankah relasi ini menjadi sebuah fungsi? Mari kita periksa pemenuhan dua kondisi 9a) dan 9b). Domain dari relasi R adalah himpunan R = (1, 2) (1, 2, 3), yaitu kondisi pertama tidak terpenuhi, sehingga salah satu pasangan harus ditambahkan ke R: (3, a) atau (3, b). Jika kedua pasangan dijumlahkan, maka kondisi kedua tidak akan terpenuhi, karena ab. Untuk alasan yang sama, salah satu pasangan (1, a) atau (1, b) harus dijatuhkan dari R. Dengan demikian relasi R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) adalah suatu fungsi. Perhatikan bahwa R bukan fungsi 1-1.

Pada himpunan A dan B yang diberikan, relasi berikut juga merupakan fungsi: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) dll.

Misalkan A=(1, 2, 3). Contoh relasi pada himpunan A adalah R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Contoh fungsi pada himpunan A adalah f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Contoh pemecahan masalah

1. Cari R, R, R1, RR, RR1, R1R untuk R = ((x, y) | x, y D dan x+y0).

Jika (x,y)R, maka x dan y melalui semua bilangan real. Jadi R = R = D.

Jika (x, y)R, maka x+y0, maka y+x0 dan (y, x)R. Oleh karena itu R1=R.

Untuk setiap xD, yD kita ambil z=-|max(x, y)|-1, lalu x+z0 dan z+y0, mis. (x, z)R dan (z, y)R. Oleh karena itu RR = RR1 = R1R = D2.

2. Untuk relasi biner manakah R adalah R1= R benar?

Biarkan RAB. Dua kasus yang mungkin:

  • (1) AB. Mari kita ambil xAB. Kemudian (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Kontradiksi.
  • (2) AB=. Karena R1BA dan RAB, maka R1= R= . Dari R1 = maka R = . Dari R = maka R = AB. Kontradiksi.

Oleh karena itu, jika A dan B, maka hubungan tersebut R tidak ada.

3. Pada himpunan D bilangan real, kita mendefinisikan relasi R sebagai berikut: (x, y)R (x-y) adalah bilangan rasional. Buktikan bahwa R ekivalen.

Refleksivitas:

Untuk setiap xD x-x=0 adalah bilangan rasional. Karena (x,x)R.

Simetri:

Jika (x, y)R, maka x-y = . Maka y-x=-(x-y)=- adalah bilangan rasional. Oleh karena itu (y, x)R.

Transitivitas:

Jika (x, y)R, (y, z)R, maka x-y = dan y-z =. Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan bahwa x-z = + adalah bilangan rasional. Oleh karena itu (x, z)R.

Oleh karena itu R adalah ekivalen.

4. Partisi bidang D2 terdiri dari balok-balok yang ditunjukkan pada gambar a). Tuliskan relasi ekivalensi R yang berkorespondensi dengan partisi ini dan kelas ekivalensinya.

Masalah serupa untuk b) dan c).


a) dua titik ekuivalen jika terletak pada garis lurus berbentuk y=2x+b, di mana b adalah sembarang bilangan real.

b) dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) ekuivalen jika (bagian bilangan bulat dari x1 sama dengan bagian bilangan bulat dari x2) dan (bagian bilangan bulat dari y1 sama dengan bagian bilangan bulat y2).

c) Putuskan sendiri.

Tugas untuk solusi independen

  • 1. Buktikan bahwa jika f adalah fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C, maka fg adalah fungsi dari A ke C.
  • 2. Misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang masing-masing terdiri dari m dan n elemen.

Berapa banyak hubungan biner yang ada antara elemen himpunan A dan B?

Ada berapa fungsi dari A ke B?

Ada berapa fungsi 1-1 dari A ke B?

Untuk m dan n berapakah terdapat korespondensi satu-satu antara A dan B?

3. Buktikan bahwa f memenuhi kondisi f(AB)=f(A)f(B) untuk sembarang A dan B jika dan hanya jika f adalah fungsi 1-1.

Suatu relasi yang didefinisikan pada suatu himpunan dapat memiliki sejumlah properti, yaitu:

2. Refleksivitas

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X Disebut refleksif jika setiap elemen X set X ada hubungannya R Dengan diriku sendiri.

