Παραμορφώσεις και μετατοπίσεις. Ο νόμος του Χουκ
Η δράση εξωτερικών δυνάμεων σε ένα στερεό σώμα οδηγεί στην εμφάνιση τάσεων και παραμορφώσεων σε σημεία του όγκου του. Σε αυτή την περίπτωση, η κατάσταση τάσης σε ένα σημείο, η σχέση μεταξύ των τάσεων σε διαφορετικές θέσεις που διέρχονται από αυτό το σημείο, καθορίζονται από τις εξισώσεις της στατικής και δεν εξαρτώνται από τις φυσικές ιδιότητες του υλικού. Η παραμορφωμένη κατάσταση, η σύνδεση μεταξύ μετατοπίσεων και παραμορφώσεων καθορίζονται χρησιμοποιώντας γεωμετρικές ή κινηματικές εκτιμήσεις και επίσης δεν εξαρτώνται από τις ιδιότητες του υλικού. Προκειμένου να δημιουργηθεί μια σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι πραγματικές ιδιότητες του υλικού και οι συνθήκες φόρτισης. Τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων αναπτύσσονται με βάση πειραματικά δεδομένα. Αυτά τα μοντέλα θα πρέπει να αντικατοπτρίζουν τις πραγματικές ιδιότητες των υλικών και τις συνθήκες φόρτωσης με επαρκή βαθμό ακρίβειας.
Τα πιο συνηθισμένα για δομικά υλικά είναι μοντέλα ελαστικότητας και πλαστικότητας. Η ελαστικότητα είναι η ιδιότητα ενός σώματος να αλλάζει σχήμα και μέγεθος υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων και να επαναφέρει την αρχική του διαμόρφωση όταν αφαιρούνται τα φορτία. Μαθηματικά, η ιδιότητα της ελαστικότητας εκφράζεται με την καθιέρωση μιας λειτουργικής σχέσης ένα προς ένα μεταξύ των συνιστωσών του τανυστή τάσης και του τανυστή παραμόρφωσης. Η ιδιότητα της ελαστικότητας αντανακλά όχι μόνο τις ιδιότητες των υλικών, αλλά και τις συνθήκες φόρτωσης. Για τα περισσότερα δομικά υλικά, η ιδιότητα της ελαστικότητας εκδηλώνεται σε μέτριες τιμές εξωτερικών δυνάμεων, που οδηγούν σε μικρές παραμορφώσεις και σε χαμηλούς ρυθμούς φόρτισης, όταν οι απώλειες ενέργειας λόγω των επιδράσεων της θερμοκρασίας είναι αμελητέες. Ένα υλικό ονομάζεται γραμμικά ελαστικό εάν τα στοιχεία του τανυστή τάσης και του τανυστή παραμόρφωσης συνδέονται με γραμμικές σχέσεις.
Σε υψηλά επίπεδα φόρτισης, όταν συμβαίνουν σημαντικές παραμορφώσεις στο σώμα, το υλικό χάνει μερικώς τις ελαστικές του ιδιότητες: όταν εκφορτώνεται, οι αρχικές του διαστάσεις και το σχήμα δεν αποκαθίστανται πλήρως και όταν αφαιρεθούν τελείως τα εξωτερικά φορτία, καταγράφονται οι υπολειπόμενες παραμορφώσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων παύει να είναι σαφής. Αυτή η υλική ιδιότητα ονομάζεται πλαστικότητα.Οι υπολειμματικές παραμορφώσεις που συσσωρεύονται στη διαδικασία της πλαστικής παραμόρφωσης ονομάζονται πλαστικές.
Ένα υψηλό επίπεδο άγχους μπορεί να προκαλέσει καταστροφή, δηλαδή η διαίρεση του σώματος σε μέρη.Στερεά σώματα κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά καταστρέφονται σε διαφορετικές ποσότητες παραμόρφωσης. Το κάταγμα είναι εύθραυστο σε μικρές παραμορφώσεις και εμφανίζεται, κατά κανόνα, χωρίς αισθητές πλαστικές παραμορφώσεις. Τέτοιες καταστροφές είναι χαρακτηριστικές για χυτοσίδηρο, κράμα χάλυβες, σκυρόδεμα, γυαλί, κεραμικά και ορισμένα άλλα δομικά υλικά. Για χάλυβες χαμηλής περιεκτικότητας σε άνθρακα, μη σιδηρούχα μέταλλα, πλαστικά, ένας πλαστικός τύπος θραύσης είναι χαρακτηριστικός παρουσία σημαντικών υπολειμματικών παραμορφώσεων. Ωστόσο, η διαίρεση των υλικών ανάλογα με τη φύση της καταστροφής τους σε εύθραυστα και όλκιμα είναι πολύ υπό όρους· συνήθως αναφέρεται σε ορισμένες τυπικές συνθήκες λειτουργίας. Ένα και το αυτό υλικό μπορεί να συμπεριφέρεται, ανάλογα με τις συνθήκες (θερμοκρασία, φύση του φορτίου, τεχνολογία κατασκευής κ.λπ.), ως εύθραυστο ή ως όλκιμο. Για παράδειγμα, υλικά που είναι πλαστικά σε κανονικές θερμοκρασίες καταστρέφονται ως εύθραυστα σε χαμηλές θερμοκρασίες. Επομένως, είναι πιο σωστό να μην μιλάμε για εύθραυστα και πλαστικά υλικά, αλλά για την εύθραυστη ή πλαστική κατάσταση του υλικού.
