Deformasi dan perpindahan. hukum Hooke
Aksi gaya eksternal pada benda padat menyebabkan munculnya tegangan dan regangan pada titik-titik volumenya. Dalam hal ini, keadaan tegangan pada suatu titik, hubungan antara tegangan pada lokasi berbeda yang melewati titik ini, ditentukan oleh persamaan statika dan tidak bergantung pada sifat fisik material. Keadaan terdeformasi, hubungan antara perpindahan dan deformasi dibuat menggunakan pertimbangan geometris atau kinematik dan juga tidak bergantung pada sifat material. Untuk menetapkan hubungan antara tegangan dan regangan, perlu untuk mempertimbangkan sifat material yang sebenarnya dan kondisi pembebanan. Model matematika yang menggambarkan hubungan antara tegangan dan regangan dikembangkan berdasarkan data eksperimen. Model-model ini harus mencerminkan sifat material yang sebenarnya dan kondisi pemuatan dengan tingkat akurasi yang memadai.
Yang paling umum untuk bahan struktural adalah model elastisitas dan plastisitas. Elastisitas adalah sifat tubuh untuk mengubah bentuk dan ukuran di bawah aksi beban eksternal dan mengembalikan konfigurasi aslinya ketika beban dihilangkan. Secara matematis, sifat elastisitas diekspresikan dalam pembentukan hubungan fungsional satu-ke-satu antara komponen tensor tegangan dan tensor regangan. Sifat elastisitas tidak hanya mencerminkan sifat bahan, tetapi juga kondisi pembebanan. Untuk sebagian besar bahan struktural, sifat elastisitas memanifestasikan dirinya pada nilai gaya eksternal sedang, yang menyebabkan deformasi kecil, dan pada tingkat pemuatan rendah, ketika kehilangan energi akibat efek suhu dapat diabaikan. Suatu bahan disebut elastis linier jika komponen tensor tegangan dan tensor regangan dihubungkan oleh hubungan linier.
Pada tingkat pembebanan yang tinggi, ketika terjadi deformasi yang signifikan pada benda, material kehilangan sebagian sifat elastisnya: ketika dibongkar, dimensi dan bentuk aslinya tidak sepenuhnya pulih, dan ketika beban eksternal dihilangkan sepenuhnya, deformasi sisa diperbaiki. Pada kasus ini hubungan antara tegangan dan regangan tidak lagi ambigu. Properti material ini disebut keliatan. Deformasi sisa yang terakumulasi dalam proses deformasi plastis disebut plastis.
Tingkat stres yang tinggi dapat menyebabkan penghancuran, yaitu pembagian tubuh menjadi beberapa bagian. Benda padat yang terbuat dari bahan berbeda dihancurkan pada jumlah deformasi yang berbeda. Fraktur rapuh pada regangan kecil dan biasanya terjadi tanpa deformasi plastis yang terlihat. Penghancuran seperti itu biasa terjadi pada besi tuang, baja paduan, beton, kaca, keramik, dan beberapa bahan struktural lainnya. Untuk baja karbon rendah, logam non-besi, plastik, jenis fraktur plastis merupakan karakteristik dengan adanya deformasi sisa yang signifikan. Namun, pembagian bahan menurut sifat kehancurannya menjadi rapuh dan ulet sangat bersyarat, biasanya mengacu pada beberapa kondisi operasi standar. Bahan yang satu dan sama dapat berperilaku, tergantung pada kondisi (suhu, sifat beban, teknologi pembuatan, dll.), rapuh atau ulet. Misalnya, bahan yang plastik pada suhu normal hancur rapuh pada suhu rendah. Oleh karena itu, lebih tepat untuk berbicara bukan tentang bahan yang rapuh dan plastik, tetapi tentang keadaan bahan yang rapuh atau plastik.
