Relation de commande stricte. Relation d'ordre stricte Une relation d'ordre linéaire stricte a les propriétés

Le mot "ordre" est souvent utilisé dans les questions les plus diverses. L'officier donne la commande: "Calculer dans l'ordre des nombres", les opérations arithmétiques sont effectuées dans un certain ordre, les athlètes deviennent en hauteur, tous les principaux joueurs d'échecs sont disposés dans un certain ordre selon les soi-disant coefficients Elo (un professeur américain qui a mis au point le système des coefficients, qui permet de prendre en compte tous les succès et les échecs des joueurs), après le championnat, toutes les équipes de football sont disposées dans un certain ordre, etc. planté un âne pas "!).

En arrangeant les éléments d'un certain ensemble les uns après les autres, nous les ordonnons ou établissons une relation entre eux. dans une rangée. L'exemple le plus simple est l'ordre naturel des nombres naturels. Son caractère naturel réside dans le fait que pour deux nombres naturels quelconques, nous savons lequel d'entre eux suit l'autre ou lequel d'entre eux est supérieur à l'autre, de sorte que nous pouvons organiser les nombres naturels dans une séquence de sorte que le plus grand nombre soit localisé, par exemple exemple, à droite du plus petit : 1, 2, 3, ... . Bien sûr, la séquence d'éléments peut être écrite dans n'importe quelle direction, et pas seulement de gauche à droite. Le concept même de nombres naturels contient déjà l'idée d'ordre. En établissant un arrangement relatif des éléments de n'importe quel ensemble, nous établissons ainsi une relation d'ordre binaire, qui dans chaque cas spécifique peut avoir son propre nom, par exemple, "être moins", "être plus âgé", "contenu dans" , "suivre", etc. Les symboles de commande peuvent également être divers, par exemple, Í, etc.

La principale caractéristique distinctive de la relation d'ordre est qu'elle a la propriété de transitivité. Donc, si nous avons affaire à une séquence de certains objets x 1, x 2, ..., x n,... , ordonné, par exemple, par rapport à , puis à partir de ce qui est exécuté x1x2... xn..., il devrait s'ensuivre que pour toute paire x je , x jéléments de cette séquence sont également exécutés x jex j:

Pour une paire d'éléments x jej dans le graphique des relations, nous dessinons une flèche à partir du haut x je jusqu'au sommet x j, c'est-à-dire d'un élément plus petit à un plus grand.

Le graphe de relation d'ordre peut être simplifié en utilisant ce que l'on appelle Diagrammes de Hasse. Le diagramme de Hasse est construit comme suit. Les petits éléments sont placés en dessous et les grands sont au-dessus. Puisqu'une telle règle n'est pas suffisante pour l'image, des lignes sont tracées indiquant lequel des deux éléments est plus grand et lequel est plus petit que l'autre. Dans ce cas, il suffit de tracer uniquement des lignes pour suivre immédiatement les éléments. Des exemples de diagrammes de Hasse sont présentés dans la figure :

Les flèches peuvent être omises dans un diagramme de Hasse. Le diagramme de Hasse peut être tourné dans le plan, mais pas arbitrairement. Lors de la rotation, il est nécessaire de maintenir la position relative (au-dessus - en dessous) des sommets du diagramme :

Attitude R en multitude X appelé relation d'ordre strict, s'il est transitif et asymétrique.

Un ensemble dans lequel une relation d'ordre stricte est définie est appelé ordonné. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels est ordonné par la relation "inférieur à". Mais le même ensemble est également ordonné par une autre relation - "est divisé par" et "plus grand".

Le graphe de la relation "inférieur à" dans l'ensemble des nombres naturels peut être représenté sous la forme d'un rayon :

Attitude R dans X s'appelle la relation ordre non strict (partiel), s'il est transitif et antisymétrique. Toute relation d'ordre non strict est réflexive.

L'épithète « partiel » exprime le fait que tous les éléments d'un ensemble ne sont peut-être pas comparables à cet égard.

Des exemples typiques d'une relation d'ordre partiel sont "pas plus", "pas moins", "pas plus". La particule "non" dans les noms des relations sert à exprimer leur réflexivité. La relation "pas plus" coïncide avec la relation "inférieur ou égal à", et la relation "pas moins" est la même que "supérieur ou égal à". À cet égard, l'ordre partiel est également appelé relâché en ordre. Souvent, une relation d'ordre partielle (non stricte) est désignée par le symbole "".

La relation d'inclusion U entre les sous-ensembles d'un ensemble est également un ordre partiel. De toute évidence, deux sous-ensembles ne sont pas comparables à cet égard. La figure ci-dessous montre un ordre partiel par inclusion sur l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble (1,2,3). Les flèches du graphique, qui doivent pointer vers le haut, ne sont pas représentées.

