Βασικές αρχές διακριτών μαθηματικών.

Η έννοια ενός συνόλου. Σχέση μεταξύ συνόλων.

Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα, ενωμένα σε ένα ενιαίο σύνολο.

Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο ονομάζονται στοιχείασκηνικά. Προκειμένου ένα συγκεκριμένο σύνολο αντικειμένων να ονομαστεί σύνολο, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

· Θα πρέπει να υπάρχει ένας κανόνας βάσει του οποίου είναι μονοφωνικό για να καθοριστεί εάν ένα στοιχείο ανήκει σε μια δεδομένη συλλογή.

· Πρέπει να υπάρχει ένας κανόνας βάσει του οποίου τα στοιχεία μπορούν να διακριθούν μεταξύ τους.

Τα σύνολα σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα και τα στοιχεία του με μικρά γράμματα. Τρόποι καθορισμού συνόλων:

· Απαρίθμηση στοιχείων συνόλου. - για πεπερασμένα σύνολα.

Καθορισμός μιας χαρακτηριστικής ιδιότητας .

άδειο σετ- ονομάζεται σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο (Ø).

Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. , Α=Β

Ενα μάτσο σιονομάζεται υποσύνολο του συνόλου ΕΝΑ( , εάν και μόνο εάν όλα τα στοιχεία του συνόλου σιανήκουν στο σύνολο ΕΝΑ.

Για παράδειγμα: , σι =>

Ιδιοκτησία:

Σημείωση: συνήθως εξετάζουμε ένα υποσύνολο του ίδιου συνόλου, το οποίο καλείται Παγκόσμιος(u). Το σετ γενικής χρήσης περιέχει όλα τα στοιχεία.

Λειτουργίες σε σετ.

ΕΝΑ

σι

1. Σχέση 2 σύνολα Α και Β λέγεται ένα τέτοιο σύνολο στο οποίο ανήκουν τα στοιχεία του συνόλου Α ή του συνόλου Β (στοιχεία ενός τουλάχιστον από τα σύνολα).

2.διάβασηΤα 2 σετ είναι ένα νέο σύνολο που αποτελείται από στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο πρώτο και στο δεύτερο σετ.

Nr: , ,

Ιδιότητα: πράξεις ένωσης και διασταύρωσης.

· Ανταλλαγή.

Συνεταιρισμός. ;

· Διανεμητικό. ;

U

4.Πρόσθεση. Αν ΕΝΑείναι ένα υποσύνολο του καθολικού συνόλου U, μετά το συμπλήρωμα του σετ ΕΝΑσε πολλές U(σημειώνεται) είναι το σύνολο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία του συνόλου U, που δεν ανήκουν στο σύνολο ΕΝΑ.

Οι δυαδικές σχέσεις και οι ιδιότητές τους.

Αφήνω ΕΝΑΚαι ΣΕΑυτά είναι σύνολα παράγωγης φύσης, εξετάστε ένα διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων (α, γ) a ϵ A, c ϵ Bμπορούν να ληφθούν υπόψη τα διατεταγμένα "enks".

(α 1, ένα 2, ένα 3,…α ν), Οπου ΕΝΑ 1 ϵ A 1; ΕΝΑ 2 ϵ A 2; … ΕΝΑ n ϵ A n ;

Καρτεσιανό (άμεσο) γινόμενο συνόλων A 1, A 2, ..., A n, ονομάζεται ένα σύνολο, το οποίο αποτελείται από διατεταγμένα n k της μορφής .

Nr: Μ= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Υποσύνολα του καρτεσιανού προϊόντος ονομάζεται λόγος βαθμών nή αρχική σχέση. Αν n=2, στη συνέχεια σκεφτείτε δυάδικοςσχέση. Τι λένε αυτό ένα 1, ένα 2βρίσκονται σε δυαδική σχέση R, Οταν a 1 R a 2.

Δυαδική σχέση σε ένα σύνολο Μονομάζεται υποσύνολο του άμεσου γινόμενου του συνόλου nπάνω στον εαυτό του.

M× M= M 2= {(α, β)| a, b ϵ M) στο προηγούμενο παράδειγμα, η αναλογία είναι μικρότερη στο σετ Μδημιουργεί το ακόλουθο σύνολο: ((1,2);(1,3); (2,3))

Οι δυαδικές σχέσεις έχουν διάφορες ιδιότητες όπως:

Ανακλαστικότητα: .

· Αντιανακλαστικότητα (irreflexivity): .

· Συμμετρία: .

· Αντισυμμετρία: .

· Μεταβατικότητα: .

· Ασυμμετρία: .

Τύποι σχέσεων.

Σχέση ισοδυναμίας;

· Σχέση παραγγελίας.

v Μια ανακλαστική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση οιονεί τάξης.

v Μια ανακλαστική συμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας.

v Μια ανακλαστική αντισυμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται (μερική) σχέση τάξης.

v Μια αντιανακλαστική αντισυμμετρική μεταβατική σχέση ονομάζεται σχέση αυστηρής τάξης.

Ορισμός. Δυαδική σχέση Rονομάζεται υποσύνολο ζευγών (a,b)∈Rτο καρτεσιανό γινόμενο A×B, δηλ. R⊆A×B . Ταυτόχρονα πολλοί ΕΝΑονομάζεται πεδίο ορισμού της σχέσης R, το σύνολο Β ονομάζεται πεδίο ορισμού τιμών.

Σημείωση: aRb (δηλαδή τα a και b είναι σε σχέση με το R). /

Σχόλιο: αν A = B , τότε το R λέγεται ότι είναι μια σχέση στο σύνολο A .

Τρόποι καθορισμού δυαδικών σχέσεων

1. Λίστα (αριθμός ζευγών) για τα οποία ικανοποιείται αυτή η σχέση.

2. Μήτρα. Η δυαδική σχέση R ∈ A × A , όπου A = (a 1 , a 2 ,..., a n), αντιστοιχεί σε έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης n , στον οποίο το στοιχείο c ij , το οποίο βρίσκεται στη τομή του i -η σειρά και η j-η στήλη, είναι ίση με 1 αν υπάρχει σχέση R μεταξύ a i και j, ή 0 αν απουσιάζει:

Ιδιότητες Σχέσεων

Έστω R μια σχέση σε ένα σύνολο A, R ∈ A×A . Τότε η σχέση R:

αντανακλαστικά αν Ɐ a ∈ A: a R a (η κύρια διαγώνιος του πίνακα της ανακλαστικής σχέσης περιέχει μόνο μία).