Biarkan bahan menjadi elastis linier dan isotropik. Mari kita pertimbangkan volume dasar dalam kondisi tegangan uniaksial (Gbr. 1), sehingga tensor tegangan memiliki bentuk
Di bawah beban seperti itu, ada peningkatan dimensi ke arah sumbu Oh, dicirikan oleh deformasi linier, yang sebanding dengan besarnya tegangan
Gbr.1. Keadaan stres uniaksial
Rasio ini adalah notasi matematika hukum Hooke, membangun hubungan proporsional antara tegangan dan deformasi linier yang sesuai dalam keadaan tegangan uniaksial. Koefisien proporsionalitas E disebut modulus elastisitas longitudinal atau modulus Young. Ini memiliki dimensi tekanan.
Seiring dengan bertambahnya ukuran ke arah aksi; di bawah tekanan yang sama, dimensi berkurang dalam dua arah ortogonal (Gbr. 1). Deformasi yang sesuai akan dilambangkan dengan dan , dan deformasi ini negatif untuk yang positif dan sebanding dengan:
Dengan aksi tegangan simultan di sepanjang tiga sumbu ortogonal, ketika tidak ada tegangan tangensial, prinsip superposisi (superposisi larutan) berlaku untuk bahan elastis linier:
Dengan mempertimbangkan rumus (1 4), kami memperoleh
|
Tegangan tangensial menyebabkan deformasi sudut, dan pada deformasi kecil tidak mempengaruhi perubahan dimensi linier, dan karenanya, deformasi linier. Oleh karena itu, mereka juga berlaku dalam kasus keadaan stres yang sewenang-wenang dan mengungkapkan apa yang disebut menggeneralisasikan hukum Hooke.
Deformasi sudut disebabkan tegangan geser , dan deformasi dan , masing-masing, untuk tegangan dan . Antara tegangan geser yang sesuai dan deformasi sudut untuk benda isotropik elastis linier, ada hubungan proporsional
yang menyatakan hukum Kaitkan shift. Faktor proporsionalitas G disebut modul geser. Sangat penting bahwa tegangan normal tidak mempengaruhi deformasi sudut, karena dalam hal ini hanya dimensi linier dari segmen yang berubah, dan bukan sudut di antara mereka (Gbr. 1).
Ketergantungan linier juga ada antara tegangan rata-rata (2.18), yang sebanding dengan invarian pertama dari tensor tegangan, dan regangan volumetrik (2.32), yang bertepatan dengan invarian pertama dari tensor regangan:
Gbr.2. Regangan geser planar
Rasio aspek yang sesuai KE ditelepon modulus elastisitas massal.
Rumus (1 7) meliputi sifat elastis bahan E, , G Dan KE, menentukan sifat elastisnya. Namun, karakteristik ini tidak berdiri sendiri. Untuk bahan isotropik, dua karakteristik elastis independen biasanya dipilih sebagai modulus elastisitas e dan rasio Poisson. Untuk menyatakan modulus geser G melalui e Dan , Mari kita pertimbangkan deformasi geser bidang di bawah aksi tegangan geser (Gbr. 2). Untuk menyederhanakan perhitungan, kami menggunakan elemen persegi dengan sisi A. Hitung tegangan utama , . Tekanan ini bekerja di situs yang terletak miring ke situs asli. Dari gbr. 2 menemukan hubungan antara deformasi linier dalam arah tegangan dan deformasi sudut . Diagonal utama belah ketupat yang mencirikan deformasi sama dengan
Untuk deformasi kecil
Mengingat rasio ini
Sebelum deformasi, diagonal ini memiliki ukuran . Maka kita akan memiliki
Dari hukum Hooke yang digeneralisasikan (5) kami peroleh
Perbandingan rumus yang diperoleh dengan hukum Hooke dengan shift (6) diberikan
Akibatnya, kita dapatkan
Membandingkan ungkapan ini dengan hukum volumetrik Hooke (7), kita sampai pada hasilnya
Karakteristik mekanik E, , G Dan KE ditemukan setelah mengolah data percobaan benda uji untuk berbagai jenis beban. Dari segi fisik, semua ciri tersebut tidak mungkin negatif. Selain itu, mengikuti dari ekspresi terakhir bahwa rasio Poisson untuk bahan isotropik tidak melebihi 1/2. Jadi, kami memperoleh batasan berikut untuk konstanta elastis bahan isotropik:
Nilai batas mengarah ke nilai batas , yang sesuai dengan bahan mampat ( di ). Sebagai kesimpulan, kami menyatakan tekanan dalam bentuk deformasi dari hubungan elastisitas (5). Mari kita tulis relasi pertama (5) dalam bentuk
Menggunakan persamaan (9), kita akan memiliki
Hubungan serupa dapat diturunkan untuk dan . Akibatnya, kita dapatkan
|
Di sini hubungan (8) untuk modulus geser digunakan. Selain itu, penunjukannya
ENERGI POTENSIAL DEFORMASI ELASTIS
Pertimbangkan dulu volume dasar dV=dxdydz dalam kondisi tegangan uniaksial (Gbr. 1). Perbaiki situs secara mental x=0(Gbr. 3). Sebuah gaya bekerja pada sisi yang berlawanan .