Αφήστε το υλικό να είναι γραμμικά ελαστικό και ισότροπο. Ας θεωρήσουμε έναν στοιχειώδη όγκο υπό συνθήκες μονοαξονικής κατάστασης τάσης (Εικ. 1), έτσι ώστε ο τανυστής τάσης να έχει τη μορφή
Κάτω από μια τέτοια φόρτιση, υπάρχει αύξηση των διαστάσεων προς την κατεύθυνση του άξονα Ω,χαρακτηρίζεται από γραμμική παραμόρφωση, η οποία είναι ανάλογη με το μέγεθος της τάσης
Εικ.1.Μονοαξονική κατάσταση τάσης
Αυτή η αναλογία είναι μια μαθηματική σημειογραφία Ο νόμος του Χουκ, καθιερώνοντας μια αναλογική σχέση μεταξύ της τάσης και της αντίστοιχης γραμμικής παραμόρφωσης σε κατάσταση μονοαξονικής τάσης. Ο συντελεστής αναλογικότητας Ε ονομάζεται συντελεστής διαμήκους ελαστικότητας ή συντελεστής Young.Έχει τη διάσταση των τάσεων.
Μαζί με την αύξηση του μεγέθους προς την κατεύθυνση της δράσης. κάτω από την ίδια τάση, οι διαστάσεις μειώνονται σε δύο ορθογώνιες κατευθύνσεις (Εικ. 1). Οι αντίστοιχες παραμορφώσεις θα συμβολίζονται με και , και αυτές οι παραμορφώσεις είναι αρνητικές για τις θετικές και είναι ανάλογες με:
Με την ταυτόχρονη δράση τάσεων κατά μήκος τριών ορθογώνιων αξόνων, όταν δεν υπάρχουν εφαπτομενικές τάσεις, ισχύει η αρχή της υπέρθεσης (υπέρθεση λύσεων) για ένα γραμμικό ελαστικό υλικό:
Λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (1 4), παίρνουμε
|
Οι εφαπτομενικές τάσεις προκαλούν γωνιακές παραμορφώσεις και σε μικρές παραμορφώσεις δεν επηρεάζουν τη μεταβολή των γραμμικών διαστάσεων και επομένως γραμμικές παραμορφώσεις. Επομένως, ισχύουν και στην περίπτωση αυθαίρετης κατάστασης καταπόνησης και εκφράζουν τα λεγόμενα γενικευμένος νόμος του Χουκ.
Η γωνιακή παραμόρφωση οφείλεται σε διατμητική τάση , και παραμορφώσεις και , αντίστοιχα, σε τάσεις και . Ανάμεσα στις αντίστοιχες διατμητικές τάσεις και τις γωνιακές παραμορφώσεις για ένα γραμμικά ελαστικό ισότροπο σώμα, υπάρχουν αναλογικές σχέσεις
που εκφράζουν το νόμο Γάντζος στη βάρδια.Ο συντελεστής αναλογικότητας G ονομάζεται μονάδα διάτμησης.Είναι απαραίτητο η κανονική τάση να μην επηρεάζει τις γωνιακές παραμορφώσεις, αφού σε αυτή την περίπτωση αλλάζουν μόνο οι γραμμικές διαστάσεις των τμημάτων και όχι οι μεταξύ τους γωνίες (Εικ. 1).
Υπάρχει επίσης μια γραμμική εξάρτηση μεταξύ της μέσης τάσης (2,18), η οποία είναι ανάλογη με την πρώτη μεταβλητή του τανυστή τάσης, και της ογκομετρικής τάσης (2,32), η οποία συμπίπτει με την πρώτη μεταβλητή του τανυστή τάσης:
Εικ.2.Επίπεδη διατμητική παραμόρφωση
Αντίστοιχη αναλογία διαστάσεων Προς τηνπου ονομάζεται χύμα μέτρο ελαστικότητας.
Οι τύποι (1 7) περιλαμβάνουν τα ελαστικά χαρακτηριστικά του υλικού ΜΙ, , σολκαι ΠΡΟΣ ΤΗΝ,τον προσδιορισμό των ελαστικών ιδιοτήτων του. Ωστόσο, αυτά τα χαρακτηριστικά δεν είναι ανεξάρτητα. Για ένα ισοτροπικό υλικό, δύο ανεξάρτητα χαρακτηριστικά ελαστικότητας επιλέγονται συνήθως ως μέτρο ελαστικότητας μικαι η αναλογία Poisson. Να εκφράσει το μέτρο διάτμησης σολδιά μέσου μικαι , Ας εξετάσουμε μια παραμόρφωση επίπεδης διάτμησης υπό τη δράση διατμητικές τάσεις (Εικ. 2). Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε ένα τετράγωνο στοιχείο με πλευρά ένα.Υπολογίστε τις κύριες τάσεις , . Αυτές οι τάσεις δρουν σε θέσεις που βρίσκονται υπό γωνία ως προς τις αρχικές θέσεις. Από το σχ. 2 βρείτε τη σχέση μεταξύ της γραμμικής παραμόρφωσης προς την κατεύθυνση της τάσης και της γωνιακής παραμόρφωσης . Η κύρια διαγώνιος του ρόμβου που χαρακτηρίζει την παραμόρφωση είναι ίση με
Για μικρές παραμορφώσεις
Δεδομένων αυτών των αναλογιών
Πριν από την παραμόρφωση, αυτή η διαγώνιος είχε το μέγεθος . Τότε θα έχουμε
Από τον γενικευμένο νόμο του Hooke (5) προκύπτει
Η σύγκριση του ληφθέντος τύπου με τον νόμο του Hooke με μετατόπιση (6) δίνει
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε
Συγκρίνοντας αυτή την έκφραση με τον ογκομετρικό νόμο του Hooke (7), καταλήγουμε στο αποτέλεσμα
