Relacija r je dana na skupu x. Binarne relacije i njihova svojstva

Njega lica

Osnove diskretne matematike.

Pojam skupa. Odnos između skupova.

Skup je skup objekata koji imaju određeno svojstvo, ujedinjenih u jedinstvenu cjelinu.

Predmeti koji čine skup nazivaju se elementi postavlja. Da bi se određeni skup objekata mogao nazvati skupom, moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

· Trebalo bi postojati pravilo prema kojem je mono odrediti pripada li element danoj kolekciji.

· Mora postojati pravilo po kojem se elementi mogu razlikovati jedni od drugih.

Skupovi se označavaju velikim slovima, a njegovi elementi malim slovima. Načini specificiranja skupova:

· Nabrajanje elemenata skupa. - za konačne skupove.

Određivanje karakterističnog svojstva .

prazan skup- naziva se skup koji ne sadrži nijedan element (Ø).

Dva skupa se nazivaju jednakima ako se sastoje od istih elemenata. , A=B

Mnogo B naziva podskup skupa ALI( , ako i samo ako su svi elementi skupa B pripadaju skupu A.

Na primjer: , B =>

Svojstvo:

Napomena: obično se smatra podskup istog skupa, koji se zove univerzalni(u). Univerzalni set sadrži sve elemente.

Operacije na skupovima.

A
B
1. Udruga 2 skupa A i B naziva se takav skup kojemu pripadaju elementi skupa A ili skupa B (elementi barem jednog od skupova).

2.prijelaz 2 skupa je novi skup koji se sastoji od elemenata koji istovremeno pripadaju i prvom i drugom skupu.

Br: , ,

Svojstvo: operacije unije i presjeka.

· Komutativnost.

Asocijativnost. ;

· Distributivni. ;

U
4.Dodatak. Ako a ALI je podskup univerzalnog skupa U, zatim dopuna skupa ALI previše U(označeno) je skup koji se sastoji od onih elemenata skupa U, koji ne pripadaju skupu ALI.

Binarne relacije i njihova svojstva.

Neka ALI i NA to su skupovi izvedene prirode, smatrajte uređenim parom elemenata (a, c) a ϵ A, c ϵ B mogu se smatrati naručeni "enkovi".

(a 1, a 2, a 3,…a n), gdje a 1 ϵ A 1; a 2 ϵ A 2; …; a n ϵ A n ;

Kartezijev (izravni) produkt skupova A 1, A 2, ..., A n, naziva se skup, koji se sastoji od uređenih n k oblika .

Nr: M= {1,2,3}

M × M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Podskupovi Kartezijevog umnoška naziva omjer stupnjeva n ili enarni odnos. Ako a n=2, zatim razmislite binarni odnosa. Što oni to kažu a 1, a 2 su u binarnom odnosu R, kada a 1 R a 2.

Binarna relacija na skupu M naziva se podskup izravnog produkta skupa n na sebi.

M × M = M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) u prethodnom primjeru, omjer je manji na skupu M generira sljedeći skup: ((1,2);(1,3); (2,3))

Binarne relacije imaju različita svojstva uključujući:

Refleksivnost: .

· Antirefleksivnost (irrefleksivnost): .

· Simetrija: .

· Antisimetrija: .

· Tranzitivnost: .

· Asimetrija: .

Vrste odnosa.

Relacija ekvivalencije;

· Odnos reda.

v Refleksivna tranzitivna relacija naziva se relacija kvazi-poretka.

v Refleksivna simetrična tranzitivna relacija naziva se relacija ekvivalencije.

v Refleksivna antisimetrična tranzitivna relacija naziva se relacija (djelomičnog) reda.

v Antirefleksivna antisimetrična tranzitivna relacija naziva se relacija strogog reda.

Definicija. Binarna relacija R naziva se podskup parova (a,b)∈R kartezijev produkt A×B, tj. R⊆A×B . Istovremeno, mnogi A nazivamo domenom definicije relacije R, skup B nazivamo domenom vrijednosti.

Oznaka: aRb (tj. a i b su u odnosu na R). /

Komentar: ako je A = B, tada se kaže da je R relacija na skupu A.

