Fondamentaux des mathématiques discrètes.

La notion d'ensemble. Relation entre ensembles.

Un ensemble est une collection d'objets qui ont une certaine propriété, réunis en un seul tout.

Les objets qui composent un ensemble sont appelés éléments ensembles. Pour qu'un certain ensemble d'objets soit appelé un ensemble, les conditions suivantes doivent être remplies :

· Il devrait y avoir une règle selon laquelle il est mono pour déterminer si un élément appartient à une collection donnée.

· Il doit y avoir une règle par laquelle les éléments peuvent être distingués les uns des autres.

Les ensembles sont désignés par des majuscules et ses éléments par des minuscules. Façons de spécifier des ensembles :

· Enumération des éléments d'ensemble. - pour les ensembles finis.

Spécification d'une propriété caractéristique .

ensemble vide- est appelé un ensemble qui ne contient aucun élément (Ø).

Deux ensembles sont dits égaux s'ils sont constitués des mêmes éléments. , A=B

Un tas de B appelé un sous-ensemble de l'ensemble ET( , si et seulement si tous les éléments de l'ensemble B appartenir à l'ensemble UNE.

Par exemple: , B =>

La propriété:

Remarque : considérons généralement un sous-ensemble du même ensemble, appelé universel(u). L'ensemble universel contient tous les éléments.

Opérations sur les ensembles.

UNE

B

1. Association 2 ensembles A et B est appelé un tel ensemble auquel appartiennent les éléments de l'ensemble A ou de l'ensemble B (éléments d'au moins un des ensembles).

2.traversée 2 ensembles est un nouvel ensemble composé d'éléments qui appartiennent simultanément au premier et au second ensemble.

N° : , ,

Propriété : opérations d'union et d'intersection.

· Commutativité.

Associativité. ;

· Distributif. ;

tu

4.Une addition. Si ET est un sous-ensemble de l'ensemble universel tu, alors le complément de l'ensemble ET trop tu(noté) est l'ensemble composé des éléments de l'ensemble tu, qui n'appartiennent pas à l'ensemble ET.

Les relations binaires et leurs propriétés.

Laisser être ET et À ce sont des ensembles de nature dérivée, considérons une paire ordonnée d'éléments (a, c) une ϵ A, c ϵ B"enks" commandé peut être considéré.

(a 1, a 2, a 3,…a n), où une 1 ϵ A 1; une 2 ϵ A 2; …; une n ϵ A n ;

Produit cartésien (direct) d'ensembles A 1, A 2, ..., A n, est appelé un ensemble, composé de n k ordonnés de la forme .

N° : M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Sous-ensembles du produit cartésien appelé le rapport de degré n ou relation énaire. Si n=2, alors considérez binaire relation amoureuse. Qu'est-ce qu'ils disent que un 1 , un 2 sont en relation binaire R, lorsque une 1 R une 2.

Relation binaire sur un ensemble M est appelé un sous-ensemble du produit direct de l'ensemble n sur lui-même.

M× M= M 2= {(un B)| a, b ϵ M) dans l'exemple précédent, le rapport est plus petit sur l'ensemble M génère l'ensemble suivant : ((1,2);(1,3); (2,3))

Les relations binaires ont diverses propriétés, notamment :

Réflexivité : .

· Anti-réflexivité (irréflexivité) : .

· Symétrie : .

· Antisymétrie : .

· Transitivité : .

· Asymétrie : .

Types de relations.

Relation d'équivalence;

· Relation commande.

v Une relation transitive réflexive est appelée une relation de quasi-ordre.

v Une relation transitive symétrique réflexive est appelée relation d'équivalence.

v Une relation transitive antisymétrique réflexive est appelée relation d'ordre (partiel).

v Une relation transitive antisymétrique antiréflexive est appelée relation d'ordre strict.

Définition. Relation binaire R est appelé un sous-ensemble de paires (a,b)∈R le produit cartésien A×B, soit R⊆A×B . Dans le même temps, de nombreux UNE est appelé le domaine de définition de la relation R, l'ensemble B est appelé le domaine des valeurs.

Notation : aRb (c'est-à-dire que a et b sont en relation avec R). /

Commentaire: si A = B , alors on dit que R est une relation sur l'ensemble A .