Μηχανικά χαρακτηριστικά ΜΙ, , σολκαι Προς τηνβρίσκονται μετά την επεξεργασία των πειραματικών δεδομένων δοκιμών δειγμάτων για διάφορους τύπους φορτίων. Από φυσική άποψη, όλα αυτά τα χαρακτηριστικά δεν μπορούν να είναι αρνητικά. Επιπλέον, από την τελευταία έκφραση προκύπτει ότι η αναλογία Poisson για ένα ισότροπο υλικό δεν υπερβαίνει το 1/2. Έτσι, λαμβάνουμε τους ακόλουθους περιορισμούς για τις ελαστικές σταθερές ενός ισοτροπικού υλικού:
Η οριακή τιμή οδηγεί σε οριακή τιμή , που αντιστοιχεί σε ασυμπίεστο υλικό ( στο ). Συμπερασματικά, εκφράζουμε τις τάσεις ως προς τις παραμορφώσεις από τις σχέσεις ελαστικότητας (5). Γράφουμε την πρώτη από τις σχέσεις (5) στη μορφή
Χρησιμοποιώντας την ισότητα (9), θα έχουμε
Παρόμοιες σχέσεις μπορούν να προκύψουν για και . Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε
|
Εδώ χρησιμοποιείται η σχέση (8) για το μέτρο διάτμησης. Επιπλέον, ο χαρακτηρισμός
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΡΜΟΡΦΩΣΗΣ
Σκεφτείτε πρώτα τον στοιχειώδη όγκο dV=dxdydzυπό συνθήκες κατάστασης μονοαξονικής τάσης (Εικ. 1). Διορθώστε διανοητικά την πλατφόρμα x=0(Εικ. 3). Μια δύναμη δρα στην αντίθετη πλευρά .
Αυτή η δύναμη λειτουργεί σε μετατόπιση. .
Καθώς η τάση αυξάνεται από το μηδέν στην τιμή
η αντίστοιχη παραμόρφωση, δυνάμει του νόμου του Hooke, αυξάνεται επίσης από το μηδέν στην τιμή ,
και το έργο είναι ανάλογο με το σκιασμένο στο Σχ. 4 τετράγωνα: 
. Αν αμελήσουμε κινητική ενέργειακαι απώλειες που σχετίζονται με θερμικά, ηλεκτρομαγνητικά και άλλα φαινόμενα, τότε, δυνάμει του νόμου της διατήρησης της ενέργειας, το έργο που θα γίνει θα μετατραπεί σε δυναμική ενέργειασυσσωρεύονται κατά τη διαδικασία παραμόρφωσης: .
F= dU/dVπου ονομάζεται ειδική δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης,με νοημα δυναμική ενέργειασυσσωρευμένο ανά μονάδα όγκου του σώματος. Στην περίπτωση κατάστασης μονοαξονικής τάσης
8.2. Βασικοί νόμοι που χρησιμοποιούνται στην αντοχή των υλικών
Σχέσεις στατικής. Γράφονται με τη μορφή των παρακάτω εξισώσεων ισορροπίας.
Νόμος του Χουκ ( 1678): όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη, τόσο μεγαλύτερη είναι η παραμόρφωση και, επιπλέον, είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη. Φυσικά, αυτό σημαίνει ότι όλα τα σώματα είναι ελατήρια, αλλά με μεγάλη ακαμψία. Με απλή τάση της δοκού από τη διαμήκη δύναμη Ν= φάαυτός ο νόμος μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Εδώ 
διαμήκης δύναμη, μεγάλο- μήκος ράβδου, ΑΛΛΑ- το εμβαδόν της διατομής του, μι- συντελεστής ελαστικότητας πρώτου είδους ( μέτρο του Young).
Λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους για τάσεις και παραμορφώσεις, ο νόμος του Hooke γράφεται ως εξής: 
.
Μια παρόμοια σχέση παρατηρείται σε πειράματα μεταξύ των τάσεων διάτμησης και της γωνίας διάτμησης:
.
σολ
που ονομάζεταιμέτρο διάτμησης
, λιγότερο συχνά - το μέτρο ελαστικότητας του δεύτερου είδους. Όπως κάθε νόμος, έχει ένα όριο εφαρμογής και το νόμο του Hooke. Τάση 
, μέχρι την οποία ισχύει ο νόμος του Χουκ, ονομάζεται όριο αναλογικότητας(αυτό είναι το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό στο sopromat).
Ας απεικονίσουμε την εξάρτηση
από
γραφικά (Εικ. 8.1). Αυτός ο πίνακας ονομάζεται διάγραμμα τεντώματος
. Μετά το σημείο Β (δηλαδή στο 
), αυτή η εξάρτηση δεν είναι πλέον γραμμική.
Στο 
Μετά την εκφόρτωση, εμφανίζονται υπολειπόμενες παραμορφώσεις στο σώμα, επομένως 
που ονομάζεται ελαστικό όριο
.
Όταν η τάση φτάσει την τιμή σ = σ t, πολλά μέταλλα αρχίζουν να εμφανίζουν μια ιδιότητα που ονομάζεται ρευστότητα. Αυτό σημαίνει ότι ακόμη και υπό σταθερό φορτίο, το υλικό συνεχίζει να παραμορφώνεται (δηλαδή συμπεριφέρεται σαν υγρό). Γραφικά, αυτό σημαίνει ότι το διάγραμμα είναι παράλληλο με την τετμημένη (γραφική παράσταση DL). Η τάση σ t στην οποία ρέει το υλικό ονομάζεται αντοχή διαρροής .