Načini specificiranja binarnih odnosa

1. Popis (nabrajanje parova) za koje je ovaj odnos zadovoljen.

2. Matrica. Binarna relacija R ∈ A × A , gdje je A = (a 1 , a 2 ,..., a n), odgovara kvadratnoj matrici reda n u kojoj element c ij , koji se nalazi u sjecištu i -tom retku i j-tom stupcu, jednaka je 1 ako postoji relacija R između a i i a j ili 0 ako je nema:

Svojstva odnosa

Neka je R relacija na skupu A, R ∈ A×A . Tada je relacija R:

    refleksivno ako je Ɐ a ∈ A: a R a (glavna dijagonala matrice refleksivne relacije sadrži samo jedinice);

    je antirefleksivan ako Ɐ a ∈ A: a R a (glavna dijagonala matrice refleksivnih odnosa sadrži samo nule);

    simetrična ako je Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (matrica takve relacije je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, tj. c ij c ji);

    antisimetrična ako je Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (u matrici takve relacije nema simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu);

    tranzitivno ako Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c redak, tj. c ij = 1 , tada sve jedinice u j-tom redu (neka ove jedinice odgovaraju k e koordinatama tako da, c jk = 1) moraju odgovarati onima u i-tom redu u istim k-x koordinatama, tj. c ik = 1 (a možda i u drugim koordinatama).

Zadatak 3.1. Odrediti svojstva relacije R - "biti djelitelj", zadane na skupu prirodnih brojeva.

Riješenje.

omjer R = ((a,b):a djelitelj b):

    refleksivan, a ne antirefleksivan, budući da se svaki broj dijeli bez ostatka: a/a = 1 za sve a∈N ;

    nije simetričan, antisimetričan, na primjer, 2 je djelitelj od 4, ali 4 nije djelitelj od 2;

    tranzitivno, jer ako je b/a ∈ N i c/b ∈ N, tada je c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, na primjer, ako je 6/3 = 2∈N i 18/6 = 3∈N , tada je 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Zadatak 3.2. Odredite svojstva relacije R - "biti brat", dane na skupu ljudi.
Riješenje.

Omjer R = ((a,b):a - brat b):

    nerefleksivan, antirefleksivan zbog očitog odsustva aRa za sva a;

    nije simetrično, budući da općenito postoji aRb između brata a i sestre b, ali ne i bRa;

    nije antisimetrična, jer ako su a i b braća, onda su aRb i bRa, ali a≠b;

    tranzitivno, ako braćom nazivamo osobe koje imaju zajedničke roditelje (oca i majku).

Zadatak 3.3. Odrediti svojstva relacije R - "biti gazda" specificirane na skupu elemenata strukture

Riješenje.

Omjer R = ((a,b) : a - vrh b):

  • nerefleksivan, antirefleksivan, ako nema smisla u određenoj interpretaciji;
  • nije simetričan, antisimetričan, jer za sve a≠b aRb i bRa nisu zadovoljeni istovremeno;
  • tranzitivno, jer ako je a glava od b i b je glava od c , tada je a glava od c .

Odredite svojstva relacije R i , definirane na skupu M i matricom, ako je:

  1. R 1 "imaju isti ostatak kada se podijeli s 5"; M 1 je skup prirodnih brojeva.
  2. R 2 "biti jednak"; M 2 je skup prirodnih brojeva.
  3. R 3 "živjeti u istom gradu"; M 3 skup ljudi.
  4. R 4 "biti upoznat"; M 4 mnogo ljudi.
  5. R 5 ((a,b):(a-b) - parni; M 5 skup brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  6. R 6 ((a,b):(a+b) - parni; M 6 skup brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  7. R 7 ((a,b):(a+1) - djelitelj (a+b)) ; M 7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
  8. R 8 ((a,b):a - djelitelj (a+b),a≠1); M 8 je skup prirodnih brojeva.
  9. R 9 "biti sestra"; M 9 - puno ljudi.
  10. R 10 "biti kći"; M 10 - puno ljudi.

Operacije na binarnim relacijama

Neka su R1, R1 relacije definirane na skupu A.

    udruga R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ili (a,b) ∈ R 2 ) ;

    križanje R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 i (a,b) ∈ R 2 ) ;

    razlika R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 i (a,b) ∉ R 2 ) ;

    univerzalni odnos U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

    dodatak R1 U \ R1, gdje je U = A × A;

    odnos identiteta I: = ((a;a) / a ∈ A);

    obrnuti odnos R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

    sastav R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), gdje je R 1 ⊂ A × C i R 2 ⊂ C×B;

Definicija. Stupanj odnosa R na skupu A je njegova kompozicija sa samim sobom.

Oznaka:

Definicija. Ako je R ⊂ A × B, tada se poziva Rº R -1 jezgra relacije R .

Teorem 3.1. Neka je R ⊂ A × A relacija definirana na skupu A .