Façons de spécifier des relations binaires

1. Liste (énumération des couples) pour laquelle cette relation est satisfaite.

2. Matrice. La relation binaire R ∈ A × A , où A = (a 1 , a 2 ,..., a n), correspond à une matrice carrée d'ordre n , dans laquelle l'élément c ij , qui est à l'intersection des i -ème ligne et la j-ème colonne, vaut 1 s'il existe une relation R entre a i et a j , ou 0 si elle est absente :

Propriétés de la relation

Soit R une relation sur un ensemble A, R ∈ A×A . Alors la relation R :

réflexivement si Ɐ a ∈ A : a R a (la diagonale principale de la matrice de la relation réflexive ne contient que des uns) ;

est antiréflexive si Ɐ a ∈ A : a R a (la diagonale principale de la matrice de relation réflexive ne contient que des zéros) ;

symétrique si Ɐ a , b ∈ A : a R b ⇒ b R a (la matrice d'une telle relation est symétrique par rapport à la diagonale principale, soit c ij c ji) ;

antisymétrique si Ɐ a, b ∈ A : a R b & b R a ⇒ a = b (dans la matrice d'une telle relation, il n'y en a pas de symétriques par rapport à la diagonale principale) ;

transitivement si Ɐ a, b, c ∈ A : a R b & b R c ⇒ a R c rangée, c'est-à-dire c ij = 1 , alors tous les uns de la j-ième rangée (que ces unités correspondent à k e coordonnées telles que, c jk = 1) doivent correspondre à ceux de la i-ème ligne dans les mêmes k coordonnées, c'est-à-dire c ik = 1 (et, peut-être, aussi dans d'autres coordonnées).

Tâche 3.1. Déterminer les propriétés de la relation R - "être un diviseur", donnée sur l'ensemble des nombres naturels.

Décision.

rapport R = ((a,b):a diviseur b):

réflexive, non antiréflexive, puisque tout nombre se divise sans reste : a/a = 1 pour tout a∈N ;

non symétrique, antisymétrique, par exemple, 2 est un diviseur de 4, mais 4 n'est pas un diviseur de 2 ;

transitivement, puisque si b/a ∈ N et c/b ∈ N, alors c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, par exemple, si 6/3 = 2∈N et 18/6 = 3∈N , alors 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Tâche 3.2. Déterminer les propriétés de la relation R - "être frère", donnée sur un ensemble de personnes.
Décision.

Rapport R = ((a,b):a - frère de b):

non-réflexif, anti-réflexif du fait de l'absence évidente de aRa pour tout a ;

non symétrique, puisqu'en général il y a aRb entre frère a et sœur b, mais pas bRa ;

non antisymétrique, puisque si a et b sont frères, alors aRb et bRa, mais a≠b ;

transitivement, si nous appelons frères des personnes qui ont des parents communs (père et mère).

Tâche 3.3. Déterminer les propriétés de la relation R - "être le patron" spécifiée sur l'ensemble des éléments de structure

Décision.

Rapport R = ((a,b) : a - patron b) :

• non-réflexif, anti-réflexif, s'il n'a pas de sens dans une interprétation particulière ;
• non symétrique, antisymétrique, puisque pour tout a≠b aRb et bRa ne sont pas satisfaits simultanément ;
• transitivement, puisque si a est la tête de b et b est la tête de c , alors a est la tête de c .

Déterminer les propriétés de la relation R i , définie sur l'ensemble M i par une matrice, si :

1. R 1 "a le même reste lorsqu'il est divisé par 5" ; M 1 est l'ensemble des nombres naturels.
2. R 2 "être égal"; M 2 est l'ensemble des nombres naturels.
3. R 3 "vivre dans la même ville" ; M 3 ensemble de personnes.
4. R 4 "être familier" ; M 4 beaucoup de monde.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - pair ; M 5 ensemble de nombres (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - pair ; M 6 ensemble de nombres (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R 7 ((a,b):(a+1) - diviseur (a+b)) ; M 7 - ensemble (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 ((a,b):a - diviseur (a+b),a≠1); M 8 est l'ensemble des nombres naturels.
9. R 9 "être une sœur" ; M 9 - beaucoup de monde.
10. R 10 "être une fille" ; M 10 - beaucoup de monde.

Opérations sur les relations binaires

Soient R 1 , R 1 des relations définies sur l'ensemble A .

une association R 1 ∪ R 2 : R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ou (a,b) ∈ R 2 ) ;

intersection R 1 ∩ R 2 : R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 et (a,b) ∈ R 2 ) ;

différence R 1 \ R 2 : R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 et (a,b) ∉ R 2 ) ;

relation universelle U : = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

une addition R 1 U \ R 1 , où U = A × A;

relation d'identité je: = ((a;a) / a ∈ A);

relation inverse R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

composition R 1 º R 2 : R 1 º R 2 : = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C : aR 1 c & c R 2 b), où R 1 ⊂ A × C et R 2 ⊂ C×B;

Définition. Degré de relation R sur un ensemble A est sa composition avec lui-même.