Ορισμένα υλικά (Άρθρο 3 - οικοδομικό χάλυβα) μετά από σύντομη ροή αρχίζουν να ανθίστανται ξανά. Η αντίσταση του υλικού συνεχίζεται μέχρι μια ορισμένη μέγιστη τιμή σ pr, τότε αρχίζει η σταδιακή καταστροφή. Η τιμή σ pr - ονομάζεται αντοχή σε εφελκυσμό (συνώνυμο του χάλυβα: αντοχή σε εφελκυσμό, για σκυρόδεμα - κυβική ή πρισματική αντοχή). Χρησιμοποιούνται επίσης οι ακόλουθες ονομασίες:
=R σι
Παρόμοια εξάρτηση παρατηρείται σε πειράματα μεταξύ εφαπτομενικών τάσεων και διάτμησης.
3) Νόμος Dugamel–Neumann (γραμμική θερμική διαστολή):
Παρουσία διαφοράς θερμοκρασίας, το σώμα αλλάζει το μέγεθός του και είναι ευθέως ανάλογο με αυτή τη διαφορά θερμοκρασίας.
Αφήστε να υπάρχει διαφορά θερμοκρασίας 
. Τότε αυτός ο νόμος παίρνει τη μορφή:
Εδώ α - συντελεστής γραμμικής θερμικής διαστολής, μεγάλο - μήκος ράβδου, Δ μεγάλο- την επιμήκυνσή του.
4) νόμος του ερπυσμού .
Μελέτες έχουν δείξει ότι όλα τα υλικά είναι εξαιρετικά ανομοιογενή στο μικρό. Η σχηματική δομή του χάλυβα φαίνεται στο Σχ. 8.2.
Μερικά από τα εξαρτήματα έχουν ιδιότητες ρευστότητας, έτσι πολλά υλικά υπό φορτίο αποκτούν επιπλέον επιμήκυνση με την πάροδο του χρόνου. 
(εικ.8.3.) (μέταλλα σε υψηλές θερμοκρασίες, σκυρόδεμα, ξύλο, πλαστικά - σε κανονικές θερμοκρασίες). Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται ανατριχιάζωυλικό.
Για ένα υγρό, ισχύει ο νόμος: πως περισσότερη δύναμη, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του σώματος στο υγρό. Εάν αυτή η σχέση είναι γραμμική (δηλαδή η δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας), τότε μπορεί να γραφτεί ως:
μι 
Αν πάμε σε σχετικές δυνάμεις και σχετικές επιμηκύνσεις, παίρνουμε
Εδώ το ευρετήριο " cr
" σημαίνει ότι λαμβάνεται υπόψη το μέρος της επιμήκυνσης που προκαλείται από τον ερπυσμό του υλικού. Μηχανικό χαρακτηριστικό 
που ονομάζεται συντελεστής ιξώδους.
Νόμος διατήρησης ενέργειας.
Σκεφτείτε μια δοκό με φορτίο
Ας εισαγάγουμε την έννοια της μετακίνησης ενός σημείου, για παράδειγμα,
- κατακόρυφη κίνηση του σημείου Β.
- οριζόντια μετατόπιση του σημείου Γ.
Δυνάμεις 
ενώ έκανε κάποια δουλειά U.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι δυνάμεις 
αρχίζουν να αυξάνονται σταδιακά και υποθέτοντας ότι αυξάνονται ανάλογα με τις μετατοπίσεις, παίρνουμε:
.
Σύμφωνα με το νόμο διατήρησης: καμία εργασία δεν εξαφανίζεται, ξοδεύεται για να κάνει άλλη δουλειά ή πηγαίνει σε άλλη ενέργεια (ενέργειαείναι η δουλειά που μπορεί να κάνει το σώμα.
Το έργο των δυνάμεων 
, ξοδεύεται για να ξεπεράσουμε την αντίσταση των ελαστικών δυνάμεων που προκύπτουν στο σώμα μας. Για τον υπολογισμό αυτής της εργασίας, λαμβάνουμε υπόψη ότι το σώμα μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από μικρά ελαστικά σωματίδια. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά:
Από την πλευρά των γειτονικών σωματιδίων, μια τάση δρα σε αυτό 
. Το άγχος που προκύπτει θα είναι 
Υπό την επίδραση 
το σωματίδιο είναι επιμήκη. Εξ ορισμού, επιμήκυνση είναι η επιμήκυνση ανά μονάδα μήκους. Επειτα:
Ας υπολογίσουμε το έργο dWπου κάνει η δύναμη dN (εδώ λαμβάνεται επίσης υπόψη ότι οι δυνάμεις dNαρχίζουν να αυξάνονται σταδιακά και αυξάνονται ανάλογα με τις μετατοπίσεις):
Για όλο το σώμα παίρνουμε:
.
Δουλειά Wδεσμευμένος 
, που ονομάζεται ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης.
Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας:
6)Αρχή πιθανές κινήσεις .
Αυτός είναι ένας από τους τρόπους για να γράψετε το νόμο της διατήρησης της ενέργειας.
Αφήστε τις δυνάμεις να δράσουν στη δοκό φά 1
,
φά 2
,
…
. Προκαλούν την κίνηση των σημείων στο σώμα 
και το άγχος 
. Ας δώσουμε το σώμα πρόσθετες μικρές πιθανές μετατοπίσεις
. Στη μηχανική, η καταγραφή του εντύπου 
σημαίνει τη φράση «πιθανή αξία της ποσότητας ένα". Αυτές οι πιθανές κινήσεις θα προκαλέσουν στο σώμα πρόσθετες πιθανές παραμορφώσεις
. Θα οδηγήσουν στην εμφάνιση πρόσθετων εξωτερικών δυνάμεων και τάσεων. 
,
δ.