  1. R je refleksivan ako i samo ako (u nastavku se koristi znak ⇔) kada je I ⊂ R.
  2. R je simetričan ⇔ R = R -1 .
  3. R je tranzitivan ⇔ R º R ⊂ R
  4. R je antisimetričan ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R je antirefleksivan ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Zadatak 3.4 . Neka je R relacija između skupova (1,2,3) i (1,2,3,4) dana nabrajanjem parova: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Osim toga, S je relacija između skupova S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Izračunajte R -1 , S -1 i S º R. Provjerite je li (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Riješenje.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2 .1), (2.2), (2.3)) = (S º R ) -jedan .

Zadatak 3.5 . Neka je R relacija "...roditelj..." i S relacija "...brat..." na skupu svih ljudi. Dajte kratak verbalni opis odnosa:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 i R º R.

Riješenje.

R -1 - relacija "... dijete ...";

S -1 - odnos "... brat ili sestra ...";

R º S - relacija "... roditelj ...";

S -1 º R -1 - relacija "... dijete ..."

R º R - relacija "...baka ili djed..."

Zadaci za samostalno rješavanje

1) Neka je R relacija "...otac...", a S relacija "...sestra..." na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Neka je R relacija "...brat...", a S relacija "...majka..." na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Neka je R relacija "...djed...", a S relacija "...sin..." na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

4) Neka je R relacija “...kći...”, a S relacija “...baka...” na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

5) Neka je R relacija "...nećakinja...", a S relacija "...otac..." na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Neka je R relacija "sestra..." i S relacija "majka..." na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Neka je R relacija “...majka...”, a S relacija “...sestra...” na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Neka je R relacija “...sin...”, a S relacija “...djed...” na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Neka je R relacija “...sestra...”, a S relacija “...otac...” na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Neka je R relacija “...majka...”, a S relacija “...brat...” na skupu svih ljudi. Usmeno opišite odnos:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Definicije

  • 1. Binarna relacija između elemenata skupova A i B je bilo koji podskup Kartezijevog produkta RAB, RAA.
  • 2. Ako je A=B, tada je R binarna relacija na A.
  • 3. Oznake: (x, y)R xRy.
  • 4. Domena binarne relacije R je skup R = (x: postoji y takav da je (x, y)R).
  • 5. Raspon binarne relacije R je skup R = (y: postoji x takav da je (x, y)R).
  • 6. Komplement binarne relacije R između elemenata A i B je skup R = (AB) R.
  • 7. Inverzna relacija za binarnu relaciju R je skup R1 = ((y, x) : (x, y)R).
  • 8. Produkt relacija R1AB i R2BC je relacija R1 R2 = ((x, y) : postoji zB takav da je (x, z)R1 i (z, y)R2).
  • 9. Relacija f se naziva funkcija od A do B ako su ispunjena dva uvjeta:
    • a) f \u003d A, f B
    • b) za sve x, y1, y2, činjenica da (x, y1)f i (x, y2)f implicira y1=y2.
  • 10. Relacija f naziva se funkcija od A do B ako je u prvom stavku f = A, f = B.
  • 11. Oznake: (x, y)f y = f(x).
  • 12. Funkcija identiteta iA: AA definirana je na sljedeći način: iA(x) = x.
  • 13. Funkcija f se naziva 1-1-funkcijom ako za bilo koje x1, x2, y činjenica da y = f(x1) i y = f(x2) implicira x1=x2.
  • 14. Funkcija f: AB izvodi korespondenciju jedan-na-jedan između A i B ako je f = A, f = B i f je funkcija 1-1.
  • 15. Svojstva binarne relacije R na skupu A:
    • - refleksivnost: (x, x)R za sve xA.
    • - nerefleksivnost: (x, x)R za sve xA.
    • - simetrija: (x, y)R (y, x)R.
    • - antisimetrija: (x, y)R i (y, x)R x=y.
    • - tranzitivnost: (x, y)R i (y, z)R (x, z)R.
    • - dihotomija: ili (x, y)R ili (y, x)R za sve xA i yA.
  • 16. Skupovi A1, A2, ..., Ar iz P(A) čine particiju skupa A ako je
  • - Ai , i = 1, ..., r,
  • - A = A1A2...Ar,
  • - AiAj = , i j.

Podskupovi Ai , i = 1, ..., r, nazivaju se particijski blokovi.

