Αυστηρή σχέση παραγγελίας. Σχέση αυστηρής τάξης Μια αυστηρή γραμμική σχέση τάξης έχει τις ιδιότητες

Η λέξη "παραγγελία" χρησιμοποιείται συχνά στα πιο διαφορετικά θέματα. Ο αξιωματικός δίνει την εντολή: "Υπολογίστε με τη σειρά των αριθμών", οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται με συγκεκριμένη σειρά, οι αθλητές γίνονται σε ύψος, όλοι οι κορυφαίοι σκακιστές ταξινομούνται με συγκεκριμένη σειρά σύμφωνα με τους λεγόμενους συντελεστές Elo (ένας Αμερικανός καθηγητής ο οποίος ανέπτυξε τους συντελεστές του συστήματος, το οποίο επιτρέπει να ληφθούν υπόψη όλες οι επιτυχίες και οι αποτυχίες των παικτών), μετά το πρωτάθλημα, όλες οι ομάδες ποδοσφαίρου είναι τοποθετημένες σε μια συγκεκριμένη σειρά, κλπ. φυτεύτηκαν ένα γάιδαρο όχι "!).

Τακτοποιώντας τα στοιχεία ενός συγκεκριμένου συνόλου το ένα μετά το άλλο, τα παραγγέλνουμε ή καθιερώνουμε κάποια σχέση μεταξύ τους. σε μια ΣΕΙΡΑ.Το απλούστερο παράδειγμα είναι η φυσική σειρά των φυσικών αριθμών. Η φυσικότητα του έγκειται στο γεγονός ότι για οποιουσδήποτε δύο φυσικούς αριθμούς γνωρίζουμε ποιος από αυτούς ακολουθεί τον άλλον ή ποιος από αυτούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλον, έτσι μπορούμε να τακτοποιήσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε μια σειρά έτσι ώστε να βρίσκεται ο μεγαλύτερος αριθμός, για παράδειγμα, στα δεξιά του μικρότερου: 1, 2, 3, ... . Φυσικά, η σειρά των στοιχείων μπορεί να γραφτεί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, και όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά. Η ίδια η έννοια των φυσικών αριθμών περιέχει ήδη την ιδέα της τάξης. Καθιερώνοντας κάποια σχετική διάταξη των στοιχείων οποιουδήποτε συνόλου, θέτουμε σε αυτό κάποια σχέση δυαδικής τάξης, η οποία σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί να έχει το δικό της όνομα, για παράδειγμα, "be less", "be older", "contained in " , "ακολουθώ" κ.λπ. Τα σύμβολα για παραγγελία μπορεί επίσης να είναι διάφορα, για παράδειγμα, Í κ.λπ.

Το κύριο χαρακτηριστικό της σχέσης τάξης είναι ότι έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας. Έτσι, αν έχουμε να κάνουμε με μια ακολουθία κάποιων αντικειμένων x 1, x 2, ..., x n,... , διέταξε, για παράδειγμα, σε σχέση με , τότε από αυτό που εκτελείται x 1x 2... x n..., θα πρέπει να ακολουθεί ότι για οποιοδήποτε ζεύγος x i, x jεκτελούνται επίσης στοιχεία αυτής της ακολουθίας x ixj:

Για ένα ζευγάρι στοιχείων x iιστο γράφημα σχέσης, σχεδιάζουμε ένα βέλος από την κορυφή x iστην κορυφή xj, δηλαδή από ένα μικρότερο στοιχείο σε ένα μεγαλύτερο.

Το γράφημα της σχέσης παραγγελίας μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας το λεγόμενο Διαγράμματα Hasse.Το διάγραμμα Hasse κατασκευάζεται ως εξής. Τα μικρότερα στοιχεία τοποθετούνται από κάτω και τα μεγάλα από πάνω. Δεδομένου ότι ένας τέτοιος κανόνας δεν είναι αρκετός για την εικόνα, σχεδιάζονται γραμμές που δείχνουν ποιο από τα δύο στοιχεία είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο από το άλλο. Σε αυτή την περίπτωση, αρκεί να σχεδιάσετε μόνο γραμμές για αμέσως μετά το ένα το άλλο στοιχεία. Παραδείγματα διαγραμμάτων Hasse φαίνονται στο σχήμα:

Τα βέλη μπορούν να παραλειφθούν σε ένα διάγραμμα Hasse. Το διάγραμμα Hasse μπορεί να περιστραφεί στο επίπεδο, αλλά όχι αυθαίρετα. Κατά τη στροφή, είναι απαραίτητο να διατηρήσετε τη σχετική θέση (πάνω - κάτω) των κορυφών του διαγράμματος:

Στάση Rσε πλήθος Χπου ονομάζεται σχέση αυστηρής τάξης,αν είναι μεταβατικό και ασύμμετρο.

