Deformacije i pomaci. Hookeov zakon
Djelovanje vanjskih sila na čvrsto tijelo dovodi do pojave naprezanja i deformacija u točkama njegovog volumena. U ovom slučaju, stanje naprezanja u točki, odnos između naprezanja na različitim mjestima koja prolaze kroz tu točku, određuju se jednadžbama statike i ne ovise o fizičkim svojstvima materijala. Deformirano stanje, veza između pomaka i deformacija utvrđuju se pomoću geometrijskih ili kinematičkih razmatranja i također ne ovise o svojstvima materijala. Da bi se uspostavio odnos između naprezanja i deformacija, potrebno je uzeti u obzir stvarna svojstva materijala i uvjete opterećenja. Na temelju eksperimentalnih podataka razvijeni su matematički modeli koji opisuju odnos između naprezanja i deformacija. Ovi modeli trebaju odražavati stvarna svojstva materijala i uvjete opterećenja s dovoljnim stupnjem točnosti.
Za konstrukcijske materijale najčešći su modeli elastičnosti i plastičnosti. Elastičnost je svojstvo tijela da mijenja oblik i veličinu pod djelovanjem vanjskih opterećenja i vraća svoju prvobitnu konfiguraciju kada se opterećenja uklone. Matematički, svojstvo elastičnosti se izražava u uspostavljanju funkcionalnog odnosa jedan prema jedan između komponenata tenzora naprezanja i tenzora deformacija. Svojstvo elastičnosti odražava ne samo svojstva materijala, već i uvjete opterećenja. Za većinu konstrukcijskih materijala, svojstvo elastičnosti očituje se pri umjerenim vrijednostima vanjskih sila, što dovodi do malih deformacija, i pri niskim stopama opterećenja, kada su gubici energije zbog utjecaja temperature zanemarivi. Materijal se naziva linearno elastičan ako su komponente tenzora naprezanja i tenzora deformacija povezane linearnim odnosima.
Pri visokim razinama opterećenja, kada se u tijelu pojave značajne deformacije, materijal djelomično gubi svoja elastična svojstva: kada je neopterećen, njegove izvorne dimenzije i oblik nisu potpuno vraćeni, a kada su vanjska opterećenja potpuno uklonjena, zaostale deformacije su fiksirane. U ovom slučaju odnos između naprezanja i deformacija prestaje biti jednoznačan. Ovo svojstvo materijala naziva se plastičnost. Zaostale deformacije akumulirane u procesu plastične deformacije nazivaju se plastične.
Visoka razina stresa može uzrokovati uništenje, tj. dijeljenje tijela na dijelove.Čvrsta tijela izrađena od različitih materijala razaraju se pri različitim količinama deformacije. Lom je krt pri malim deformacijama i događa se u pravilu bez zamjetnih plastičnih deformacija. Takvo razaranje tipično je za lijevano željezo, legirane čelike, beton, staklo, keramiku i neke druge konstrukcijske materijale. Za čelike s niskim udjelom ugljika, obojene metale, plastiku, plastični tip loma je karakterističan u prisutnosti značajnih zaostalih deformacija. Međutim, podjela materijala prema prirodi njihovog razaranja na krhke i duktilne vrlo je uvjetna, obično se odnosi na neke standardne radne uvjete. Jedan te isti materijal može se ponašati, ovisno o uvjetima (temperatura, priroda opterećenja, tehnologija izrade itd.), kao krt ili kao duktilan. Na primjer, materijali koji su plastični na normalnim temperaturama uništavaju se kao krti na niskim temperaturama. Stoga je ispravnije govoriti ne o lomljivim i plastičnim materijalima, već o lomljivom ili plastičnom stanju materijala.
Neka je materijal linearno elastičan i izotropan. Promotrimo elementarni volumen u uvjetima jednoosnog stanja naprezanja (slika 1), tako da tenzor naprezanja ima oblik
Pri takvom opterećenju dolazi do povećanja dimenzija u smjeru osi Oh, karakterizira linearna deformacija, koja je proporcionalna veličini naprezanja
Sl. 1. Jednoosno stanje naprezanja
Ovaj omjer je matematički zapis Hookeov zakon, uspostavljanje proporcionalnog odnosa između naprezanja i odgovarajuće linearne deformacije u stanju jednosnog naprezanja. Koeficijent proporcionalnosti E naziva se modulom uzdužne elastičnosti ili Youngovim modulom. Ima dimenziju naprezanja.