Désignation:

Définition. Si R ⊂ A × B, alors R º R -1 est appelé le noyau de la relation R .

Théorème 3.1. Soit R ⊂ A × A une relation définie sur un ensemble A .

1. R est réflexif si et seulement si (ci-après le signe ⇔ est utilisé) lorsque I ⊂ R.
2. R est symétrique ⇔ R = R -1 .
3. R est transitif ⇔ R º R ⊂ R
4. R est antisymétrique ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R est antiréflexif ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Tâche 3.4 . Soit R la relation entre les ensembles (1,2,3) et (1,2,3,4) donnée par l'énumération des couples : R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). De plus, S est une relation entre les ensembles S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Calculer R -1 , S -1 et S º R. Vérifier que (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Décision.
R-1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S-1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2 .1), (2.2), (2.3)) = (S º R ) -un .

Tâche 3.5 . Soit R la relation "...parent..." et S la relation "...frère..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une brève description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 et R º R.

Décision.

R -1 - relation "... enfant ..." ;

S -1 - relation "... frère ou soeur ..." ;

R º S - relation "... parent ..." ;

S -1 º R -1 - relation "... enfant ..."

R º R - relation "...grand-mère ou grand-père..."

Tâches pour une solution indépendante

1) Soit R la relation "...père...", et S la relation "...soeur..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Soit R la relation "...frère...", et S la relation "...mère..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Soit R la relation "...grand-père...", et S la relation "...fils..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

4) Soit R la relation «...fille...», et S la relation «...grand-mère...» sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

5) Soit R la relation "...nièce...", et S la relation "...père..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Soit R la relation "sœur..." et S la relation "mère..." sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Soit R la relation «...mère...» et S la relation «...sœur...» sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Soit R la relation «...fils...» et S la relation «...grand-père...» sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Soit R la relation «...sœur...» et S la relation «...père...» sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Soit R la relation «...mère...» et S la relation «...frère...» sur l'ensemble de toutes les personnes. Donnez une description verbale de la relation :

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Définitions

• 1. Une relation binaire entre les éléments des ensembles A et B est tout sous-ensemble du produit cartésien RAB, RAA.
• 2. Si A=B, alors R est une relation binaire sur A.
• 3. Notation : (x, y)R xRy.
• 4. Le domaine de la relation binaire R est l'ensemble R = (x : il existe y tel que (x, y)R).
• 5. Le domaine de la relation binaire R est l'ensemble R = (y : il existe x tel que (x, y)R).
• 6. Le complémentaire d'une relation binaire R entre les éléments A et B est l'ensemble R = (AB) R.
• 7. La relation inverse de la relation binaire R est l'ensemble R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Le produit des relations R1AB et R2BC est la relation R1 R2 = ((x, y) : il existe zB tel que (x, z)R1 et (z, y)R2).
• 9. La relation f est appelée une fonction de A vers B si deux conditions sont remplies :
  • a) f \u003d A, f B
  • b) pour tout x, y1, y2, le fait que (x, y1)f et (x, y2)f implique y1=y2.
• 10. La relation f est appelée une fonction de A vers B si dans le premier paragraphe f = A, f = B.
• 11. Notation : (x, y)f y = f(x).
• 12. La fonction identité iA : AA est définie comme suit : iA(x) = x.
• 13. Une fonction f est appelée une fonction 1-1 si pour tout x1, x2, y le fait que y = f(x1) et y = f(x2) implique x1=x2.
• 14. La fonction f: AB effectue une correspondance un à un entre A et B si f = A, f = B et f est une fonction 1-1.
• 15. Propriétés de la relation binaire R sur l'ensemble A :
  • - réflexivité : (x, x)R pour tout xA.
  • - irréflexivité : (x, x)R pour tout xA.
  • - symétrie : (x, y)R (y, x)R.
  • - antisymétrie : (x, y)R et (y, x)R x=y.
  • - transitivité : (x, y)R et (y, z)R (x, z)R.
  • - dichotomie : soit (x, y)R soit (y, x)R pour tout xA et yA.
• 16. Les ensembles A1, A2, ..., Ar de P(A) forment une partition de l'ensemble A si
• - Аi , je = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , je j.

Les sous-ensembles Аi , i = 1, ..., r, sont appelés blocs de partition.

