Déformations et déplacements. la loi de Hooke
L'action des forces extérieures sur un corps solide entraîne l'apparition de contraintes et de déformations en des points de son volume. Dans ce cas, l'état de contrainte en un point, la relation entre les contraintes en différents sites passant par ce point, sont déterminés par les équations de la statique et ne dépendent pas des propriétés physiques du matériau. L'état déformé, le lien entre les déplacements et les déformations sont établis à l'aide de considérations géométriques ou cinématiques et ne dépendent pas non plus des propriétés du matériau. Afin d'établir une relation entre les contraintes et les déformations, il est nécessaire de prendre en compte les propriétés réelles du matériau et les conditions de chargement. Des modèles mathématiques décrivant la relation entre contraintes et déformations sont développés sur la base de données expérimentales. Ces modèles doivent refléter les propriétés réelles des matériaux et les conditions de chargement avec un degré de précision suffisant.
Les plus courants pour les matériaux de structure sont les modèles d'élasticité et de plasticité. L'élasticité est la propriété d'un corps de changer de forme et de taille sous l'action de charges externes et de restaurer sa configuration d'origine lorsque les charges sont supprimées. Mathématiquement, la propriété d'élasticité s'exprime dans l'établissement d'une relation fonctionnelle biunivoque entre les composantes du tenseur de contrainte et du tenseur de déformation. La propriété d'élasticité reflète non seulement les propriétés des matériaux, mais également les conditions de chargement. Pour la plupart des matériaux structuraux, la propriété d'élasticité se manifeste à des valeurs modérées de forces externes, conduisant à de petites déformations, et à de faibles taux de chargement, lorsque les pertes d'énergie dues aux effets de la température sont négligeables. Un matériau est dit linéairement élastique si les composantes du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations sont reliées par des relations linéaires.
À des niveaux de chargement élevés, lorsque des déformations importantes se produisent dans le corps, le matériau perd partiellement ses propriétés élastiques : lorsqu'il est déchargé, ses dimensions et sa forme d'origine ne sont pas complètement restaurées, et lorsque les charges externes sont complètement supprimées, des déformations résiduelles sont enregistrées. Dans ce cas la relation entre les contraintes et les déformations cesse d'être univoque. Cette propriété matérielle est appelée plasticité. Les déformations résiduelles accumulées au cours du processus de déformation plastique sont appelées plastiques.
Un niveau de stress élevé peut provoquer la destruction, c'est-à-dire la division du corps en parties. Les corps solides constitués de différents matériaux sont détruits à différentes quantités de déformation. La rupture est fragile à de petites déformations et se produit, en règle générale, sans déformations plastiques notables. Une telle destruction est typique de la fonte, des aciers alliés, du béton, du verre, de la céramique et de certains autres matériaux de structure. Pour les aciers bas carbone, les métaux non ferreux, les plastiques, une rupture de type plastique est caractéristique en présence de déformations résiduelles importantes. Cependant, la division des matériaux selon la nature de leur destruction en fragiles et ductiles est très conditionnelle ; elle se réfère généralement à certaines conditions de fonctionnement standard. Un même matériau peut se comporter, selon les conditions (température, nature de la charge, technologie de fabrication, etc.), comme fragile ou comme ductile. Par exemple, les matériaux qui sont en plastique à des températures normales sont détruits comme cassants à basse température. Par conséquent, il est plus correct de ne pas parler de matériaux fragiles et plastiques, mais de l'état fragile ou plastique du matériau.
Soit le matériau linéairement élastique et isotrope. Considérons un volume élémentaire dans des conditions d'état de contrainte uniaxiale (Fig. 1), de sorte que le tenseur des contraintes a la forme
Sous un tel chargement, il y a une augmentation des dimensions dans la direction de l'axe Oh, caractérisé par une déformation linéaire, qui est proportionnelle à l'amplitude de la contrainte
Fig. 1.État de contrainte uniaxiale
Ce rapport est une notation mathématique la loi de Hooke, établir une relation proportionnelle entre la contrainte et la déformation linéaire correspondante dans un état de contrainte uniaxiale. Le coefficient de proportionnalité E est appelé module d'élasticité longitudinale ou module d'Young. Il a la dimension des contraintes.