Zajedno s povećanjem veličine u smjeru djelovanja; pod istim naprezanjem dimenzije se smanjuju u dva ortogonalna smjera (slika 1). Odgovarajuće deformacije označit ćemo s i , a te su deformacije negativne za pozitivne i proporcionalne su:
Uz istovremeno djelovanje naprezanja duž triju ortogonalnih osi, kada nema tangencijalnih naprezanja, za linearno elastični materijal vrijedi princip superpozicije (superpozicije rješenja):
Uzimajući u obzir formule (1 4), dobivamo
|
Tangencijalna naprezanja uzrokuju kutne deformacije, a kod malih deformacija ne utječu na promjenu linearnih dimenzija, a time ni na linearne deformacije. Stoga vrijede i u slučaju proizvoljnog stanja naprezanja i izražavaju tzv generalizirani Hookeov zakon.
Kutna deformacija je posljedica posmičnih naprezanja , a deformacije i , redom, naprezanja i . Između odgovarajućih posmičnih naprezanja i kutnih deformacija za linearno elastično izotropno tijelo postoje proporcionalni odnosi
koji izražavaju zakon Kuka na smjeni. Faktor proporcionalnosti G naziva se modul smicanja. Bitno je da normalno naprezanje ne utječe na kutne deformacije, jer se u tom slučaju mijenjaju samo linearne dimenzije segmenata, a ne i kutovi između njih (slika 1).
Linearni odnos također postoji između prosječnog naprezanja (2.18), koje je proporcionalno prvoj invarijanti tenzora naprezanja, i volumetrijskog naprezanja (2.32), koje se podudara s prvom invarijantom tenzora naprezanja:
sl.2. Planarna posmična deformacija
Odgovarajući omjer slike DO nazvao volumenski modul elastičnosti.
Formule (1 7) uključuju elastična svojstva materijala E, , G I DO, određivanje njegovih elastičnih svojstava. Međutim, te karakteristike nisu neovisne. Za izotropni materijal, dvije neovisne karakteristike elastičnosti obično se biraju kao modul elastičnosti E i Poissonov omjer. Za izražavanje modula smicanja G kroz E I , Promotrimo ravnu posmičnu deformaciju pod djelovanjem posmičnih naprezanja (slika 2). Da bismo pojednostavili izračune, koristimo kvadratni element sa stranom A. Izračunajte glavna naprezanja , . Ova naprezanja djeluju na mjesta koja se nalaze pod kutom u odnosu na izvorna mjesta. Od fig. 2 pronaći odnos između linearne deformacije u smjeru naprezanja i kutne deformacije . Velika dijagonala romba koja karakterizira deformaciju jednaka je
Za male deformacije
S obzirom na ove omjere
Prije deformacije ta je dijagonala imala veličinu . Onda ćemo imati
Iz generaliziranog Hookeovog zakona (5) dobivamo
Usporedba dobivene formule s Hookeovim zakonom s pomakom (6) daje
Kao rezultat toga, dobivamo
Uspoređujući ovaj izraz s Hookeovim volumetrijskim zakonom (7), dolazimo do rezultata
Mehaničke karakteristike E, , G I DO nalaze se nakon obrade eksperimentalnih podataka ispitivanja uzoraka za različite vrste opterećenja. S fizičkog gledišta, sve te karakteristike ne mogu biti negativne. Osim toga, iz posljednjeg izraza slijedi da Poissonov omjer za izotropni materijal ne prelazi 1/2. Dakle, dobivamo sljedeća ograničenja za konstante elastičnosti izotropnog materijala:
Granična vrijednost dovodi do granične vrijednosti , što odgovara nekompresibilnom materijalu ( at ). Zaključno izražavamo naprezanja u deformacijama iz relacija elastičnosti (5). Zapišimo prvu od relacija (5) u obliku
Koristeći jednakost (9), imat ćemo
Slične relacije mogu se izvesti za i . Kao rezultat toga, dobivamo
|
Ovdje se koristi relacija (8) za modul smicanja. Osim toga, oznaka
POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTIČNE DEFORMACIJE
Razmotrimo najprije elementarni volumen dV=dxdydz u uvjetima jednoosnog stanja naprezanja (slika 1). Mentalno popravite platformu x=0(slika 3). Na suprotnu stranu djeluje sila .
Ova sila radi u pomaku. .