είναι αντιανακλαστικό αν Ɐ a ∈ A: a R a (η κύρια διαγώνιος του πίνακα ανακλαστικών σχέσεων περιέχει μόνο μηδενικά).

συμμετρικό αν Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (ο πίνακας μιας τέτοιας σχέσης είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, δηλ. c ij c ji);

αντισυμμετρικό αν Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (στον πίνακα μιας τέτοιας σχέσης, δεν υπάρχουν συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο).

μεταβατικά αν Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c σειρά, δηλ. c ij = 1 , τότε όλα αυτά στην j-η σειρά (έστω αυτές οι μονάδες αντιστοιχούν σε k e συντεταγμένες έτσι ώστε, c jk = 1) πρέπει να αντιστοιχεί σε αυτά της i-ης σειράς στις ίδιες συντεταγμένες k, δηλαδή c ik = 1 (και, ίσως, και σε άλλες συντεταγμένες).

Εργασία 3.1.Να προσδιορίσετε τις ιδιότητες της σχέσης R - «να είναι διαιρέτης», που δίνονται στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Λύση.

λόγος R = ((a,b):a διαιρέτης b):

αντανακλαστικό, όχι αντιανακλαστικό, αφού οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται χωρίς υπόλοιπο: a/a = 1 για όλα τα a∈N ;

όχι συμμετρικό, αντισυμμετρικό, για παράδειγμα, το 2 είναι διαιρέτης του 4, αλλά το 4 δεν είναι διαιρέτης του 2.

μεταβατικά, αφού αν b/a ∈ N και c/b ∈ N, τότε c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, για παράδειγμα, εάν 6/3 = 2∈N και 18/6 = 3∈N , τότε 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Εργασία 3.2.Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R - "να είσαι αδερφός", που δίνεται σε ένα σύνολο ανθρώπων.
Λύση.

Αναλογία R = ((a,b):a - αδελφός του b):

μη αντανακλαστικό, αντι-αντανακλαστικό λόγω της προφανούς απουσίας του aRa για όλα τα α.

όχι συμμετρικό, αφού γενικά υπάρχει aRb μεταξύ του αδελφού a και της αδελφής b, αλλά όχι bRa .

όχι αντισυμμετρικά, αφού αν τα a και b είναι αδέρφια, τότε τα aRb και bRa, αλλά a≠b.

μεταβατικά, αν λέμε αδέρφια άτομα που έχουν κοινούς γονείς (πατέρας και μητέρα).

Εργασία 3.3.Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R - "to be the boss" που καθορίζονται στο σύνολο των στοιχείων δομής

Λύση.

Αναλογία R = ((a,b) : a - boss b):

• μη αντανακλαστικό, αντι-αντανακλαστικό, αν δεν έχει νόημα σε μια συγκεκριμένη ερμηνεία.
• όχι συμμετρικό, αντισυμμετρικό, αφού για όλα τα a≠b aRb και bRa δεν ικανοποιούνται ταυτόχρονα.
• μεταβατικά, αφού αν το a είναι η κεφαλή του b και το b είναι η κεφαλή του c , τότε το a είναι η κεφαλή του c .

Προσδιορίστε τις ιδιότητες της σχέσης R i , που ορίζεται στο σύνολο M i από έναν πίνακα, εάν:

1. R 1 "έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 5"; M 1 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
2. R 2 "να είναι ίσο"; M 2 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
3. R 3 "ζουν στην ίδια πόλη"? Μ 3 σύνολο ατόμων.
4. R 4 "να είσαι εξοικειωμένος"? Μ 4 πολλά άτομα.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - ζυγός· M 5 σύνολο αριθμών (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - ζυγό· M 6 σύνολο αριθμών (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R7 ((a,b):(a+1) - διαιρέτης (a+b)); M 7 - σετ (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R8 ((a,b):a - διαιρέτης (a+b),a≠1); Το M 8 είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.
9. R 9 "να είσαι αδερφή"? Μ 9 - πολύς κόσμος.
10. R 10 "να είσαι κόρη"? M 10 - πολύς κόσμος.

Πράξεις σε δυαδικές σχέσεις

Έστω R 1 , R 1 σχέσεις που ορίζονται στο σύνολο A .

Ενωση R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 ή (a,b) ∈ R 2 ) ;

σημείο τομής R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 και (a,b) ∈ R 2 ) ;

διαφορά R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 και (a,b) ∉ R 2 ) ;

καθολική σχέση U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

πρόσθεση R 1 U \ R 1 , όπου U = A × A;

σχέση ταυτότητας I: = ((a;a) / a ∈ A);

αντίστροφη σχέση R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

σύνθεση R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), όπου R 1 ⊂ A × C και R 2 ⊂ C×B;

Ορισμός. Βαθμός σχέσηςΤο R σε ένα σύνολο Α είναι η σύνθεσή του με τον εαυτό του.

Ονομασία:

Ορισμός. Αν R ⊂ A × B, τότε καλείται R º R -1 ο πυρήνας της σχέσης R .

Θεώρημα 3.1.Έστω R ⊂ A × A μια σχέση που ορίζεται σε ένα σύνολο A .

1. Το R είναι αντανακλαστικό εάν και μόνο εάν (εφεξής χρησιμοποιείται το σύμβολο ⇔) όταν I ⊂ R.
2. Το R είναι συμμετρικό ⇔ R = R -1 .
3. Το R είναι μεταβατικό ⇔ R º R ⊂ R
4. Το R είναι αντισυμμετρικό ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. Το R είναι αντιανακλαστικό ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Εργασία 3.4 . Έστω R η σχέση μεταξύ των συνόλων (1,2,3) και (1,2,3,4) που δίνονται από την απαρίθμηση των ζευγών: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Επιπλέον, το S είναι μια σχέση μεταξύ των συνόλων S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Υπολογίστε τα R -1 , S -1 και S º R. Ελέγξτε ότι (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Λύση.
R-1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S-1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R-1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)) = (S º R) -1.

Εργασία 3.5 . Έστω R η σχέση «...γονέας...» και S η σχέση «...αδελφός...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια σύντομη λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 και R º R.

