Lignes variables. Convergence absolue et conditionnelle Exemples de solutions en séries alternées

Une série de nombres contenant un nombre infini de termes positifs et un nombre infini de termes négatifs est appelée alternée.

Convergence absolue et conditionnelle

Une série est dite absolument convergente si la série converge également.

Si une série converge absolument, alors elle est convergente (au sens usuel). L'inverse est pas vrai.

Une série est dite conditionnellement convergente si elle-même converge et que la série composée des modules de ses membres diverge.

Rechercher des séries de convergence .

Appliquons le test suffisant de Leibniz pour les séries alternées. On a

parce que le . Par conséquent, cette série converge.

38. Rangées alternées. Signe de Leibniz.

Un cas particulier de série alternée est une série alternée, c'est-à-dire une série dans laquelle des termes successifs ont des signes opposés.

signe de Leibniz

Pour ceux qui alternent à proximité, le test de convergence suffisante de Leibniz s'applique.

Soit (an) une suite de nombres telle que

1. un+1< an для всех n;

Ensuite, des séries alternées sont sortantes.

39. Rangées fonctionnelles. Série puissance. rayon de convergence. Intervalle de convergence.

Le concept de série fonctionnelle et de série puissance

La série de nombres habituelle, rappelez-vous, se compose de nombres :

Tous les membres de la série sont des NUMÉROS.

La ligne fonctionnelle se compose de FONCTIONS :

En plus des polynômes, factorielles et autres dons, le terme commun de la série comprend certainement la lettre "x". Il ressemble à ceci, par exemple :

Comme une série de nombres, toute série fonctionnelle peut être écrite sous forme développée :

Comme vous pouvez le voir, tous les membres de la série fonctionnelle sont des fonctions.

Le type de série fonctionnelle le plus populaire est série de puissance.

Définition:

Une série de puissance est une série dont le terme commun inclut les puissances entières positives de la variable indépendante.

Une série de puissance simplifiée dans de nombreux manuels s'écrit comme suit : , où est l'ancien "bourrage" familier des séries de nombres (polynômes, degrés, factorielles qui ne dépendent que de "en"). L'exemple le plus simple :

Regardons cette décomposition et repensons la définition : les membres de la série de puissances contiennent "x" dans les puissances entières positives (naturelles).

Très souvent, une série de puissance peut être trouvée dans les "modifications" suivantes : ou où a est une constante. Par exemple:

Strictement parlant, les représentations simplifiées de la série de puissance, ou pas tout à fait correctes. Dans l'exposant, au lieu de la simple lettre "en", une expression plus complexe peut être localisée, par exemple :

Ou cette série de puissance :

Si seulement les exposants à "xAx" étaient naturels.

Convergence des séries de puissance.

Intervalle de convergence, rayon de convergence et zone de convergence

Il ne faut pas avoir peur d'une telle abondance de termes, ils vont « les uns à côté des autres » et ne sont pas particulièrement difficiles à comprendre. Il est préférable de choisir des séries expérimentales simples et de commencer immédiatement à comprendre.

Je vous demande d'aimer et de privilégier les séries de puissance La variable peut prendre n'importe quelle valeur réelle de "moins l'infini" à "plus l'infini". Remplacez plusieurs valeurs x arbitraires dans le terme commun de la série :

Si x=1 alors

Si x=-1, alors

Si x=3 alors

Si x=-0,2, alors

Il est évident qu'en substituant "x" dans l'une ou l'autre valeur, on obtient des séries numériques différentes. Certaines séries de nombres convergeront et d'autres divergeront. Et notre tâche est de trouver l'ensemble de valeurs de "x" auquel la série de puissances convergera. Un tel ensemble est appelé région de convergence de la série.

Pour toute série de puissances (en s'éloignant temporairement d'un exemple spécifique), trois cas sont possibles :

1) La série entière converge absolument sur un intervalle . En d'autres termes, si nous choisissons n'importe quelle valeur de "x" dans l'intervalle et la substituons dans le terme commun de la série de puissances, nous obtenons alors une série de nombres absolument convergents. Un tel intervalle est appelé intervalle de convergence de la série entière.

Le rayon de convergence, tout simplement, est la moitié de la longueur de l'intervalle de convergence :

Géométriquement, la situation ressemble à ceci :

Dans ce cas, l'intervalle de convergence de la série : le rayon de convergence de la série :

Une série de nombres contenant un nombre infini de termes positifs et un nombre infini de termes négatifs est appelée alternée.

Convergence absolue et conditionnelle

Une série est dite absolument convergente si la série converge également.

Si une série converge absolument, alors elle est convergente (au sens usuel). L'inverse est pas vrai.

Une série est dite conditionnellement convergente si elle-même converge et que la série composée des modules de ses membres diverge.

Rechercher des séries de convergence .

Appliquons le test suffisant de Leibniz pour les séries alternées. On a

parce que le . Par conséquent, cette série converge.

38. Rangées alternées. Signe de Leibniz.

Un cas particulier de série alternée est une série alternée, c'est-à-dire une série dans laquelle des termes successifs ont des signes opposés.

signe de Leibniz

Pour ceux qui alternent à proximité, le test de convergence suffisante de Leibniz s'applique.

Soit (an) une suite de nombres telle que

1. un+1< an для всех n;

Ensuite, des séries alternées sont sortantes.

39. Rangées fonctionnelles. Série puissance. rayon de convergence. Intervalle de convergence.

Le concept de série fonctionnelle et de série puissance

La série de nombres habituelle, rappelez-vous, se compose de nombres :

Tous les membres de la série sont des NUMÉROS.