Les ensembles sur lesquels un ordre partiel est donné sont appelés partiellement commandé, ou simplement ordonné ensembles.

Éléments X et à ensemble partiellement ordonné sont appelés comparer, si Xà ou alors àX. Sinon, ils ne sont pas comparables.

Un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont comparables est appelé ordonné linéairement, et l'ordre est un ordre linéaire. L'ordre linéaire est aussi appelé ordre parfait.

Par exemple, l'ensemble de tous les nombres réels d'ordre naturel, ainsi que tous ses sous-ensembles, est ordonné linéairement.

Les objets de la nature la plus diverse peuvent être commandés hiérarchiquement. Voici quelques exemples.

Exemple 1 : Les parties d'un livre sont ordonnées de manière à ce que le livre contienne des chapitres, les chapitres contiennent des sections et les sections se composent de sous-sections.

Exemple 2. Les dossiers du système de fichiers de l'ordinateur sont imbriqués les uns dans les autres, formant une structure ramifiée.

Exemple 3. La relation parents - enfants peut être représentée sous la forme de ce que l'on appelle arbre généalogique, qui montre qui est dont l'ancêtre (ou la progéniture).

Laissez sur le plateau ET reçu une commande partielle. Élément X appelé maximum minimum)élément de l'ensemble A, si du fait que Xà(àX), l'égalité suit X= y. Autrement dit, l'élément X est le maximum (minimum) si pour tout élément à ou ce n'est pas vrai que Xà(àX), ou est effectuée X=y. Ainsi, l'élément maximum (minimum) est supérieur (inférieur) à tous les autres éléments avec lesquels il est en relation.

Élément X appelé le plus grand (le plus petit), si pour tout àÎ ET effectué à< х (х< у).

Un ensemble partiellement ordonné peut avoir plusieurs éléments minimum et/ou maximum, mais il ne peut pas y avoir plus d'un élément minimum et maximum. Le plus petit (le plus grand) élément est aussi le minimum (maximum), mais l'inverse n'est pas vrai. La figure de gauche montre un ordre partiel avec deux éléments minimum et deux maximum, et à droite - un ordre partiel avec les éléments les plus petits et les plus grands :

Dans un ensemble fini partiellement ordonné, il y a toujours des éléments minimum et maximum.

Un ensemble ordonné qui a les éléments les plus grands et les plus petits est appelé limité . La figure montre un exemple d'ensemble borné infini. Bien sûr, il est impossible de représenter un ensemble infini sur une page finie, mais il est possible de montrer le principe de sa construction. Ici, les boucles proches des sommets ne sont pas représentées pour simplifier le dessin. Pour la même raison, les arcs qui fournissent l'affichage de la propriété de transitivité ne sont pas représentés. En d'autres termes, la figure montre un diagramme de Hasse de la relation d'ordre.

Les ensembles infinis peuvent ne pas avoir de maximum, ni de minimum, ni les deux. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels (1,2, 3, ...) a le plus petit élément 1 mais pas de maximum. L'ensemble de tous les nombres réels d'ordre naturel n'a ni le plus petit ni le plus grand élément. Cependant, son sous-ensemble composé de tous les nombres X< 5 a un plus grand élément (numéro 5) mais pas de plus petit élément.

Soit R une relation binaire sur un ensemble A.

DÉFINITION. relation binaire R sur un ensemble A est appelé une relation d'ordre sur A ou un ordre sur A s'il est transitif et antisymétrique.

DÉFINITION. Une relation d'ordre R sur un ensemble A est dite non stricte si elle est réflexive sur A, c'est-à-dire pour tout A.

Une relation d'ordre R est dite stricte (sur A) si elle est antiréflexive sur A, c'est-à-dire pour tout A. Or, l'antisymétrie d'une relation transitive R découle du fait qu'elle est antiréflexive. Par conséquent, nous pouvons donner la définition équivalente suivante.

DÉFINITION. Une relation binaire R sur un ensemble A est dite ordre strict sur A si elle est transitive et antiréflexive sur A.

Exemples. 1. Soit l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble M. La relation d'inclusion sur l'ensemble est une relation d'ordre non stricte.

2. Les relations sur l'ensemble des nombres réels sont, respectivement, une relation d'ordre strict et non strict.

3. La relation de divisibilité dans l'ensemble des nombres naturels est une relation d'ordre non strict.

DÉFINITION. Une relation binaire R sur un ensemble A est dite relation de préordre ou préordre sur A si elle est réflexive sur et transitive.