Λύση.

R -1 - σχέση "... παιδί ...";

S -1 - σχέση "... αδελφός ή αδελφή ...";

R º S - σχέση "... γονέας ...";

S -1 º R -1 - σχέση "... παιδί ..."

R º R - σχέση "...γιαγιά ή παππούς..."

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1) Έστω R η σχέση «...πατέρας...», και S η σχέση «...αδελφή...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Έστω R η σχέση «...αδελφός...», και S η σχέση «...μητέρα...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Έστω R η σχέση «...παππούς...», και S η σχέση «...γιος...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

4) Έστω R η σχέση «...κόρη...», και S η σχέση «...γιαγιά...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

5) Έστω R η σχέση «...ανιψιά...», και S η σχέση «...πατέρας...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Έστω R η σχέση «αδελφή...» και S η σχέση «μητέρα...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Έστω R η σχέση «...μητέρα...», και S η σχέση «...αδελφή...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Έστω R η σχέση «...γιος...», και S η σχέση «...παππούς...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Έστω R η σχέση «...αδελφή...», και S η σχέση «...πατέρας...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Έστω R η σχέση «...μητέρα...», και S η σχέση «...αδελφός...» στο σύνολο όλων των ανθρώπων. Δώστε μια λεκτική περιγραφή της σχέσης:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Ορισμοί

• 1. Μια δυαδική σχέση μεταξύ στοιχείων των συνόλων Α και Β είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου RAB, RAA.
• 2. Αν A=B, τότε το R είναι μια δυαδική σχέση στο A.
• 3. Σημείωση: (x, y)R xRy.
• 4. Το πεδίο ορισμού της δυαδικής σχέσης R είναι το σύνολο R = (x: υπάρχει y τέτοιο ώστε (x, y)R).
• 5. Το εύρος της δυαδικής σχέσης R είναι το σύνολο R = (y: υπάρχει x τέτοιο ώστε (x, y)R).
• 6. Το συμπλήρωμα μιας δυαδικής σχέσης R μεταξύ των στοιχείων Α και Β είναι το σύνολο R = (AB) R.
• 7. Η αντίστροφη σχέση για τη δυαδική σχέση R είναι το σύνολο R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Το γινόμενο των σχέσεων R1AB και R2BC είναι η σχέση R1 R2 = ((x, y) : υπάρχει zB έτσι ώστε (x, z)R1 και (z, y)R2).
• 9. Η σχέση f ονομάζεται συνάρτηση από το Α στο Β αν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:
  • α) f \u003d A, f B
  • β) για όλα τα x, y1, y2, το γεγονός ότι (x, y1)f και (x, y2)f συνεπάγεται y1=y2.
• 10. Η σχέση f ονομάζεται συνάρτηση από το Α στο Β αν στην πρώτη παράγραφο f = A, f = B.
• 11. Σημείωση: (x, y)f y = f(x).
• 12. Η συνάρτηση ταυτότητας iA: AA ορίζεται ως εξής: iA(x) = x.
• 13. Μια συνάρτηση f ονομάζεται 1-1-συνάρτηση αν για οποιαδήποτε x1, x2, y το γεγονός ότι y = f(x1) και y = f(x2) συνεπάγεται x1=x2.
• 14. Η συνάρτηση f: Η ΑΒ εκτελεί αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ Α και Β αν f = Α, f = Β και η f είναι συνάρτηση 1-1.
• 15. Ιδιότητες της δυαδικής σχέσης R στο σύνολο Α:
  • - ανακλαστικότητα: (x, x)R για όλα τα xA.
  • - irreflexivity: (x, x)R για όλα τα xA.
  • - συμμετρία: (x, y)R (y, x)R.
  • - αντισυμμετρία: (x, y)R και (y, x)R x=y.
  • - μεταβατικότητα: (x, y)R και (y, z)R (x, z)R.
  • - διχοτομία: είτε (x, y)R είτε (y, x)R για όλα τα xA και yA.
• 16. Τα σύνολα A1, A2, ..., Ar από το P(A) σχηματίζουν ένα διαμέρισμα του συνόλου A αν
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Τα υποσύνολα Аi , i = 1, ..., r, ονομάζονται μπλοκ διαμερισμάτων.

• 17. Η ισοδυναμία σε ένα σύνολο Α είναι μια ανακλαστική, μεταβατική και συμμετρική σχέση στο Α.
• 18. Η κλάση ισοδυναμίας ενός στοιχείου x από την ισοδυναμία R είναι το σύνολο [x]R=(y: (x, y)R).
• 19. Το σύνολο παραγόντων Α από το R είναι το σύνολο των τάξεων ισοδυναμίας των στοιχείων του συνόλου Α. Ονομασία: A/R.
• 20. Οι κλάσεις ισοδυναμίας (στοιχεία του συνόλου παραγόντων A/R) σχηματίζουν ένα διαμέρισμα του συνόλου A. Αντίστροφα. Οποιοδήποτε διαμέρισμα του συνόλου A αντιστοιχεί σε μια σχέση ισοδυναμίας R της οποίας οι τάξεις ισοδυναμίας συμπίπτουν με τα μπλοκ του καθορισμένου διαμερίσματος. Διαφορετικά. Κάθε στοιχείο του συνόλου Α εμπίπτει σε κάποια κλάση ισοδυναμίας από το A/R. Οι τάξεις ισοδυναμίας είτε δεν τέμνονται είτε συμπίπτουν.
• 21. Μια προπαραγγελία σε ένα σύνολο Α είναι μια αντανακλαστική και μεταβατική σχέση στο Α.
• 22. Μια μερική τάξη σε ένα σύνολο Α είναι μια ανακλαστική, μεταβατική και αντισυμμετρική σχέση στο Α.
• 23. Γραμμική σειράστο σύνολο Α είναι μια ανακλαστική, μεταβατική και αντισυμμετρική σχέση στο Α που ικανοποιεί την ιδιότητα διχοτομίας.

Έστω A=(1, 2, 3), B=(a, b). Ας γράψουμε το καρτεσιανό γινόμενο: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Πάρτε οποιοδήποτε υποσύνολο αυτού του καρτεσιανού γινόμενου: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Τότε το R είναι μια δυαδική σχέση στα σύνολα Α και Β.