Dengan menggunakan simbol, hubungan ini dapat ditulis sebagai berikut:

R secara reflektif X Û(" XÎ X) x R x

Contoh. Hubungan kesetaraan pada himpunan segmen adalah refleksif, karena setiap segmen sama dengan dirinya sendiri.

Graf relasi refleksif memiliki loop di semua simpul.

2. Antirefleksivitas

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut anti refleksif jika tidak ada elemen X set X tidak berhubungan R Dengan diriku sendiri.

R secara antirefleksi aktif X Û(" XÎ X)

Contoh. Hubungan "langsung" X tegak lurus garis pada» pada himpunan garis pada bidang adalah antirefleksi, karena tidak ada garis lurus suatu bidang yang tegak lurus terhadap dirinya sendiri.

Grafik relasi antirefleksif tidak mengandung loop apapun.

Perhatikan bahwa ada hubungan yang tidak refleksif atau antirefleksif. Sebagai contoh, perhatikan relasi "titik X simetris pada suatu titik pada» pada himpunan titik-titik bidang.

Dot X simetris pada suatu titik X- BENAR; dot pada simetris pada suatu titik pada- salah, oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakan bahwa semua titik pada bidang tersebut simetris dengan dirinya sendiri, dan juga tidak dapat menyatakan bahwa tidak ada titik pada bidang yang simetris dengan dirinya sendiri.

3. Simetri

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut simetris jika, dari fakta bahwa elemen X ada hubungannya R dengan elemen pada, maka elemen pada ada hubungannya R dengan elemen X.

R simetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Þ y R x

Contoh. Hubungan "langsung" X melewati batas pada pada himpunan garis lurus bidang” adalah simetris, karena jika lurus X melewati batas pada, maka garis lurus pada harus melewati batas X.

Grafik hubungan simetris dengan setiap panah dari suatu titik X tepat pada harus berisi panah yang menghubungkan titik yang sama, tetapi dalam arah yang berlawanan.

4. Asimetri

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut asimetris jika tidak ada elemen X, pada dari banyak X tidak mungkin terjadi bahwa elemen X ada hubungannya R dengan elemen pada dan elemen pada ada hubungannya R dengan elemen X.

R asimetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Þ

Contoh. Sikap " X < pada» asimetris, karena untuk setiap pasangan elemen X, pada tidak bisa dikatakan bersamaan X < pada dan pada<X.

Graf dari relasi asimetris tidak memiliki loop, dan jika dua simpul dari grafik dihubungkan oleh panah, maka panah ini hanya satu.

5. Antisimetri

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut antisimetris jika, dari fakta bahwa X berhubungan dengan pada, sebuah pada berhubungan dengan X mengikuti itu X = y.

R antisimetris X Û(" X, padaÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Contoh. Sikap " X£ pada» antisimetris, karena ketentuan X£ pada dan pada£ X dieksekusi pada saat yang sama hanya jika X = y.

Grafik hubungan antisimetris memiliki loop, dan jika dua simpul dari grafik dihubungkan oleh panah, maka panah ini hanya satu.

6. Transitivitas

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut transitif jika untuk sembarang elemen X, pada, z dari banyak X dari apa X berhubungan dengan pada, sebuah pada berhubungan dengan z mengikuti itu X berhubungan dengan z.

R transitif X Û(" X, pada, zÎ X) x R y Ù di RzÞ x Rz

Contoh. Sikap " X banyak pada» bersifat transitif, karena jika bilangan pertama adalah kelipatan dari yang kedua, dan yang kedua adalah kelipatan dari yang ketiga, maka bilangan pertama adalah kelipatan dari yang ketiga.

Grafik relasi transitif dengan setiap pasang anak panah dari X ke pada dan dari pada ke z berisi panah pergi dari X ke z.

7. Konektivitas

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut terhubung jika untuk setiap elemen X, pada dari banyak x x berhubungan dengan pada atau pada berhubungan dengan X atau x = y.