• 17. L'équivalence sur un ensemble A est une relation réflexive, transitive et symétrique sur A.
• 18. La classe d'équivalence d'un élément x par équivalence R est l'ensemble [x]R=(y : (x, y)R).
• 19. L'ensemble factoriel A par R est l'ensemble des classes d'équivalence des éléments de l'ensemble A. Désignation : A/R.
• 20. Les classes d'équivalence (éléments de l'ensemble factoriel A/R) forment une partition de l'ensemble A. Inversement. Toute partition de l'ensemble A correspond à une relation d'équivalence R dont les classes d'équivalence coïncident avec les blocs de la partition spécifiée. Différemment. Chaque élément de l'ensemble A appartient à une classe d'équivalence de A/R. Les classes d'équivalence ne se croisent pas ou coïncident.
• 21. Un préordre sur un ensemble A est une relation réflexive et transitive sur A.
• 22. Un ordre partiel sur un ensemble A est une relation réflexive, transitive et antisymétrique sur A.
• 23. Ordre linéaire sur l'ensemble A est une relation réflexive, transitive et antisymétrique sur A qui satisfait la propriété de dichotomie.

Soit A=(1, 2, 3), B=(a, b). Écrivons le produit cartésien : AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Prenez n'importe quel sous-ensemble de ce produit cartésien : R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Alors R est une relation binaire sur les ensembles A et B.

Cette relation sera-t-elle une fonction ? Vérifions la satisfaction des deux conditions 9a) et 9b). Le domaine de la relation R est l'ensemble R = (1, 2) (1, 2, 3), c'est-à-dire que la première condition n'est pas satisfaite, donc l'une des paires doit être ajoutée à R : (3, a) ou (3,b). Si les deux paires sont additionnées, alors la seconde condition ne sera pas satisfaite, puisque ab. Pour la même raison, une des paires (1, a) ou (1, b) doit être retirée de R. Ainsi la relation R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) est une fonction. Notez que R n'est pas une fonction 1-1.

Sur les ensembles donnés A et B, les relations suivantes seront aussi des fonctions : ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) etc.

Soit A=(1, 2, 3). Un exemple de relation sur un ensemble A est R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Un exemple de fonction sur l'ensemble A est f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Exemples de résolution de problèmes

1. Trouvez R, R, R1, RR, RR1, R1R pour R = ((x, y) | x, y D et x+y0).

Si (x, y)R, alors x et y parcourent tous les nombres réels. Donc R = R = D.

Si (x, y)R, alors x+y0, donc y+x0 et (y, x)R. Donc R1=R.

Pour tout xD, yD on prend z=-|max(x, y)|-1, puis x+z0 et z+y0, soit (x, z)R et (z, y)R. Donc RR = RR1 = R1R = D2.

2. Pour quelles relations binaires R est R1= R vrai ?

Laissez RAB. Deux cas sont possibles :

• (1) AB. Prenons xAB. Alors (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Contradiction.
• (2) AB=. Puisque R1BA et RAB, alors R1= R= . De R1 = il s'ensuit que R = . De R = il s'ensuit que R=AB. Contradiction.

Par conséquent, si A et B, alors de telles relations R n'existent pas.

3. Sur l'ensemble D des nombres réels, on définit la relation R comme suit : (x, y)R (x-y) est un nombre rationnel. Montrer que R est une équivalence.

Réflexivité :

Pour tout xD x-x=0 est un nombre rationnel. Parce que (x, x)R.

Symétrie:

Si (x, y)R, alors x-y = . Alors y-x=-(x-y)=- est un nombre rationnel. Donc (y,x)R.

Transitivité :

Si (x, y)R, (y, z)R, alors x-y = et y-z =. En additionnant ces deux équations, on obtient que x-z = + est un nombre rationnel. Donc (x, z)R.

Donc R est une équivalence.

4. La partition du plan D2 est constituée des blocs représentés sur la figure a). Ecrire la relation d'équivalence R correspondant à cette partition et les classes d'équivalence.

Problème similaire pour b) et c).

a) deux points sont équivalents s'ils sont situés sur une droite de la forme y=2x+b, où b est un nombre réel quelconque.

b) deux points (x1,y1) et (x2,y2) sont équivalents si (la partie entière de x1 est égale à la partie entière de x2) et (la partie entière de y1 est égale à la partie entière de y2).

c) Décidez par vous-même.

Tâches pour une solution indépendante

• 1. Montrer que si f est une fonction de A vers B et g est une fonction de B vers C, alors fg est une fonction de A vers C.
• 2. Soit A et B des ensembles finis constitués respectivement de m et n éléments.

Combien de relations binaires existent entre les éléments des ensembles A et B ?

Combien y a-t-il de fonctions de A à B ?

Combien y a-t-il de fonctions 1-1 de A à B ?

Pour quoi m et n existe-t-il une correspondance biunivoque entre A et B ?

