Strogi odnos. Relacija strogog reda Relacija strogog linearnog reda ima svojstva

Riječ "red" često se koristi u raznim pitanjima. Časnik daje naredbu: „Izračunaj brojčanim redom“, aritmetičke operacije se izvode određenim redoslijedom, sportaši se poredaju po visini, svi vodeći šahisti se poredaju u određeni red prema tzv. Elo koeficijentima (američki prof. koji je razvio koeficijente sustava, omogućujući vam da uzmete u obzir sve uspjehe i neuspjehe igrača), nakon prvenstva, sve nogometne momčadi nalaze se određenim redoslijedom itd. Postoji redoslijed operacija pri proizvodnji dijela, red riječi u rečenici (pokušajte shvatiti što znači rečenica "na staroga" nisam magarca podmetnuo!)

Slažući elemente određenog skupa jedan za drugim, mi ih time poredamo ili uspostavljamo neki odnos među njima u redu. Najjednostavniji primjer je prirodni poredak prirodnih brojeva. Njegova prirodnost leži u tome što za bilo koja dva prirodna broja znamo koji slijedi iza drugog ili koji je veći od drugoga, pa možemo poredati prirodne brojeve u niz tako da se veći broj nalazi npr. desno od manjeg: 1, 2, 3, ... . Naravno, slijed elemenata može se pisati u bilo kojem smjeru, a ne samo s lijeva na desno. Sam koncept prirodnih brojeva već sadrži ideju reda. Uspostavljajući neki relativni raspored elemenata bilo kojeg skupa, mi na njemu definiramo neki odnos binarnog reda, koji u svakom konkretnom slučaju može imati svoje ime, na primjer, "biti manji", "biti stariji", "prema biti sadržan u ", "slijediti" itd. Simboličke oznake reda također mogu biti različite, na primjer, Í, itd.

Glavno razlikovno obilježje odnosa reda je to što ima svojstvo tranzitivnosti. Dakle, ako se radi o nizu nekih objekata x 1, x 2, ..., x n,..., naređeno npr. relacijom, zatim iz onoga što se izvodi x 1x 2... x str..., to bi trebalo slijediti za bilo koji par x i, x j elementi ovog niza također su ispunjeni x ix j:

Za par elemenata x ij u relacijskom grafu povučemo strelicu iz vrha x i do vrha x j tj. od manjeg elementa prema većem.

Graf odnosa reda može se pojednostaviti korištenjem metode tzv Hasseovi dijagrami. Hasseov dijagram je konstruiran na sljedeći način. Manji elementi su postavljeni niže, a veći su postavljeni više. Budući da samo takvo pravilo nije dovoljno za prikaz, crtaju se linije koje pokazuju koji je od ta dva elementa veći, a koji manji od drugog. U ovom slučaju dovoljno je nacrtati samo linije za elemente koji slijede jedan za drugim. Primjeri Hasseovih dijagrama prikazani su na slici:

Ne morate uključiti strelice u Hasseov dijagram. Hasseov dijagram se može rotirati u ravnini, ali ne proizvoljno. Prilikom okretanja potrebno je održavati relativni položaj (iznad - ispod) vrhova dijagrama:

Stav R u izobilju x nazvao stav strogog reda, ako je tranzitivan i asimetričan.

Skup u kojem je definirana stroga relacija reda naziva se naredio. Na primjer, skup prirodnih brojeva je uređen relacijom "manje od". Ali taj isti skup također je uređen drugom relacijom - "podijeljen na" i "više".

Graf relacije “manje od” u skupu prirodnih brojeva može se prikazati kao zraka:

Stav R V x nazvan odnos nestrogi (djelomični) red, ako je tranzitivan i antisimetričan. Svaki odnos nestriktnog reda je refleksivan.

Epitet "djelomičan" izražava činjenicu da možda nisu svi elementi skupa usporedivi u određenom pogledu.

Tipični primjeri odnosa djelomičnog reda su odnosi "ne veće od", "ne manje od" i "ne veće od". Čestica “ne” u nazivima odnosa služi za izražavanje njihove refleksivnosti. Relacija “ne više od” podudara se s relacijom “manje od ili jednako”, a relacija “ne manje” je isto što i “veće od ili jednako”. U tom smislu naziva se i djelomični poredak nije stroga u redu. Često se parcijalni (nestrogi) odnos reda označava simbolom "".