Αυτή η σχέση θα είναι συνάρτηση; Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των δύο προϋποθέσεων 9α) και 9β). Το πεδίο ορισμού της σχέσης R είναι το σύνολο R = (1, 2) (1, 2, 3), δηλαδή η πρώτη συνθήκη δεν ικανοποιείται, οπότε ένα από τα ζεύγη πρέπει να προστεθεί στο R: (3, α) ή (3, β). Αν προστεθούν και τα δύο ζεύγη, τότε η δεύτερη συνθήκη δεν θα ικανοποιηθεί, αφού η αβ. Για τον ίδιο λόγο, ένα από τα ζεύγη (1, α) ή (1, β) πρέπει να αφαιρεθεί από το R. Έτσι η σχέση R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) είναι συνάρτηση. Σημειώστε ότι το R δεν είναι συνάρτηση 1-1.

Στα δοσμένα σύνολα Α και Β, οι ακόλουθες σχέσεις θα είναι επίσης συναρτήσεις: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), (1, a), (2, a), ( 3, β ) ), ( (1, β), (2, β), (3, β) ) κ.λπ.

Έστω A=(1, 2, 3). Ένα παράδειγμα σχέσης σε ένα σύνολο Α είναι το R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Ένα παράδειγμα συνάρτησης στο σύνολο A είναι η f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

1. Βρείτε τα R, R, R1, RR, RR1, R1R για R = ((x, y) | x, y D και x+y0).

Αν (x, y)R, τότε τα x και y διατρέχουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Επομένως R = R = D.

Αν (x, y)R, τότε x+y0, άρα y+x0 και (y, x)R. Επομένως R1=R.

Για κάθε xD, yD παίρνουμε z=-|max(x, y)|-1, μετά x+z0 και z+y0, δηλ. (x, z)R και (z, y)R. Επομένως RR = RR1 = R1R = D2.

2. Για ποιες δυαδικές σχέσεις R ισχύει R1= R;

Αφήστε το RAB. Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

• (1) ΑΒ. Ας πάρουμε το xAB. Στη συνέχεια (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Αντίφαση.
• (2) ΑΒ=. Αφού R1BA και RAB, τότε R1= R= . Από R1 = προκύπτει ότι R = . Από το R = προκύπτει ότι R=AB. Αντίφαση.

Επομένως, εάν Α και Β, τότε τέτοιες σχέσεις R δεν υπάρχουν.

3. Στο σύνολο D των πραγματικών αριθμών, ορίζουμε τη σχέση R ως εξής: (x, y)R (x-y) είναι ρητός αριθμός. Να αποδείξετε ότι το R είναι ισοδυναμία.

Ανακλαστικότητα:

Για κάθε xD x-x=0 είναι ρητός αριθμός. Επειδή (x, x)R.

Συμμετρία:

Αν (x, y)R, τότε x-y = . Τότε το y-x=-(x-y)=- είναι ρητός αριθμός. Επομένως (y, x)R.

Μεταβατικότητα:

Αν (x, y)R, (y, z)R, τότε x-y = και y-z =. Προσθέτοντας αυτές τις δύο εξισώσεις, παίρνουμε ότι το x-z = + είναι ένας ρητός αριθμός. Επομένως (x, z)R.

Άρα το R είναι ισοδυναμία.

4. Το διαμέρισμα του επιπέδου D2 αποτελείται από τα μπλοκ που φαίνονται στο σχήμα α). Γράψτε τη σχέση ισοδυναμίας R που αντιστοιχεί σε αυτό το διαμέρισμα και τις κλάσεις ισοδυναμίας.

Παρόμοιο πρόβλημα για τα β) και γ).

α) δύο σημεία είναι ισοδύναμα αν βρίσκονται σε μια ευθεία της μορφής y=2x+b, όπου b είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

β) δύο σημεία (x1,y1) και (x2,y2) είναι ισοδύναμα αν (το ακέραιο μέρος του x1 είναι ίσο με το ακέραιο μέρος του x2) και (το ακέραιο μέρος του y1 είναι ίσο με το ακέραιο μέρος του y2).

γ) Αποφασίστε μόνοι σας.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

• 1. Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β και η g είναι συνάρτηση από το Β στο Γ, τότε η fg είναι συνάρτηση από το Α στο Γ.
• 2. Έστω τα Α και Β πεπερασμένα σύνολα που αποτελούνται από m και n στοιχεία, αντίστοιχα.

Πόσες δυαδικές σχέσεις υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων των συνόλων Α και Β;

Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από το Α έως το Β;

Πόσες 1-1 συναρτήσεις υπάρχουν από το Α έως το Β;

Για ποιο m και n υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ του Α και του Β;

3. Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τη συνθήκη f(AB)=f(A)f(B) για οποιαδήποτε A και B εάν και μόνο αν η f είναι συνάρτηση 1-1.

Μια σχέση που ορίζεται σε ένα σύνολο μπορεί να έχει έναν αριθμό ιδιοτήτων, και συγκεκριμένα:

2. Αντανακλαστικότητα

Ορισμός.Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται αντανακλαστικό αν κάθε στοιχείο Χσκηνικά Χείναι σε σχέση RΜε τον εαυτο μου.

Χρησιμοποιώντας σύμβολα, αυτή η σχέση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Rστοχαστικά πάνω Χ Û(" ΧÎ Χ) x R x

Παράδειγμα.Η σχέση ισότητας στο σύνολο των τμημάτων είναι αντανακλαστική, αφού κάθε τμήμα είναι ίσο με τον εαυτό του.

Το γράφημα αντανακλαστικών σχέσεων έχει βρόχους σε όλες τις κορυφές.

2. Αντιανακλαστικότητα

Ορισμός.Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται αντιανακλαστικό εάν δεν υπάρχει στοιχείο Χσκηνικά Χόχι σε σχέση RΜε τον εαυτο μου.

Rαντιαντανακλαστικά επάνω Χ Û(" ΧÎ Χ)

Παράδειγμα.Η σχέση «άμεση Χκάθετη στη γραμμή στο» στο σύνολο των γραμμών στο επίπεδο είναι αντιαντανακλαστικό, γιατί καμία ευθεία ενός επιπέδου δεν είναι κάθετη στον εαυτό της.

Το γράφημα μιας αντιανακλαστικής σχέσης δεν περιέχει βρόχους.