3. Montrer que f satisfait la condition f(AB)=f(A)f(B) pour tout A et B si et seulement si f est une fonction 1-1.

Une relation définie sur un ensemble peut avoir plusieurs propriétés, à savoir :

2. Réflexivité

Définition. Attitude R sur le plateau X est dit réflexif si chaque élément X ensembles X est en rapport R Avec moi-même.

A l'aide de symboles, cette relation peut s'écrire comme suit :

R réfléchissant sur X Û(" XÎ X) x R x

Exemple. La relation d'égalité sur l'ensemble des segments est réflexive, puisque chaque segment est égal à lui-même.

Le graphe relationnel réflexif a des boucles à tous les sommets.

2. Antiréflexivité

Définition. Attitude R sur le plateau X est dit anti-réflexif si aucun élément X ensembles X pas en rapport R Avec moi-même.

R antiréflexive sur X Û(" XÎ X)

Exemple. La relation « directe X perpendiculaire à la ligne à» sur l'ensemble des droites du plan est antiréflexive, car aucune droite d'un plan n'est perpendiculaire à elle-même.

Le graphe d'une relation antiréflexive ne contient pas de boucles.

Notez qu'il existe des relations qui ne sont ni réflexives ni antiréflexives. Par exemple, considérons la relation "point X symétrique en un point à» sur l'ensemble des points du plan.

Point X symétrique en un point X- vrai; point à symétrique en un point à- est faux, on ne peut donc pas affirmer que tous les points du plan sont symétriques à eux-mêmes, ni affirmer qu'aucun point du plan n'est symétrique à lui-même.

3. Symétrie

Définition. Attitude R sur le plateau X est dit symétrique si, du fait que l'élément X est en rapport R avec élément à, il s'ensuit que l'élément à est en rapport R avec élément X.

R symétrique X Û(" X, àÎ X) x R y Þ y R x

Exemple. La relation « directe X franchit la ligne à sur l'ensemble des droites du plan » est symétrique, car si droit X franchit la ligne à, puis la droite à doit franchir la ligne X.

Graphique de relation symétrique avec chaque flèche à partir d'un point X exactement à doit contenir une flèche reliant les mêmes points, mais dans la direction opposée.

4. Asymétrie

Définition. Attitude R sur le plateau X est dit asymétrique si pour aucun élément X, à de beaucoup X il ne peut arriver que l'élément X est en rapport R avec élément à et élément à est en rapport R avec élément X.

R asymétrique X Û(" X, àÎ X) x R y Þ

Exemple. Attitude " X < à» asymétriquement, car pour toute paire d'éléments X, à on ne peut pas dire qu'il soit en même temps X < à et à<X.

Un graphe d'une relation asymétrique n'a pas de boucles, et si deux sommets du graphe sont reliés par une flèche, alors cette flèche n'en est qu'une.

5. Antisymétrie

Définition. Attitude R sur le plateau X est dit antisymétrique si, du fait que X est en relation avec à, une à est en relation avec X s'ensuit que X = y.

R antisymétrique X Û(" X, àÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Exemple. Attitude " X£ à» est antisymétrique, car les conditions X£ à et ࣠X sont exécutés en même temps uniquement lorsque X = y.

Le graphe d'une relation antisymétrique a des boucles, et si deux sommets du graphe sont reliés par une flèche, alors cette flèche n'en est qu'une.

6. Transitivité

Définition. Attitude R sur le plateau X est appelé transitif si pour tous les éléments X, à, z de beaucoup X de quoi X est en relation avec à, une à est en relation avec z s'ensuit que X est en relation avec z.

R transitif X Û(" X, à, zÎ X) x R y Ù à RzÞ x Rz

Exemple. Attitude " X plusieurs à» est transitif, car si le premier nombre est un multiple du second et que le second est un multiple du troisième, alors le premier nombre est un multiple du troisième.

Graphique d'une relation transitive avec chaque paire de flèches de Xà à et de àà z contient une flèche partant de Xà z.

7. Connectivité

Définition. Attitude R sur le plateau X est appelé connexe si pour tous les éléments X, à de beaucoup x x est en relation avec à ou alors à est en relation avec X ou alors x = y.

R connecté X Û(" X, à, zÎ X) x R y Ú à RzÚ X= à

Autrement dit : relation R sur le plateau X est dit connexe si pour tous éléments distincts X, à de beaucoup x x est en relation avec à ou alors à est en relation avec X ou alors x = y.

Exemple. Attitude " X< à» est lié, car quels que soient les nombres réels que nous prenons, l'un d'eux est sûr d'être supérieur à l'autre ou ils sont égaux.

Sur un graphe relationnel, tous les sommets sont reliés par des flèches.