La ligne fonctionnelle se compose de FONCTIONS :

En plus des polynômes, factorielles et autres dons, le terme commun de la série comprend certainement la lettre "x". Il ressemble à ceci, par exemple :

Comme une série de nombres, toute série fonctionnelle peut être écrite sous forme développée :

Comme vous pouvez le voir, tous les membres de la série fonctionnelle sont des fonctions.

Le type de série fonctionnelle le plus populaire est série de puissance.

Définition:

Une série de puissance est une série dont le terme commun inclut les puissances entières positives de la variable indépendante.

Une série de puissance simplifiée dans de nombreux manuels s'écrit comme suit : , où est l'ancien "bourrage" familier des séries de nombres (polynômes, degrés, factorielles qui ne dépendent que de "en"). L'exemple le plus simple :

Regardons cette décomposition et repensons la définition : les membres de la série de puissances contiennent "x" dans les puissances entières positives (naturelles).

Très souvent, une série de puissance peut être trouvée dans les "modifications" suivantes : ou où a est une constante. Par exemple:

Strictement parlant, les représentations simplifiées de la série de puissance, ou pas tout à fait correctes. Dans l'exposant, au lieu de la simple lettre "en", une expression plus complexe peut être localisée, par exemple :

Ou cette série de puissance :

Si seulement les exposants à "xAx" étaient naturels.

Convergence des séries de puissance.

Intervalle de convergence, rayon de convergence et zone de convergence

Il ne faut pas avoir peur d'une telle abondance de termes, ils vont « les uns à côté des autres » et ne sont pas particulièrement difficiles à comprendre. Il est préférable de choisir des séries expérimentales simples et de commencer immédiatement à comprendre.

Je vous demande d'aimer et de privilégier les séries de puissance La variable peut prendre n'importe quelle valeur réelle de "moins l'infini" à "plus l'infini". Remplacez plusieurs valeurs x arbitraires dans le terme commun de la série :

Si x=1 alors

Si x=-1, alors

Définition 1

La série de nombres $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, dont les membres ont des signes arbitraires (+), (?), est appelée une série alternée.

Les séries alternées considérées ci-dessus sont un cas particulier des séries alternées ; il est clair que toutes les séries alternées ne sont pas alternées. Par exemple, la série $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ séries alternées mais pas alternées de caractères.

Notez que dans une série alternée de termes, à la fois avec le signe (+) et avec le signe (-), il y en a une infinité. Si ce n'est pas vrai, par exemple, la série contient un nombre fini de termes négatifs, alors ils peuvent être écartés et une série composée uniquement de termes positifs peut être considérée, et vice versa.

Définition 2

Si la série de nombres $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge et que sa somme est S, et partiel la somme est égale à $S_n$ , alors $r_(n) =S-S_(n) $ est appelé le reste de la série, et $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, c'est-à-dire le reste de la série convergente tend vers 0.

Définition 3

Une série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ est dite absolument convergente si la série composée des valeurs absolues de ses membres $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Définition 4

Si la série de nombres $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge et la série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\droite| $, composé des valeurs absolues de ses membres, diverge, alors la série originale est dite conditionnellement (non absolument) convergente.

Théorème 1 (un critère suffisant pour la convergence des séries alternées)

La série alternée $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolument si la série composée des valeurs absolues de ses membres$\sum \limits _(n=1) ^ converge (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Commentaire

Le théorème 1 ne donne qu'une condition suffisante pour la convergence des séries alternées . Le théorème inverse n'est pas vrai, c'est-à-dire si la série alternée $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, alors il n'est pas nécessaire que la série composée de modules $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (il peut être soit convergent soit divergent). Par exemple, la série $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ converge selon le test de Leibniz, et la série composée des valeurs absolues de ses termes est $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (série harmonique) diverge.

Propriété 1

Si la série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolument, alors elle converge absolument pour toute permutation de ses membres, et la somme de la série ne dépend pas de l'ordre des membres. Si $S"$ est la somme de tous ses termes positifs, et $S""$ est la somme de toutes les valeurs absolues de ses termes négatifs, alors la somme de la série est $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ est égal à $S=S"-S""$.

Propriété 2

Si la série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolument et $C=(\rm const)$, alors la série $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ converge aussi absolument.

Propriété 3

Si les séries $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ et $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ convergent absolument, alors les séries $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ convergent aussi absolument.

Propriété 4 (théorème de Riemann)

Si la série converge conditionnellement, alors quel que soit le nombre A que nous prenons, nous pouvons réorganiser les termes de cette série de sorte que sa somme soit exactement égale à A ; de plus, il est possible de réorganiser les termes d'une série conditionnellement convergente de telle manière qu'elle diverge ensuite.

Exemple 1

Étudier la série pour la convergence conditionnelle et absolue

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

La solution. Cette série est à alternance de signes, dont on note le terme commun : $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Exemple 2

Examinez la série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pour la convergence absolue et conditionnelle.

1. Nous examinons la série pour la convergence absolue. Notons $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ et composons une série de valeurs absolues $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. On obtient la série $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ avec des termes positifs, auxquels on applique le critère limite de comparaison des séries. Pour comparaison avec $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ considère une série qui a la forme $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Cette série est une série de Dirichlet d'exposant $p=\frac(1)(2)
2. Ensuite, nous examinons la série originale $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pour conditionnel convergence. Pour ce faire, nous vérifions le respect des conditions du test de Leibniz. Condition 1) : $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, où $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , c'est à dire. cette série est alternée. Pour vérifier la condition 2) sur la décroissance monotone des termes de la série, on utilise la méthode suivante. Considérons la fonction auxiliaire $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ définie à $x\in )