Parallèlement à l'augmentation de la taille dans le sens de l'action; sous la même contrainte, les dimensions diminuent dans deux directions orthogonales (Fig. 1). Les déformations correspondantes seront notées et , et ces déformations sont négatives pour les positives et sont proportionnelles à :
Avec l'action simultanée de contraintes selon trois axes orthogonaux, lorsqu'il n'y a pas de contraintes tangentielles, le principe de superposition (superposition de solutions) est valable pour un matériau élastique linéaire :
En tenant compte des formules (1 4), on obtient
|
Les contraintes tangentielles provoquent des déformations angulaires et, à de petites déformations, elles n'affectent pas le changement de dimensions linéaires et, par conséquent, les déformations linéaires. Par conséquent, ils sont également valables dans le cas d'un état de contrainte arbitraire et expriment ce que l'on appelle loi de Hooke généralisée.
La déformation angulaire est due à la contrainte de cisaillement , et les déformations et , respectivement, aux contraintes et . Entre les contraintes de cisaillement et les déformations angulaires correspondantes pour un corps isotrope linéairement élastique, il existe des relations proportionnelles
qui expriment la loi Accrochez-vous au quart de travail. Le facteur de proportionnalité G est appelé module de cisaillement. Il est essentiel que la contrainte normale n'affecte pas les déformations angulaires, car dans ce cas, seules les dimensions linéaires des segments changent, et non les angles entre eux (Fig. 1).
Une dépendance linéaire existe également entre la contrainte moyenne (2.18), qui est proportionnelle au premier invariant du tenseur des contraintes, et la déformation volumique (2.32), qui coïncide avec le premier invariant du tenseur des déformations :
Fig.2. Déformation de cisaillement planaire
Format d'image correspondant À appelé module d'élasticité de masse.
Les formules (1 7) incluent les caractéristiques élastiques du matériau E, , g et À, déterminer ses propriétés élastiques. Cependant, ces caractéristiques ne sont pas indépendantes. Pour un matériau isotrope, deux caractéristiques élastiques indépendantes sont généralement choisies comme module d'élasticité E et le coefficient de Poisson. Pour exprimer le module de cisaillement gà travers E et , Considérons une déformation plane en cisaillement sous l'action de contraintes de cisaillement (Fig. 2). Pour simplifier les calculs, on utilise un élément carré de côté un. Calculer les contraintes principales , . Ces contraintes agissent sur des sites situés en biais par rapport aux sites d'origine. De la fig. 2 trouver la relation entre la déformation linéaire dans la direction de la contrainte et la déformation angulaire . La grande diagonale du losange caractérisant la déformation est égale à
Pour les petites déformations
Compte tenu de ces ratios
Avant déformation, cette diagonale avait la taille . Ensuite nous aurons
De la loi de Hooke généralisée (5) on obtient
La comparaison de la formule obtenue avec la loi de Hooke avec décalage (6) donne
En conséquence, nous obtenons
En comparant cette expression avec la loi volumétrique de Hooke (7), on arrive au résultat
Charactéristiques mécaniques E, , g et À sont trouvés après traitement des données expérimentales des éprouvettes d'essai pour différents types de charges. Du point de vue physique, toutes ces caractéristiques ne peuvent pas être négatives. De plus, il résulte de la dernière expression que le coefficient de Poisson pour un matériau isotrope ne dépasse pas 1/2. Ainsi, on obtient les restrictions suivantes pour les constantes élastiques d'un matériau isotrope :
La valeur limite conduit à la valeur limite , qui correspond à un matériau incompressible ( at ). En conclusion, nous exprimons les contraintes en termes de déformations à partir des relations d'élasticité (5). On écrit la première des relations (5) sous la forme
En utilisant l'égalité (9), nous aurons
Des relations similaires peuvent être dérivées pour et . En conséquence, nous obtenons
|
Ici, la relation (8) pour le module de cisaillement est utilisée. De plus, la désignation
ÉNERGIE POTENTIELLE DE DÉFORMATION ÉLASTIQUE
Considérons d'abord le volume élémentaire dV=dxdydz dans des conditions d'état de contrainte uniaxiale (Fig. 1). Fixez mentalement la plate-forme x=0(Fig. 3). Une force agit sur le côté opposé .
Cette force travaille en déplacement. .