Σημειώστε ότι υπάρχουν σχέσεις που δεν είναι ούτε αντανακλαστικές ούτε αντιανακλαστικές. Για παράδειγμα, θεωρήστε τη σχέση "σημείο Χσυμμετρικά σε ένα σημείο στο» στο σύνολο των σημείων του αεροπλάνου.

Τελεία Χσυμμετρικά σε ένα σημείο Χ- αλήθεια; τελεία στοσυμμετρικά σε ένα σημείο στο- είναι λάθος, επομένως, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι όλα τα σημεία του επιπέδου είναι συμμετρικά με τον εαυτό τους, ούτε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι κανένα σημείο του επιπέδου δεν είναι συμμετρικό με τον εαυτό του.

3. Συμμετρία

Ορισμός. Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται συμμετρικό αν, από το γεγονός ότι το στοιχείο Χείναι σε σχέση Rμε στοιχείο στο, προκύπτει ότι το στοιχείο στοείναι σε σχέση Rμε στοιχείο Χ.

Rσυμμετρικός Χ Û(" Χ, στοÎ Χ) x R y Þ y R x

Παράδειγμα.Η σχέση «άμεση Χδιασχίζει τη γραμμή στοστο σύνολο των ευθειών του επιπέδου» είναι συμμετρικό, γιατί αν ευθεία Χδιασχίζει τη γραμμή στο, μετά η ευθεία γραμμή στοπρέπει να περάσει τη γραμμή Χ.

Γράφημα συμμετρικής σχέσης μαζί με κάθε βέλος από ένα σημείο Χακριβώς στοπρέπει να περιέχει ένα βέλος που συνδέει τα ίδια σημεία, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση.

4. Ασυμμετρία

Ορισμός. Στάση Rστο πλατό Χλέγεται ασύμμετρη αν για κανένα στοιχείο Χ, στοαπό πολλούς Χδεν μπορεί να συμβεί ότι το στοιχείο Χείναι σε σχέση Rμε στοιχείο στοκαι στοιχείο στοείναι σε σχέση Rμε στοιχείο Χ.

Rασύμμετρη Χ Û(" Χ, στοÎ Χ) x R y Þ

Παράδειγμα.Στάση " Χ < στο» ασύμμετρα, γιατί για οποιοδήποτε ζεύγος στοιχείων Χ, στοδεν μπορούμε να πούμε ότι είναι ταυτόχρονα Χ < στοΚαι στο<Χ.

Ένα γράφημα μιας ασύμμετρης σχέσης δεν έχει βρόχους και αν δύο κορυφές του γραφήματος συνδέονται με ένα βέλος, τότε αυτό το βέλος είναι μόνο ένα.

5. Αντισυμμετρία

Ορισμός. Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται αντισυμμετρικό εάν, από το γεγονός ότι Χείναι σε σχέση με στο, ΕΝΑ στοείναι σε σχέση με Χακολουθεί ότι Χ = y.

Rαντισυμμετρική Χ Û(" Χ, στοÎ Χ) x R y Ù y R xÞ x = y

Παράδειγμα.Στάση " Χ£ στο» είναι αντισυμμετρικό, γιατί συνθήκες Χ£ στοΚαι στο£ Χεκτελούνται ταυτόχρονα μόνο όταν Χ = y.

Το γράφημα μιας αντισυμμετρικής σχέσης έχει βρόχους και αν δύο κορυφές του γραφήματος συνδέονται με ένα βέλος, τότε αυτό το βέλος είναι μόνο ένα.

6. Μεταβατικότητα

Ορισμός. Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται μεταβατικό εάν για οποιοδήποτε στοιχείο Χ, στο, zαπό πολλούς Χαπό τι Χείναι σε σχέση με στο, ΕΝΑ στοείναι σε σχέση με zακολουθεί ότι Χείναι σε σχέση με z.

Rμεταβατικός Χ Û(" Χ, στο, zÎ Χ) x R y Ù στο RzÞ x Rz

Παράδειγμα.Στάση " Χπολλαπλούς στο» είναι μεταβατικό, γιατί εάν ο πρώτος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του δεύτερου και ο δεύτερος είναι πολλαπλάσιο του τρίτου, τότε ο πρώτος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του τρίτου.

Γράφημα μιας μεταβατικής σχέσης με κάθε ζεύγος βελών από ΧΠρος την στοκαι από στοΠρος την zπεριέχει ένα βέλος που πηγαίνει από ΧΠρος την z.

7. Συνδεσιμότητα

Ορισμός. Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται συνδεδεμένο εάν για οποιοδήποτε στοιχείο Χ, στοαπό πολλούς x xείναι σε σχέση με στοή στοείναι σε σχέση με Χή x = y.

Rσυνδεδεμένος Χ Û(" Χ, στο, zÎ Χ) x R y Ú στο RzÚ Χ= στο

Με άλλα λόγια: σχέση Rστο πλατό Χονομάζεται συνδεδεμένος εάν για οποιαδήποτε διακριτά στοιχεία Χ, στοαπό πολλούς x xείναι σε σχέση με στοή στοείναι σε σχέση με Χή x = y.

Παράδειγμα.Στάση " Χ< στο» συνδέεται, γιατί ανεξάρτητα από τους πραγματικούς αριθμούς που παίρνουμε, ένας από αυτούς είναι σίγουρο ότι είναι μεγαλύτερος από τον άλλο ή είναι ίσοι.

Σε ένα γράφημα σχέσης, όλες οι κορυφές συνδέονται με βέλη.

Παράδειγμα.Ελέγξτε ποιες ιδιότητες

στάση " Χ -διαιρών στο» ορίζεται στο σετ

Χ= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) αυτή η σχέση είναι αντανακλαστική, αφού Κάθε αριθμός από το δεδομένο σύνολο είναι διαιρέτης του εαυτού του.

2) αυτή η σχέση δεν έχει την ιδιότητα της αντιανακλαστικότητας.

3) η ιδιότητα συμμετρίας δεν ικανοποιείται, γιατί Για παράδειγμα, το 2 είναι διαιρέτης του 4, αλλά το 4 δεν είναι διαιρέτης του 2.

4) αυτή η σχέση είναι αντισυμμετρική: δύο αριθμοί μπορούν ταυτόχρονα να είναι διαιρέτες ο ένας του άλλου μόνο αν αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι.