Exemples. 1. Le rapport de divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers n'est pas un ordre. Cependant, il est réflexif et transitif, ce qui signifie qu'il s'agit d'un préordre.

2. La relation de conséquence logique est un préordre sur l'ensemble des formules logiques propositionnelles.

Ordre linéaire. Un cas particulier important d'ordre est un ordre linéaire.

DÉFINITION. Une relation d'ordre sur un ensemble est appelée relation d'ordre linéaire ou ordre linéaire sur si elle est connexe sur , c'est-à-dire pour tout x, y de A

Une relation d'ordre qui n'est pas linéaire est communément appelée relation d'ordre partiel ou ordre partiel.

Exemples. 1. La relation "inférieur à" sur l'ensemble des nombres réels est une relation d'ordre linéaire.

2. La relation d'ordre acceptée dans les dictionnaires de la langue russe est appelée lexicographique. L'ordre lexicographique sur l'ensemble des mots de la langue russe est un ordre linéaire.

Le mot « ordre » est souvent utilisé dans une variété de questions. L'officier donne la commande: "Calculer dans l'ordre des nombres", les opérations arithmétiques sont effectuées dans un certain ordre, les athlètes deviennent en hauteur, il y a un ordre pour effectuer des opérations dans la fabrication d'une pièce, ordre des mots dans une phrase.

Qu'est-ce qui est commun dans tous les cas quand il s'agit de commander ? Le fait que le mot « ordre » ait un tel sens : il signifie quel élément de tel ou tel ensemble suit lequel (ou quel élément précède lequel).

Attitude " X suit à» transitivement : si « X suit à" et " à suit z", ensuite " X suit z". De plus, ce rapport doit être antisymétrique : pour deux X et à, si X suit à, ensuite à ne suit pas X.

Définition. Attitude R sur le plateau X appelé relation d'ordre stricte, s'il est transitif et antisymétrique.

Découvrons les caractéristiques du graphe et du graphe des relations d'ordre strict.

Prenons un exemple. Sur le plateau X= (5, 7, 10, 15, 12) la relation R: « X < à". On définit cette relation par énumération de couples
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Construisons son graphe. On voit que le graphe de cette relation n'a pas de boucles. Il n'y a pas de doubles flèches sur le graphique. Si de X la flèche va vers à, et de à- dans z, puis de X la flèche va vers z(Fig. 8).

Le graphe construit permet d'agencer les éléments de l'ensemble X dans cet ordre:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Dans la Fig. 6 (§ 6 de ce chapitre) les colonnes VII, VIII sont des graphes de relations d'ordre strict.

Relation d'ordre non stricte

La relation "moins que" dans l'ensemble des nombres réels est opposée à la relation "pas moins". Ce n'est plus un ordre strict. Le fait est, à X = à, relations X ³ à et à ³ X, c'est à dire. la relation "pas moins" est réflexive.

Définition. Attitude R sur le plateau X appelé relation d'ordre non stricte, s'il est réflexif, antisymétrique et transitif.

De telles relations sont des unions d'une relation d'ordre strict avec une relation d'identité.

Considérons la relation "pas plus" (£) pour l'ensemble

X= (5, 7, 10, 15, 12). Construisons son graphe (Fig. 9).

Un graphe de relations d'ordre non strict, contrairement à un graphe de relations d'ordre strict, a des boucles à chaque sommet.

Sur la fig. 6 (§ 6 de ce chapitre) les graphes V, VI sont des graphes de relations d'ordre non strict.

Ensembles commandés

Un ensemble peut s'avérer être ordonné (ils disent aussi complètement ordonné) par une relation d'ordre, tandis qu'un autre peut être non ordonné ou partiellement ordonné par une telle relation.

Définition. Un tas de X appelé ordonné une relation d'ordre R si pour deux éléments quelconques x, y de X:

(X, à) Î R ou alors ( y, x) Î R.

Si R est une relation d'ordre stricte, alors l'ensemble X ordonné par cette relation sous la condition : si X, à deux éléments inégaux d'un ensemble X, ensuite ( X, à) Î R ou alors ( y, x) Î R, ou deux éléments quelconques x, y ensembles X sont égaux.

Il est connu du cours de mathématiques de l'école que les ensembles de nombres N , Z , Q , R ordonné par le rapport "inférieur à" (<).

L'ensemble des sous-ensembles d'un certain ensemble n'est pas ordonné par l'introduction d'une relation d'inclusion (U), ou d'une relation d'inclusion stricte (T) au sens ci-dessus, car il existe des sous-ensembles dont aucun n'est inclus dans l'autre. Dans ce cas, l'ensemble donné est dit partiellement ordonné par la relation Í (ou Ì).