Kako napon raste od nule do vrijednosti
odgovarajuća deformacija, na temelju Hookeovog zakona, također raste od nule do vrijednosti ,
a rad je proporcionalan osjenčanom na sl. 4 kvadrata: 
. Ako zanemarimo kinetička energija i gubici povezani s toplinskim, elektromagnetskim i drugim pojavama, tada će se, temeljem zakona održanja energije, izvršeni rad pretvoriti u potencijalna energija akumulirano tijekom procesa deformacije: .
F= dU/dV nazvao specifična potencijalna energija deformacije, smisleno potencijalna energija akumulirano po jedinici volumena tijela. U slučaju jednoosnog stanja naprezanja
8.2. Osnovni zakoni koji se koriste u čvrstoći materijala
Odnosi statike. Zapisane su u obliku sljedećih jednadžbi ravnoteže.
Hookeov zakon ( 1678): što je veća sila, veća je i deformacija, i štoviše, izravno je proporcionalna sili. Fizički to znači da su sva tijela opruge, ali velike krutosti. Jednostavnim zatezanjem grede uzdužnom silom N= F ovaj zakon se može napisati kao:
Ovdje 
uzdužna sila, l- duljina šipke, A- površinu njegovog poprečnog presjeka, E- koeficijent elastičnosti prve vrste ( Youngov modul).
Uzimajući u obzir formule za naprezanja i deformacije, Hookeov zakon je napisan na sljedeći način: 
.
Sličan odnos opažen je u pokusima između posmičnih naprezanja i posmičnih kutova:
.
G
nazvaomodul smicanja
, rjeđe - modul elastičnosti druge vrste. Kao i svaki zakon, ima granicu primjenjivosti i Hookeov zakon. napon 
, do koje vrijedi Hookeov zakon, zove se granica proporcionalnosti(ovo je najvažnija karakteristika u sopromatu).
Opišimo ovisnost
iz
grafički (slika 8.1). Ova slika se zove dijagram rastezanja
. Nakon točke B (tj 
), ova ovisnost više nije linearna.
Na 
nakon rasterećenja u tijelu se javljaju zaostale deformacije, dakle 
nazvao granica elastičnosti
.
Kada naprezanje dosegne vrijednost σ = σ t, mnogi metali počinju pokazivati svojstvo tzv fluidnost. To znači da se i pod stalnim opterećenjem materijal i dalje deformira (tj. ponaša se kao tekućina). Grafički to znači da je dijagram paralelan s apscisom (DL dijagram). Naprezanje σ t pri kojem materijal teče naziva se čvrstoća popuštanja .
Neki materijali (čl. 3 - građevinski čelik) nakon kratkog tečenja ponovo počinju otpor. Otpornost materijala se nastavlja do određene maksimalne vrijednosti σ pr, a zatim počinje postupno razaranje. Vrijednost σ pr - naziva se vlačna čvrstoća (sinonim za čelik: vlačna čvrstoća, za beton - kubična ili prizmatična čvrstoća). Također se koriste sljedeće oznake:
=R b
Slična ovisnost uočena je u pokusima između tangencijalnih naprezanja i smicanja.
3) Dugamel–Neumannov zakon (linearno toplinsko širenje):
U prisutnosti temperaturne razlike, tijelo mijenja svoju veličinu i izravno je proporcionalno toj temperaturnoj razlici.
Neka postoji temperaturna razlika 
. Tada ovaj zakon ima oblik:
Ovdje α - koeficijent linearnog toplinskog širenja, l - duljina šipke, Δ l- njegovo produljenje.
4) zakon puzanja .
Istraživanja su pokazala da su svi materijali vrlo nehomogeni u malom. Shema strukture čelika prikazana je na sl. 8.2.
Neke od komponenti imaju svojstva fluida, tako da mnogi materijali pod opterećenjem dobivaju dodatno istezanje tijekom vremena. 
(sl.8.3.) (metali na visokim temperaturama, beton, drvo, plastika - na normalnim temperaturama). Ova pojava se zove puzati materijal.
Za tekućinu vrijedi zakon: kako više snage, veća je brzina tijela u tekućini. Ako je ovaj odnos linearan (tj. sila je proporcionalna brzini), tada se može napisati kao:
E 
Ako prijeđemo na relativne sile i relativna produljenja, dobit ćemo
Ovdje je indeks " kr
" znači da se uzima u obzir dio istezanja koji je uzrokovan puzanjem materijala. Mehanička karakteristika 
naziva se koeficijent viskoznosti.