Relacija uključivanja Í između podskupova određenog skupa također je djelomični poredak. Očito, nisu svaka dva podskupa usporediva u tom pogledu. Donja slika prikazuje redoslijed djelomičnog uključivanja na skupu svih podskupova skupa (1,2,3). Strelice na grafikonu koje bi trebale biti usmjerene prema gore nisu prikazane.

Skupovi kojima je dan djelomični poredak nazivaju se djelomično naručeno, ili jednostavno naredio postavlja.

Elementi x I na djelomično uređen skup naziva se usporedite s nama Ako xna ili naX. Inače nisu usporedivi.

Uređeni skup u kojem su bilo koja dva elementa usporediva naziva se linearno uređen, a poredak je linearan. Linearni poredak naziva se i savršeni poredak.

Na primjer, skup svih realnih brojeva prirodnog reda, kao i svi njegovi podskupovi, linearno su uređeni.

Mogu se naručiti objekti najrazličitije prirode hijerarhijski. Evo nekoliko primjera.

Primjer 1: Dijelovi knjige raspoređeni su tako da knjiga sadrži poglavlja, poglavlja sadrže odjeljke, a odjeljci sadrže pododjeljke.

Primjer 2. Mape u datotečnom sustavu računala ugniježđene su jedna u drugu, tvoreći strukturu grananja.

Primjer 3. Odnos između roditelja i djece može se prikazati kao tzv obiteljsko stablo, koji pokazuje tko je čiji predak (ili potomak).

Neka na setu A dan je djelomični red. Element x nazvao maksimum (minimum) element skupa A, ako iz činjenice da xna(naX), slijedi jednakost x= u. Drugim riječima, element x je maksimum (minimum) ako za bilo koji element na ili nije istina da xna(nax), ili se izvršava x=u. Dakle, maksimalni (minimalni) element je veći (manji) od svih elemenata različitih od njega s kojima je u vezi.

Element x nazvao najveći (najmanji), ako za koga naÎ A izvedena na< х (х< у).

Djelomično uređeni skup može imati nekoliko minimalnih i/ili maksimalnih elemenata, ali ne može postojati više od jednog minimalnog i maksimalnog elementa. Najmanji (najveći) element je ujedno i minimum (maksimum), ali obrnuto nije točno. Slika lijevo prikazuje parcijalni poredak s dva minimalna i dva maksimalna elementa, a desno parcijalni poredak s najmanjim i najvećim elementom:

U konačnom djelomično uređenom skupu uvijek postoje minimalni i maksimalni elementi.

Uređeni skup koji ima najveći i najmanji element naziva se ograničeno. Na slici je prikazan primjer beskonačnog ograničenog skupa. Naravno, nemoguće je prikazati beskonačan skup na konačnoj stranici, ali možete pokazati princip njegove konstrukcije. Ovdje petlje u blizini vrhova nisu prikazane radi pojednostavljenja crteža. Iz istog razloga nisu prikazani lukovi koji daju prikaz svojstva tranzitivnosti. Drugim riječima, slika prikazuje Hasseov dijagram relacije reda.

Beskonačni skupovi ne smiju imati maksimalne ili minimalne elemente, ili oboje. Na primjer, skup prirodnih brojeva (1,2, 3, ...) ima najmanji element 1, ali nema maksimum. Skup svih realnih brojeva prirodnog reda nema ni najmanjeg ni najvećeg elementa. Međutim, njegov podskup koji se sastoji od svih brojeva x< 5, ima najveći element (broj 5), ali nema najmanji.

Neka je R binarna relacija na skupu A.

DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se relacija reda na A ili poredak na A ako je tranzitivan i antisimetričan.

DEFINICIJA. Relacija reda R na skupu A naziva se nestrogom ako je refleksivna na A, to jest za svaki od A.

Odnos reda R naziva se strogim (na A) ako je antirefleksivan na A, to jest za bilo koji od A. Međutim, iz antirefleksivnosti tranzitivnog odnosa R slijedi da je antisimetričan. Stoga se može dati sljedeća ekvivalentna definicija.

DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se strogim poretkom na A ako je tranzitivna i antirefleksivna na A.

Primjeri. 1. Neka je skup svih podskupova skupa M. Relacija uključivanja na skup je relacija nestriktnog reda.

2. Relacije na skupu realnih brojeva su relacije strogog i nestrogog reda.

3. Relacija djeljivosti u skupu prirodnih brojeva je relacija nestrogog reda.

DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se relacija predreda ili predporedak na A ako je refleksivna na i tranzitivna.

