Deformacije i pomaci. Hookeov zakon
Djelovanje vanjskih sila na čvrsto tijelo dovodi do pojave naprezanja i deformacija u tačkama njegovog volumena. U ovom slučaju, stanje naprezanja u točki, odnos između napona na različitim mjestima koja prolaze kroz ovu tačku, određeni su jednadžbama statike i ne ovise o fizičkim svojstvima materijala. Deformirano stanje, veza između pomaka i deformacija utvrđuju se geometrijskim ili kinematičkim razmatranjima i također ne ovise o svojstvima materijala. Da bi se uspostavio odnos između napona i deformacija, potrebno je uzeti u obzir stvarna svojstva materijala i uvjete opterećenja. Matematički modeli koji opisuju odnos između napona i deformacija razvijeni su na temelju eksperimentalnih podataka. Ovi modeli treba da odražavaju stvarna svojstva materijala i uslove opterećenja sa dovoljnim stepenom tačnosti.
Najčešći za konstrukcijske materijale su modeli elastičnosti i plastičnosti. Elastičnost je svojstvo tijela da mijenja oblik i veličinu pod djelovanjem vanjskih opterećenja i vraća svoju prvobitnu konfiguraciju kada se opterećenja uklone. Matematički, svojstvo elastičnosti se izražava u uspostavljanju funkcionalnog odnosa jedan-na-jedan između komponenti tenzora napona i tenzora deformacija. Svojstvo elastičnosti odražava ne samo svojstva materijala, već i uslove opterećenja. Za većinu konstrukcijskih materijala, svojstvo elastičnosti se manifestira pri umjerenim vrijednostima vanjskih sila, što dovodi do malih deformacija, i pri niskim stopama opterećenja, kada su gubici energije zbog temperaturnih učinaka zanemarivi. Materijal se naziva linearno elastičnim ako su komponente tenzora napona i tenzora deformacija povezane linearnim odnosima.
Pri visokim razinama opterećenja, kada se u tijelu pojave značajne deformacije, materijal djelomično gubi svoja elastična svojstva: pri rasterećenju se njegove izvorne dimenzije i oblik ne vraćaju u potpunosti, a kada se vanjska opterećenja potpuno uklone, preostale deformacije se fiksiraju. U ovom slučaju odnos između napona i naprezanja prestaje biti nedvosmislen. Ovo svojstvo materijala naziva se plastičnost. Preostale deformacije nakupljene u procesu plastične deformacije nazivaju se plastikom.
Visok nivo stresa može uzrokovati uništenje, odnosno podjela tijela na dijelove.Čvrsta tijela napravljena od različitih materijala uništavaju se pri različitim količinama deformacija. Lom je krt pri malim deformacijama i javlja se u pravilu bez primjetnih plastičnih deformacija. Takva destrukcija je tipična za liveno željezo, legirane čelike, beton, staklo, keramiku i neke druge konstrukcijske materijale. Za čelike s niskim udjelom ugljika, obojene metale, plastiku karakterističan je plastični tip loma u prisustvu značajnih zaostalih deformacija. Međutim, podjela materijala prema prirodi njihovog razaranja na krhke i duktilne je vrlo uvjetna, obično se odnosi na neke standardne radne uvjete. Jedan te isti materijal može se, ovisno o uvjetima (temperatura, priroda opterećenja, tehnologija izrade, itd.), ponašati kao krt ili duktilno. Na primjer, materijali koji su plastični na normalnim temperaturama uništavaju se kao krti na niskim temperaturama. Stoga je ispravnije govoriti ne o krhkim i plastičnim materijalima, već o krhkom ili plastičnom stanju materijala.