Καλείται ένα σύνολο στο οποίο ορίζεται μια σχέση αυστηρής σειράς τακτικός.Για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών ταξινομείται με τη σχέση «λιγότερο από». Αλλά το ίδιο σύνολο ταξινομείται επίσης από μια άλλη σχέση - "διαιρείται με" και "μεγαλύτερο".

Η γραφική παράσταση της σχέσης "λιγότερο από" στο σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακτίνα:

Στάση Rσε Χονομάζεται σχέση μη αυστηρή (μερική) διαταγή, αν είναι μεταβατικό και αντισυμμετρικό. Κάθε σχέση μη αυστηρής τάξης είναι αντανακλαστική.

Το επίθετο «μερικό» εκφράζει το γεγονός ότι ίσως δεν είναι όλα τα στοιχεία ενός συνόλου συγκρίσιμα από αυτή την άποψη.

Τυπικά παραδείγματα μιας σχέσης μερικής τάξης είναι "όχι περισσότερο", "όχι λιγότερο", "όχι παλαιότερο". Το σωματίδιο «όχι» στα ονόματα των σχέσεων χρησιμεύει για να εκφράσει την ανακλαστικότητά τους. Η σχέση "όχι περισσότερο" συμπίπτει με τη σχέση "λιγότερο από ή ίσο με", και η σχέση "όχι λιγότερο" είναι η ίδια με το "μεγαλύτερο ή ίσο με". Ως προς αυτό καλείται και η μερική διαταγή αμελήςγια να. Συχνά, μια μερική (μη αυστηρή) σχέση τάξης υποδηλώνεται με το σύμβολο "".

Η σχέση συμπερίληψης U μεταξύ των υποσυνόλων κάποιου συνόλου είναι επίσης μια μερική σειρά. Προφανώς, δεν υπάρχουν δύο υποσύνολα συγκρίσιμα από αυτή την άποψη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια μερική σειρά με συμπερίληψη στο σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλου (1,2,3). Τα βέλη στο γράφημα, τα οποία πρέπει να δείχνουν προς τα πάνω, δεν εμφανίζονται.

Τα σύνολα στα οποία δίνεται μια μερική εντολή καλούνται μερικώς παραγγελθέν,ή απλά τακτικόςσκηνικά.

Στοιχεία Χκαι στοονομάζονται μερικώς διατεταγμένα σετ συγκρίνω,αν Χστοή στοΧ.Διαφορετικά, δεν είναι συγκρίσιμα.

Καλείται ένα διατεταγμένο σύνολο στο οποίο οποιαδήποτε δύο στοιχεία είναι συγκρίσιμα γραμμικά διατεταγμένα, και η σειρά είναι γραμμική. Η γραμμική τάξη ονομάζεται επίσης τέλεια τάξη.

Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών με φυσική σειρά, καθώς και όλων των υποσυνόλων του, είναι γραμμικά διατεταγμένο.

Μπορούν να παραγγελθούν αντικείμενα της πιο διαφορετικής φύσης ιεραρχικά.Να μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1: Τα μέρη ενός βιβλίου ταξινομούνται έτσι ώστε το βιβλίο να περιέχει κεφάλαια, τα κεφάλαια περιέχουν ενότητες και οι ενότητες αποτελούνται από υποενότητες.

Παράδειγμα 2. Οι φάκελοι στο σύστημα αρχείων του υπολογιστή είναι ένθετοι μεταξύ τους, σχηματίζοντας μια δομή διακλάδωσης.

Παράδειγμα 3. Η σχέση γονέων - παιδιών μπορεί να απεικονιστεί με τη μορφή του λεγόμενου οικογενειακό δέντρο,που δείχνει ποιος είναι πρόγονος (ή απόγονος).

Αφήστε στο σετ ΑΛΛΑδόθηκε μερική εντολή. Στοιχείο Χπου ονομάζεται μέγιστο (ελάχιστο)στοιχείο του συνόλου Α, αν από το γεγονός ότι Χστο(στοΧ),ακολουθεί η ισότητα Χ= y.Με άλλα λόγια, το στοιχείο Χείναι το μέγιστο (ελάχιστο) εάν για οποιοδήποτε στοιχείο στοή δεν είναι αλήθεια ότι Χστο(στοΧ), ή εκτελείται Χ=y.Έτσι, το μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο είναι μεγαλύτερο (λιγότερο) από όλα τα άλλα στοιχεία με τα οποία είναι σε σχέση.