Exemple. Vérifiez quelles propriétés

attitude " X - diviseur à» défini sur le plateau

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) cette relation est réflexive, puisque chaque nombre de l'ensemble donné est un diviseur de lui-même ;

2) cette relation n'a pas la propriété d'antiréflexivité ;

3) la propriété de symétrie n'est pas satisfaite, car par exemple, 2 est un diviseur de 4, mais 4 n'est pas un diviseur de 2 ;

4) cette relation est antisymétrique : deux nombres ne peuvent être simultanément diviseurs l'un de l'autre que si ces nombres sont égaux ;

5) la relation est transitive, puisque si un nombre est diviseur du second et que le second est diviseur du troisième, alors le premier nombre sera nécessairement diviseur du troisième ;

6) la relation n'a pas la propriété de connexité, puisque par exemple, les nombres 2 et 3 sur le graphique ne sont pas reliés par une flèche, car deux nombres distincts 2 et 3 ne sont pas diviseurs l'un de l'autre.

Ainsi, cette relation a les propriétés de réflexivité, d'asymétrie et de transitivité.

§ 3. Relation d'équivalence.
Liaison de la relation d'équivalence avec le découpage d'un ensemble en classes

Définition. Attitude R sur le plateau X est dite relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Exemple. Considérez la relation " X camarade de classe à» sur un ensemble d'étudiants de la faculté pédagogique. Il a des propriétés :

1) la réflexivité, puisque chaque élève est un camarade de classe pour lui-même ;

2) symétrie, car si étudiant X à, alors l'élève à est un camarade de classe d'un étudiant X;

3) transitivité, car si étudiant X- camarade de classe à, et l'étudiant à- camarade de classe z, alors l'élève Xêtre un camarade de classe d'un étudiant z.

Ainsi, cette relation a les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, et est donc une relation d'équivalence. Dans le même temps, l'ensemble des étudiants de la faculté pédagogique peut être divisé en sous-ensembles constitués d'étudiants inscrits dans le même cours. Nous obtenons 5 sous-ensembles.

La relation d'équivalence est aussi, par exemple, la relation des droites parallèles, la relation d'égalité des figures. Chacune de ces relations est liée à la division de l'ensemble en classes.

Théorème. Si sur le plateau Xétant donné une relation d'équivalence, il divise cet ensemble en sous-ensembles disjoints deux à deux (classes d'équivalence).

L'énoncé inverse est également vrai : si une relation définie sur l'ensemble X, génère une partition de cet ensemble en classes, alors c'est une relation d'équivalence.

Exemple. Sur le plateau X= (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8) la relation "avoir le même reste quand on divise par 3" est donnée. Est-ce une relation d'équivalence ?

Construisons un graphique de cette relation :

Cette relation a les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, c'est donc une relation d'équivalence et elle divise l'ensemble X en classes d'équivalence. Chaque classe d'équivalence aura des nombres qui, divisés par 3, donneront le même reste : X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

On pense que la classe d'équivalence est déterminée par l'un de ses représentants, c'est-à-dire élément arbitraire de cette classe. Ainsi, la classe des fractions égales peut être spécifiée en spécifiant toute fraction appartenant à cette classe.

Dans le cours initial de mathématiques, les relations d'équivalence se produisent également, par exemple, "les expressions X et à ont les mêmes valeurs numériques", "chiffre Xégal au chiffre à».

Soit un ensemble non vide A donné et R un sous-ensemble du carré cartésien de l'ensemble A : R  UNE  UNE.

attitude R sur le plateau ET appelé un sous-ensemble d'un ensemble ET ET(ou alors ET 2 ). Ainsi attitude il existe un cas particulier d'appariement où la zone d'arrivée est la même que la zone de départ. Tout comme une correspondance, une relation est une paire ordonnée où les deux éléments appartiennent au même ensemble.

R  UNE  UNE = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Le fait que ( une, b)R peut s'écrire comme suit : une R b. Ça lit: " une est en relation avec R b" ou " entre une et b la relation R est vraie. Sinon écrivez : une, b)R ou uneR b.

Un exemple de relations sur un ensemble de nombres sont les suivantes : "=", "", "", ">", etc. Sur l'ensemble des employés de toute entreprise, l'attitude "être un patron" ou "être un subordonné", sur un ensemble de parents - "être un ancêtre", "être un frère", "être un père ", etc.

Les relations considérées sont appelées relations homogènes binaires (à deux places) et sont les plus importantes en mathématiques. Avec eux, ils considèrent également P-locale ou P relations -aires :

R  UNE  UNE … UNE = UNE n = ((une 1 , une 2 ,…une n) | une 1 , une 2 ,…une n  UNE).