Neka je materijal linearno elastičan i izotropan. Razmotrimo elementarnu zapreminu u uslovima jednoosnog naponskog stanja (slika 1), tako da tenzor napona ima oblik
Pod takvim opterećenjem dolazi do povećanja dimenzija u smjeru osi Oh, karakterizirana linearnom deformacijom, koja je proporcionalna veličini naprezanja
Fig.1. Jednoosno naponsko stanje
Ovaj omjer je matematička notacija Hookeov zakon, uspostavljanje proporcionalne veze između napona i odgovarajuće linearne deformacije u jednoosnom naponskom stanju. Koeficijent proporcionalnosti E naziva se modul longitudinalne elastičnosti ili Youngov modul. Ima dimenziju napona.
Zajedno s povećanjem veličine u smjeru djelovanja; pod istim naprezanjem, dimenzije se smanjuju u dva ortogonalna smjera (sl. 1). Odgovarajuće deformacije će biti označene sa i , a ove deformacije su negativne za pozitivne i proporcionalne su:
Uz istovremeno djelovanje naprezanja duž tri ortogonalne ose, kada ne postoje tangencijalni naponi, za linearno elastični materijal vrijedi princip superpozicije (superpozicije rješenja):
Uzimajući u obzir formule (1 4), dobijamo
|
Tangencijalni naponi uzrokuju ugaone deformacije, a pri malim deformacijama ne utiču na promjenu linearnih dimenzija, a samim tim i na linearne deformacije. Stoga vrijede i u slučaju proizvoljnog naponskog stanja i izražavaju tzv generalizovani Hookeov zakon.
Kutna deformacija je posljedica posmičnog naprezanja , a deformacije i , respektivno, napona i . Između odgovarajućih posmičnih napona i ugaonih deformacija za linearno elastično izotropno tijelo, postoje proporcionalni odnosi
koji izražavaju zakon Kuka na smjeni. Faktor proporcionalnosti G se naziva modul smicanja. Bitno je da normalno naprezanje ne utječe na kutne deformacije, jer se u tom slučaju mijenjaju samo linearne dimenzije segmenata, a ne uglovi između njih (slika 1).
Također postoji linearna ovisnost između prosječnog naprezanja (2.18), koji je proporcionalan prvoj invarijanti tenzora naprezanja, i volumetrijskog naprezanja (2.32), koji se poklapa s prvom invarijantom tenzora naprezanja:
Fig.2. Planarna smična deformacija
Odgovarajući omjer širine i visine To pozvao zapreminski modul elastičnosti.
Formule (1 7) uključuju elastične karakteristike materijala E, , G i DO, određivanje njegovih elastičnih svojstava. Međutim, ove karakteristike nisu nezavisne. Za izotropni materijal, dvije nezavisne karakteristike elastičnosti se obično biraju kao modul elastičnosti E i Poissonov omjer. Za izražavanje modula smicanja G kroz E i , Razmotrimo ravnu posmičnu deformaciju pod djelovanjem posmičnih naprezanja (slika 2). Da bismo pojednostavili proračune, koristimo kvadratni element sa stranicom a. Izračunajte glavne napone , . Ovi naponi djeluju na mjesta koja se nalaze pod uglom u odnosu na originalna mjesta. Od sl. 2 pronaći odnos između linearne deformacije u smjeru naprezanja i kutne deformacije . Glavna dijagonala romba koji karakterizira deformaciju jednaka je
Za male deformacije
S obzirom na ove omjere
Prije deformacije, ova dijagonala je imala veličinu . Onda ćemo imati
Iz generalizovanog Hookeovog zakona (5) dobijamo
Poređenje dobijene formule sa Hookeovim zakonom sa pomakom (6) daje
Kao rezultat, dobijamo
Upoređujući ovaj izraz sa Hookeovim volumetrijskim zakonom (7), dolazimo do rezultata
Mehaničke karakteristike E, , G i To nalaze se nakon obrade eksperimentalnih podataka ispitivanja uzoraka za različite vrste opterećenja. Sa fizičke tačke gledišta, sve ove karakteristike ne mogu biti negativne. Osim toga, iz posljednjeg izraza slijedi da Poissonov omjer za izotropni materijal ne prelazi 1/2. Tako dobijamo sljedeća ograničenja za elastične konstante izotropnog materijala:
Granična vrijednost dovodi do granične vrijednosti , što odgovara nestišljivom materijalu (na ). Zaključno, napone izražavamo u terminima deformacija iz odnosa elastičnosti (5). Prvu od relacija (5) zapisujemo u obliku
Koristeći jednakost (9), imat ćemo
Slične relacije se mogu izvesti za i . Kao rezultat, dobijamo
|
Ovdje se koristi relacija (8) za modul smicanja. Osim toga, oznaka
POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTIČNE DEFORMACIJE
Razmotrite prvo elementarni volumen dV=dxdydz u uslovima jednoosnog naponskog stanja (slika 1). Mentalno popravite stranicu x=0(Sl. 3). Na suprotnoj strani djeluje sila .