Gaya ini bekerja dalam perpindahan. .
Ketika tegangan meningkat dari nol ke nilai
deformasi yang sesuai, berdasarkan hukum Hooke, juga meningkat dari nol ke nilainya ,
dan pekerjaan sebanding dengan yang diarsir pada Gambar. 4 kotak: 
. Jika kita lalai energi kinetik dan kerugian yang terkait dengan fenomena termal, elektromagnetik, dan lainnya, maka berdasarkan hukum kekekalan energi, pekerjaan yang dilakukan akan berubah menjadi energi potensial terakumulasi selama proses deformasi: .
F= dU/dV ditelepon energi potensial deformasi spesifik, berarti energi potensial terakumulasi per satuan volume tubuh. Dalam kasus keadaan stres uniaksial
8.2. Hukum Dasar yang Digunakan dalam Kekuatan Bahan
Hubungan statika. Mereka ditulis dalam bentuk persamaan kesetimbangan berikut.
hukum Hooke ( 1678): semakin besar gaya, semakin besar deformasi, dan, terlebih lagi, berbanding lurus dengan gaya. Secara fisik, ini berarti bahwa semua benda adalah pegas, tetapi dengan kekakuan yang tinggi. Dengan ketegangan balok sederhana oleh gaya longitudinal N= F hukum ini dapat ditulis sebagai:
Di Sini 
kekuatan memanjang, l- panjang batang, A- luas penampangnya, e- koefisien elastisitas jenis pertama ( modulus Young).
Dengan mempertimbangkan rumus tegangan dan regangan, hukum Hooke ditulis sebagai berikut: 
.
Hubungan serupa diamati dalam eksperimen antara tegangan geser dan sudut geser:
.
G
diteleponmodulus geser
, lebih jarang - modulus elastisitas jenis kedua. Seperti hukum apa pun, ia memiliki batas penerapan dan hukum Hooke. Tegangan 
, hingga hukum Hooke valid, disebut batas proporsionalitas(ini adalah karakteristik paling penting dalam sopromat).
Mari kita gambarkan ketergantungannya
dari
secara grafis (Gbr. 8.1). Lukisan ini disebut diagram peregangan
. Setelah titik B (yaitu di 
), ketergantungan ini tidak lagi linier.
Pada 
setelah bongkar, sisa deformasi muncul di tubuh, oleh karena itu 
ditelepon batas elastis
.
Ketika tegangan mencapai nilai σ = σ t, banyak logam mulai menunjukkan sifat yang disebut ketidakstabilan. Ini berarti bahwa bahkan di bawah beban konstan, material terus berubah bentuk (yaitu berperilaku seperti cairan). Secara grafis, ini berarti diagram sejajar dengan absis (plot DL). Tegangan σ t di mana material mengalir disebut menghasilkan kekuatan .
Beberapa bahan (Pasal 3 - baja bangunan) setelah aliran pendek mulai menahan lagi. Hambatan material berlanjut hingga nilai maksimum tertentu σ pr, kemudian penghancuran bertahap dimulai. Nilai σ pr - disebut daya tarik (sinonim untuk baja: kekuatan tarik, untuk beton - kekuatan kubik atau prismatik). Penunjukan berikut juga digunakan:
=R B
Ketergantungan serupa diamati dalam eksperimen antara tegangan tangensial dan geser.