Considérez l'ensemble X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) et il a deux relations "inférieur à" et "divisible par". Il est facile de vérifier que ces deux relations sont des relations d'ordre. Le graphe de relation inférieur à peut être représenté sous la forme d'un rayon.

Le graphe de la relation « est divisé par » ne peut être représenté que sur un plan.

De plus, il y a des sommets sur le graphe de la deuxième relation qui ne sont pas reliés par une flèche. Par exemple, il n'y a pas de flèche reliant les chiffres 4 et 5 (Fig. 10).

Le premier rapport X < à' est appelé linéaire. En général, si la relation d'ordre R(strict et non strict) sur le plateau X a la propriété : pour tout X, àÎ X ou alors xRy, ou alors yRx, alors on l'appelle une relation d'ordre linéaire, et l'ensemble X est un ensemble linéairement ordonné.

Si l'ensemble X bien sûr, et se compose de néléments, puis l'ordre linéaire X réduit à l'énumération de ses éléments par les nombres 1,2,3, ..., n.

Les ensembles ordonnés linéairement ont un certain nombre de propriétés :

1°. Laisser être un, b, c– définir des éléments X, ordonné par relation R. Si l'on sait que aRv et vRc, on dit alors que l'élément dans se situe entre les éléments une et avec.

2°. Un tas de X, ordonné linéairement par la relation R, est dit discret si entre deux de ses éléments se trouve seulement un ensemble fini d'éléments de cet ensemble.

3°. Un ensemble linéairement ordonné est dit dense si pour deux éléments distincts de cet ensemble il y a un élément de l'ensemble situé entre eux.

Un type important de relations binaires est les relations d'ordre. Relation de commande stricte - une relation binaire antiréflexive, antisymétrique et transitive :

désignation - (une précédé b). Les exemples sont

relations « supérieur à », « inférieur à », « plus ancien », etc. Pour les nombres, la notation habituelle est les signes "<", ">".

Relation d'ordre non stricte - relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. Outre des exemples naturels d'inégalités non strictes pour les nombres, un exemple est la relation entre des points dans un plan ou un espace "pour être plus proche de l'origine". L'inégalité non stricte, pour les nombres entiers et les nombres réels, peut également être considérée comme une disjonction des relations d'égalité et d'ordre strict.

Si un tournoi sportif ne prévoit pas de répartition des places (c'est-à-dire que chaque participant reçoit une certaine place, uniquement manger / attribuée), il s'agit d'un exemple d'ordre strict ; sinon, non strict.

Des relations d'ordre sont établies sur un ensemble lorsque, pour certains ou tous les couples de ses.éléments., la relation

préséance. Définition - pour un ensemble, une relation d'ordre est appelée sa "commande, et "soi. ensemble à la suite de cela devient ordonné. Les relations d'ordre peuvent être introduites de différentes manières. Pour un ensemble fini, toute permutation de ses éléments "spécifie un ordre strict. Un ensemble infini peut être ordonné d'un nombre infini de façons. Seuls les ordres qui ont une signification significative sont intéressants.

Si pour la relation d'ordre R sur le plateau .M et certains éléments différents, au moins une des relations est vraie

aRb ou alors soutien-gorge , puis les éléments une et b appelé comparable autrement - incomparable.

Ensemble complètement (ou linéairement) ordonné M-

ensemble sur lequel la relation d'ordre est donnée, et deux éléments quelconques de l'ensemble M comparable; ensemble partiellement ordonné- le même, mais les paires d'éléments incomparables sont autorisées.

Un ensemble ordonné linéairement est un ensemble de points sur une ligne droite avec la relation "vers la droite", un ensemble de nombres entiers, rationnels, réels par rapport à "supérieur à", etc.

Un exemple d'ensemble partiellement ordonné est les vecteurs tridimensionnels, si l'ordre est donné comme si

Autrement dit, si la priorité est satisfaite dans les trois coordonnées, les vecteurs (2, 8, 5) et (6, 9, 10) sont comparables, et les vecteurs (2, 8, 5) et (12, 7, 40 ) ne sont pas comparables. Cette manière d'ordonner peut être étendue aux vecteurs de n'importe quelle dimension : vecteur

précède le vecteur si

Et.. Voila

D'autres exemples d'ordonnancement peuvent être envisagés sur l'ensemble des vecteurs.

1) commande partielle : , si

Celles. par la longueur des vecteurs ; les vecteurs de même longueur sont incomparables.

2) ordre linéaire : , si une si un d, ensuite b< е ; si jed \u003d c?u6 \u003d e, alors