R terhubung X Û(" X, pada, zÎ X) x R y Ú di RzÚ X= pada

Dengan kata lain: hubungan R di lokasi syuting X disebut terhubung jika untuk setiap elemen berbeda X, pada dari banyak x x berhubungan dengan pada atau pada berhubungan dengan X atau x = y.

Contoh. Sikap " X< pada» terhubung, karena tidak peduli berapa bilangan real yang kita ambil, salah satunya pasti lebih besar dari yang lain atau mereka sama.

Pada graf relasi, semua simpul dihubungkan oleh panah.

Contoh. Periksa properti apa

sikap " X - pembagi pada» ditentukan di set

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) hubungan ini refleksif, karena setiap angka dari himpunan yang diberikan adalah pembagi dirinya sendiri;

2) hubungan ini tidak memiliki sifat antirefleksivitas;

3) sifat simetri tidak terpenuhi, karena misalnya, 2 adalah pembagi dari 4, tetapi 4 bukanlah pembagi dari 2;

4) hubungan ini antisimetris: dua bilangan secara bersamaan dapat menjadi pembagi satu sama lain hanya jika bilangan-bilangan ini sama;

5) relasinya transitif, karena jika satu angka adalah pembagi yang kedua, dan yang kedua adalah pembagi ketiga, maka angka pertama harus menjadi pembagi ketiga;

6) relasi tidak memiliki properti konektivitas, karena misalnya angka 2 dan 3 pada grafik tidak dihubungkan oleh panah, karena dua bilangan berbeda 2 dan 3 tidak saling membagi.

Dengan demikian, hubungan ini memiliki sifat refleksivitas, asimetri dan transitivitas.

3. Relasi ekuivalensi.
Koneksi relasi ekivalensi dengan pembagian suatu himpunan ke dalam kelas-kelas

Definisi. Sikap R di lokasi syuting X disebut relasi ekivalen jika relasi tersebut refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh. Pertimbangkan hubungannya" X teman sekelas pada» pada satu set mahasiswa fakultas pedagogis. Ini memiliki sifat:

1) refleksivitas, karena setiap siswa adalah teman sekelas bagi dirinya sendiri;

2) simetri, karena jika siswa X pada, maka siswa pada adalah teman sekelas seorang siswa X;

3) transitivitas, karena jika siswa X- teman sekelas pada, dan siswa pada- teman sekelas z, maka siswa X menjadi teman sekelas seorang siswa z.

Dengan demikian, relasi ini memiliki sifat refleksivitas, simetri, dan transitivitas, dan oleh karena itu merupakan relasi ekivalensi. Pada saat yang sama, himpunan mahasiswa fakultas pedagogis dapat dibagi menjadi himpunan bagian yang terdiri dari mahasiswa yang terdaftar di mata kuliah yang sama. Kami mendapatkan 5 himpunan bagian.

Hubungan kesetaraan juga, misalnya, hubungan garis sejajar, hubungan persamaan angka. Setiap relasi tersebut terhubung dengan pembagian himpunan ke dalam kelas-kelas.

Dalil. Jika di set X diberikan relasi ekuivalensi, maka himpunan ini membagi himpunan ini menjadi himpunan bagian terpisah berpasangan (kelas ekuivalensi).

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika ada relasi yang terdefinisi pada himpunan X, menghasilkan partisi dari himpunan ini ke dalam kelas, maka itu adalah relasi ekivalensi.

Contoh. Di lokasi syuting X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) relasi "memiliki sisa yang sama jika dibagi 3" diberikan. Apakah itu relasi ekuivalensi?

Mari kita buat grafik hubungan ini:


Relasi ini memiliki sifat refleksivitas, simetri, dan transitivitas, sehingga merupakan relasi ekivalen dan membagi himpunan. X ke dalam kelas kesetaraan. Setiap kelas ekivalensi akan memiliki bilangan yang, jika dibagi 3, memberikan sisa yang sama: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Diyakini bahwa kelas kesetaraan ditentukan oleh salah satu perwakilannya, mis. elemen arbitrer dari kelas ini. Jadi, kelas pecahan yang sama dapat ditentukan dengan menentukan pecahan apa pun yang termasuk dalam kelas ini.

