Varijabilni redovi. Apsolutna i uvjetna konvergencija Primjeri rješenja izmjeničnog niza

Kozmetika

Brojevni niz koji sadrži beskonačan broj pozitivnih i beskonačan broj negativnih članova naziva se izmjeničnim.

Apsolutna i uvjetna konvergencija

Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako red također konvergira.

Ako niz apsolutno konvergira, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obrnuto nije točno.

Za niz se kaže da je uvjetno konvergentan ako on sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira.

Istražite redove konvergencije .

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za izmjenične nizove. Dobivamo

jer . Stoga ovaj niz konvergira.

38. Izmjenični redovi. Leibnizov znak.

Poseban slučaj izmjeničnog niza je izmjenični niz, odnosno niz u kojem uzastopni članovi imaju suprotne predznake.

Leibnizov znak

Za one koji se izmjenjuju u blizini, primjenjuje se Leibnizov test dovoljne konvergencije.

Neka (an) bude niz brojeva takav da

1. an+1< an для всех n;

Zatim izlaze izmjenične serije.

39. Funkcionalni nizovi. Redovi potencija. radijus konvergencije. Interval konvergencije.

Pojam funkcionalnih redova i redova potencija

Upamtite, uobičajeni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi niza su BROJEVI.

Funkcionalni red sastoji se od FUNKCIJA:

Osim polinoma, faktorijela i ostalih darova, zajednički član niza svakako uključuje i slovo "x". To izgleda ovako, na primjer:

Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalnog niza su funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je potencijski nizovi.

Definicija:

Niz potencija je niz čiji zajednički član uključuje pozitivne cijele potencije nezavisne varijable.

Pojednostavljeni redovi potencija u mnogim udžbenicima zapisani su na sljedeći način: , gdje je stari poznati "nadjev" nizova brojeva (polinomi, stupnjevi, faktorijeli koji ovise samo o "en"). Najjednostavniji primjer:

Pogledajmo ovu ekspanziju i ponovno razmislimo o definiciji: članovi niza potencija sadrže "x" u pozitivnim cijelim brojevima (prirodnim) potencijama.

Vrlo često se potencijski niz može naći u sljedećim "modifikacijama": ili gdje je a konstanta. Na primjer:

Strogo govoreći, pojednostavljeni prikazi potencijskih serija, ili nisu sasvim točni. U eksponentu se umjesto jednog slova "en" može nalaziti složeniji izraz, npr.

Ili ovaj niz potencije:

Kad bi samo eksponenti na "xAx" bili prirodni.

Konvergencija redova snaga.

Interval konvergencije, radijus konvergencije i područje konvergencije

Ne treba se bojati tolikog obilja pojmova, oni idu “jedni pored drugih” i nisu posebno teški za razumijevanje. Bolje je odabrati neke jednostavne eksperimentalne serije i odmah početi shvaćati.

Tražim od vas da volite i favorizirate redove potencija. Varijabla može imati bilo koju stvarnu vrijednost od "minus beskonačno" do "plus beskonačno". Zamijenite nekoliko proizvoljnih x vrijednosti u zajednički član niza:

Ako je x=1 tada

Ako je x=-1, tada

Ako je x=3 tada

Ako je x=-0,2, tada

Očito je da zamjenom "x" u jednu ili drugu vrijednost dobivamo različite numeričke serije. Neki brojčani nizovi će konvergirati, a neki će se razići. A naš zadatak je pronaći skup vrijednosti "x" na kojem će serija snage konvergirati. Takav skup naziva se područjem konvergencije niza.

Za bilo koji niz snaga (privremeno odstupajući od specifičnog primjera), moguća su tri slučaja:

1) Red potencije apsolutno konvergira na nekom intervalu . Drugim riječima, ako izaberemo bilo koju vrijednost "x" iz intervala i zamijenimo je u zajednički član niza potencije, tada ćemo dobiti apsolutno konvergentan niz brojeva. Takav interval nazivamo intervalom konvergencije reda potencija.

Radijus konvergencije, jednostavno, pola je duljine intervala konvergencije:

Geometrijski, situacija izgleda ovako:

U ovom slučaju, interval konvergencije niza: radijus konvergencije niza:

Brojevni niz koji sadrži beskonačan broj pozitivnih i beskonačan broj negativnih članova naziva se izmjeničnim.

Apsolutna i uvjetna konvergencija

Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako red također konvergira.

Ako niz apsolutno konvergira, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obrnuto nije točno.

Za niz se kaže da je uvjetno konvergentan ako on sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira.

Istražite redove konvergencije .

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za izmjenične nizove. Dobivamo

jer . Stoga ovaj niz konvergira.

38. Izmjenični redovi. Leibnizov znak.

Poseban slučaj izmjeničnog niza je izmjenični niz, odnosno niz u kojem uzastopni članovi imaju suprotne predznake.

Leibnizov znak

Za one koji se izmjenjuju u blizini, primjenjuje se Leibnizov test dovoljne konvergencije.

Neka (an) bude niz brojeva takav da

1. an+1< an для всех n;

Zatim izlaze izmjenične serije.