Ας υπολογίσουμε το έργο των εξωτερικών δυνάμεων σε πρόσθετες πιθανές μικρές μετατοπίσεις:
Εδώ 
- πρόσθετες μετατοπίσεις εκείνων των σημείων όπου ασκούνται δυνάμεις φά 1
,
φά 2
,
…
Σκεφτείτε ξανά ένα μικρό στοιχείο με διατομή dA και μήκος dz (βλ. εικ. 8.5. και 8.6.). Σύμφωνα με τον ορισμό, πρόσθετη επιμήκυνση dzαυτού του στοιχείου υπολογίζεται με τον τύπο:
dz= dz.
Η δύναμη εφελκυσμού του στοιχείου θα είναι:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Το έργο των εσωτερικών δυνάμεων σε πρόσθετες μετατοπίσεις υπολογίζεται για ένα μικρό στοιχείο ως εξής:
dW = dN dz = dA dz = dV
ΑΠΟ 
αθροίζοντας την ενέργεια παραμόρφωσης όλων των μικρών στοιχείων, λαμβάνουμε τη συνολική ενέργεια παραμόρφωσης:
Νόμος διατήρησης ενέργειας W = Uδίνει:
.
Αυτή η αναλογία ονομάζεται την αρχή των πιθανών κινήσεων(επίσης λέγεται αρχή των εικονικών κινήσεων).Ομοίως, μπορούμε να εξετάσουμε την περίπτωση που δρουν και διατμητικές τάσεις. Τότε μπορεί να ληφθεί ότι η ενέργεια παραμόρφωσης Wπροσθέστε τον ακόλουθο όρο:
Εδώ - διατμητική τάση, - διάτμηση μικρού στοιχείου. Επειτα αρχή πιθανών κινήσεωνθα λάβει τη μορφή:
Σε αντίθεση με την προηγούμενη μορφή γραφής του νόμου της διατήρησης της ενέργειας, δεν υπάρχει καμία υπόθεση εδώ ότι οι δυνάμεις αρχίζουν να αυξάνονται σταδιακά και αυξάνονται ανάλογα με τις μετατοπίσεις
7) Το φαινόμενο Poisson.
Εξετάστε το σχέδιο επιμήκυνσης του δείγματος:
Το φαινόμενο της βράχυνσης ενός στοιχείου σώματος κατά την κατεύθυνση της επιμήκυνσης ονομάζεται Το φαινόμενο Poisson.
Ας βρούμε τη διαμήκη σχετική παραμόρφωση.
Η εγκάρσια σχετική παραμόρφωση θα είναι:
αναλογία Poissonποσότητα ονομάζεται:
Για ισοτροπικά υλικά (χάλυβας, χυτοσίδηρος, σκυρόδεμα) αναλογία Poisson
Αυτό σημαίνει ότι στην εγκάρσια διεύθυνση η παραμόρφωση πιο λιγογεωγραφικού μήκους.
Σημείωση
: οι σύγχρονες τεχνολογίες μπορούν να δημιουργήσουν σύνθετα υλικά με αναλογία Poisson > 1, δηλαδή η εγκάρσια παραμόρφωση θα είναι μεγαλύτερη από τη διαμήκη. Για παράδειγμα, αυτό ισχύει για υλικό ενισχυμένο με σκληρές ίνες σε χαμηλή γωνία. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, δηλ. το λιγότερο 
, τόσο μεγαλύτερη είναι η αναλογία Poisson.
Εικ.8.8. Εικ.8.9
Ακόμη πιο εκπληκτικό είναι το υλικό που φαίνεται στο (Εικ. 8.9.), Και για μια τέτοια ενίσχυση, λαμβάνει χώρα ένα παράδοξο αποτέλεσμα - η διαμήκης επιμήκυνση οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους του σώματος στην εγκάρσια κατεύθυνση.
8) Γενικευμένος νόμος του Χουκ.
Σκεφτείτε ένα στοιχείο που εκτείνεται στη διαμήκη και εγκάρσια κατεύθυνση. Ας βρούμε την παραμόρφωση που προκύπτει προς αυτές τις κατευθύνσεις. 
Υπολογίστε την παραμόρφωση 
που προκύπτουν από τη δράση 
:
Σκεφτείτε την παραμόρφωση από τη δράση 
, που προκύπτει από το φαινόμενο Poisson:
Η συνολική παραμόρφωση θα είναι:
Εάν λειτουργεί και 
, στη συνέχεια προσθέστε ένα ακόμη σμίκρυνση προς την κατεύθυνση του άξονα x 
.
Συνεπώς: 
Ομοίως: 
Αυτές οι αναλογίες ονομάζονται γενικευμένος νόμος του Χουκ.
Είναι ενδιαφέρον ότι όταν γράφουμε τον νόμο του Hooke, γίνεται μια υπόθεση για την ανεξαρτησία των παραμορφώσεων επιμήκυνσης από τις διατμητικές παραμορφώσεις (σχετικά με την ανεξαρτησία από τις διατμητικές τάσεις, που είναι το ίδιο πράγμα) και αντίστροφα. Τα πειράματα επιβεβαιώνουν καλά αυτές τις υποθέσεις. Κοιτάζοντας μπροστά, σημειώνουμε ότι η αντοχή, αντίθετα, εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τον συνδυασμό διάτμησης και κανονικών τάσεων.
Σημείωση: Οι παραπάνω νόμοι και υποθέσεις επιβεβαιώνονται από πολυάριθμα άμεσα και έμμεσα πειράματα, αλλά, όπως όλοι οι άλλοι νόμοι, έχουν περιορισμένο πεδίο εφαρμογής.