Στοιχείο Χπου ονομάζεται μεγαλύτερο (μικρότερο),αν για κανένα στοÎ ΑΛΛΑεκτελούνται στο< х (х< у).

Ένα μερικώς ταξινομημένο σύνολο μπορεί να έχει πολλαπλά ελάχιστα και/ή μέγιστα στοιχεία, αλλά δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα ελάχιστο και μέγιστο στοιχείο. Το μικρότερο (μεγαλύτερο) στοιχείο είναι επίσης το ελάχιστο (μέγιστο), αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Το σχήμα στα αριστερά δείχνει μια μερική σειρά με δύο ελάχιστα και δύο μέγιστα στοιχεία, και στα δεξιά - μια μερική σειρά με τα μικρότερα και μεγαλύτερα στοιχεία:

Σε ένα πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο, υπάρχουν πάντα ελάχιστα και μέγιστα στοιχεία.

Ένα διατεταγμένο σύνολο που έχει τα μεγαλύτερα και τα μικρότερα στοιχεία ονομάζεται περιορισμένος .Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα άπειρου οριοθετημένου συνόλου. Φυσικά, είναι αδύνατο να απεικονιστεί ένα άπειρο σύνολο σε μια πεπερασμένη σελίδα, αλλά είναι δυνατό να φανεί η αρχή της κατασκευής του. Εδώ οι βρόχοι κοντά στις κορυφές δεν εμφανίζονται για να απλοποιήσουν το σχέδιο. Για τον ίδιο λόγο, τα τόξα που παρέχουν την εμφάνιση της ιδιότητας μεταβατικότητας δεν εμφανίζονται. Με άλλα λόγια, το σχήμα δείχνει ένα διάγραμμα Hasse της σχέσης παραγγελίας.

Τα άπειρα σύνολα μπορεί να μην έχουν μέγιστο ή ελάχιστο ή και τα δύο. Για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών αριθμών (1,2, 3, ...) έχει το μικρότερο στοιχείο 1 αλλά όχι μέγιστο. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών με φυσική τάξη δεν έχει ούτε το μικρότερο ούτε το μεγαλύτερο στοιχείο. Ωστόσο, το υποσύνολο του αποτελείται από όλους τους αριθμούς Χ< Το 5 έχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο (αριθμός 5) αλλά όχι το μικρότερο στοιχείο.

Έστω R μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο Α.

ΟΡΙΣΜΟΣ. δυαδική σχέσηΤο R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση τάξης στο Α ή τάξη στο Α εάν είναι μεταβατικό και αντισυμμετρικό.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Μια σχέση τάξης R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται μη αυστηρή εάν είναι αντανακλαστική στο Α, δηλ. για οποιοδήποτε από τα Α.

Μια σχέση τάξης R λέγεται ότι είναι αυστηρή (στο Α) εάν είναι αντιανακλαστική στο Α, δηλ. για οποιοδήποτε από τα Α. Ωστόσο, η αντισυμμετρία μιας μεταβατικής σχέσης R προκύπτει από το γεγονός ότι είναι αντιανακλαστική. Επομένως, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ισοδύναμο ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Μια δυαδική σχέση R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται αυστηρή τάξη στο Α εάν είναι μεταβατική και αντιαντανακλαστική στο Α.

Παραδείγματα. 1. Έστω το σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλου M. Η σχέση συμπερίληψης στο σύνολο είναι μια μη αυστηρή σχέση τάξης.

2. Οι σχέσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι, αντίστοιχα, μια σχέση αυστηρής και μη αυστηρής τάξης.

3. Η σχέση διαιρετότητας στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι σχέση μη αυστηρής τάξης.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Μια δυαδική σχέση R σε ένα σύνολο Α ονομάζεται σχέση προπαραγγελίας ή προπαραγγελία στο Α εάν είναι αντανακλαστική και μεταβατική.

Παραδείγματα. 1. Ο λόγος της διαιρετότητας στο σύνολο των ακεραίων δεν είναι τάξη. Ωστόσο, είναι αντανακλαστικό και μεταβατικό, που σημαίνει ότι είναι προπαραγγελία.

2. Η σχέση λογικής συνέπειας είναι μια προπαραγγελία στο σύνολο των προτασιακών λογικών τύπων.