5) η σχέση είναι μεταβατική, αφού εάν ένας αριθμός είναι διαιρέτης του δεύτερου και ο δεύτερος είναι διαιρέτης του τρίτου, τότε ο πρώτος αριθμός θα είναι απαραίτητα διαιρέτης του τρίτου.

6) η σχέση δεν έχει την ιδιότητα της συνδεσιμότητας, αφού για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και 3 στο γράφημα δεν συνδέονται με βέλος, γιατί δύο διακριτοί αριθμοί 2 και 3 δεν είναι διαιρέτες μεταξύ τους.

Έτσι, αυτή η σχέση έχει τις ιδιότητες της ανακλαστικότητας, της ασυμμετρίας και της μεταβατικότητας.

§ 3. Σχέση ισοδυναμίας.
Σύνδεση της σχέσης ισοδυναμίας με τη διαίρεση ενός συνόλου σε κλάσεις

Ορισμός.Στάση Rστο πλατό Χονομάζεται σχέση ισοδυναμίας αν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική.

Παράδειγμα.Σκεφτείτε τη σχέση" Χσυμμαθητής στο» σε ένα σύνολο φοιτητών της παιδαγωγικής σχολής. Διαθέτει ιδιότητες:

1) ανακλαστικότητα, αφού Κάθε μαθητής είναι συμμαθητής με τον εαυτό του.

2) συμμετρία, γιατί αν φοιτητής Χ στο, μετά ο μαθητής στοείναι συμμαθητής μαθητή Χ;

3) μεταβατικότητα, γιατί αν φοιτητής Χ- συμμαθητής στο, και ο μαθητής στο- συμμαθητής z, μετά ο μαθητής Χνα είσαι συμμαθητής μαθητή z.

Έτσι, αυτή η σχέση έχει τις ιδιότητες της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας και επομένως είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Ταυτόχρονα, το σύνολο των φοιτητών της παιδαγωγικής σχολής μπορεί να χωριστεί σε υποσύνολα που αποτελούνται από φοιτητές που είναι εγγεγραμμένοι στο ίδιο μάθημα. Παίρνουμε 5 υποσύνολα.

Η σχέση ισοδυναμίας είναι επίσης, για παράδειγμα, η σχέση των παράλληλων ευθειών, η σχέση ισότητας των ψηφίων. Κάθε τέτοια σχέση συνδέεται με τη διαίρεση του συνόλου σε κλάσεις.

Θεώρημα.Αν στο σετ Χδίνεται μια σχέση ισοδυναμίας, τότε χωρίζει αυτό το σύνολο σε ζεύγους ασύνδετα υποσύνολα (τάξεις ισοδυναμίας).

Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής: εάν κάποια σχέση ορίζεται στο σύνολο Χ, δημιουργεί μια κατάτμηση αυτού του συνόλου σε κλάσεις, τότε είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Παράδειγμα.Στο πλατό Χ= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) δίνεται η σχέση "έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 3". Είναι σχέση ισοδυναμίας;

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα αυτής της σχέσης:

Αυτή η σχέση έχει τις ιδιότητες της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας και της μεταβατικότητας, επομένως, είναι μια σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει το σύνολο Χσε τάξεις ισοδυναμίας. Κάθε κλάση ισοδυναμίας θα έχει αριθμούς που, όταν διαιρούνται με το 3, δίνουν το ίδιο υπόλοιπο: Χ 1 = {3; 6}, Χ 2 = {1; 4; 7}, Χ 3 = {2; 5; 8}.

Πιστεύεται ότι η κλάση ισοδυναμίας καθορίζεται από οποιονδήποτε από τους εκπροσώπους της, δηλ. αυθαίρετο στοιχείο αυτής της κατηγορίας. Έτσι, η κλάση των ίσων κλασμάτων μπορεί να προσδιοριστεί προσδιορίζοντας οποιοδήποτε κλάσμα ανήκει σε αυτήν την κατηγορία.

Στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών εμφανίζονται και σχέσεις ισοδυναμίας, για παράδειγμα, «εκφράσεις ΧΚαι στοέχουν τις ίδιες αριθμητικές τιμές», «σχήμα Χίσο με το σχήμα στο».

Έστω κάποιο μη κενό σύνολο Α να δοθεί και το R είναι κάποιο υποσύνολο του καρτεσιανού τετραγώνου του συνόλου Α: R  ΕΝΑ  ΕΝΑ.

στάση Rστο πλατό ΕΝΑονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου ΕΝΑ ΕΝΑ(ή ΕΝΑ 2 ). Ετσι στάσηυπάρχει ειδική περίπτωση αντιστοίχισης όπου η περιοχή άφιξης είναι ίδια με την περιοχή αναχώρησης. Ακριβώς όπως ένα ταίριασμα, μια σχέση είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος όπου και τα δύο στοιχεία ανήκουν στο ίδιο σύνολο.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Το γεγονός οτι ( ένα, σι) Το R μπορεί να γραφτεί ως εξής: ένα R σι. Λέει: " ΕΝΑείναι σε σχέση με το R σι" ή "ανάμεσα ΕΝΑΚαι σιισχύει η σχέση R. Διαφορετικά γράψε: ένα, σι)R ή έναR σι.

Ένα παράδειγμα σχέσεων σε ένα σύνολο αριθμών είναι τα ακόλουθα: "=", "", "", ">", κ.λπ. Στο σύνολο των εργαζομένων οποιασδήποτε εταιρείας, η στάση "να είσαι αφεντικό" ή "να είσαι υφιστάμενος", σε ένα σύνολο συγγενών - "να είσαι πρόγονος", "να είσαι αδερφός", "να είσαι πατέρας ", και τα λοιπά.

Οι εξεταζόμενες σχέσεις ονομάζονται δυαδικές (δύο θέσεις) ομοιογενείς σχέσεις και είναι οι σημαντικότερες στα μαθηματικά. Μαζί με αυτούς θεωρούν και Π-τοπικό ή Π-αρικές σχέσεις:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Δεδομένου ότι η σχέση είναι μια ειδική περίπτωση αντιστοιχίας, όλες οι μέθοδοι που περιγράφηκαν προηγουμένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό τους.

Προφανώς, ορίζοντας την αναλογία με τρόπο πίνακα, παίρνουμε έναν τετράγωνο πίνακα.