Dalam pelajaran awal matematika, hubungan ekivalensi juga terjadi, misalnya, "ekspresi" X dan pada memiliki nilai numerik yang sama", "angka X sama dengan gambar pada».

Biarkan beberapa himpunan A tidak kosong diberikan dan R menjadi beberapa himpunan bagian dari kuadrat Cartesian dari himpunan A: RSEBUAHSEBUAH.

sikap R di lokasi syuting TETAPI disebut himpunan bagian dari himpunan TETAPITETAPI(atau TETAPI 2 ). Lewat sini sikap ada kasus khusus pencocokan di mana area kedatangan sama dengan area keberangkatan. Sama seperti kecocokan, relasi adalah pasangan terurut di mana kedua elemen termasuk dalam himpunan yang sama.

R A A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Fakta bahwa ( sebuah, b)R dapat ditulis sebagai berikut: sebuah R b. Bunyinya: " sebuah berhubungan R dengan b" atau "antara sebuah dan b relasi R berlaku. Jika tidak, tulis: sebuah, b)R atau sebuah R b.

Contoh relasi pada himpunan bilangan adalah sebagai berikut: "=", "", "", ">", dll. Pada set karyawan perusahaan mana pun, sikap "menjadi bos" atau "menjadi bawahan", pada sekelompok kerabat - "menjadi leluhur", "menjadi saudara", "menjadi ayah ", dll.

Hubungan yang dipertimbangkan disebut hubungan homogen biner (dua tempat) dan yang paling penting dalam matematika. Bersamaan dengan mereka, mereka juga mempertimbangkan P-lokal atau P-hubungan:

R A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n A).

Karena hubungan adalah kasus khusus dari korespondensi, semua metode yang dijelaskan sebelumnya dapat digunakan untuk mengaturnya.

Jelas, dengan mengatur rasio dengan cara matriks, kita mendapatkan matriks persegi.

Dengan representasi geometris (grafik) dari hubungan, kami mendapatkan diagram yang mencakup:

    simpul, dilambangkan dengan titik atau lingkaran, yang sesuai dengan elemen himpunan,

    dan busur (garis) yang sesuai dengan pasangan elemen yang termasuk dalam hubungan biner, dilambangkan dengan garis dengan panah yang diarahkan dari titik yang sesuai dengan elemen sebuah ke atas sesuai dengan elemen b , jika sebuah Rb .

Angka seperti itu disebut graf berarah (atau digraf) dari relasi biner.

Tugas 4.9.1 . Perbandingan "menjadi pembagi pada himpunan M = (1, 2, 3, 4)" dapat diberikan matriks:

pencacahan: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4 ));

geometris (grafis):

1. Tuliskan pasangan terurut yang termasuk dalam relasi biner berikut pada himpunan A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

    R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

    R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Relasi R pada himpunan X = (a, b, c, d) diberikan oleh matriks

,

di mana urutan baris dan kolom sesuai dengan urutan elemen yang ditulis. Daftar pasangan terurut yang termasuk dalam relasi yang diberikan. Tunjukkan hubungannya menggunakan grafik.

3. Relasi pada himpunan A = (1, 2, 3, 4) direpresentasikan oleh sebuah graf. Diperlukan:

    daftar pasangan terurut yang termasuk dalam R;

    tulis matriks yang sesuai;

    mendefinisikan hubungan ini menggunakan predikat.

(menjawab: a-b= 1).

4.10. Tipe dasar (properti) dari hubungan biner

Biarkan hubungan biner R di lokasi syuting TETAPI 2 : R A A = (( sebuah, b) | sebuah A, b A, ( sebuah, b)R)

    hubungan biner R di lokasi syuting TETAPI ditelepon reflektif, jika untuk apapun sebuah A dilakukan sebuahRsebuah, itu adalah ( sebuah,sebuah)R. Diagonal utama dari matriks relasi refleksif terdiri dari satu. Graf relasi refleksif tentu memiliki loop di setiap simpulnya.