3) Hukum Dugamel–Neumann (ekspansi termal linier):
Di hadapan perbedaan suhu, tubuh mengubah ukurannya, dan berbanding lurus dengan perbedaan suhu ini.
Biarkan ada perbedaan suhu 
. Maka hukum ini berbentuk:
Di Sini α - koefisien ekspansi termal linier, l - panjang batang, Δ l- pemanjangannya.
4) hukum merayap .
Penelitian telah menunjukkan bahwa semua bahan sangat tidak homogen dalam ukuran kecil. Skema struktur baja ditunjukkan pada Gambar 8.2.
Beberapa komponen memiliki sifat fluida, sehingga banyak material di bawah beban mendapatkan perpanjangan tambahan dari waktu ke waktu. 
(gbr.8.3.) (logam pada suhu tinggi, beton, kayu, plastik - pada suhu normal). Fenomena ini disebut orang aneh bahan.
Untuk cairan, hukumnya benar: Bagaimana lebih banyak kekuatan, semakin besar kecepatan tubuh dalam cairan. Jika hubungan ini linier (yaitu gaya sebanding dengan kecepatan), maka dapat ditulis sebagai:
e 
Jika kita beralih ke gaya relatif dan perpanjangan relatif, kita dapatkan
Ini indeksnya" cr
" berarti bahwa bagian dari pemanjangan yang disebabkan oleh mulur bahan dipertimbangkan. Karakteristik mekanis 
disebut koefisien viskositas.
Hukum kekekalan energi.
Pertimbangkan balok yang dimuat
Mari kita perkenalkan konsep memindahkan titik, misalnya,
- gerakan vertikal titik B;
- offset horizontal titik C.
Pasukan 
saat melakukan beberapa pekerjaan AS.
Mempertimbangkan bahwa kekuatan 
mulai meningkat secara bertahap dan dengan asumsi bahwa mereka meningkat sebanding dengan perpindahan, kita mendapatkan:
.
Menurut hukum konservasi: tidak ada pekerjaan yang hilang, itu dihabiskan untuk melakukan pekerjaan lain atau masuk ke energi lain (energi adalah pekerjaan yang dapat dilakukan oleh tubuh.
Pekerjaan kekuatan 
, dihabiskan untuk mengatasi hambatan gaya elastis yang muncul di tubuh kita. Untuk menghitung usaha ini, kita memperhitungkan bahwa benda dapat dianggap terdiri dari partikel-partikel elastis kecil. Mari pertimbangkan salah satunya:
Dari sisi partikel tetangga, tekanan bekerja padanya 
. Stres yang dihasilkan akan 
Di bawah pengaruh 
partikelnya memanjang. Menurut definisi, elongasi adalah elongasi per satuan panjang. Kemudian:
Mari kita hitung pekerjaannya dW bahwa kekuatan tidak dN (di sini juga diperhitungkan bahwa gaya dN mulai meningkat secara bertahap dan meningkat sebanding dengan perpindahan):
Untuk seluruh tubuh kita mendapatkan:
.
Pekerjaan W berkomitmen 
, ditelepon energi deformasi elastis.
Menurut hukum kekekalan energi :
6)Prinsip gerakan yang mungkin .
Ini adalah salah satu cara untuk menulis hukum kekekalan energi.
Biarkan gaya bekerja pada balok F 1
,
F 2
,
…
. Mereka menyebabkan poin bergerak di dalam tubuh 
dan stres 
. Mari kita berikan tubuh kemungkinan perpindahan kecil tambahan
. Dalam mekanika, catatan bentuknya 
berarti frasa "kemungkinan nilai kuantitas A". Gerakan-gerakan yang mungkin akan menyebabkan dalam tubuh kemungkinan deformasi tambahan
. Mereka akan mengarah pada munculnya kekuatan dan tekanan eksternal tambahan. 
,
δ.