Γραμμική σειρά. Μια σημαντική ειδική περίπτωση μιας παραγγελίας είναι μια γραμμική σειρά.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Μια σχέση τάξης σε ένα σύνολο ονομάζεται σχέση γραμμικής τάξης ή γραμμική τάξη αν είναι συνδεδεμένη στο , δηλ. για οποιοδήποτε x, y από το A

Μια σχέση τάξης που δεν είναι γραμμική αναφέρεται συνήθως ως σχέση μερικής τάξης ή μερική τάξη.

Παραδείγματα. 1. Η σχέση «λιγότερο από» στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι σχέση γραμμικής τάξης.

2. Η σχέση τάξης που είναι αποδεκτή στα λεξικά της ρωσικής γλώσσας ονομάζεται λεξικογραφική. Η λεξικογραφική σειρά στο σύνολο των λέξεων στη ρωσική γλώσσα είναι μια γραμμική σειρά.

Η λέξη «παραγγελία» χρησιμοποιείται συχνά σε διάφορα ζητήματα. Ο αξιωματικός δίνει την εντολή: "Υπολογίστε με τη σειρά των αριθμών", οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται με συγκεκριμένη σειρά, οι αθλητές γίνονται σε ύψος, υπάρχει εντολή για την εκτέλεση εργασιών στην κατασκευή ενός εξαρτήματος, σειρά λέξεων σε μια πρόταση.

Τι είναι κοινό σε όλες τις περιπτώσεις όταν πρόκειται για παραγγελία; Το γεγονός ότι η λέξη «τάξη» έχει μια τέτοια σημασία: σημαίνει ποιο στοιχείο αυτού ή εκείνου του συνόλου ακολουθεί ποιο (ή ποιο στοιχείο προηγείται ποιου).

Στάση " Χακολουθεί στο» μεταβατικά: αν « Χακολουθεί στο" και " στοακολουθεί z", έπειτα " Χακολουθεί z". Επιπλέον, αυτή η αναλογία πρέπει να είναι αντισυμμετρική: για δύο διαφορετικά Χκαι στο, αν Χακολουθεί στο, έπειτα στοδεν ακολουθεί Χ.

Ορισμός.Στάση Rστο πλατό Χπου ονομάζεται αυστηρή σχέση τάξης, αν είναι μεταβατικό και αντισυμμετρικό.

Ας μάθουμε τα χαρακτηριστικά του γραφήματος και το γράφημα των σχέσεων αυστηρής τάξης.

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Στο πλατό Χ= (5, 7, 10, 15, 12) η σχέση R: « Χ < στο". Ορίζουμε αυτή τη σχέση με απαρίθμηση ζευγών
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Ας φτιάξουμε το γράφημά του. Βλέπουμε ότι το γράφημα αυτής της σχέσης δεν έχει βρόχους. Δεν υπάρχουν διπλά βέλη στο γράφημα. Αν από Χτο βέλος πηγαίνει στο στο, και από στο- σε z, μετά από Χτο βέλος πηγαίνει στο z(Εικ. 8).

Το κατασκευασμένο γράφημα σας επιτρέπει να τακτοποιήσετε τα στοιχεία του συνόλου Χμε αυτή τη σειρά:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Στο Σχ. 6 (§ 6 αυτού του κεφαλαίου) οι στήλες VII, VIII είναι γραφήματα σχέσεων αυστηρής τάξης.

Μη αυστηρή σχέση παραγγελίας

Η σχέση «λιγότερο από» στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αντίθετη με τη σχέση «όχι λιγότερο». Δεν είναι πλέον αυστηρή εντολή. Το θέμα είναι, στο Χ = στο, σχέσεις Χ ³ στοκαι στο ³ Χ, δηλ. η σχέση «όχι λιγότερο» είναι αντανακλαστική.

Ορισμός.Στάση Rστο πλατό Χπου ονομάζεται μη αυστηρή σχέση παραγγελίας, αν είναι αντανακλαστικό, αντισυμμετρικό και μεταβατικό.

Τέτοιες σχέσεις είναι ενώσεις μιας σχέσης αυστηρής τάξης με μια σχέση ταυτότητας.

Θεωρήστε τη σχέση "no more" (£) για το σύνολο

Χ= (5, 7, 10, 15, 12). Ας φτιάξουμε το γράφημά του (Εικ. 9).