Contoh hubungan refleksif: , =, pada himpunan bilangan real, "tidak menjadi bos" pada himpunan karyawan.

    hubungan biner R pada himpunan A disebut anti refleksif (tidak refleksif), jika untuk sebuah A tidak memiliki relasi sebuahRsebuah, itu adalah ( sebuah,sebuah)R. Diagonal utama dari matriks relasi tidak refleksif terdiri dari nol. Graf dari relasi irrefleksif tidak memiliki loop.

Contoh hubungan anti-reflektif:<, >pada himpunan bilangan real, tegak lurus garis pada himpunan garis.

    hubungan biner R di himpunan A ditelepon simetris, jika untuk apapun sebuah, bTETAPI dari sebuahRb Sebaiknya bRsebuah, yaitu jika ( sebuah, b)R, lalu dan ( b, sebuah)R. Matriks rasio simetris adalah simetris terhadap diagonal utamanya ( σ aku j = σ Ji). Grafik hubungan simetris tidak berarah (sisi ditunjukkan tanpa panah). Setiap pasangan simpul di sini dihubungkan oleh sisi yang tidak berarah.

Contoh hubungan simetris: pada himpunan bilangan real, "menjadi kerabat" pada himpunan orang.

    hubungan biner R di himpunan A ditelepon:

    antisimetris, jika untuk apapun sebuah, bTETAPI dari sebuahRb dan bRsebuah mengikuti itu sebuah=b. Artinya, jika ( sebuah, b)R dan( b, sebuah)R, maka berikut ini sebuah=b. Matriks rasio antisimetris sepanjang diagonal utama memiliki semua 1 dan tidak ada pasangan 1 yang terletak di lokasi simetris terhadap diagonal utama. Dengan kata lain, semuanya σ ii=1, dan jika σ aku j= 1, maka tentu σ Ji=0. Graf relasi antisimetri memiliki loop pada setiap simpulnya, dan simpul-simpul tersebut dihubungkan hanya oleh satu busur berarah.

Contoh hubungan antisimetris: , , pada himpunan bilangan real; , pada set;

    sebuahsimetris, jika untuk apapun sebuah, bTETAPI dari sebuahRb diikuti oleh kegagalan bRsebuah, yaitu jika ( sebuah, b)R, kemudian ( b, sebuah) R. Matriks rasio kemiringan sepanjang diagonal utama memiliki nol ( σ aku j=0) semua dan tidak ada pasangan yang simetris (jika σ aku j= 1, maka tentu σ Ji=0). Graf dari relasi asimetris tidak memiliki loop, dan simpul-simpulnya dihubungkan oleh busur berarah tunggal.

Contoh hubungan asimetris:<, >pada himpunan bilangan real, "menjadi ayah" pada himpunan orang.

    hubungan biner R di himpunan A ditelepon transitifnym, jika untuk apapun sebuah, b, DenganTETAPI dari sebuahRb dan bRsebuah mengikuti itu dan sebuahRDengan. Artinya, jika ( sebuah, b)R dan( b, Dengan)R berikut ini ( sebuah, Dengan)R. Matriks relasi transitif dicirikan oleh fakta bahwa jika σ aku j=1 dan σ jm= 1, maka tentu σ aku=1. Grafik relasi transitif sedemikian rupa sehingga jika, misalnya, simpul pertama-kedua dan kedua-ketiga dihubungkan oleh busur, maka pasti ada busur dari simpul pertama ke ketiga.

Contoh hubungan transitif:<, , =, >, pada himpunan bilangan real; "menjadi bos" pada sekelompok karyawan.

    hubungan biner R di himpunan A ditelepon antitransitifnym, jika untuk apapun sebuah, b, DenganTETAPI dari sebuahRb dan bRsebuah berarti tidak terpenuhi sebuahRDengan. Artinya, jika ( sebuah, b)R dan( b, Dengan)R berikut ini ( sebuah, Dengan) R. Matriks relasi antitransitif dicirikan oleh fakta bahwa jika σ aku j=1 dan σ jm= 1, maka tentu σ aku=0. Grafik hubungan antitransitif sedemikian rupa sehingga jika, misalnya, simpul pertama kedua dan ketiga ketiga dihubungkan oleh busur, maka tidak perlu ada busur dari simpul pertama ke ketiga.