Zakon održanja energije.
Razmotrimo opterećenu gredu
Uvedimo koncept pomicanja točke, na primjer,
- okomito pomicanje točke B;
- horizontalni pomak točke C.
Snage 
dok obavlja neki posao U.
S obzirom na to da su snage 
počinju postupno rasti i pod pretpostavkom da rastu proporcionalno pomacima, dobivamo:
.
Prema zakonu o očuvanju: nijedan rad ne nestaje, troši se na obavljanje drugog posla ili prelazi u drugu energiju (energije je posao koji tijelo može obaviti.
Rad sila 
, troši se na svladavanje otpora elastičnih sila koje nastaju u našem tijelu. Da bismo izračunali ovaj rad, uzimamo u obzir da se tijelo može smatrati sastavljenim od malih elastičnih čestica. Razmotrimo jedan od njih:
Sa strane susjednih čestica na njega djeluje naprezanje 
. Rezultirajući stres bit će 
Pod utjecajem 
čestica je izdužena. Po definiciji, elongacija je elongacija po jedinici duljine. Zatim:
Izračunajmo rad dW da sila čini dN (ovdje se također uzima u obzir da sile dN počinju postupno rasti i rastu proporcionalno pomacima):
Za cijelo tijelo dobivamo:
.
Posao W predan 
, nazvao energija elastične deformacije.
Prema zakonu održanja energije:
6)Načelo moguća kretanja .
Ovo je jedan od načina da se zapiše zakon održanja energije.
Neka na gredu djeluju sile F 1
,
F 2
,
…
. Oni uzrokuju pomicanje točaka u tijelu 
i stres 
. Dajmo tijelo dodatni mali mogući pomaci
. U mehanici, zapis forme 
znači izraz "moguća vrijednost količine A". Ovi mogući pokreti uzrokovat će u tijelu dodatne moguće deformacije
. Oni će dovesti do pojave dodatnih vanjskih sila i naprezanja. 
,
δ.
Izračunajmo rad vanjskih sila na dodatnim mogućim malim pomacima:
Ovdje 
- dodatni pomaci onih točaka na koje djeluju sile F 1
,
F 2
,
…
Razmotrimo ponovno mali element s presjekom dA i dužine dz (vidi sl. 8.5. i 8.6.). Prema definiciji dodatno produljenje dz ovog elementa izračunava se formulom:
dz= dz.
Vlačna sila elementa bit će:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Rad unutarnjih sila na dodatnim pomacima izračunava se za mali element na sljedeći način:
dW = dN dz = dA dz = dV
S 
zbrajanjem energije deformacije svih malih elemenata dobivamo ukupnu energiju deformacije:
Zakon održanja energije W = U daje:
.
Taj se omjer naziva princip mogućih kretanja(također se zove princip virtualnih kretanja). Slično možemo razmotriti i slučaj kada djeluju i posmična naprezanja. Tada se može dobiti da energija deformacije W dodajte sljedeći izraz:
Ovdje - posmično naprezanje, - smicanje malog elementa. Zatim princip mogućih kretanja poprimit će oblik:
Za razliku od prethodnog oblika zapisa zakona održanja energije, ovdje nema pretpostavke da sile počinju postupno rasti, a rastu proporcionalno pomacima
7) Poissonov učinak.
Razmotrite uzorak izduženja uzorka:
Pojava skraćivanja elementa tijela poprečno u smjeru izduživanja naziva se Poissonov učinak.
Nađimo uzdužnu relativnu deformaciju.
Poprečna relativna deformacija bit će:
Poissonov omjer količina se zove:
Za izotropne materijale (čelik, lijevano željezo, beton) Poissonov omjer
To znači da u poprečnom smjeru deformacija manje uzdužni.
Bilješka
: moderne tehnologije mogu stvoriti kompozitne materijale s Poissonovim omjerom > 1, odnosno poprečna deformacija će biti veća od uzdužne. Na primjer, to je slučaj s materijalom ojačanim tvrdim vlaknima pod malim kutom. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, tj. manje 
, veći je Poissonov omjer.
sl.8.8. sl.8.9
Još više iznenađuje materijal prikazan na (sl. 8.9.), a za takvo pojačanje dolazi do paradoksalnog rezultata - uzdužno produljenje dovodi do povećanja veličine tijela u poprečnom smjeru.