Mari kita hitung kerja gaya eksternal pada kemungkinan perpindahan kecil tambahan:
Di Sini 
- perpindahan tambahan dari titik-titik di mana gaya diterapkan F 1
,
F 2
,
…
Pertimbangkan lagi elemen kecil dengan penampang dA dan panjang dz (lihat gbr. 8.5. dan 8.6.). Menurut definisi, perpanjangan tambahan dz elemen ini dihitung dengan rumus:
dz= dz.
Gaya tarik elemen akan menjadi:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Kerja gaya dalam pada perpindahan tambahan dihitung untuk elemen kecil sebagai berikut:
dW = dN dz = dA dz = dV
DENGAN 
menjumlahkan energi regangan dari semua elemen kecil, kita mendapatkan energi regangan total:
Hukum kekekalan energi W = AS memberikan:
.
Rasio ini disebut prinsip gerakan yang mungkin(disebut juga prinsip gerakan virtual). Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika tegangan geser juga bekerja. Maka dapat diperoleh energi regangan tersebut W tambahkan istilah berikut:
Di sini - tegangan geser, - geser elemen kecil. Kemudian prinsip gerakan yang mungkin akan berbentuk:
Berbeda dengan bentuk penulisan hukum kekekalan energi sebelumnya, tidak ada asumsi di sini bahwa gaya mulai meningkat secara bertahap, dan meningkat sebanding dengan perpindahan.
7) efek Poisson.
Pertimbangkan pola perpanjangan sampel:
Fenomena pemendekan elemen tubuh melintasi arah pemanjangan disebut efek Poisson.
Mari kita temukan deformasi relatif longitudinal.
Deformasi relatif transversal akan menjadi:
rasio Poisson kuantitas disebut:
Untuk bahan isotropik (baja, besi tuang, beton) rasio Poisson
Artinya pada arah melintang terjadi deformasi lebih sedikit membujur.
Catatan
: teknologi modern dapat membuat material komposit dengan rasio Poisson > 1, yaitu deformasi transversal akan lebih besar daripada deformasi longitudinal. Misalnya, untuk material yang diperkuat dengan serat keras pada sudut rendah. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, yaitu kurang 
, semakin besar rasio Poisson.
Gambar 8.8. Gambar 8.9
Yang lebih mengejutkan adalah bahan yang ditunjukkan pada (Gbr. 8.9.), Dan untuk penguatan seperti itu, hasil paradoks terjadi - perpanjangan longitudinal menyebabkan peningkatan ukuran tubuh dalam arah melintang.
8) Hukum Hooke yang digeneralisasikan.
Pertimbangkan elemen yang membentang dalam arah memanjang dan melintang. Mari kita temukan deformasi yang muncul ke arah ini. 
Hitung deformasi 
timbul dari tindakan tersebut 
:
Pertimbangkan deformasi dari tindakan 
, yang dihasilkan dari efek Poisson:
Deformasi total akan menjadi:
Jika berhasil dan 
, lalu tambahkan satu pemendekan lagi searah sumbu x 
.
Karena itu: 
Demikian pula: 
Rasio ini disebut menggeneralisasikan hukum Hooke.
Menariknya, ketika menulis hukum Hooke, sebuah asumsi dibuat tentang independensi regangan elongasi dari regangan geser (tentang independensi dari tegangan geser, yang merupakan hal yang sama) dan sebaliknya. Eksperimen mengkonfirmasi asumsi ini dengan baik. Ke depan, kami mencatat bahwa kekuatan, sebaliknya, sangat bergantung pada kombinasi tegangan geser dan normal.
Catatan: Undang-undang dan asumsi di atas dikonfirmasi oleh banyak eksperimen langsung dan tidak langsung, tetapi, seperti semua undang-undang lainnya, undang-undang tersebut memiliki area penerapan yang terbatas.
hukum Hooke biasanya disebut sebagai hubungan linier antara komponen regangan dan komponen tegangan.