Lorsque la tension augmente de zéro à la valeur
la déformation correspondante, en vertu de la loi de Hooke, augmente également de zéro à la valeur ,
et le travail est proportionnel à celui ombré de la Fig. 4 carrés : 
. Si nous négligeons énergie cinétique et les pertes associées aux phénomènes thermiques, électromagnétiques et autres, alors, en vertu de la loi de conservation de l'énergie, le travail effectué se transformera en énergie potentielle accumulé au cours du processus de déformation : .
F= dU/dV appelé énergie potentielle spécifique de déformation, significative énergie potentielle accumulé par unité de volume du corps. Dans le cas d'un état de contrainte uniaxial
8.2. Lois fondamentales utilisées dans la résistance des matériaux
Relations de statique. Elles s'écrivent sous la forme des équations d'équilibre suivantes.
La loi de Hooke ( 1678): plus la force est grande, plus la déformation est grande et, de plus, elle est directement proportionnelle à la force. Physiquement, cela signifie que tous les corps sont des ressorts, mais avec une grande rigidité. Avec une simple tension de la poutre par la force longitudinale N= F cette loi peut s'écrire :
Ici 
force longitudinale, je- la longueur de la barre, MAIS- sa section transversale, E- coefficient d'élasticité de première espèce ( Module d'Young).
Compte tenu des formules des contraintes et des déformations, la loi de Hooke s'écrit comme suit : 
.
Une relation similaire est observée dans les expériences entre les contraintes de cisaillement et l'angle de cisaillement :
.
g
appelémodule de cisaillement
, moins souvent - le module d'élasticité du deuxième type. Comme toute loi, elle a une limite d'applicabilité et la loi de Hooke. Tension 
, jusqu'à laquelle la loi de Hooke est valide, est appelée limite de proportionnalité(c'est la caractéristique la plus importante du sopromat).
Décrivons la dépendance
de
graphiquement (Fig. 8.1). Ce tableau s'appelle diagramme d'étirement
. Après le point B (c'est-à-dire à 
), cette dépendance n'est plus linéaire.
À 
après déchargement, des déformations résiduelles apparaissent dans la caisse, donc 
appelé limite élastique
.
Lorsque la contrainte atteint la valeur σ = σ t, de nombreux métaux commencent à présenter une propriété appelée fluidité. Cela signifie que même sous une charge constante, le matériau continue de se déformer (c'est-à-dire qu'il se comporte comme un liquide). Graphiquement, cela signifie que le diagramme est parallèle à l'abscisse (tracé DL). La contrainte σ t à laquelle le matériau s'écoule est appelée limite d'élasticité .
Certains matériaux (Art. 3 - acier de construction) après un court écoulement recommencent à résister. La résistance du matériau se poursuit jusqu'à une certaine valeur maximale σ pr, puis une destruction progressive commence. La valeur σ pr - est appelée résistance à la traction (synonyme pour l'acier : résistance à la traction, pour le béton - résistance cubique ou prismatique). Les désignations suivantes sont également utilisées :
=R b
Une dépendance similaire est observée dans les expériences entre les contraintes tangentielles et le cisaillement.
3) Loi de Dugamel-Neumann (dilatation thermique linéaire) :
En présence d'une différence de température, le corps change de taille, et est directement proportionnel à cette différence de température.
Qu'il y ait une différence de température 
. Alors cette loi prend la forme :
Ici α - coefficient de dilatation thermique linéaire, je - longueur de la tige, Δ je- son allongement.
4) loi du fluage .
Des études ont montré que tous les matériaux sont très inhomogènes dans le petit. La structure schématique de l'acier est illustrée à la Fig. 8.2.
Certains des composants ont des propriétés fluides, de sorte que de nombreux matériaux sous charge acquièrent un allongement supplémentaire au fil du temps. 
(fig.8.3.) (métaux à haute température, béton, bois, plastiques - à température normale). Ce phénomène est appelé fluer Matériel.
Pour un liquide, la loi est vraie : comment plus de pouvoir, plus la vitesse du corps dans le fluide est grande. Si cette relation est linéaire (c'est-à-dire que la force est proportionnelle à la vitesse), alors elle peut s'écrire :
E 
Si nous passons aux forces relatives et aux allongements relatifs, nous obtenons
Ici l'indice " cr
" signifie que la partie de l'allongement causée par le fluage du matériau est prise en compte. Caractéristique mécanique 
appelé coefficient de viscosité.