8) Generalizirani Hookeov zakon.
Razmotrimo element koji se proteže u uzdužnom i poprečnom smjeru. Nađimo deformaciju koja nastaje u tim smjerovima. 
Izračunajte deformaciju 
koji proizlaze iz radnje 
:
Razmotrite deformaciju od djelovanja 
, što je rezultat Poissonovog efekta:
Ukupna deformacija će biti:
Ako radi i 
, zatim dodajte još jedno skraćenje u smjeru x-osi 
.
Stoga: 
Slično: 
Ti se omjeri nazivaju generalizirani Hookeov zakon.
Zanimljivo je da se pri pisanju Hookeovog zakona pretpostavlja neovisnost rasteznih deformacija od posmičnih deformacija (o neovisnosti od smičnih naprezanja, što je isto) i obrnuto. Eksperimenti dobro potvrđuju ove pretpostavke. Gledajući unaprijed, napominjemo da čvrstoća, naprotiv, snažno ovisi o kombinaciji smičnih i normalnih naprezanja.
Bilješka: Navedene zakonitosti i pretpostavke potvrđene su brojnim izravnim i neizravnim eksperimentima, no, kao i svi drugi zakoni, imaju ograničeno područje primjene.
Hookeov zakon obično se nazivaju linearnim odnosima između komponenti deformacije i komponente naprezanja.
Uzmimo elementarni pravokutni paralelopiped s stranicama paralelnim s koordinatnim osima, opterećen normalnim naprezanjem σ x, ravnomjerno raspoređen na dva suprotna lica (slika 1). pri čemu g = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Do dostizanja granice proporcionalnosti, relativno produljenje je dano formulom
Gdje E je vlačni modul. Za čelik E = 2*10 5 MPa, stoga su deformacije vrlo male i mjere se u postocima ili u 1 * 10 5 (kod instrumenata za mjerenje deformacija).
Proširenje elementa u smjeru osi x popraćeno je njegovim sužavanjem u poprečnom smjeru, određeno komponentama deformacije
Gdje μ je konstanta koja se naziva transverzalni kompresijski omjer ili Poissonov omjer. Za čelik μ obično se uzima jednako 0,25-0,3.
Ako je razmatrani element istovremeno opterećen normalnim naprezanjima σ x, g, σz, ravnomjerno raspoređenih po svojim stranama, zatim se dodaju deformacije
Superponiranjem komponenata deformacije izazvanih svakim od triju naprezanja dobivamo relacije
Ove omjere potvrđuju brojni pokusi. primijeniti metoda preklapanja ili superpozicije pronaći ukupne deformacije i naprezanja uzrokovane višestrukim silama je legitimno sve dok su deformacije i naprezanja male i linearno ovisne o primijenjenim silama. U takvim slučajevima zanemarujemo male promjene dimenzija deformabilnog tijela i male pomake točaka djelovanja vanjskih sila te svoje proračune temeljimo na početnim dimenzijama i početnom obliku tijela.
Valja napomenuti da linearnost odnosa između sila i deformacija još ne slijedi iz malenosti pomaka. Tako, na primjer, u komprimiranom Qštap opterećen dodatnom transverzalnom silom R, čak i s malim otklonom δ postoji dodatni moment M = Qδ, što problem čini nelinearnim. U takvim slučajevima, ukupni progibi nisu linearne funkcije sila i ne mogu se dobiti jednostavnim preklapanjem (superpozicijom).
Eksperimentalno je utvrđeno da ako posmična naprezanja djeluju na svim stranama elementa, tada distorzija odgovarajućeg kuta ovisi samo o odgovarajućim komponentama posmičnih naprezanja.
Konstantno G naziva se modul smicanja ili modul smicanja.
Opći slučaj deformacije elementa djelovanjem tri normalne i tri tangencijalne komponente naprezanja na njega može se dobiti superpozicijom: tri linearne deformacije određene izrazima (5.2a) superponiraju se s tri posmične deformacije određene relacijama (5.2b) . Jednadžbe (5.2a) i (5.2b) određuju odnos između komponenti deformacije i naprezanja i nazivaju se generalizirani Hookeov zakon. Pokažimo sada da modul smicanja G izraženo u terminima zateznog modula E i Poissonov omjer μ . Da biste to učinili, razmotrite poseban slučaj gdje σ x = σ , g = -σ I σz = 0.