Ambil paralelepiped persegi panjang dasar dengan wajah sejajar dengan sumbu koordinat, sarat dengan tegangan normal σ x, didistribusikan secara merata pada dua sisi yang berlawanan (Gbr. 1). Di mana y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Hingga mencapai batas proporsionalitas, perpanjangan relatif diberikan oleh rumus
Di mana e adalah modulus tarik. Untuk baja e = 2*10 5 MPa, oleh karena itu, deformasi sangat kecil dan diukur sebagai persentase atau dalam 1 * 10 5 (dalam instrumen pengukur regangan yang mengukur deformasi).
Memperluas Elemen dalam Arah Sumbu X disertai dengan penyempitannya ke arah melintang, ditentukan oleh komponen regangan
Di mana μ adalah konstanta yang disebut rasio kompresi transversal atau rasio Poisson. Untuk baja μ biasanya diambil sama dengan 0,25-0,3.
Jika elemen yang dipertimbangkan secara bersamaan dibebani dengan tegangan normal σ x, y, σz, terdistribusi secara merata di atas permukaannya, kemudian deformasi ditambahkan
Dengan melapiskan komponen deformasi yang disebabkan oleh masing-masing dari ketiga tegangan, kita memperoleh hubungan
Rasio ini dikonfirmasi oleh banyak percobaan. terapan metode overlay atau superposisi untuk menemukan regangan dan tegangan total yang disebabkan oleh banyak gaya adalah sah selama regangan dan tegangan kecil dan bergantung secara linier pada gaya yang diterapkan. Dalam kasus seperti itu, kami mengabaikan perubahan kecil dalam dimensi benda yang dapat dideformasi dan perpindahan kecil dari titik penerapan gaya eksternal dan mendasarkan perhitungan kami pada dimensi awal dan bentuk awal benda.
Perlu dicatat bahwa linearitas hubungan antara gaya dan regangan belum mengikuti dari kecilnya perpindahan. Jadi, misalnya, di kompres Q batang dimuat dengan kekuatan transversal tambahan R, bahkan dengan defleksi kecil δ ada momen tambahan M = Qδ, yang membuat masalah non-linear. Dalam kasus seperti itu, defleksi total bukanlah fungsi linier dari gaya-gaya dan tidak dapat diperoleh dengan overlay sederhana (superposisi).
Telah ditetapkan secara eksperimental bahwa jika tegangan geser bekerja pada semua permukaan elemen, maka distorsi sudut yang sesuai hanya bergantung pada komponen tegangan geser yang sesuai.
Konstan G disebut modulus geser atau modulus geser.
Kasus umum deformasi suatu elemen dari aksi tiga komponen tegangan normal dan tiga komponen tegangan tangensial padanya dapat diperoleh dengan menggunakan superposisi: tiga deformasi linier yang ditentukan oleh ekspresi (5.2a) ditumpangkan dengan tiga deformasi geser yang ditentukan oleh hubungan (5.2b) . Persamaan (5.2a) dan (5.2b) menentukan hubungan antara komponen regangan dan tegangan dan disebut menggeneralisasikan hukum Hooke. Mari kita tunjukkan modulus geser G dinyatakan dalam modulus tarik e dan rasio Poisson μ . Untuk melakukan ini, pertimbangkan kasus khusus di mana σ x = σ , y = -σ Dan σz = 0.
Potong elemennya abcd bidang yang sejajar dengan sumbu z dan miring dengan sudut 45° terhadap sumbu X Dan pada(Gbr. 3). Sebagai berikut dari kondisi kesetimbangan untuk elemen 0 bc, tegangan normal σ ay pada semua permukaan elemen abcd sama dengan nol, dan tegangan geser sama
Keadaan stres ini disebut pergeseran murni. Persamaan (5.2a) menyiratkan hal itu
yaitu perpanjangan dari elemen horizontal 0 C sama dengan pemendekan elemen vertikal 0 B: εy = -ε x.