  • 17. Ekvivalencija na skupu A je refleksivna, tranzitivna i simetrična relacija na A.
  • 18. Klasa ekvivalencije elementa x po ekvivalenciji R je skup [x]R=(y: (x, y)R).
  • 19. Faktorski skup A prema R je skup klasa ekvivalencije elemenata skupa A. Oznaka: A/R.
  • 20. Klase ekvivalencije (elementi faktorskog skupa A/R) tvore particiju skupa A. Obrnuto. Svaka particija skupa A odgovara relaciji ekvivalencije R čije se klase ekvivalencije podudaraju s blokovima navedene particije. Različito. Svaki element skupa A spada u neku klasu ekvivalencije iz A/R. Klase ekvivalencije se ili ne sijeku ili se podudaraju.
  • 21. Predred na skupu A je refleksivna i tranzitivna relacija na A.
  • 22. Parcijalni poredak na skupu A je refleksivna, tranzitivna i antisimetrična relacija na A.
  • 23. Linearni poredak na skupu A je refleksivna, tranzitivna i antisimetrična relacija na A koja zadovoljava svojstvo dihotomije.

Neka je A=(1, 2, 3), B=(a, b). Napišimo Kartezijev produkt: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Uzmite bilo koji podskup ovog Kartezijevog produkta: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Tada je R binarna relacija na skupovima A i B.

Hoće li ova relacija biti funkcija? Provjerimo ispunjenje dva uvjeta 9a) i 9b). Domena relacije R je skup R = (1, 2) (1, 2, 3), odnosno prvi uvjet nije zadovoljen pa se R mora dodati jedan od parova: (3, a) ili (3, b). Ako se oba para zbroje, tada drugi uvjet neće biti zadovoljen jer je ab. Iz istog razloga, jedan od parova (1, a) ili (1, b) mora biti ispušten iz R. Stoga je relacija R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) funkcija. Imajte na umu da R nije funkcija 1-1.

Na zadanim skupovima A i B sljedeće relacije također će biti funkcije: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) itd.

Neka je A=(1, 2, 3). Primjer relacije na skupu A je R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Primjer funkcije na skupu A je f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Primjeri rješavanja problema

1. Nađite R, R, R1, RR, RR1, R1R za R = ((x, y) | x, y D i x+y0).

Ako je (x, y)R, tada x i y prolaze kroz sve realne brojeve. Stoga je R = R = D.

Ako je (x, y)R, onda je x+y0, dakle y+x0 i (y, x)R. Stoga je R1=R.

Za bilo koje xD, yD uzimamo z=-|max(x, y)|-1, zatim x+z0 i z+y0, tj. (x, z)R i (z, y)R. Prema tome RR = RR1 = R1R = D2.

2. Za koje binarne relacije R vrijedi R1= R?

Neka RAB. Moguća su dva slučaja:

  • (1) AB. Uzmimo xAB. Tada je (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Kontradikcija.
  • (2) AB=. Kako su R1BA i RAB, onda je R1= R= . Iz R1 = slijedi R = . Iz R = slijedi R=AB. Kontradikcija.

Dakle, ako su A i B, onda takvi odnosi R ne postoje.

3. Na skupu D realnih brojeva definiramo relaciju R na sljedeći način: (x, y)R (x-y) je racionalan broj. Dokažite da je R ekvivalencija.

Refleksivnost:

Za svaki xD x-x=0 je racionalan broj. Jer (x, x)R.

Simetrija:

Ako je (x, y)R, onda je x-y = . Tada je y-x=-(x-y)=- racionalan broj. Prema tome (y, x)R.

Tranzitivnost:

Ako je (x, y)R, (y, z)R, tada je x-y = i y-z =. Zbrajanjem ove dvije jednadžbe dobivamo da je x-z = + racionalan broj. Prema tome (x, z)R.

Stoga je R ekvivalencija.

4. Pregrada ravnine D2 sastoji se od blokova prikazanih na slici a). Zapišite relaciju ekvivalencije R koja odgovara ovoj particiji i razrede ekvivalencije.

Sličan problem za b) i c).


a) dvije točke su ekvivalentne ako leže na pravoj liniji oblika y=2x+b, gdje je b bilo koji realni broj.

b) dvije točke (x1,y1) i (x2,y2) su ekvivalentne ako je (cijeli dio x1 jednak cjelobrojnom dijelu x2) i (cijeli dio y1 jednak je cijelom dijelu y2).

c) Odlučite sami.

Zadaci za samostalno rješavanje

  • 1. Dokažite da ako je f funkcija od A do B i g je funkcija od B do C, tada je fg funkcija od A do C.
  • 2. Neka su A i B konačni skupovi koji se sastoje od m odnosno n elemenata.

Koliko binarnih relacija postoji između elemenata skupova A i B?

Koliko ima funkcija od A do B?

Koliko ima funkcija 1-1 od A do B?

Za koje m i n postoji korespondencija jedan na jedan između A i B?