Με μια γεωμετρική (γραφική) αναπαράσταση της σχέσης, παίρνουμε ένα διάγραμμα που περιλαμβάνει:

κορυφές, που συμβολίζονται με τελείες ή κύκλους, που αντιστοιχούν στα στοιχεία του συνόλου,

και τόξα (γραμμές) που αντιστοιχούν σε ζεύγη στοιχείων που περιλαμβάνονται σε δυαδικές σχέσεις, που συμβολίζονται με γραμμές με βέλη που κατευθύνονται από την κορυφή που αντιστοιχεί στο στοιχείο ένα στην κορυφή που αντιστοιχεί στο στοιχείο σι , Αν ένα Rσι .

Ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται κατευθυνόμενο γράφημα (ή διγράφημα) μιας δυαδικής σχέσης.

Εργασία 4.9.1 . Αναλογία "να είναι διαιρέτης στο σύνολο M = (1, 2, 3, 4)" μπορεί να δοθεί μήτρα:

απαρίθμηση: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4));

γεωμετρικά (γραφικά):

1. Γράψτε τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν στις ακόλουθες δυαδικές σχέσεις στο σύνολο A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Η σχέση R στο σύνολο X = (a, b, c, d) δίνεται από τον πίνακα

,

όπου η σειρά των γραμμών και των στηλών αντιστοιχεί στη σειρά των στοιχείων που έχουν γραφτεί. Να αναφέρετε τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν στη δεδομένη σχέση. Δείξτε τη σχέση χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

3. Η σχέση στο σύνολο A = (1, 2, 3, 4) παριστάνεται με ένα γράφημα. Απαραίτητη:

απαριθμήστε τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν στο R.

γράψτε τον αντίστοιχο πίνακα.

ορίστε αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας κατηγορήματα.

(απάντηση: α-β= 1).

4.10. Βασικοί τύποι (ιδιότητες) δυαδικών σχέσεων

Αφήστε τη δυαδική σχέση Rστο πλατό ΕΝΑ 2 : R  A  A = (( ένα, σι) | έναΑ, σι Α, ( ένα, σι)R)

δυαδική σχέση R στο πλατό ΕΝΑ που ονομάζεται ανακλαστικός, εάν υπάρχει έναΑ εκτελούνται έναRένα, αυτό είναι ( ΕΝΑ,ΕΝΑ)R. Η κύρια διαγώνιος του πίνακα ανακλαστικών σχέσεων αποτελείται από ένα. Ένα γράφημα ανακλαστικών σχέσεων έχει απαραίτητα βρόχους σε κάθε κορυφή.

Παραδείγματαανακλαστικές σχέσεις: , =,  στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, «να μην είσαι το αφεντικό» στο σύνολο των εργαζομένων.

δυαδική σχέση Rστο σύνολο Α καλείται αντι-αντανακλαστικό (αναντανακλαστικός), εάν υπάρχει ένα Το A δεν ισχύει για τη σχέση έναRένα, αυτό είναι ( ΕΝΑ,ΕΝΑ)R. Η κύρια διαγώνιος του πίνακα μη ανακλαστικών σχέσεων αποτελείται από μηδενικά. Το γράφημα μιας αντανάκλασης σχέσης δεν έχει βρόχους.

Παραδείγματααντιανακλαστικές σχέσεις:<, >στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθετότητα των γραμμών στο σύνολο των γραμμών.

δυαδική σχέση R στο σετ Α που ονομάζεται συμμετρικός, εάν υπάρχει ένα, σιΕΝΑαπό έναRσιπρέπει σιRένα, δηλαδή αν ( ένα, σι)R, τότε και ( σι, ένα)R. Ο συμμετρικός πίνακας αναλογίας είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο του ( σ ij = σ ji). Η γραφική παράσταση μιας συμμετρικής σχέσης δεν είναι κατευθυνόμενη (οι ακμές εμφανίζονται χωρίς βέλη). Κάθε ζεύγος κορυφών εδώ συνδέεται με μια μη κατευθυνόμενη άκρη.

Παραδείγματασυμμετρικές σχέσεις:  στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, «να είσαι συγγενής» στο σύνολο των ανθρώπων.

δυαδική σχέση R στο σετ Α που ονομάζεται:

αντισυμμετρικός, εάν υπάρχει ένα, σιΕΝΑαπό έναRσιΚαι σιRέναακολουθεί ότι ένα=σι. Δηλαδή αν ( ένα, σι)RΚαι( σι, ένα)R, τότε προκύπτει ότι ένα=σι. Ο αντισυμμετρικός πίνακας αναλογίας κατά μήκος της κύριας διαγώνιου έχει όλα τα 1 και κανένα ζεύγος 1 που βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις σε σχέση με την κύρια διαγώνιο. Με άλλα λόγια, τα πάντα σ ii=1 και αν σ ij=1, τότε αναγκαστικά σ ji=0. Ένα γράφημα αντισυμμετρικής σχέσης έχει βρόχους σε κάθε κορυφή και οι κορυφές συνδέονται μόνο με ένα κατευθυνόμενο τόξο.

Παραδείγματααντισυμμετρικές σχέσεις: , ,  στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; ,  στα σετ;

ΕΝΑσυμμετρικός, εάν υπάρχει ένα, σιΕΝΑαπό έναRσι ακολουθούμενη από αποτυχία σιRένα, δηλαδή αν ( ένα, σι)R, Οτι ( σι, ένα) R. Ο πίνακας αναλογίας λοξής κατά μήκος της κύριας διαγωνίου έχει μηδενικά ( σ ij=0) όλα και όχι συμμετρικά ζεύγη μονάδων (αν σ ij=1, τότε αναγκαστικά σ ji=0). Ένα γράφημα μιας ασύμμετρης σχέσης δεν έχει βρόχους και οι κορυφές συνδέονται με ένα μόνο κατευθυνόμενο τόξο.

Παραδείγματα ασύμμετρων σχέσεων:<, >στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, «να είσαι πατέρας» στο σύνολο των ανθρώπων.