Ova sila radi u pomaku. .
Kako napon raste od nule do vrijednosti
odgovarajuća deformacija, na osnovu Hookeovog zakona, takođe raste od nule do vrednosti ,
a rad je proporcionalan osenčenom na Sl. 4 kvadrata: 
. Ako zanemarimo kinetička energija i gubitaka povezanih s toplinskim, elektromagnetnim i drugim pojavama, tada će se, na osnovu zakona održanja energije, obavljeni rad pretvoriti u potencijalna energija akumulirani tokom procesa deformacije: .
F= dU/dV pozvao specifična potencijalna energija deformacije, smisleno potencijalna energija akumuliranih po jedinici zapremine tela. U slučaju jednoosnog naponskog stanja
8.2. Osnovni zakoni koji se koriste u čvrstoći materijala
Odnosi statike. Zapisane su u obliku sljedećih jednačina ravnoteže.
Hookeov zakon ( 1678): što je sila veća, to je veća deformacija i, štaviše, direktno je proporcionalna sili. Fizički, to znači da su sva tijela opruge, ali sa velikom krutošću. Jednostavnim zatezanjem grede uzdužnom silom N= F ovaj zakon se može napisati kao:
Evo 
uzdužna sila, l- dužina šipke, ALI- njegovu površinu poprečnog presjeka, E- koeficijent elastičnosti prve vrste ( Youngov modul).
Uzimajući u obzir formule za napone i deformacije, Hookeov zakon je napisan na sljedeći način: 
.
Sličan odnos je uočen u eksperimentima između posmičnih naprezanja i posmičnog ugla:
.
G
pozvaomodul smicanja
, rjeđe - modul elastičnosti druge vrste. Kao i svaki zakon, on ima granicu primjenjivosti i Hookeov zakon. voltaža 
, do koje vrijedi Hookeov zakon, se zove granica proporcionalnosti(ovo je najvažnija karakteristika sopromata).
Hajde da opišemo zavisnost
od
grafički (slika 8.1). Ova slika se zove dijagram rastezanja
. Nakon tačke B (tj 
), ova zavisnost više nije linearna.
At 
nakon istovara na tijelu se, dakle, pojavljuju zaostale deformacije 
pozvao granica elastičnosti
.
Kada napon dostigne vrijednost σ = σ t, mnogi metali počinju pokazivati svojstvo tzv. fluidnost. To znači da čak i pod stalnim opterećenjem materijal nastavlja da se deformiše (tj. ponaša se kao tečnost). Grafički, to znači da je dijagram paralelan sa apscisom (DL grafika). Napon σ t pri kojem materijal teče se naziva granica popuštanja .
Neki materijali (čl. 3 - građevinski čelik) nakon kratkog protoka ponovo počinju da se opiru. Otpor materijala se nastavlja do određene maksimalne vrijednosti σ pr, a zatim počinje postepeno uništavanje. Poziva se vrijednost σ pr - zatezna čvrstoća (sinonim za čelik: vlačna čvrstoća, za beton - kubična ili prizmatična čvrstoća). Koriste se i sljedeće oznake:
=R b
Slična ovisnost uočena je u eksperimentima između tangencijalnih napona i smicanja.