Comme la relation est un cas particulier de correspondance, toutes les méthodes décrites précédemment peuvent être utilisées pour les définir.

Évidemment, en fixant le rapport de manière matricielle, nous obtenons une matrice carrée.

Avec une représentation géométrique (graphique) de la relation, nous obtenons un diagramme qui comprend :

des sommets, désignés par des points ou des cercles, qui correspondent aux éléments de l'ensemble,

et des arcs (lignes) correspondant à des paires d'éléments inclus dans des relations binaires, désignés par des lignes avec des flèches dirigées à partir du sommet correspondant à l'élément une vers le haut correspondant à l'élément b , si une Rb .

Une telle figure est appelée graphe orienté (ou digraphe) d'une relation binaire.

Tâche 4.9.1 . Rapport "être un diviseur sur l'ensemble M = (1, 2, 3, 4)" peut être donné matrice:

énumération: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4 ));

géométriquement (graphiquement):

1. Ecrire les paires ordonnées appartenant aux relations binaires suivantes sur l'ensemble A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) :

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA ; x< y}.

2. La relation R sur l'ensemble X = (a, b, c, d) est donnée par la matrice

,

dans lequel l'ordre des lignes et des colonnes correspond à l'ordre des éléments écrits. Lister les paires ordonnées qui appartiennent à la relation donnée. Montrez la relation à l'aide d'un graphique.

3. La relation sur l'ensemble A = (1, 2, 3, 4) est représentée par un graphe. Nécessaire:

lister les paires ordonnées qui appartiennent à R ;

écrire la matrice correspondante ;

définir cette relation à l'aide de prédicats.

(répondre: a-b= 1).

4.10. Types de base (propriétés) des relations binaires

Soit la relation binaire R sur le plateau ET 2 : R  UNE  UNE = (( une, b) | uneA, bA, ( une, b)R)

relation binaire R sur le plateau ET appelé réfléchissant, si pour tout uneA effectué uneRune, C'est ( une,une)R. La diagonale principale de la matrice de relation réflexive est constituée de uns. Un graphe relationnel réflexif a nécessairement des boucles à chaque sommet.

Exemples relations réflexives : , =,  sur l'ensemble des nombres réels, « ne pas être le patron » sur l'ensemble des salariés.

relation binaire R sur l'ensemble A est appelé anti-réflexif (irréfléchi), si pour tout uneA ne tient pas la relation uneRune, C'est ( une,une)R. La diagonale principale de la matrice de relation irréflexive est constituée de zéros. Le graphe d'une relation irréflexive n'a pas de boucles.

Exemples relations anti-réflexives :<, >sur l'ensemble des nombres réels, perpendicularité des droites sur l'ensemble des droites.

relation binaire R sur le plateau A appelé symétrique, si pour tout une, bET de uneRb devraient bRune, c'est-à-dire si ( une, b)R, puis et ( b, une)R. La matrice de rapport symétrique est symétrique par rapport à sa diagonale principale ( σ ij = σ ji). Le graphe d'une relation symétrique n'est pas orienté (les arêtes sont représentées sans flèches). Chaque paire de sommets est ici reliée par une arête non orientée.

Exemples relations symétriques :  sur l'ensemble des nombres réels, « être parent » sur l'ensemble des personnes.

relation binaire R sur le plateau A appelé:

antisymétrique, si pour tout une, bET de uneRb et bRune s'ensuit que une=b. C'est-à-dire si ( une, b)R et( b, une)R, alors il s'ensuit que une=b. La matrice de rapport antisymétrique le long de la diagonale principale a tous les 1 et aucune paire de 1 situés à des emplacements symétriques par rapport à la diagonale principale. Autrement dit, tout σ ii=1, et si σ ij=1, alors nécessairement σ ji=0. Un graphe de relation antisymétrique a des boucles à chaque sommet, et les sommets sont reliés par un seul arc dirigé.

Exemples relations antisymétriques : , ,  sur l'ensemble des nombres réels ; ,  sur les ensembles ;

unesymétrique, si pour tout une, bET de uneRb suivi d'un échec bRune, c'est-à-dire si ( une, b)R, ensuite ( b, une) R. La matrice de skew ratio le long de la diagonale principale a des zéros ( σ ij=0) tous et pas de paires symétriques de uns (si σ ij=1, alors nécessairement σ ji=0). Un graphe d'une relation asymétrique n'a pas de boucles et les sommets sont reliés par un seul arc dirigé.