Loi de conservation de l'énergie.
Considérez une poutre chargée
Introduisons le concept de déplacement d'un point, par exemple,
- déplacement vertical du point B ;
- décalage horizontal du point C.
Les forces 
tout en travaillant tu.
Considérant que les forces 
commencent à augmenter progressivement et en supposant qu'elles augmentent proportionnellement aux déplacements, on obtient :
.
Selon la loi de conservation : aucun travail ne disparaît, il est dépensé pour faire un autre travail ou va dans une autre énergie (énergie est le travail que le corps peut faire.
Le travail des forces 
, est consacré à surmonter la résistance des forces élastiques qui surviennent dans notre corps. Pour calculer ce travail, nous tenons compte du fait que le corps peut être considéré comme constitué de petites particules élastiques. Considérons l'un d'entre eux :
Du côté des particules voisines, une contrainte agit sur elle 
. La contrainte qui en résultera sera 
Sous l'influence 
la particule est allongée. Par définition, l'allongement est l'allongement par unité de longueur. Alors:
Calculons le travail dW que la force fait dN (ici, il est également pris en compte que les forces dN commencent à augmenter progressivement et ils augmentent proportionnellement aux déplacements) :
Pour tout le corps on obtient :
.
Travailler O engagé 
, appelé énergie de déformation élastique.
D'après la loi de conservation de l'énergie :
6)Principe mouvements possibles .
C'est une des manières d'écrire la loi de conservation de l'énergie.
Laissez les forces agir sur la poutre F 1
,
F 2
,
…
. Ils font bouger des points dans le corps 
et le stress 
. Donnons le corps petits déplacements supplémentaires possibles
. En mécanique, l'enregistrement de la forme 
signifie la phrase "valeur possible de la quantité un". Ces mouvements possibles provoqueront dans le corps déformations supplémentaires possibles
. Ils conduiront à l'apparition de forces et de contraintes externes supplémentaires. 
,
δ.
Calculons le travail des forces extérieures sur d'éventuels petits déplacements supplémentaires :
Ici 
- déplacements supplémentaires des points où les forces sont appliquées F 1
,
F 2
,
…
Considérons à nouveau un petit élément avec une section transversale dA et longueur dz (voir fig. 8.5. et 8.6.). Selon la définition, l'allongement supplémentaire dz de cet élément est calculé par la formule :
dz= dz.
La force de traction de l'élément sera :
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Le travail des efforts internes sur les déplacements supplémentaires est calculé pour un petit élément comme suit :
dW = dN dz = dA dz = dV
DE 
en additionnant l'énergie de déformation de tous les petits éléments, nous obtenons l'énergie de déformation totale :
Loi de conservation de l'énergie O = tu donne :
.
Ce rapport est appelé le principe des mouvements possibles(aussi appelé principe des mouvements virtuels). De même, on peut considérer le cas où les contraintes de cisaillement agissent également. On obtient alors que l'énergie de déformation O ajouter le terme suivant :
Ici - contrainte de cisaillement, - cisaillement d'un petit élément. Alors principe des mouvements possibles prendra la forme :
Contrairement à la forme précédente d'écriture de la loi de conservation de l'énergie, il n'y a aucune hypothèse ici que les forces commencent à augmenter progressivement, et elles augmentent proportionnellement aux déplacements
7) Effet de Poisson.
Considérez le schéma d'allongement de l'échantillon :
Le phénomène de raccourcissement d'un élément de corps dans le sens de l'allongement est appelé Effet de Poisson.
Trouvons la déformation relative longitudinale.
La déformation relative transversale sera :
Coefficient de Poisson quantité s'appelle :
Pour les matériaux isotropes (acier, fonte, béton) Coefficient de Poisson
Cela signifie que dans le sens transversal la déformation moins longitudinal.
Noter
: les technologies modernes peuvent créer des matériaux composites avec un coefficient de Poisson > 1, c'est-à-dire que la déformation transversale sera supérieure à la déformation longitudinale. C'est par exemple le cas d'un matériau renforcé de fibres dures à faible angle. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, c'est à dire. le moins 
, plus le coefficient de Poisson est grand.