3. Dokažite da f zadovoljava uvjet f(AB)=f(A)f(B) za bilo koji A i B ako i samo ako je f funkcija 1-1.

Relacija definirana na skupu može imati niz svojstava, naime:

2. Refleksivnost

Definicija. Stav R na setu x naziva se refleksivnim ako svaki element x postavlja x je u odnosu R Sa sobom.

Koristeći simbole, ovaj odnos se može napisati na sljedeći način:

R reflektivno na x Û(" xÎ x) x R x

Primjer. Relacija jednakosti na skupu segmenata je refleksivna, jer svaki segment je jednak sam sebi.

Graf refleksivne relacije ima petlje u svim vrhovima.

2. Antirefleksivnost

Definicija. Stav R na setu x naziva se antirefleksivnim ako nijedan element x postavlja x ne u odnosu R Sa sobom.

R antirefleksno uključen x Û(" xÎ x)

Primjer. Odnos "izravan x okomito na liniju na»na skupu pravaca u ravnini je antirefleksivan, jer nijedan pravac ravnine nije okomit na samu sebe.

Graf antirefleksivne relacije ne sadrži niti jednu petlju.

Imajte na umu da postoje odnosi koji nisu ni refleksivni ni antirefleksivni. Na primjer, razmotrite odnos "točka x simetričan točki na» na skupu točaka ravnine.

Točka x simetričan točki x- istina; točka na simetričan točki na- je lažna, stoga ne možemo tvrditi da su sve točke ravnine simetrične same sebi, niti možemo tvrditi da nijedna točka ravnine nije simetrična sama sebi.

3. Simetrija

Definicija. Stav R na setu x naziva se simetričnim ako, iz činjenice da je element x je u odnosu R s elementom na, slijedi da je element na je u odnosu R s elementom x.

R simetričan x Û(" x, naÎ x) x R y Þ y R x

Primjer. Odnos "izravan x prelazi granicu na na skupu ravnina ravnine” je simetričan jer ako je ravno x prelazi granicu na, zatim ravna linija na mora prijeći crtu x.

Grafikon simetrične relacije zajedno sa svakom strelicom od točke x točno na treba sadržavati strelicu koja povezuje iste točke, ali u suprotnom smjeru.

4. Asimetrija

Definicija. Stav R na setu x naziva se asimetričnim ako za nijedan element x, na od mnogih x ne može se dogoditi da element x je u odnosu R s elementom na i element na je u odnosu R s elementom x.

R asimetričan x Û(" x, naÎ x) x R y Þ

Primjer. stav " x < na»asimetrično, jer za bilo koji par elemenata x, na ne može se reći da je u isto vrijeme x < na i na<x.

Graf asimetrične relacije nema petlji, a ako su dva vrha grafa povezana strelicom, onda je ta strelica samo jedna.

5. Antisimetrija

Definicija. Stav R na setu x naziva se antisimetričnim ako, iz činjenice da x je u vezi sa na, a na je u vezi sa x slijedi to x = g.

R antisimetričan x Û(" x, naÎ x) x R y Ù y R xÞ x = y

Primjer. stav " x£ na»je antisimetrična, jer Pojmovi x£ na i na£ x izvršavaju se u isto vrijeme samo kada x = g.

Graf antisimetrične relacije ima petlje, a ako su dva vrha grafa spojena strelicom, onda je ta strelica samo jedna.

6. Tranzitivnost

Definicija. Stav R na setu x naziva se tranzitivnim ako za bilo koje elemente x, na, z od mnogih x iz čega x je u vezi sa na, a na je u vezi sa z slijedi to x je u vezi sa z.

R tranzitivan x Û(" x, na, zÎ x) x R y Ù na RzÞ x Rz

Primjer. stav " x višestruki na»prijelazna je, jer ako je prvi broj višekratnik drugog, a drugi višekratnik trećeg, onda je prvi broj višekratnik trećeg.

Graf tranzitivne relacije sa svakim parom strelica od x do na i od na do z sadrži strelicu koja ide od x do z.

7. Povezivost

Definicija. Stav R na setu x naziva se povezanim ako za bilo koje elemente x, na od mnogih x x je u vezi sa na ili na je u vezi sa x ili x = y.

R povezan x Û(" x, na, zÎ x) x R y Ú na RzÚ x= na

Drugim riječima: odnos R na setu x naziva se povezanim ako za bilo koje različite elemente x, na od mnogih x x je u vezi sa na ili na je u vezi sa x ili x = y.

Primjer. stav " x< na»povezan je, jer bez obzira koje realne brojeve uzmemo, jedan od njih je sigurno veći od drugog ili su jednaki.