Ο νόμος του Χουκσυνήθως αναφέρονται ως γραμμικές σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών παραμόρφωσης και των συνιστωσών τάσης.
Πάρτε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όψεις παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων, φορτωμένο με κανονική τάση σ x, ομοιόμορφα κατανεμημένες σε δύο αντίθετες όψεις (Εικ. 1). Εν y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Μέχρι να φτάσουμε στο όριο της αναλογικότητας, η σχετική επιμήκυνση δίνεται από τον τύπο
όπου μιείναι ο συντελεστής εφελκυσμού. Για χάλυβα μι = 2*10 5 MPa, επομένως, οι παραμορφώσεις είναι πολύ μικρές και μετρώνται ως ποσοστό ή σε 1 * 10 5 (σε όργανα μετρητή τάσης που μετρούν παραμορφώσεις).
Επέκταση ενός στοιχείου στην κατεύθυνση του άξονα Χσυνοδεύεται από στένωση του κατά την εγκάρσια διεύθυνση, που καθορίζεται από τα συστατικά της παραμόρφωσης
όπου μ είναι μια σταθερά που ονομάζεται λόγος εγκάρσιας συμπίεσης ή λόγος Poisson. Για χάλυβα μ συνήθως λαμβάνεται ίσο με 0,25-0,3.
Εάν το υπό εξέταση στοιχείο φορτίζεται ταυτόχρονα με κανονικές τάσεις σ x, y, σz, κατανέμεται ομοιόμορφα στις όψεις του, στη συνέχεια προστίθενται παραμορφώσεις
Με την υπέρθεση των συνιστωσών παραμόρφωσης που προκαλούνται από καθεμία από τις τρεις τάσεις, λαμβάνουμε τις σχέσεις
Αυτές οι αναλογίες επιβεβαιώνονται από πολυάριθμα πειράματα. εφαρμοσμένος μέθοδος επικάλυψηςή υπερθέσειςΗ εύρεση των συνολικών τάσεων και τάσεων που προκαλούνται από πολλαπλές δυνάμεις είναι θεμιτή, εφόσον οι τάσεις και οι τάσεις είναι μικρές και εξαρτώνται γραμμικά από τις ασκούμενες δυνάμεις. Σε τέτοιες περιπτώσεις, παραμελούμε μικρές αλλαγές στις διαστάσεις του παραμορφώσιμου σώματος και μικρές μετατοπίσεις των σημείων εφαρμογής εξωτερικών δυνάμεων και βασίζουμε τους υπολογισμούς μας στις αρχικές διαστάσεις και το αρχικό σχήμα του σώματος.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η γραμμικότητα των σχέσεων μεταξύ δυνάμεων και παραμορφώσεων δεν προκύπτει ακόμη από τη μικρότητα των μετατοπίσεων. Έτσι, για παράδειγμα, σε ένα συμπιεσμένο Qράβδος φορτωμένη με πρόσθετη εγκάρσια δύναμη R, έστω και με μικρή απόκλιση δ υπάρχει μια επιπλέον στιγμή Μ = Qδ, που κάνει το πρόβλημα μη γραμμικό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι συνολικές παραμορφώσεις δεν είναι γραμμικές συναρτήσεις των δυνάμεων και δεν μπορούν να ληφθούν με απλή επικάλυψη (υπέρθεση).
Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι εάν οι διατμητικές τάσεις δρουν σε όλες τις όψεις του στοιχείου, τότε η παραμόρφωση της αντίστοιχης γωνίας εξαρτάται μόνο από τις αντίστοιχες συνιστώσες της διατμητικής τάσης.
Συνεχής σολονομάζεται μέτρο διάτμησης ή μέτρο διάτμησης.
Η γενική περίπτωση παραμόρφωσης ενός στοιχείου από τη δράση τριών κανονικών και τριών συνιστωσών εφαπτομενικής τάσης σε αυτό μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας υπέρθεση: τρεις γραμμικές παραμορφώσεις που προσδιορίζονται από τις εκφράσεις (5.2a) υπερτίθενται με τρεις διατμητικές παραμορφώσεις που καθορίζονται από τις σχέσεις (5.2b) . Οι εξισώσεις (5.2a) και (5.2b) καθορίζουν τη σχέση μεταξύ των συνιστωσών παραμόρφωσης και τάσης και ονομάζονται γενικευμένος νόμος του Χουκ. Ας δείξουμε τώρα ότι ο συντελεστής διάτμησης σολεκφράζεται ως συντελεστής εφελκυσμού μικαι η αναλογία Poisson μ . Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε μια ειδική περίπτωση όπου σ x = σ , y = -σ και σz = 0.
Κόψτε το στοιχείο Α Β Γ Δεπίπεδα παράλληλα προς τον άξονα zκαι έχει κλίση υπό γωνία 45° ως προς τους άξονες Χκαι στο(Εικ. 3). Όπως προκύπτει από τις συνθήκες ισορροπίας για το στοιχείο 0 προ ΧΡΙΣΤΟΥ, κανονικές πιέσεις σ vσε όλες τις όψεις του στοιχείου Α Β Γ Δείναι ίσες με μηδέν και οι διατμητικές τάσεις είναι ίσες
Αυτή η κατάσταση στρες ονομάζεται καθαρή μετατόπιση. Οι εξισώσεις (5.2α) υποδηλώνουν ότι
δηλαδή η επέκταση του οριζόντιου στοιχείου 0 ντοισούται με τη βράχυνση του κατακόρυφου στοιχείου 0 σι: εy = -ε x.