Fig.8.8. Fig.8.9
Encore plus surprenant est le matériau illustré à la (Fig. 8.9.), Et pour un tel renforcement, un résultat paradoxal se produit - l'allongement longitudinal entraîne une augmentation de la taille du corps dans le sens transversal.
8) Loi de Hooke généralisée.
Considérons un élément qui s'étend dans les directions longitudinale et transversale. Trouvons la déformation apparaissant dans ces directions. 
Calculer la déformation 
découlant de l'action 
:
Considérez la déformation de l'action 
, qui résulte de l'effet Poisson :
La déformation totale sera :
Si ça marche et 
, puis ajoutez un autre raccourcissement dans la direction de l'axe des x 
.
Par conséquent: 
De la même manière: 
Ces rapports sont appelés loi de Hooke généralisée.
Fait intéressant, lors de l'écriture de la loi de Hooke, une hypothèse est faite sur l'indépendance des contraintes d'allongement par rapport aux contraintes de cisaillement (sur l'indépendance des contraintes de cisaillement, ce qui revient au même) et vice versa. Les expériences confirment bien ces hypothèses. Pour l'avenir, nous remarquons que la résistance, au contraire, dépend fortement de la combinaison des contraintes de cisaillement et normales.
Noter: Les lois et hypothèses ci-dessus sont confirmées par de nombreuses expériences directes et indirectes, mais, comme toutes les autres lois, elles ont un domaine d'application limité.
la loi de Hooke généralement appelées relations linéaires entre les composantes de déformation et les composantes de contrainte.
Prenons un parallélépipède rectangle élémentaire à faces parallèles aux axes de coordonnées, chargé de contrainte normale σ x, uniformément répartis sur deux faces opposées (Fig. 1). Où y = σz = τ x y = τ x z = τyz = 0.
Jusqu'à atteindre la limite de proportionnalité, l'allongement relatif est donné par la formule
où E est le module de traction. Pour l'acier E = 2*10 5 MPa, par conséquent, les déformations sont très petites et sont mesurées en pourcentage ou en 1 * 10 5 (dans les instruments à jauge de contrainte qui mesurent les déformations).
Extension d'un élément dans la direction de l'axe X s'accompagne de son rétrécissement dans le sens transversal, déterminé par les composantes de déformation
où μ est une constante appelée taux de compression transverse ou coefficient de Poisson. Pour l'acier μ généralement pris égal à 0,25-0,3.
Si l'élément considéré est simultanément chargé de contraintes normales σ x, y, σz, uniformément réparties sur ses faces, puis des déformations sont ajoutées
En superposant les composantes de déformation provoquées par chacune des trois contraintes, on obtient les relations
Ces rapports sont confirmés par de nombreuses expériences. appliqué méthode de superposition ou superpositions trouver les déformations et les contraintes totales causées par des forces multiples est légitime tant que les déformations et les contraintes sont petites et linéairement dépendantes des forces appliquées. Dans de tels cas, nous négligeons les petits changements dans les dimensions du corps déformable et les petits déplacements des points d'application des forces externes et basons nos calculs sur les dimensions initiales et la forme initiale du corps.
Il est à noter que la linéarité des relations entre efforts et déformations ne découle pas encore de la petitesse des déplacements. Ainsi, par exemple, dans un fichier compressé Q tige chargée d'une force transversale supplémentaire R, même avec une petite déviation δ il y a un moment supplémentaire M = Qδ, ce qui rend le problème non linéaire. Dans de tels cas, les flèches totales ne sont pas des fonctions linéaires des forces et ne peuvent pas être obtenues avec une simple superposition (superposition).
Il a été établi expérimentalement que si les contraintes de cisaillement agissent sur toutes les faces de l'élément, alors la distorsion de l'angle correspondant ne dépend que des composantes de contrainte de cisaillement correspondantes.
Constant g est appelé module de cisaillement ou module de cisaillement.
Le cas général de la déformation d'un élément sous l'action de trois composantes de contraintes normales et de trois contraintes tangentielles sur lui peut être obtenu par superposition : trois déformations linéaires déterminées par les expressions (5.2a) sont superposées à trois déformations de cisaillement déterminées par les relations (5.2b) . Les équations (5.2a) et (5.2b) déterminent la relation entre les composantes de déformation et de contrainte et sont appelées loi de Hooke généralisée. Montrons maintenant que le module de cisaillement g exprimé en termes de module de traction E et coefficient de Poisson μ . Pour cela, considérons un cas particulier où σ x = σ , y = -σ et σz = 0.