Exemples de relations asymétriques :<, >sur l'ensemble des nombres réels, "être père" sur l'ensemble des personnes.

relation binaire R sur le plateau A appelé transitifnym, si pour tout une, b, avecET de uneRb et bRune il s'ensuit que et uneRavec. C'est-à-dire si ( une, b)R et( b, avec)R il s'ensuit que ( une, avec)R. La matrice de relation transitive est caractérisée par le fait que si σ ij=1 et σ jm=1, alors nécessairement σ je suis=1. Le graphe de relations transitives est tel que si, par exemple, les premier-deuxième et deuxième-troisième sommets sont reliés par des arcs, alors il y a nécessairement des arcs du premier au troisième sommet.

Exemples relations transitives :<, , =, >,  sur l'ensemble des nombres réels ; "être le patron" sur un ensemble d'employés.

relation binaire R sur le plateau A appelé antitransitifnym, si pour tout une, b, avecET de uneRb et bRune il s'ensuit qu'il n'est pas rempli uneRavec. C'est-à-dire si ( une, b)R et( b, avec)R il s'ensuit que ( une, avec) R. La matrice de relation antitransitive est caractérisée par le fait que si σ ij=1 et σ jm=1, alors nécessairement σ je suis=0. Le graphe de la relation antitransitive est tel que si, par exemple, les premier-deuxième et deuxième-troisième sommets sont reliés par des arcs, alors il n'y a pas nécessairement d'arc du premier au troisième sommet.

Exemples de relations antitransitives: "incompatibilité de parité" sur l'ensemble des entiers ; "être le superviseur immédiat" sur un ensemble d'employés.

Si la relation n'a pas de propriété, alors en ajoutant les paires manquantes, vous pouvez obtenir une nouvelle relation avec cette propriété. L'ensemble de ces paires manquantes est appelé fermeture relation pour cette propriété. Désignez-le comme R* . De cette façon, vous pouvez obtenir une fermeture réflexive, symétrique et transitive.

Problème 4.10.1. Sur l'ensemble A = (1, 2, 3, 4) la relation R=(( une,b)| une,bA, une+b un nombre pair). Déterminez le type de cette relation.

Décision. La matrice de cette relation est :

. De toute évidence, la relation est réfléchissant, puisqu'il y a des unités le long de la diagonale principale. Il symétriquement: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . transitivement: (1,3)R, (3,1)R et (1,1)R ; (2,4)R, (4,2)R et (2,2)R etc.

Problème 4.10.2. Quelles propriétés sur l'ensemble A = ( une, b, c, ré) a la relation binaire R = (( une,b), (b,ré), (une,ré), (b,une), (b,c)}?

Décision . Construisons une matrice de cette relation et son graphe :

Attitude irréflexivement, puisque tout σ ii= 0. Il ne pas symétriquement, puisque σ 23 =1, et σ 32 =0, cependant, σ 12 =σ 21 =1. Attitude ne pas transitivement, car σ 12 =1, σ 23 =1 et σ 13 =0 ; σ 12 =1, σ 21 =1 et σ 11 =0 ; mais en même temps σ 12 =1, σ 24 =1 et σ 14 =1.

Tâche 4.10.3. Sur l'ensemble A = (1,2,3,4,5) la relation R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) est donnée. Déterminez le type de relation et trouvez les fermetures suivantes pour R :

réfléchissant;

symétrique;

transitif.

Décision. La relation est irréflexive car il n'y a pas d'élément de la forme ( une,une). Asymétrique, puisqu'il ne contient pas de paires de la forme ( une,b) et ( b,une) et tous les éléments diagonaux sont 0. Antitransitif puisque (1,2)R, (2,3)R, mais (1,3)R. De même (2.4)R, (4.5)R, et (2.5)R etc.

clôture réflexive de la relation donnée R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

fermeture symétrique : R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

fermeture transitive : R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Considérons le graphe de la relation d'origine et de la relation transitive résultante.

Tâches pour une solution indépendante.

1. La relation R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) est donnée. Déterminez son type et trouvez des fermetures par réflexivité, symétrie et transitivité.

2. La relation sur l'ensemble des mots de la langue russe est définie comme suit : une R b si et seulement si elles ont au moins une lettre commune. Déterminer le type de relation sur l'ensemble A = (vache, chariot, fil, hache).

3. Indiquez des exemples de relations binaires sur l'ensemble A = (1, 2) et B = (1, 2, 3), qui seraient :

non réflexif, non symétrique, non transitif ;

réflexif, non symétrique, non transitif ;

symétrique, mais non réflexive et non transitive ;

transitif, mais non réflexif et non symétrique ;

réflexif, symétrique mais non transitif ;

réflexif, transitif, mais non symétrique ;

non-réflexif, symétrique, transitif ;

réflexif, symétrique, transitif.