Γωνία μεταξύ των προσώπων αβκαι προ ΧΡΙΣΤΟΥαλλαγές και την αντίστοιχη ποσότητα διατμητικής παραμόρφωσης γ μπορεί να βρεθεί από το τρίγωνο 0 προ ΧΡΙΣΤΟΥ:
Ως εκ τούτου προκύπτει ότι
Όταν μια ράβδος τεντώνεται και συμπιέζεται, το μήκος και οι διαστάσεις της διατομής αλλάζουν. Εάν διαλέξουμε νοερά από τη ράβδο στην απαραμόρφωτη κατάσταση ένα στοιχείο μήκους dx,τότε μετά την παραμόρφωση το μήκος του θα είναι ίσο με dx((Εικ. 3.6). Στην περίπτωση αυτή, η απόλυτη επιμήκυνση προς την κατεύθυνση του άξονα Ωθα είναι ίσο με
και σχετική γραμμική παραμόρφωση e xορίζεται από την ισότητα
Από τον άξονα Ωσυμπίπτει με τον άξονα της ράβδου, κατά μήκος του οποίου δρουν εξωτερικά φορτία, ονομάζουμε παραμόρφωση e xδιαμήκης παραμόρφωση, για την οποία ο δείκτης θα παραλειφθεί παρακάτω. Οι παραμορφώσεις σε κατευθύνσεις κάθετες στον άξονα ονομάζονται εγκάρσιες παραμορφώσεις. Αν συμβολίζεται με σιχαρακτηριστικό μέγεθος της διατομής (Εικ. 3.6), τότε η εγκάρσια παραμόρφωση προσδιορίζεται από τη σχέση 
Οι σχετικές γραμμικές παραμορφώσεις είναι αδιάστατα μεγέθη. Έχει διαπιστωθεί ότι οι εγκάρσιες και διαμήκεις παραμορφώσεις κατά την κεντρική τάση και συμπίεση της ράβδου συνδέονται μεταξύ τους με την εξάρτηση
Η ποσότητα v που περιλαμβάνεται σε αυτή την ισότητα ονομάζεται αναλογία Poissonή συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης. Αυτός ο συντελεστής είναι μια από τις κύριες σταθερές ελαστικότητας του υλικού και χαρακτηρίζει την ικανότητά του να εγκάρσια παραμορφώσεις. Για κάθε υλικό, προσδιορίζεται από δοκιμή εφελκυσμού ή συμπίεσης (βλ. § 3.5) και υπολογίζεται από τον τύπο
Όπως προκύπτει από την ισότητα (3.6), οι διαμήκεις και εγκάρσιες παραμορφώσεις έχουν πάντα αντίθετα σημάδια, γεγονός που επιβεβαιώνει το προφανές γεγονός ότι οι διαστάσεις της διατομής μειώνονται κατά την τάση και αυξάνονται κατά τη συμπίεση.
Η αναλογία Poisson είναι διαφορετική για διαφορετικά υλικά. Για ισοτροπικά υλικά, μπορεί να πάρει τιμές που κυμαίνονται από 0 έως 0,5. Για παράδειγμα, για το ξύλο φελλού, η αναλογία Poisson είναι κοντά στο μηδέν, ενώ για το καουτσούκ είναι κοντά στο 0,5. Για πολλά μέταλλα σε κανονικές θερμοκρασίες, η τιμή του λόγου Poisson είναι στην περιοχή 0,25 + 0,35.
Όπως διαπιστώθηκε σε πολλά πειράματα, για τα περισσότερα δομικά υλικά σε μικρές παραμορφώσεις, υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων
Αυτός ο νόμος της αναλογικότητας καθιερώθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο επιστήμονα Robert Hooke και ονομάζεται Ο νόμος του Χουκ.
Η σταθερά που περιλαμβάνεται στο νόμο του Χουκ μιονομάζεται μέτρο ελαστικότητας. Το μέτρο ελαστικότητας είναι η δεύτερη κύρια σταθερά ελαστικότητας ενός υλικού και χαρακτηρίζει την ακαμψία του. Εφόσον οι παραμορφώσεις είναι αδιάστατα μεγέθη, προκύπτει από το (3.7) ότι το μέτρο ελαστικότητας έχει τη διάσταση της τάσης.
Στον πίνακα. Το 3.1 δείχνει τις τιμές του συντελεστή ελαστικότητας και του λόγου Poisson για διάφορα υλικά.
Κατά το σχεδιασμό και τον υπολογισμό των κατασκευών, μαζί με τον υπολογισμό των τάσεων, είναι επίσης απαραίτητο να προσδιοριστούν οι μετατοπίσεις μεμονωμένων σημείων και κόμβων κατασκευών. Εξετάστε μια μέθοδο για τον υπολογισμό των μετατοπίσεων υπό κεντρική τάση και συμπίεση ράβδων.