δυαδική σχέση R στο σετ Α που ονομάζεται μεταβατικόςνυμ, εάν υπάρχει ένα, σι, ΜεΕΝΑαπό έναRσιΚαι σιRέναέπεται ότι και έναRΜε. Δηλαδή αν ( ένα, σι)RΚαι( σι, Με)Rπροκύπτει ότι ( ΕΝΑ, Με)R. Ο πίνακας μεταβατικής σχέσης χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι αν σ ij=1 και σ jm=1, τότε αναγκαστικά σ im=1. Το γράφημα μεταβατικής σχέσης είναι τέτοιο ώστε αν, για παράδειγμα, η πρώτη-δεύτερη και η δεύτερη-τρίτη κορυφή συνδέονται με τόξα, τότε υπάρχουν απαραίτητα τόξα από την πρώτη στην τρίτη κορυφή.

Παραδείγματαμεταβατικές σχέσεις:<, , =, >,  στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. «να είσαι το αφεντικό» σε ένα σύνολο υπαλλήλων.

δυαδική σχέση R στο σετ Α που ονομάζεται αντιμεταβατικόνυμ, εάν υπάρχει ένα, σι, ΜεΕΝΑαπό έναRσιΚαι σιRέναέπεται ότι δεν εκπληρώνεται έναRΜε. Δηλαδή αν ( ένα, σι)RΚαι( σι, Με)Rπροκύπτει ότι ( ΕΝΑ, Με) R. Ο αντιμεταβατικός πίνακας σχέσεων χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι αν σ ij=1 και σ jm=1, τότε αναγκαστικά σ im=0. Το γράφημα της αντιμεταβατικής σχέσης είναι τέτοιο ώστε αν, για παράδειγμα, η πρώτη-δεύτερη και η δεύτερη-τρίτη κορυφή συνδέονται με τόξα, τότε δεν υπάρχει απαραίτητα τόξο από την πρώτη στην τρίτη κορυφή.

Παραδείγματα αντιμεταβατικών σχέσεων: "αναντιστοιχία ισοτιμίας" στο σύνολο ακεραίων αριθμών. «να είσαι ο άμεσος επόπτης» σε ένα σύνολο εργαζομένων.

Εάν η σχέση δεν έχει κάποια ιδιότητα, τότε προσθέτοντας τα ζεύγη που λείπουν, μπορείτε να πάρετε μια νέα σχέση με αυτήν την ιδιότητα. Το σύνολο τέτοιων ζευγών που λείπουν ονομάζεται κλείσιμοσχέση για αυτό το ακίνητο. Ορίστε το ως R* . Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να αποκτήσετε ένα αντανακλαστικό, συμμετρικό και μεταβατικό κλείσιμο.

Πρόβλημα 4.10.1. Στο σύνολο A = (1, 2, 3, 4) η σχέση R=(( ένα,σι)| ένα,σιΑ, ένα+σιένας ζυγός αριθμός). Προσδιορίστε το είδος αυτής της σχέσης.

Λύση. Ο πίνακας αυτής της σχέσης είναι:

. Προφανώς η σχέση είναι ανακλαστικός, αφού υπάρχουν μονάδες κατά μήκος της κύριας διαγωνίου. Το συμμετρικώς: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . μεταβατικά: (1,3)R, (3,1)R και (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R και (2,2)R κ.λπ.

Πρόβλημα 4.10.2. Ποιες ιδιότητες στο σύνολο A = ( ένα, σι, ντο, ρε) έχει τη δυαδική σχέση R = (( ένα,σι), (σι,ρε), (ένα,ρε), (σι,ένα), (σι,ντο)}?

Λύση . Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα αυτής της σχέσης και του γραφήματος της:

Στάση αναντανακλαστικά, αφού όλα τα σ ii= 0. Αυτό Δεν συμμετρικώς, αφού σ 23 =1, και σ 32 =0, ωστόσο, σ 12 =σ 21 =1. Στάση Δεν μεταβατικά, γιατί σ 12 =1, σ 23 =1 και σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 και σ 11 =0; αλλά ταυτόχρονα σ 12 =1, σ 24 =1 και σ 14 =1.

Εργασία 4.10.3. Στο σύνολο A = (1,2,3,4,5) δίνεται η σχέση R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Προσδιορίστε τον τύπο της σχέσης και βρείτε τα ακόλουθα κλεισίματα για το R:

ανακλαστικός;

συμμετρικός;

μεταβατικός.

Λύση. Η σχέση είναι μη αντανακλαστική γιατί δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής ( ΕΝΑ,ΕΝΑ). Ασύμμετρη, αφού δεν περιέχει ζεύγη της μορφής ( ένα,σι) Και ( σι,ένα) και όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι 0. Αντιμεταβατικά αφού (1,2)R, (2,3)R, αλλά (1,3)R. Ομοίως (2.4)R, (4.5)R και (2.5)R κ.λπ.

αντανακλαστικό κλείσιμο της δεδομένης σχέσης R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

συμμετρικό κλείσιμο: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

μεταβατικό κλείσιμο: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Εξετάστε το γράφημα της αρχικής σχέσης και τη μεταβατική σχέση που προκύπτει.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

1. Δίνεται η σχέση R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Προσδιορίστε τον τύπο του και βρείτε κλεισίματα με ανακλαστικότητα, συμμετρία και μεταβατικότητα.

2. Η σχέση στο σύνολο των λέξεων της ρωσικής γλώσσας ορίζεται ως εξής: ΕΝΑ R σιεάν και μόνο εάν έχουν τουλάχιστον ένα κοινό γράμμα. Προσδιορίστε το είδος της σχέσης στο σύνολο A = (αγελάδα, βαγόνι, κλωστή, τσεκούρι).

3. Υποδείξτε παραδείγματα δυαδικών σχέσεων στο σύνολο A = (1, 2) και B = (1, 2, 3), που θα ήταν:

όχι αντανακλαστικό, όχι συμμετρικό, όχι μεταβατικό.

αντανακλαστικό, όχι συμμετρικό, όχι μεταβατικό.

συμμετρικό, αλλά όχι αντανακλαστικό και όχι μεταβατικό.

μεταβατικό, αλλά όχι αντανακλαστικό και όχι συμμετρικό.

αντανακλαστικό, συμμετρικό αλλά όχι μεταβατικό.

αντανακλαστικό, μεταβατικό, αλλά όχι συμμετρικό.

μη αντανακλαστικό, συμμετρικό, μεταβατικό.

αντανακλαστικό, συμμετρικό, μεταβατικό.