Na relacijskom grafu svi su vrhovi povezani strelicama.

Primjer. Provjerite koja svojstva

stav" X -šestar na» definirana na setu

x= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) ovaj odnos je refleksivan, jer svaki broj iz zadanog skupa je djelitelj samog sebe;

2) ovaj odnos nema svojstvo antirefleksivnosti;

3) svojstvo simetrije nije zadovoljeno, jer na primjer, 2 je djelitelj od 4, ali 4 nije djelitelj od 2;

4) ova relacija je antisimetrična: dva broja mogu istovremeno biti djelitelji jedan drugome samo ako su ti brojevi jednaki;

5) odnos je tranzitivan, jer ako je jedan broj djelitelj drugoga, a drugi djelitelj trećeg, tada će prvi broj nužno biti djelitelj trećeg;

6) relacija nema svojstvo povezanosti, budući da na primjer, brojevi 2 i 3 na grafikonu nisu povezani strelicom jer dva različita broja 2 i 3 nisu međusobno djelitelji.

Dakle, ovaj odnos ima svojstva refleksivnosti, asimetričnosti i tranzitivnosti.

§ 3. Relacija ekvivalencije.
Povezanost relacije ekvivalencije s podjelom skupa na klase

Definicija. Stav R na setu x naziva se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Primjer. Razmotrite odnos " x kolega iz razreda na» na skupu studenata pedagoškog fakulteta. Ima svojstva:

1) refleksivnost, jer svaki učenik je sam sebi razrednik;

2) simetrija, jer ako student x na, zatim učenik na je razrednik studenta x;

3) tranzitivnost, jer ako student x- razrednik na, i student na- razrednik z, zatim učenik x biti razrednik učenika z.

Dakle, ova relacija ima svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti, te je stoga relacija ekvivalencije. Istovremeno, skup studenata pedagoškog fakulteta može se podijeliti na podskupove koji se sastoje od studenata upisanih na isti kolegij. Dobivamo 5 podskupova.

Relacija ekvivalencije je i npr. relacija paralelnih pravaca, relacija jednakosti likova. Svaka takva relacija povezana je s podjelom skupa na klase.

Teorema. Ako na setu x dana relacija ekvivalencije, tada dijeli ovaj skup na disjunktne podskupove (klase ekvivalencije).

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako bilo koja relacija definirana na skupu x, generira particiju ovog skupa u klase, tada je to relacija ekvivalencije.

Primjer. Na setu x= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) dana je relacija "imati isti ostatak kada se podijeli s 3". Je li to relacija ekvivalencije?

Izgradimo grafikon ovog odnosa:


Ova relacija ima svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti, stoga je relacija ekvivalencije i dijeli skup x u klase ekvivalencije. Svaka klasa ekvivalencije imat će brojeve koji, kada se podijele s 3, daju isti ostatak: x 1 = {3; 6}, x 2 = {1; 4; 7}, x 3 = {2; 5; 8}.

Smatra se da klasu ekvivalencije određuje bilo koji njen predstavnik, tj. proizvoljan element ove klase. Dakle, klasa jednakih razlomaka može se specificirati specificiranjem bilo kojeg razlomka koji pripada ovoj klasi.

U početnom tečaju matematike javljaju se i odnosi ekvivalencije, npr. "izrazi x i na imaju iste numeričke vrijednosti", "figura x jednako figuri na».

Neka je dan neki neprazan skup A i neka je R neki podskup Kartezijevog kvadrata skupa A: RAA.

stav R na setu ALI naziva podskup skupa ALIALI(ili ALI 2 ). Na ovaj način stav postoji poseban slučaj podudaranja gdje je područje dolaska isto kao područje odlaska. Kao i podudaranje, relacija je uređeni par gdje oba elementa pripadaju istom skupu.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Činjenica da se ( a, b)R se može napisati na sljedeći način: a R b. Ona glasi: " a je u odnosu R na b" ili "između a i b vrijedi relacija R. Inače napiši: a, b)R ili aR b.

Primjeri odnosa na skupu brojeva su sljedeći: "=", "", "", ">", itd. Na skupu zaposlenika bilo koje tvrtke, stav "biti šef" ili "biti podređen", na skupu rođaka - "biti predak", "biti brat", "biti otac ”, itd.

Razmatrani odnosi se nazivaju binarnim (dvomjesnim) homogenim odnosima i najvažniji su u matematici. Uz njih smatraju i oni P-lokalni ili P-arnih odnosa:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Budući da je odnos poseban slučaj korespondencije, za njihovo postavljanje se mogu koristiti sve prethodno opisane metode.