Découpez l'élément a B c d plans parallèles à l'axe z et incliné à 45° par rapport aux axes X et à(Fig. 3). Comme il ressort des conditions d'équilibre pour l'élément 0 avant JC, contraintes normales σ v sur toutes les faces de l'élément a B c d sont égaux à zéro et les contraintes de cisaillement sont égales
Cet état de stress est appelé changement pur. Les équations (5.2a) impliquent que
c'est-à-dire l'extension de l'élément horizontal 0 c est égal au raccourcissement de l'élément vertical 0 b: εy = -ε x.
Angle entre les faces un B et avant JC changements, et la quantité correspondante de déformation de cisaillement γ peut être trouvé à partir du triangle 0 avant JC:
D'où il suit que
Lorsqu'une tige est étirée et comprimée, sa longueur et ses dimensions de section changent. Si nous sélectionnons mentalement dans la tige à l'état non déformé un élément de longueur dx, puis après déformation sa longueur sera égale à dx((Fig. 3.6). Dans ce cas, l'allongement absolu dans la direction de l'axe Oh sera égal à
et déformation linéaire relative ex est défini par l'égalité
Depuis l'axe Oh coïncide avec l'axe de la tige, le long duquel les charges externes agissent, nous appelons la déformation ex déformation longitudinale, dont l'indice sera omis ci-dessous. Les déformations dans les directions perpendiculaires à l'axe sont appelées déformations transversales. Si désigné par b taille caractéristique de la section transversale (Fig. 3.6), alors la déformation transversale est déterminée par la relation 
Les déformations linéaires relatives sont des grandeurs sans dimension. Il a été établi que les déformations transversales et longitudinales lors de la tension centrale et de la compression de la tige sont interconnectées par la dépendance
La quantité v comprise dans cette égalité est appelée Coefficient de Poisson ou coefficient de déformation transversale. Ce coefficient est l'une des principales constantes d'élasticité du matériau et caractérise son aptitude aux déformations transversales. Pour chaque matériau, il est déterminé à partir d'un essai de traction ou de compression (voir § 3.5) et est calculé par la formule
Comme il résulte de l'égalité (3.6), les déformations longitudinales et transversales ont toujours des signes opposés, ce qui confirme le fait évident que les dimensions de la section diminuent lors de la traction et augmentent lors de la compression.
Le coefficient de Poisson est différent pour différents matériaux. Pour les matériaux isotropes, il peut prendre des valeurs allant de 0 à 0,5. Par exemple, pour le bois de liège, le coefficient de Poisson est proche de zéro, tandis que pour le caoutchouc, il est proche de 0,5. Pour de nombreux métaux à des températures normales, la valeur du coefficient de Poisson est de l'ordre de 0,25 + 0,35.
Comme établi dans de nombreuses expériences, pour la plupart des matériaux structuraux à petites déformations, il existe une relation linéaire entre les contraintes et les déformations
Cette loi de proportionnalité a été établie pour la première fois par le scientifique anglais Robert Hooke et s'appelle La loi de Hooke.
La constante incluse dans la loi de Hooke E s'appelle le module d'élasticité. Le module d'élasticité est la deuxième constante principale d'élasticité d'un matériau et caractérise sa rigidité. Puisque les déformations sont des grandeurs sans dimension, il résulte de (3.7) que le module d'élasticité a la dimension de la contrainte.
En tableau. 3.1 montre les valeurs du module d'élasticité et du coefficient de Poisson pour divers matériaux.
Lors de la conception et du calcul des structures, ainsi que du calcul des contraintes, il est également nécessaire de déterminer les déplacements des points et nœuds individuels des structures. Considérons une méthode de calcul des déplacements sous tension centrale et compression des barres.