Primjeri. 1. Relacija djeljivosti u skupu cijelih brojeva nije red. Međutim, on je refleksivan i tranzitivan, što znači da je prednalog.

2. Odnos logičke implikacije je predporedak na skupu iskaznih logičkih formula.

Linearni poredak. Važan poseban slučaj reda je linearni poredak.

DEFINICIJA. Odnos reda na skupu naziva se linearni odnos reda ili linearni poredak na ako je povezan na , tj. za bilo koje x, y iz A

Odnos reda koji nije linearan obično se naziva odnos djelomičnog reda ili parcijalni poredak.

Primjeri. 1. Relacija “manje od” na skupu realnih brojeva je relacija linearnog reda.

2. Odnos reda usvojen u rječnicima ruskog jezika naziva se leksikografski. Leksikografski poredak na skupu riječi u ruskom jeziku je linearni poredak.

Riječ "red" često se koristi u različitim pitanjima. Časnik daje naredbu: “Prema redu brojeva, izračunaj”, aritmetičke radnje izvode se određenim redoslijedom, natjecatelji se poredaju po visini, postoji redoslijed izvođenja radnji pri izradi dijela i redoslijed riječi. u rečenici.

Što je zajedničko u svim slučajevima kada govorimo o redu? Činjenica je da riječ "poredak" ima sljedeće značenje: označava koji element danog skupa slijedi nakon kojeg (ili koji element prethodi kojem).

stav " x slijedi na" tranzitivno: ako " x slijedi na"I" na slijedi z", to" x slijedi z" Osim toga, ovaj odnos mora biti antisimetričan: za dva različita x I na, Ako x slijedi na, To na ne slijedi x.

Definicija. Stav R na setu x nazvao odnos strogog reda, ako je tranzitivan i antisimetričan.

Otkrijmo značajke grafa i grafa odnosa strogog reda.

Pogledajmo primjer. Na snimanju x= (5, 7, 10, 15, 12) zadani omjer R: « x < na" Definirajmo tu relaciju nabrajanjem parova
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Izgradimo njegov graf. Vidimo da graf ove relacije nema petlji. Na grafikonu nema dvostrukih strelica. Ako od x strelica ide prema na, i od na- V z, zatim od x strelica ide prema z(slika 8).

Konstruirani graf omogućuje raspored elemenata skupa x ovim redom:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Na slici 6 (§ 6 ovog poglavlja), stupci VII, VIII su grafikoni odnosa strogog reda.

Nestriktni odnos

Suprotnost od odnosa "manje od" u skupu realnih brojeva je odnos "ne manje". To više nije odnos strogog reda. Poanta je, kada x = na, odnosi su ispunjeni x ³ na I na ³ x, tj. stav "ništa manje" je refleksivan.

Definicija. Stav R na setu x nazvao nestriktni odnos, ako je refleksivan, antisimetričan i tranzitivan.

Takvi odnosi su unije odnosa strogog reda s odnosom identiteta.

Razmotrimo odnos “nema više” (£) za skup

x= (5, 7, 10, 15, 12). Izgradimo njegov graf (slika 9).

Graf nestroge relacije reda, za razliku od grafa relacije strogog reda, ima petlje na svakom vrhu.

Na sl. 6 (§ 6 ovog poglavlja) stupci V, VI su grafovi odnosa nestriktnog reda.

Naručeni setovi

Skup se može pokazati uređenim (također kažu potpuno uređenim) nekom relacijom reda, dok drugi skup može biti neuređen ili djelomično uređen takvom relacijom.

Definicija. Gomila x nazvao naredio neki odnos reda R, ako za bilo koja dva elementa x, y iz x:

(x, na) Î R ili ( y, x) Î R.

Ako R je relacija strogog reda, tada skup x uređen ovom relacijom pod uvjetom: ako x, na bilo koja dva nejednaka elementa skupa x, to ( x, na) Î R ili ( y, x) Î R, ili bilo koja dva elementa x, y postavlja x su jednaki.

Iz školskog tečaja matematike poznato je da brojevni skupovi N , Z , Q , R poredano relacijom "manje od" (<).

Skup podskupova određenog skupa nije uređen uvođenjem relacije uključivanja (I), odnosno striktne uključenosti (S) u gornjem smislu, jer postoje podskupovi od kojih nijedan nije uključen u drugi. U ovom slučaju kažemo da je dati skup djelomično uređen relacijom Í (ili Ì).