Ένα γράφημα μη αυστηρής σχέσης τάξης, σε αντίθεση με ένα γράφημα σχέσης αυστηρής τάξης, έχει βρόχους σε κάθε κορυφή.

Στο σχ. 6 (§ 6 αυτού του κεφαλαίου) τα γραφήματα V, VI είναι γραφήματα σχέσεων μη αυστηρής τάξης.

Παραγγελθέντα σετ

Ένα σύνολο μπορεί να αποδειχτεί ότι είναι διατεταγμένο (λέγουν επίσης πλήρως διατεταγμένο) από κάποια σχέση παραγγελίας, ενώ ένα άλλο μπορεί να είναι μη διατεταγμένο ή μερικώς διατεταγμένο από μια τέτοια σχέση.

Ορισμός.Πολλά Χπου ονομάζεται τακτικόςκάποια σχέση παραγγελίας Rεάν για οποιαδήποτε δύο στοιχεία x, yαπό Χ:

(Χ, στο) Î Rή ( y, x) Î R.

Αν ένα Rείναι μια αυστηρή σχέση τάξης, τότε το σύνολο Χδιατάσσεται από αυτή τη σχέση υπό τον όρο: αν Χ, στοοποιαδήποτε δύο άνισα στοιχεία ενός συνόλου Χ, έπειτα ( Χ, στο) Î Rή ( y, x) Î R, ή οποιαδήποτε δύο στοιχεία x, yσκηνικά Χείναι ίσα.

Είναι γνωστό από το μάθημα των μαθηματικών του σχολείου ότι ο αριθμός θέτει Ν , Ζ , Q , R ταξινομημένο με την αναλογία "λιγότερο από" (<).

Το σύνολο των υποσυνόλων ενός συγκεκριμένου συνόλου δεν διατάσσεται με την εισαγωγή μιας σχέσης συμπερίληψης (U) ή μιας σχέσης αυστηρής συμπερίληψης (T) με την παραπάνω έννοια, επειδή υπάρχουν υποσύνολα κανένα από τα οποία δεν περιλαμβάνεται στο άλλο. Στην περίπτωση αυτή, το δεδομένο σύνολο λέγεται ότι είναι μερικώς διατεταγμένο από τη σχέση Í (ή Ì).

Σκεφτείτε το σετ Χ= (1, 2, 3, 4, 5, 6) και έχει δύο σχέσεις "λιγότερο από" και "διαιρούμενο με". Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι και οι δύο αυτές σχέσεις είναι σχέσεις τάξης. Το γράφημα μικρότερης σχέσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακτίνα.

Η γραφική παράσταση της σχέσης "διαιρείται με" μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο σε επίπεδο.

Επιπλέον, υπάρχουν κορυφές στο γράφημα της δεύτερης σχέσης που δεν συνδέονται με βέλος. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει βέλος που να συνδέει τους αριθμούς 4 και 5 (Εικ. 10).

Η πρώτη σχέση Χ < στο' ονομάζεται γραμμικό. Σε γενικές γραμμές, εάν η σχέση παραγγελίας R(αυστηρό και μη) στο πλατό Χέχει την ιδιότητα: για οποιαδήποτε Χ, στοÎ Χή xRy, ή yRx, τότε ονομάζεται σχέση γραμμικής τάξης, και το σύνολο Χείναι ένα γραμμικά διατεταγμένο σύνολο.

Αν το σετ Χφυσικά και αποτελείται από nστοιχεία και μετά η γραμμική διάταξη Χανάγεται στην απαρίθμηση των στοιχείων του με τους αριθμούς 1,2,3, ..., n.

Τα γραμμικά ταξινομημένα σύνολα έχουν έναν αριθμό ιδιοτήτων:

1°. Αφήνω α, β, γ– στοιχεία συνόλου Χ, ταξινομημένο κατά σχέση R. Αν είναι γνωστό ότι aRvκαι vRc, τότε λέμε ότι το στοιχείο σεβρίσκεται ανάμεσα στα στοιχεία ένακαι Με.

2°. Πολλά Χ, γραμμικά ταξινομημένα από τη σχέση R, ονομάζεται διακριτό αν ανάμεσα σε δύο από τα στοιχεία του βρίσκεται μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων αυτού του συνόλου.

3°. Ένα γραμμικά διατεταγμένο σύνολο ονομάζεται πυκνό εάν για οποιαδήποτε δύο διακριτά στοιχεία αυτού του συνόλου υπάρχει ένα στοιχείο του συνόλου που βρίσκεται ανάμεσά τους.