Longueur d'extension absolue de l'élément dx(Fig. 3.6) selon la formule (3.5) est
Tableau 3.1
|
Nom du matériau |
Module d'élasticité, MPa |
Coefficient Poisson |
|
Acier Carbone |
||
|
alliages d'aluminium |
||
|
Alliages de titane |
||
|
(1.15-s-1.6) 10 5 |
||
|
le long des fibres |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
à travers les fibres |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
maçonnerie |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
SVAM en fibre de verre |
||
|
Textolite |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Caoutchouc sur caoutchouc |
En intégrant cette expression dans l'intervalle de 0 à x, on obtient
où leur) - déplacement axial d'une section arbitraire (Fig. 3.7), et C= et( 0) - déplacement axial de la section initiale x = 0. Si cette section est fixe, alors u(0) = 0 et le déplacement d'une section arbitraire est
L'allongement ou le raccourcissement de la tige est égal au déplacement axial de son extrémité libre (Fig. 3.7), dont nous obtenons la valeur à partir de (3.8), en supposant x = 1 :
En substituant dans la formule (3.8) l'expression de la déformation ? de la loi de Hooke (3.7), on obtient
Pour une tige en matériau à module d'élasticité constant E les déplacements axiaux sont déterminés par la formule
L'intégrale incluse dans cette égalité peut être calculée de deux manières. La première consiste à écrire analytiquement la fonction Oh) et l'intégration ultérieure. La deuxième méthode est basée sur le fait que l'intégrale considérée est numériquement égale à la surface du tracé a dans la section. Présentation de la notation
Considérons des cas particuliers. Pour une tige tendue par une force concentrée R(riz. 3.3, a), force longitudinale. / V est constant sur la longueur et est égal à R Les contraintes a selon (3.4) sont également constantes et égales à 
Alors à partir de (3.10) on obtient
Il résulte de cette formule que si les contraintes sur une certaine section de la tige sont constantes, alors les déplacements évoluent selon une loi linéaire. Substitution dans la dernière formule x = 1, trouver l'allongement de la tige:
Travailler EF appelé rigidité de la tige en traction et en compression. Plus cette valeur est grande, plus l'allongement ou le raccourcissement de la tige est faible.
Considérons une tige sous l'action d'une charge uniformément répartie (Fig. 3.8). La force longitudinale dans une section arbitraire, espacée d'une distance x de la fixation, est égale à
Partage N sur le F, on obtient la formule des contraintes
En substituant cette expression dans (3.10) et en intégrant, on trouve
Le plus grand déplacement, égal à l'allongement de la tige entière, s'obtient en substituant x = / dans (3.13) :
D'après les formules (3.12) et (3.13), on peut voir que si les contraintes dépendent linéairement de x, alors les déplacements évoluent selon la loi d'une parabole carrée. Parcelles N, Oh et et illustré à la fig. 3.8.
Fonctions générales de liaison de dépendance différentielle leur) et a(x), peut être obtenu à partir de la relation (3.5). En remplaçant e de la loi de Hooke (3.7) dans cette relation, on trouve
De cette dépendance découlent, en particulier, les modèles de changement de la fonction notés dans les exemples ci-dessus leur).
De plus, on peut noter que si dans une section quelconque les contraintes disparaissent, alors sur le diagramme et il peut y avoir un extremum dans cette section.
A titre d'exemple, construisons un diagramme et pour la tige illustrée à la Fig. 3.2, mettre E- 10 4 MPa. Calcul des surfaces des parcelles sur pour différents domaines, on trouve :
section x = 1 m :
coupe x = 3m :
coupe x = 5m :
Dans la partie supérieure de la barre de diagramme et est une parabole carrée (Fig. 3.2, e). Dans ce cas, il y a un extremum dans la section x = 1 m. Dans la partie inférieure, le caractère du diagramme est linéaire.
L'allongement total de la tige, qui dans ce cas est égal à
peut être calculé à l'aide des formules (3.11) et (3.14). Étant donné que la partie inférieure de la tige (voir Fig. 3.2, un)étiré de force R ( son allongement selon (3.11) est égal à
Action de force R ( est également transmise à la partie supérieure de la tige. De plus, il est comprimé à force R2 et étiré par une charge uniformément répartie Q. Conformément à cela, le changement de sa longueur est calculé par la formule
En additionnant les valeurs de A/, et A/ 2 , on obtient le même résultat que ci-dessus.
En conclusion, il convient de noter que, malgré la faible valeur des déplacements et des allongements (raccourcissements) des tiges en traction et en compression, ils ne peuvent être négligés. La capacité de calculer ces quantités est importante dans de nombreux problèmes technologiques (par exemple, lors de l'assemblage de structures), ainsi que pour résoudre des problèmes statiquement indéterminés.