Απόλυτο μήκος επέκτασης στοιχείου dx(Εικ. 3.6) σύμφωνα με τον τύπο (3.5) είναι
Πίνακας 3.1
|
Όνομα υλικού |
Μέτρο ελαστικότητας, MPa |
Συντελεστής Poisson |
|
Ανθρακούχο χάλυβα |
||
|
κράματα αλουμινίου |
||
|
Κράματα τιτανίου |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
κατά μήκος των ινών |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
κατά μήκος των ινών |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
πλινθοδομή |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Fiberglass SVAM |
||
|
Textolite |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Καουτσούκ σε καουτσούκ |
Ενσωματώνοντας αυτήν την έκφραση στην περιοχή από 0 έως x, παίρνουμε
όπου τους) - αξονική μετατόπιση αυθαίρετης τομής (Εικ. 3.7), και C= και( 0) - αξονική μετατόπιση του αρχικού τμήματος x = 0.Εάν αυτό το τμήμα είναι σταθερό, τότε u(0) = 0 και η μετατόπιση ενός αυθαίρετου τμήματος είναι
Η επιμήκυνση ή βράχυνση της ράβδου είναι ίση με την αξονική μετατόπιση του ελεύθερου άκρου της (Εικ. 3.7), την τιμή της οποίας λαμβάνουμε από το (3.8), υποθέτοντας x = 1:
Αντικαθιστώντας στον τύπο (3.8) την έκφραση για την παραμόρφωση; από τον νόμο του Hooke (3.7), λαμβάνουμε
Για μια ράβδο κατασκευασμένη από υλικό με σταθερό μέτρο ελαστικότητας μιΟι αξονικές μετατοπίσεις καθορίζονται από τον τύπο
Το ολοκλήρωμα που περιλαμβάνεται σε αυτήν την ισότητα μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να γράψετε αναλυτικά τη συνάρτηση Ω)και την επακόλουθη ενσωμάτωση. Η δεύτερη μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι το ολοκλήρωμα που εξετάζεται είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του οικοπέδου a στην τομή.Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία
Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις. Για μια ράβδο που τεντώνεται από μια συγκεντρωμένη δύναμη R(ρύζι. 3.3, α),η διαμήκης δύναμη. / V είναι σταθερή κατά μήκος και ισούται με R.Οι τάσεις a σύμφωνα με το (3.4) είναι επίσης σταθερές και ίσες με 
Τότε από το (3.10) λαμβάνουμε
Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι εάν οι τάσεις σε ένα συγκεκριμένο τμήμα της ράβδου είναι σταθερές, τότε οι μετατοπίσεις αλλάζουν σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο. Αντικατάσταση στην τελευταία φόρμουλα x = 1,βρείτε την επιμήκυνση της ράβδου:
Δουλειά ΕΦπου ονομάζεται ακαμψία της ράβδου σε τάση και συμπίεση.Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η τιμή, τόσο μικρότερη είναι η επιμήκυνση ή βράχυνση της ράβδου.
Θεωρήστε μια ράβδο υπό τη δράση ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου (Εικ. 3.8). Η διαμήκης δύναμη σε ένα αυθαίρετο τμήμα, σε απόσταση x από τη στερέωση, είναι ίση με
Διαίρεση Νστο ΦΑ,παίρνουμε τον τύπο για τις τάσεις
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στην (3.10) και ενσωματώνοντας, βρίσκουμε
Η μεγαλύτερη μετατόπιση, ίση με την επιμήκυνση ολόκληρης της ράβδου, προκύπτει αντικαθιστώντας το x = / στο (3.13):
Από τους τύπους (3.12) και (3.13) φαίνεται ότι αν οι τάσεις εξαρτώνται γραμμικά από το x, τότε οι μετατοπίσεις αλλάζουν σύμφωνα με το νόμο μιας τετραγωνικής παραβολής. Οικόπεδα Ν,Α και καιφαίνεται στο σχ. 3.8.
Γενικές συναρτήσεις σύνδεσης διαφορικής εξάρτησης τους)και a(x), μπορούν να ληφθούν από τη σχέση (3.5). Αντικαθιστώντας το e από τον νόμο του Hooke (3.7) σε αυτή τη σχέση, βρίσκουμε
Από αυτή την εξάρτηση ακολουθούν, ειδικότερα, τα μοτίβα αλλαγής της συνάρτησης που σημειώθηκαν στα παραπάνω παραδείγματα τους).
Επιπλέον, μπορεί να σημειωθεί ότι εάν σε οποιοδήποτε τμήμα οι τάσεις εξαφανίζονται, τότε στο διάγραμμα καιμπορεί να υπάρχει ακρότητα σε αυτή την ενότητα.
Για παράδειγμα, ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα καιγια τη ράβδο που φαίνεται στο Σχ. 3.2, βάζοντας ΜΙ- 10 4 MPa. Υπολογισμός επιφανειών οικοπέδου σχετικά μεγια διαφορετικούς τομείς, βρίσκουμε:
τμήμα x = 1 m:
τμήμα x = 3 m:
τμήμα x = 5 m:
Στο επάνω τμήμα της γραμμής διαγράμματος καιείναι μια τετράγωνη παραβολή (Εικ. 3.2, μι).Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα άκρο στο τμήμα x = 1 m. Στο κάτω τμήμα, ο χαρακτήρας του διαγράμματος είναι γραμμικός.
Η συνολική επιμήκυνση της ράβδου, η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με
μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους (3.11) και (3.14). Από το κάτω τμήμα της ράβδου (βλ. Εικ. 3.2, ένα)τεντωμένο με το ζόρι R (η επιμήκυνσή του σύμφωνα με την (3.11) ισούται με
Δράση δύναμης R (μεταδίδεται και στο πάνω τμήμα της ράβδου. Επιπλέον, συμπιέζεται με δύναμη R 2και τεντώνεται από ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q.Σύμφωνα με αυτό, η αλλαγή στο μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο
Συνοψίζοντας τις τιμές των A/, και A/ 2, έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα όπως παραπάνω.
Συμπερασματικά, θα πρέπει να σημειωθεί ότι, παρά τη μικρή αξία των μετατοπίσεων και επιμηκύνσεων (βραχύνσεων) ράβδων υπό τάση και συμπίεση, δεν μπορούν να παραβλεφθούν. Η ικανότητα υπολογισμού αυτών των ποσοτήτων είναι σημαντική σε πολλά τεχνολογικά προβλήματα (για παράδειγμα, κατά τη συναρμολόγηση κατασκευών), καθώς και για την επίλυση στατικά απροσδιόριστων προβλημάτων.