Ένας σημαντικός τύπος δυαδικών σχέσεων είναι οι σχέσεις τάξης. Αυστηρή σχέση παραγγελίας -μια δυαδική σχέση που είναι αντιαντανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική:

ονομασία - (έναπροηγήθηκε σι).Παραδείγματα είναι

σχέσεις "μεγαλύτερο από", "λιγότερο από", "παλαιότερο" κ.λπ. Για τους αριθμούς, ο συνηθισμένος συμβολισμός είναι τα σημάδια "<", ">".

Μη αυστηρή σχέση παραγγελίας -δυαδική αντανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική σχέση. Μαζί με φυσικά παραδείγματα μη αυστηρών ανισώσεων για αριθμούς, ένα παράδειγμα είναι η σχέση μεταξύ σημείων σε ένα επίπεδο ή χώρο «να είναι πιο κοντά στην αρχή». Η μη αυστηρή ανισότητα, για ακέραιους και πραγματικούς αριθμούς, μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως διαχωρισμός ισότητας και σχέσεων αυστηρής τάξης.

Εάν ένα αθλητικό τουρνουά δεν προβλέπει διαχωρισμό θέσεων (δηλαδή, κάθε συμμετέχων λαμβάνει ένα συγκεκριμένο, μόνο φαγητό / βραβευμένο μέρος), τότε αυτό είναι ένα παράδειγμα αυστηρής σειράς. διαφορετικά, μη αυστηρά.

Οι σχέσεις τάξης δημιουργούνται σε ένα σύνολο όταν, για μερικά ή όλα τα ζεύγη των στοιχείων του, η σχέση

προτεραιότητα . Ρύθμιση-για ένα σύνολο ονομάζεται κάποια σχέση παραγγελίας η «παραγγελία» του,και «αυτο. που ως αποτέλεσμα αυτού γίνεται τακτικός.Οι σχέσεις τάξης μπορούν να εισαχθούν με διαφορετικούς τρόπους. Για ένα πεπερασμένο σύνολο, οποιαδήποτε μετάθεση των στοιχείων του "καθορίζει κάποια αυστηρή τάξη. Ένα άπειρο σύνολο μπορεί να ταξινομηθεί με άπειρους τρόπους. Μόνο εκείνες οι παραγγελίες που έχουν νόημα έχουν ενδιαφέρον.

Αν για τη σχέση παραγγελίας Rστο πλατό .Μκαι μερικά διαφορετικά στοιχεία, τουλάχιστον μία από τις σχέσεις ισχύει

aRbή b Ra,μετά τα στοιχεία ένακαι σιπου ονομάζεται συγκρίσιμοςσε διαφορετική περίπτωση - ασύγκριτος.

Πλήρως (ή γραμμικά) διατεταγμένο σύνολο Μ -

σύνολο στο οποίο δίνεται η σχέση παραγγελίας και οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου Μσυγκρίσιμος; σετ μερικής παραγγελίας- το ίδιο, αλλά επιτρέπονται ζεύγη ασύγκριτων στοιχείων.

Ένα γραμμικά διατεταγμένο σύνολο είναι ένα σύνολο σημείων σε μια ευθεία γραμμή με τη σχέση "προς τα δεξιά", ένα σύνολο ακεραίων, ορθολογικών, πραγματικών αριθμών σε σχέση με "μεγαλύτερο από" κ.λπ.

Ένα παράδειγμα μερικώς διατεταγμένου συνόλου είναι τα τρισδιάστατα διανύσματα, εάν η σειρά δίνεται σαν

Δηλαδή, εάν η προτεραιότητα ικανοποιηθεί και στις τρεις συντεταγμένες, τα διανύσματα (2, 8, 5) και (6, 9, 10) είναι συγκρίσιμα και τα διανύσματα (2, 8, 5) και (12, 7, 40). ) δεν είναι συγκρίσιμα. Αυτός ο τρόπος ταξινόμησης μπορεί να επεκταθεί σε διανύσματα οποιασδήποτε διάστασης: διάνυσμα

προηγείται του διανύσματος αν

Και έγινε

Άλλα παραδείγματα ταξινόμησης μπορούν να ληφθούν υπόψη στο σύνολο των διανυσμάτων.

1) μερική παραγγελία: , αν

Εκείνοι. από το μήκος των διανυσμάτων· διανύσματα ίδιου μήκους είναι ασύγκριτα.

2) γραμμική σειρά: , αν ένα αν Ενα δ,έπειτα σι< е ; αν jed \u003d c? u6 \u003d e, τότε