Razmotrite set x= (1, 2, 3, 4, 5, 6) i sadrži dvije relacije "manje od" i "podijeljeno sa". Lako je provjeriti da su obje ove relacije relacije reda. Graf relacije "manje od" može se prikazati kao zraka.

Graf relacije "podijeljeno sa" može se prikazati samo na ravnini.

Osim toga, graf druge relacije ima vrhove koji nisu povezani strelicom. Na primjer, nema strelice koja povezuje brojeve 4 i 5 (slika 10).

Prva veza" x < na"naziva se linearna. Općenito, ako je odnos reda R(strogi i nestrogi) na setu x ima svojstvo: za bilo koji x, naÎ x ili xRy, ili yRx, tada se naziva linearna relacija reda, a skup x– linearno uređen skup.

Ako skup x naravno, a sastoji se od n elemenata, zatim linearno uređenje x svodi se na numeriranje njegovih elemenata brojevima 1,2,3, ..., n.

Linearno uređeni skupovi imaju niz svojstava:

1°. Neka a, b, c– elementi skupa x, poredane relacijom R. Ako se zna da aRv I u Rs, onda kažu da je element V leži između elemenata A I S.

2°. Gomila x, linearno poredano relacijom R, naziva se diskretnim ako se između bilo koja dva njegova elementa nalazi samo konačan skup elemenata tog skupa.

3°. Linearno uređen skup naziva se gustim ako za bilo koja dva različita elementa tog skupa postoji element skupa koji leži između njih.

Važna vrsta binarnih odnosa su odnosi reda. Strogi odnos reda - binarnu relaciju koja je antirefleksivna, antisimetrična i tranzitivna:

oznaka - (A prethodio b). Primjeri uključuju

odnosi “više”, “manje”, “stariji” itd. Za brojeve, uobičajeni zapis su znakovi "<", ">".

Nestrogi odnos reda - binarni refleksivni, antisimetrični i tranzitivni odnos. Uz prirodne primjere nestriktnih nejednakosti za brojeve, primjer može biti odnos između točaka ravnine ili prostora “da budu bliže ishodištu koordinata”. Nestrogu nejednakost, za cijele i realne brojeve, također možemo smatrati disjunkcijom odnosa jednakosti i strogog reda.

Ako sportski turnir ne predviđa podjelu mjesta (tj. svaki sudionik dobiva određeno, samo jelo/dodijeljeno mjesto), onda je to primjer strogog reda; inače, nije stroga.

Odnosi reda uspostavljaju se na skupu kada za neke ili sve parove njegovih elemenata relacija

prvenstvo . Zadatak - za skup neke relacije reda zove se njegovo "uređenje, a "sam skup" kao rezultat toga postaje naredio. Odnosi reda mogu se uvesti na različite načine. Za konačni skup, svaka permutacija njegovih elemenata postavlja neki strogi red. Samo oni redoslijedi koji imaju smisleno značenje su od interesa.

Ako za relaciju reda R na setu .M a neki različiti elementi drže barem jedan od odnosa

aRb ili grudnjak, zatim elementi A I b se zovu usporedivo, inače - neusporediv.

Potpuno (ili linearno) uređen skup M -

skup na kojem je određena relacija reda, i bilo koja dva elementa skupa M usporediv; djelomično uređen skup- isti, ali su dopušteni parovi neusporedivih elemenata.

Linearno uređen je skup točaka na pravcu s relacijom “više udesno”, skup cijelih brojeva, racionalnih brojeva, realnih brojeva s relacijom “veće od” itd.

Primjer djelomično uređenog skupa bili bi trodimenzionalni vektori, ako je redoslijed dan na sljedeći način, ako

To jest, ako se prvenstvo provodi duž sve tri koordinate, vektori (2, 8, 5) i (6, 9, 10) su usporedivi, ali vektori (2, 8, 5) i (12, 7, 40) nisu usporedivi. Ova metoda sređivanja može se proširiti na vektore bilo koje dimenzije: vektor

prethodi vektoru if

I gotovo

Možemo razmotriti i druge primjere uređenja na skupu vektora.

1) djelomični poredak: , Ako

Oni. po duljini vektora; vektori iste duljine su neusporedivi.

2) linearni poredak: , Ako a Ako a -d, Da b< е ; ako je zhd = c?i6 = e, tada