Sudut antara wajah ab Dan sm perubahan, dan jumlah regangan geser yang sesuai γ dapat ditemukan dari segitiga 0 bc:
Oleh karena itu berikut ini
Ketika sebuah batang diregangkan dan dikompresi, panjang dan dimensi penampangnya berubah. Jika kita secara mental memilih dari batang dalam keadaan tidak terdeformasi elemen panjang dx, kemudian setelah deformasi panjangnya akan sama dengan dx((Gbr. 3.6). Dalam hal ini, perpanjangan mutlak ke arah sumbu Oh akan sama dengan
dan deformasi linier relatif mantan ditentukan oleh persamaan
Sejak sumbu Oh bertepatan dengan sumbu batang, di mana beban eksternal bekerja, kita sebut deformasi mantan deformasi longitudinal, yang indeksnya akan dihilangkan di bawah ini. Deformasi dalam arah tegak lurus terhadap sumbu disebut deformasi transversal. Jika dilambangkan dengan B ukuran karakteristik penampang (Gbr. 3.6), maka deformasi transversal ditentukan oleh relasinya 
Deformasi linier relatif adalah kuantitas tanpa dimensi. Telah ditetapkan bahwa deformasi transversal dan longitudinal selama tegangan sentral dan kompresi batang saling berhubungan oleh ketergantungan
Kuantitas v termasuk dalam persamaan ini disebut rasio Poisson atau koefisien deformasi melintang. Koefisien ini adalah salah satu konstanta utama elastisitas material dan mencirikan kemampuannya untuk deformasi melintang. Untuk setiap bahan ditentukan dari uji tarik atau tekan (lihat § 3.5) dan dihitung dengan rumus
Sebagai berikut dari persamaan (3.6), regangan longitudinal dan transversal selalu memiliki tanda yang berlawanan, yang menegaskan fakta yang jelas bahwa dimensi penampang berkurang selama tegangan, dan meningkat selama kompresi.
Rasio Poisson berbeda untuk bahan yang berbeda. Untuk bahan isotropik, dapat diambil nilai mulai dari 0 hingga 0,5. Misalnya, untuk kayu gabus, rasio Poisson mendekati nol, sedangkan untuk karet mendekati 0,5. Untuk banyak logam pada suhu normal, nilai rasio Poisson berkisar antara 0,25 + 0,35.
Sebagaimana ditetapkan dalam banyak percobaan, untuk sebagian besar bahan struktural pada regangan kecil, ada hubungan linier antara tegangan dan regangan
Hukum proporsionalitas ini pertama kali ditetapkan oleh ilmuwan Inggris Robert Hooke dan disebut hukum Hooke.
Konstanta termasuk dalam hukum Hooke e disebut modulus elastisitas. Modulus elastisitas adalah konstanta elastisitas utama kedua suatu bahan dan mencirikan kekakuannya. Karena regangan merupakan besaran tak berdimensi, maka dari (3.7) modulus elastisitas memiliki dimensi tegangan.
Di meja. 3.1 menunjukkan nilai modulus elastisitas dan rasio Poisson untuk berbagai bahan.
Saat merancang dan menghitung struktur, bersamaan dengan perhitungan tegangan, juga perlu untuk menentukan perpindahan masing-masing titik dan simpul struktur. Pertimbangkan metode untuk menghitung perpindahan di bawah tegangan pusat dan kompresi batang.