Contoh relasi antitransitif: "ketidakcocokan paritas" pada himpunan bilangan bulat; "menjadi supervisor langsung" pada satu set karyawan.

Jika relasi tidak memiliki beberapa properti, maka dengan menambahkan pasangan yang hilang, Anda bisa mendapatkan relasi baru dengan properti ini. Himpunan pasangan yang hilang tersebut disebut penutupan hubungan untuk properti ini. Tetapkan sebagai R* . Dengan cara ini Anda bisa mendapatkan penutupan refleksif, simetris dan transitif.

Soal 4.10.1. Pada himpunan A = (1, 2, 3, 4) relasi R=(( sebuah,b)| sebuah,b A, sebuah+b sebuah angka genap). Tentukan jenis hubungan ini.

Larutan. Matriks dari relasi ini adalah:

. Jelas hubungannya adalah reflektif, karena ada satuan sepanjang diagonal utama. Dia secara simetris: 13 = 31 , 24 = 42 . secara transitif: (1,3)R, (3,1)R dan (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R dan (2,2)R dll.

Soal 4.10.2. Sifat apa pada himpunan A = ( sebuah, b, c, d) memiliki relasi biner R = (( sebuah,b), (b,d), (sebuah,d), (b,sebuah), (b,c)}?

Larutan . Mari kita buat matriks dari relasi ini dan grafiknya:

Sikap secara tidak langsung, karena semua ii= 0. It bukan secara simetris, karena 23 =1, dan 32 =0, namun, 12 =σ 21 =1. Sikap bukan secara transitif, karena 12 =1, 23 =1 dan 13 =0; 12 =1, 21 =1 dan 11 =0; tetapi pada saat yang sama 12 =1, 24 =1 dan 14 =1.

Tugas 4.10.3. Pada himpunan A = (1,2,3,4,5) relasi R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) diberikan. Tentukan jenis relasi dan temukan penutupan berikut untuk R:

    reflektif;

    simetris;

    transitif.

Larutan. Relasinya tidak refleksif karena tidak ada elemen bentuk ( sebuah,sebuah). Asimetris, karena tidak mengandung pasangan bentuk ( sebuah,b) dan ( b,sebuah) dan semua elemen diagonalnya adalah 0. Antitransitif karena (1,2)R, (2,3)R, tetapi (1,3)R. Demikian pula (2.4)R, (4.5)R, dan (2.5)R dll.

    penutupan refleksif dari relasi yang diberikan R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

    penutupan simetris: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

    penutupan transitif: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Pertimbangkan grafik hubungan asli dan transitif yang dihasilkan.

Tugas untuk solusi independen.

1. Relasi R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) diberikan. Tentukan jenisnya dan temukan penutupannya dengan refleksivitas, simetri, dan transitivitas.

2. Relasi pada himpunan kata-kata bahasa Rusia didefinisikan sebagai berikut: sebuah R b jika dan hanya jika mereka memiliki setidaknya satu huruf yang sama. Tentukan jenis relasi pada himpunan A = (sapi, gerobak, benang, kapak).

3. Tunjukkan contoh relasi biner pada himpunan A = (1, 2) dan B = (1, 2, 3), yang akan menjadi:

    tidak refleksif, tidak simetris, tidak transitif;

    refleksif, tidak simetris, tidak transitif;

    simetris, tetapi tidak refleksif dan tidak transitif;

    transitif, tetapi tidak refleksif dan tidak simetris;

    refleksif, simetris tetapi tidak transitif;

    refleksif, transitif, tetapi tidak simetris;

    non-reflektif, simetris, transitif;

    refleksif, simetris, transitif.



Direkomendasikan
Membuat kerajinan dari stik es krim
keputusan presiden hari penyelam 5 mei
Hukum kekekalan energi
Deformasi dan perpindahan