Očito, postavljanjem omjera na matrični način, dobivamo kvadratnu matricu.

Geometrijskim (grafičkim) prikazom odnosa dobivamo dijagram koji uključuje:

    vrhovi, označeni točkama ili kružićima, koji odgovaraju elementima skupa,

    i lukovi (crte) koji odgovaraju parovima elemenata uključenih u binarne relacije, označeni linijama sa strelicama usmjerenim od vrha koji odgovara elementu a na vrh koji odgovara elementu b , ako a Rb .

Takva se figura naziva usmjereni graf (ili digraf) binarne relacije.

Zadatak 4.9.1 . Omjer "da bude djelitelj na skupu M = (1, 2, 3, 4)" može se dati matrica:

nabrajanje: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4 ));

geometrijski (grafički):

1. Na skupu A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ispišite uređene parove koji pripadaju sljedećim binarnim relacijama:

    R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

    R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Relacija R na skupu X = (a, b, c, d) dana je matricom

,

u kojem redoslijed redaka i stupaca odgovara redoslijedu ispisanih elemenata. Navedite uređene parove koji pripadaju zadanoj relaciji. Prikažite odnos pomoću grafikona.

3. Relacija na skupu A = (1, 2, 3, 4) prikazana je grafom. Potrebno:

    navesti uređene parove koji pripadaju R;

    ispišite odgovarajuću matricu;

    definirajte ovaj odnos pomoću predikata.

(odgovor: a-b= 1).

4.10. Osnovni tipovi (svojstva) binarnih relacija

Neka binarna relacija R na setu ALI 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

    binarna relacija R na setu ALI nazvao reflektirajući, ako postoji aA izvedena aRa, to je ( a,a)R. Glavna dijagonala matrice refleksivnih odnosa sastoji se od jedinica. Refleksivni relacijski graf nužno ima petlje na svakom vrhu.

Primjeri refleksivni odnosi: , =,  na skupu realnih brojeva, „ne biti šef” na skupu zaposlenika.

    binarna relacija R na skupu A zove se antirefleksni (nerefleksivan), ako postoji aA ne drži relaciju aRa, to je ( a,a)R. Glavna dijagonala matrice nerefleksivnih odnosa sastoji se od nula. Graf nerefleksivne relacije nema petlji.

Primjeri antirefleksni odnosi:<, >na skupu realnih brojeva, okomitost pravaca na skupu pravaca.

    binarna relacija R na setu A nazvao simetričan, ako postoji a, bALI iz aRb trebao bi bRa, odnosno ako ( a, b)R, zatim i ( b, a)R. Matrica simetričnog omjera je simetrična u odnosu na svoju glavnu dijagonalu ( σ i J = σ ji). Graf simetrične relacije nije usmjeren (brdovi su prikazani bez strelica). Svaki par vrhova ovdje je povezan neusmjerenim bridom.

Primjeri simetrične relacije:  na skupu realnih brojeva, "biti relativan" na skupu ljudi.

    binarna relacija R na setu A zove:

    antisimetričan, ako postoji a, bALI iz aRb i bRa slijedi to a=b. Odnosno, ako ( a, b)R i( b, a)R, onda slijedi da a=b. Matrica antisimetričnog omjera duž glavne dijagonale ima sve jedinice i nema nijedan par jedinica koji se nalazi na simetričnim mjestima u odnosu na glavnu dijagonalu. Drugim riječima, sve σ ii=1, a ako σ i J=1, onda nužno σ ji=0. Antisimetrični relacijski graf ima petlje na svakom vrhu, a vrhovi su povezani samo jednim usmjerenim lukom.

Primjeri antisimetrične relacije: , ,  na skupu realnih brojeva; ,  na setovima;

    asimetričan, ako postoji a, bALI iz aRb nakon čega slijedi neuspjeh bRa, odnosno ako ( a, b)R, zatim ( b, a) R. Matrica omjera zakrivljenosti duž glavne dijagonale ima nule ( σ i J=0) svi i nijedan simetrični par jedinica (ako σ i J=1, onda nužno σ ji=0). Graf asimetrične relacije nema petlji, a vrhovi su povezani jednim usmjerenim lukom.

Primjeri asimetričnih odnosa:<, >na skupu realnih brojeva, "biti otac" na skupu ljudi.

    binarna relacija R na setu A nazvao tranzitivannim, ako postoji a, b, SALI iz aRb i bRa slijedi da i aRS. Odnosno, ako ( a, b)R i( b, S)R slijedi da ( a, S)R. Matricu tranzitivne relacije karakterizira činjenica da if σ i J=1 i σ jm=1, onda nužno σ im=1. Tranzitivni relacijski graf je takav da ako su npr. prvi-drugi i drugi-treći vrh povezani lukovima, tada nužno postoje lukovi od prvog do trećeg vrha.