Panjang ekstensi elemen mutlak dx(Gbr. 3.6) menurut rumus (3.5) adalah
Tabel 3.1
|
Nama material |
Modulus elastisitas, MPa |
Koefisien Poisson |
|
Baja karbon |
||
|
paduan aluminium |
||
|
Paduan titanium |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
sepanjang serat |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
melintasi serat |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
bangunan bata |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
SVAM fiberglass |
||
|
Textolite |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Karet di atas karet |
Mengintegrasikan ungkapan ini dalam rentang dari 0 hingga x, kita dapatkan
Di mana milik mereka) - perpindahan aksial dari bagian sembarang (Gbr. 3.7), dan C= dan( 0) - perpindahan aksial dari bagian awal x = 0. Jika bagian ini tetap, maka u(0) = 0 dan perpindahan bagian sembarang adalah
Perpanjangan atau pemendekan batang sama dengan perpindahan aksial ujung bebasnya (Gbr. 3.7), nilainya kita peroleh dari (3.8), dengan asumsi x = 1:
Mengganti ke dalam rumus (3.8) ekspresi untuk deformasi? dari hukum Hooke (3.7), kita peroleh
Untuk batang yang terbuat dari bahan dengan modulus elastisitas konstan e perpindahan aksial ditentukan oleh rumus
Integral yang termasuk dalam persamaan ini dapat dihitung dengan dua cara. Cara pertama adalah menulis fungsi secara analitik Oh) dan integrasi selanjutnya. Metode kedua didasarkan pada fakta bahwa integral yang dipertimbangkan secara numerik sama dengan luas plot a pada bagian tersebut. Memperkenalkan notasi
Mari pertimbangkan kasus khusus. Untuk batang yang direntangkan oleh gaya terpusat R(beras. 3.3, a), gaya longitudinal. / V konstan sepanjang dan sama dengan R. Tegangan a menurut (3.4) juga konstan dan sama dengan 
Kemudian dari (3.10) kita peroleh
Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa jika tegangan pada bagian tertentu dari batang konstan, maka perpindahan berubah sesuai dengan hukum linier. Mengganti ke formula terakhir x = 1, mencari perpanjangan batang:
Bekerja EF ditelepon kekakuan batang dalam ketegangan dan kompresi. Semakin besar nilai ini, semakin kecil perpanjangan atau pemendekan batang.
Pertimbangkan batang di bawah aksi beban yang didistribusikan secara merata (Gbr. 3.8). Gaya longitudinal pada penampang arbitrer, yang ditempatkan pada jarak x dari pengencang, sama dengan
Pemisah N pada F, kita mendapatkan rumus untuk tekanan
Mengganti ungkapan ini menjadi (3.10) dan mengintegrasikan, kami menemukan
Perpindahan terbesar, sama dengan perpanjangan seluruh batang, diperoleh dengan mensubstitusikan x = / ke (3.13):
Dari rumus (3.12) dan (3.13) terlihat bahwa jika tegangan bergantung secara linear pada x, maka perpindahannya berubah sesuai dengan hukum parabola persegi. Plot N, oh dan Dan ditunjukkan pada gambar. 3.8.
Fungsi penghubung ketergantungan diferensial umum milik mereka) dan a(x), dapat diperoleh dari relasi (3.5). Mengganti e dari hukum Hooke (3.7) ke dalam relasi ini, kita temukan
Dari ketergantungan ini, khususnya, ikuti pola perubahan fungsi yang dicatat dalam contoh di atas milik mereka).
Selain itu, dapat dicatat bahwa jika di bagian mana pun tegangan menghilang, maka pada diagram Dan mungkin ada ekstrem di bagian ini.
Sebagai contoh, mari kita buat diagram Dan untuk batang yang ditunjukkan pada Gambar. 3.2, menempatkan E- 10 4 MPa. Menghitung luas petak HAI untuk area yang berbeda, kami menemukan:
bagian x = 1 m:
bagian x = 3 m:
bagian x = 5 m:
Di bagian atas bilah diagram Dan adalah parabola persegi (Gbr. 3.2, e). Dalam hal ini, ada ekstrem di bagian x = 1 m. Di bagian bawah, karakter diagram adalah linier.
Perpanjangan total batang, yang dalam hal ini sama dengan
dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3.11) dan (3.14). Karena bagian bawah batang (lihat Gambar 3.2, A) diregangkan dengan paksa R ( pemanjangannya menurut (3.11) sama dengan
Aksi kekuatan R ( juga ditransmisikan ke bagian atas batang. Selain itu, dikompresi dengan paksa R 2 dan diregangkan oleh beban yang terdistribusi secara merata Q. Sesuai dengan ini, perubahan panjangnya dihitung dengan rumus
Menjumlahkan nilai A/, dan A/ 2 , kita mendapatkan hasil yang sama seperti di atas.
Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa, meskipun perpindahan dan perpanjangan (pemendekan) batang di bawah tegangan dan kompresi kecil, mereka tidak dapat diabaikan. Kemampuan untuk menghitung jumlah ini penting dalam banyak masalah teknologi (misalnya, saat merakit struktur), serta untuk menyelesaikan masalah statis tak tentu.