39. Funkcionalni nizovi. Redovi potencija. radijus konvergencije. Interval konvergencije.

Pojam funkcionalnih redova i redova potencija

Upamtite, uobičajeni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi niza su BROJEVI.

Funkcionalni red sastoji se od FUNKCIJA:

Osim polinoma, faktorijela i ostalih darova, zajednički član niza svakako uključuje i slovo "x". To izgleda ovako, na primjer:

Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalnog niza su funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je potencijski nizovi.

Definicija:

Niz potencija je niz čiji zajednički član uključuje pozitivne cijele potencije nezavisne varijable.

Pogledajmo ovu ekspanziju i ponovno razmislimo o definiciji: članovi niza potencija sadrže "x" u pozitivnim cijelim brojevima (prirodnim) potencijama.

Vrlo često se potencijski niz može naći u sljedećim "modifikacijama": ili gdje je a konstanta. Na primjer:

Strogo govoreći, pojednostavljeni prikazi potencijskih serija, ili nisu sasvim točni. U eksponentu se umjesto jednog slova "en" može nalaziti složeniji izraz, npr.

Ili ovaj niz potencije:

Kad bi samo eksponenti na "xAx" bili prirodni.

Konvergencija redova snaga.

Interval konvergencije, radijus konvergencije i područje konvergencije

Ako je x=1 tada

Ako je x=-1, tada

Definicija 1

Niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, čiji članovi imaju proizvoljne predznake (+), (?), naziva se izmjeničnim nizom.

Gore razmotrene izmjenične serije poseban su slučaj izmjenične serije; jasno je da nije svaka izmjenična serija izmjenična. Na primjer, niz $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ nizovi koji se izmjenjuju ali ne i znakovima.

Imajte na umu da u izmjeničnom nizu članova, i sa predznakom (+) i sa predznakom (-), ima beskonačno mnogo. Ako to nije točno, na primjer, niz sadrži konačan broj negativnih članova, tada se oni mogu odbaciti i razmatrati niz sastavljen samo od pozitivnih članova, i obrnuto.

Definicija 2

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i njegov je zbroj S, i djelomično zbroj je jednak $S_n$, tada se $r_(n) =S-S_(n) $ naziva ostatkom niza, a $\mathop(\lim)\limits_(n\to \infty) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, tj. ostatak konvergentnog niza teži 0.

Definicija 3

Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ naziva se apsolutno konvergentnim ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\lijevo|u_(n)\desno| $.

Definicija 4

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\desno| $, sastavljen od apsolutnih vrijednosti svojih članova, divergira, tada se izvorni niz naziva uvjetno (ne-apsolutno) konvergentnim.

Teorem 1 (dovoljan kriterij za konvergenciju izmjeničnog niza)

Izmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova$\sum \limits _(n=1) ^ konvergira (\infty )\lijevo|u_(n) \desno| $.

Komentar

Teorem 1 daje samo dovoljan uvjet za konvergenciju izmjeničnog niza. Obratni teorem nije istinit, tj. ako izmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, tada nije nužno da je niz sastavljen od modula $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\lijevo|u_(n) \desno| $ (može biti konvergentan ili divergentan). Na primjer, niz $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergira prema Leibnizovom testu, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova je $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonijski niz) divergira.

Svojstvo 1

Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira, tada on apsolutno konvergira za bilo koju permutaciju svojih članova, a zbroj niza ne ovisi o redoslijedu članova. Ako je $S"$ zbroj svih njegovih pozitivnih članova, a $S""$ zbroj svih apsolutnih vrijednosti njegovih negativnih članova, tada je zbroj niza $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ je jednako $S=S"-S""$.

Svojstvo 2

Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira i $C=(\rm const)$, tada je niz $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ također apsolutno konvergira.

Svojstvo 3

Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ apsolutno konvergiraju, tada serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ također apsolutno konvergira.

Svojstvo 4 (Riemannov teorem)

Ako niz uvjetno konvergira, tada bez obzira koji broj A uzmemo, možemo preurediti članove ovog niza tako da njegov zbroj bude točno jednak A; štoviše, moguće je preurediti članove uvjetno konvergentnog niza na takav način da nakon toga on divergira.

Primjer 1

Istražite niz za uvjetnu i apsolutnu konvergenciju

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Riješenje. Ovaj niz je znakovno-izmjenični, čiji uobičajeni izraz označavamo: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Primjer 2

Ispitajte niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za apsolutnu i uvjetnu konvergenciju.

Ispitujemo niz za apsolutnu konvergenciju. Označite $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i sastavite niz apsolutnih vrijednosti $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dobivamo niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ s pozitivnim članovima, na koje primjenjujemo granični kriterij za usporedbu serija. Za usporedbu s $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ razmotrite niz koji ima oblik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ovaj niz je Dirichletov niz s eksponentom $p=\frac(1)(2)
Zatim ispitujemo izvorni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za uvjetno konvergencija. Da bismo to učinili, provjeravamo ispunjenje uvjeta Leibnizova testa. Uvjet 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdje je $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ovaj niz se izmjenjuje. Za provjeru uvjeta 2) o monotonom opadanju članova niza koristimo se sljedećom metodom. Razmotrite pomoćnu funkciju $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definiranu na $x\in )