Primjeri tranzitivni odnosi:<, , =, >,  na skupu realnih brojeva; "biti šef" na skupu zaposlenika.

    binarna relacija R na setu A nazvao antitranzitivannim, ako postoji a, b, SALI iz aRb i bRa proizlazi da nije ispunjeno aRS. Odnosno, ako ( a, b)R i( b, S)R slijedi da ( a, S) R. Matrica antitranzitivne relacije karakterizirana je činjenicom da ako σ i J=1 i σ jm=1, onda nužno σ im=0. Graf antitranzitivne relacije je takav da ako su npr. prvi-drugi i drugi-treći vrh spojeni lukovima, tada nužno ne postoji luk od prvog do trećeg vrha.

Primjeri antitranzitivnih odnosa: "neusklađenost pariteta" na skupu cijelih brojeva; "biti neposredni nadređeni" skupu zaposlenika.

Ako relacija nema neko svojstvo, onda dodavanjem parova koji nedostaju, možete dobiti novu relaciju s tim svojstvom. Skup takvih parova koji nedostaju naziva se zatvaranje odnos za ovu nekretninu. Označite ga kao R* . Na taj način možete dobiti refleksno, simetrično i tranzitivno zatvaranje.

Problem 4.10.1. Na skupu A = (1, 2, 3, 4) vrijedi relacija R=(( a,b)| a,bA, a+b Parni broj). Odredite vrstu ovog odnosa.

Riješenje. Matrica ove relacije je:

. Očito odnos jest reflektirajući, budući da postoje jedinice duž glavne dijagonale. To simetrično: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . tranzitivno: (1,3)R, (3,1)R i (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R i (2,2)R itd.

Problem 4.10.2. Koja svojstva na skupu A = ( a, b, c, d) ima binarnu relaciju R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Riješenje . Konstruirajmo matricu ove relacije i njen graf:

Stav nerefleksivno, budući da su svi σ ii= 0. To ne simetrično, budući da je σ 23 =1, a σ 32 =0, međutim, σ 12 =σ 21 =1. Stav ne tranzitivno, jer je σ 12 =1, σ 23 =1 i σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 i σ 11 =0; ali u isto vrijeme σ 12 =1, σ 24 =1 i σ 14 =1.

Zadatak 4.10.3. Na skupu A = (1,2,3,4,5) dana je relacija R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Odredite tip relacije i pronađite sljedeća zatvaranja za R:

    reflektirajući;

    simetričan;

    tranzitivan.

Riješenje. Relacija je irefleksivna jer ne postoji element forme ( a,a). Asimetrična, jer ne sadrži parove oblika ( a,b) i ( b,a) i svi dijagonalni elementi su 0. Antitranzitivni jer (1,2)R, (2,3)R, ali (1,3)R. Slično (2.4)R, (4.5)R, i (2.5)R itd.

    refleksivno zatvaranje zadane relacije R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

    simetrično zatvaranje: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

    tranzitivno zatvaranje: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Razmotrimo graf izvorne relacije i rezultirajuće tranzitivne relacije.

Zadaci za samostalno rješavanje.

1. Zadana je relacija R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Odredite njegovu vrstu i pronađite zatvaranja prema refleksivnosti, simetriji i tranzitivnosti.

2. Odnos na skupu riječi ruskog jezika definiran je na sljedeći način: a R b ako i samo ako imaju barem jedno zajedničko slovo. Odredi tip relacije na skupu A = (krava, kola, konac, sjekira).

3. Navedite primjere binarnih relacija na skupu A = (1, 2) i B = (1, 2, 3), koji bi glasili:

    nije refleksivan, nije simetričan, nije tranzitivan;

    refleksivan, nije simetričan, nije tranzitivan;

    simetričan, ali nije refleksivan i nije tranzitivan;

    tranzitivan, ali ne refleksivan i nesimetričan;

    refleksivan, simetričan ali ne i tranzitivan;

    refleksivan, tranzitivan, ali ne i simetričan;

    nerefleksivan, simetričan, tranzitivan;

    refleksivan, simetričan, tranzitivan.



Preporučeno
5. svibnja Dan ronioca predsjednički dekret
Zakon održanja energije
Deformacije i pomaci
Strogi linearni odnos reda Strogi linearni odnos reda ima svojstva