Izrežite element abcd ravnine paralelne s osi z a nagnuta pod kutom od 45° prema osi x I na(slika 3). Kao što slijedi iz uvjeta ravnoteže za element 0 bs, normalna naprezanja σ v na svim stranama elementa abcd jednaki su nuli, a posmična naprezanja su jednaka
Ovo stanje naprezanja naziva se čisti pomak. Jednadžbe (5.2a) impliciraju da
odnosno produženje horizontalnog elementa 0 c jednako je skraćenju okomitog elementa 0 b: εy = -ε x.
Kut između lica ab I prije Krista promjene i odgovarajuću količinu posmične deformacije γ može se pronaći iz trokuta 0 bs:
Otuda slijedi da
Kada se štap rasteže i sabija, mijenjaju se njegova duljina i dimenzije poprečnog presjeka. Ako mentalno izaberemo iz štapa u nedeformiranom stanju element duljine dx, tada će nakon deformacije njegova duljina biti jednaka dx((Slika 3.6). U ovom slučaju, apsolutno izduženje u smjeru osi Oh bit će jednako
i relativna linearna deformacija e x definiran je jednakošću
Budući da os Oh poklapa s osi štapa, duž koje djeluju vanjska opterećenja, nazivamo deformacijom e x uzdužna deformacija, za koju će indeks biti izostavljen u nastavku. Deformacije u smjerovima okomitim na os nazivaju se poprečne deformacije. Ako se označava sa b karakteristična veličina poprečnog presjeka (sl. 3.6), tada je poprečna deformacija određena relacijom 
Relativne linearne deformacije su bezdimenzijske veličine. Utvrđeno je da su poprečne i uzdužne deformacije tijekom središnjeg zatezanja i stiskanja štapa međusobno povezane ovisnošću
Veličina v koja je uključena u ovu jednakost naziva se Poissonov omjer ili koeficijent poprečne deformacije. Ovaj koeficijent je jedna od glavnih konstanti elastičnosti materijala i karakterizira njegovu sposobnost poprečnih deformacija. Za svaki materijal, utvrđuje se ispitivanjem rastezanja ili tlačenja (vidi § 3.5) i izračunava se formulom
Kao što proizlazi iz jednakosti (3.6), uzdužna i poprečna deformacija uvijek imaju suprotne predznake, što potvrđuje očiglednu činjenicu da se dimenzije poprečnog presjeka smanjuju tijekom napetosti, a povećavaju tijekom tlačenja.
Poissonov omjer je različit za različite materijale. Za izotropne materijale može poprimiti vrijednosti u rasponu od 0 do 0,5. Na primjer, za pluto drvo, Poissonov omjer je blizu nule, dok je za gumu blizu 0,5. Za mnoge metale pri normalnim temperaturama vrijednost Poissonovog omjera je u rasponu od 0,25 + 0,35.
Kao što je utvrđeno u brojnim eksperimentima, za većinu konstrukcijskih materijala pri malim deformacijama postoji linearni odnos između naprezanja i deformacija
Ovaj zakon proporcionalnosti prvi je uspostavio engleski znanstvenik Robert Hooke i naziva se Hookeov zakon.
Konstanta uključena u Hookeov zakon E naziva se modul elastičnosti. Modul elastičnosti je druga glavna konstanta elastičnosti materijala i karakterizira njegovu krutost. Kako su deformacije bezdimenzionalne veličine, iz (3.7) proizlazi da modul elastičnosti ima dimenziju naprezanja.
U tablici. 3.1 prikazuje vrijednosti modula elastičnosti i Poissonovog omjera za različite materijale.
Pri projektiranju i proračunu konstrukcija, uz proračun naprezanja, potrebno je odrediti i pomake pojedinih točaka i čvorova konstrukcija. Razmotrite metodu za izračunavanje pomaka pod središnjim naprezanjem i pritiskom šipki.
Apsolutna dužina produžetka elementa dx(sl. 3.6) prema formuli (3.5) je
Tablica 3.1
|
Naziv materijala |
Modul elastičnosti, MPa |
Koeficijent Poisson |
|
Ugljični čelik |
||
|
aluminijske legure |
||
|
Legure titana |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
duž vlakana |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
preko vlakana |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
zidanje opekom |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Stakloplastika SVAM |
||
|
Tekstolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Guma na gumu |
Integrirajući ovaj izraz u rasponu od 0 do x, dobivamo
Gdje njihov) - aksijalni pomak proizvoljnog presjeka (slika 3.7), i C= i( 0) - aksijalni pomak početnog presjeka x = 0. Ako je ovaj presjek fiksan, tada je u(0) = 0 i pomak proizvoljnog presjeka je
Produljenje ili skraćivanje štapa jednako je aksijalnom pomaku njegovog slobodnog kraja (sl. 3.7), čiju vrijednost dobivamo iz (3.8), uz pretpostavku x = 1:
Zamjena izraza za deformaciju u formulu (3.8)? iz Hookeovog zakona (3.7) dobivamo
Za štap izrađen od materijala s konstantnim modulom elastičnosti E aksijalni pomaci određuju se formulom
Integral uključen u ovu jednakost može se izračunati na dva načina. Prvi način je analitički napisati funkciju Oh) i naknadnu integraciju. Druga metoda temelji se na činjenici da je razmatrani integral numerički jednak površini nacrta a u presjeku. Uvođenje notnog zapisa
Razmotrimo posebne slučajeve. Za štap rastegnut koncentriranom silom R(riža. 3.3, a), uzdužna sila. / V je konstantna po dužini i jednaka je R. Naprezanja a prema (3.4) također su konstantna i jednaka 
Tada iz (3.10) dobivamo
Iz ove formule slijedi da ako su naprezanja na određenom dijelu štapa konstantna, tada se pomaci mijenjaju prema linearnom zakonu. Zamjena u posljednju formulu x = 1, nađi izduženje štapa:
Raditi EF nazvao krutost štapa na napetost i pritisak.Što je ta vrijednost veća, to je produljenje ili skraćenje štapa manje.
Promotrimo štap pod djelovanjem jednoliko raspoređenog opterećenja (slika 3.8). Uzdužna sila u proizvoljnom presjeku, udaljenom na udaljenosti x od pričvršćenja, jednaka je
Dijeljenje N na F, dobivamo formulu za naprezanja
Zamjenom ovog izraza u (3.10) i integriranjem, nalazimo
Najveći pomak, jednak izduženju cijelog štapa, dobiva se zamjenom x = / u (3.13):
Iz formula (3.12) i (3.13) vidljivo je da ako naprezanja linearno ovise o x, tada se pomaci mijenjaju prema zakonu kvadratne parabole. Parcele N, oh i I prikazano na sl. 3.8.
Opća diferencijalna ovisnost povezujućih funkcija njihov) i a(x), mogu se dobiti iz relacije (3.5). Zamjenom e iz Hookeovog zakona (3.7) u ovu relaciju, nalazimo
Iz ove ovisnosti slijede, posebno, obrasci promjene u funkciji navedeni u gornjim primjerima njihov).
Osim toga, može se primijetiti da ako u bilo kojem dijelu naprezanja a nestanu, tada na dijagramu I u ovom dijelu može postojati ekstrem.
Kao primjer, napravimo dijagram I za šipku prikazanu na sl. 3.2, stavljanje E- 10 4 MPa. Izračunavanje površina parcela O za različita područja nalazimo:
presjek x = 1 m:
dionica x = 3 m:
dionica x = 5 m:
Na gornjem dijelu trake dijagrama I je kvadratna parabola (sl. 3.2, e). U ovom slučaju postoji ekstrem u presjeku x = 1 m. U donjem dijelu, karakter dijagrama je linearan.
Ukupno produljenje štapa, koje je u ovom slučaju jednako
može se izračunati pomoću formula (3.11) i (3.14). Budući da je donji dio šipke (vidi sl. 3.2, A) rastegnut silom R ( njegovo produljenje prema (3.11) jednako je
Djelovanje sile R ( također se prenosi na gornji dio štapa. Osim toga, komprimira se silom R 2 a istegnut jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q. U skladu s tim, promjena njegove duljine izračunava se formulom
Zbrajanjem vrijednosti A/ i A/ 2 dobivamo isti rezultat kao gore.
Zaključno treba napomenuti da se unatoč malim vrijednostima pomaka i istezanja (skraćenja) štapova pri naprezanju i pritisku ne mogu zanemariti. Sposobnost izračunavanja ovih veličina važna je u mnogim tehnološkim problemima (na primjer, pri montaži konstrukcija), kao i za rješavanje statički neodređenih problema.