3) Dugamel-Neumann zakon (linearno toplinsko širenje):
U prisustvu temperaturne razlike, tijelo mijenja svoju veličinu i direktno je proporcionalno ovoj temperaturnoj razlici.
Neka postoji temperaturna razlika 
. Tada ovaj zakon ima oblik:
Evo α - koeficijent linearnog termičkog širenja, l - dužina štapa, Δ l- njegovo produžavanje.
4) zakon puzanja .
Istraživanja su pokazala da su svi materijali vrlo nehomogeni u malom. Šematska struktura čelika prikazana je na slici 8.2.
Neke od komponenti imaju fluidna svojstva, tako da mnogi materijali pod opterećenjem dobijaju dodatno izduženje tokom vremena. 
(sl.8.3.) (metali na visokim temperaturama, beton, drvo, plastika - na normalnim temperaturama). Ovaj fenomen se zove creep materijal.
Za tečnost važi zakon: kako više snage, što je veća brzina tijela u tečnosti. Ako je ovaj odnos linearan (tj. sila je proporcionalna brzini), onda se može zapisati kao:
E 
Ako pređemo na relativne sile i relativne elongacije, dobićemo
Ovdje je indeks " cr
" znači da se uzima u obzir dio istezanja koji je uzrokovan puzanjem materijala. Mehanička karakteristika 
nazvan koeficijent viskoznosti.
Zakon o očuvanju energije.
Razmislite o opterećenoj gredi
Hajde da uvedemo koncept pomeranja tačke, na primer,
- vertikalno kretanje tačke B;
- horizontalni pomak tačke C.
Snage 
dok radim neki posao U.
S obzirom na to da su snage 
počinju postepeno rasti i pod pretpostavkom da se povećavaju proporcionalno pomacima, dobivamo:
.
Prema zakonu o konzervaciji: nijedan rad ne nestaje, troši se na obavljanje drugog posla ili prelazi u drugu energiju (energije je posao koji tijelo može obaviti.
Rad snaga 
, troši se na savladavanje otpora elastičnih sila koje nastaju u našem tijelu. Da bismo izračunali ovaj rad, uzimamo u obzir da se tijelo može smatrati sastavljenim od malih elastičnih čestica. Razmotrimo jednu od njih:
Sa strane susjednih čestica na nju djeluje napon 
. Rezultirajući stres će biti 
Pod uticajem 
čestica je izdužena. Po definiciji, elongacija je izduženje po jedinici dužine. onda:
Izračunajmo rad dW da sila radi dN (ovdje se takođe uzima u obzir da su sile dN počinju postepeno rasti i povećavaju se proporcionalno pomacima):
Za celo telo dobijamo:
.
Posao W počinio 
, zvao energija elastične deformacije.
Prema zakonu održanja energije:
6)Princip mogućim pokretima .
Ovo je jedan od načina da se zapiše zakon održanja energije.
Neka sile djeluju na gredu F 1
,
F 2
,
…
. Oni uzrokuju pomeranje tačaka u telu 
i stres 
. Dajmo telo dodatni mali mogući pomaci
. U mehanici, zapis forme 
znači izraz "moguća vrijednost količine a". Ovi mogući pokreti će izazvati u tijelu dodatne moguće deformacije
. Oni će dovesti do pojave dodatnih vanjskih sila i naprezanja. 
,
δ.
Izračunajmo rad vanjskih sila na dodatnim mogućim malim pomacima:
Evo 
- dodatni pomaci onih tačaka na kojima se primjenjuju sile F 1
,
F 2
,
…
Razmotrite ponovo mali element s poprečnim presjekom dA i dužina dz (vidi sl. 8.5. i 8.6.). Prema definiciji, dodatno izduženje dz ovog elementa se izračunava po formuli:
dz= dz.
Zatezna sila elementa će biti:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Rad unutrašnjih sila na dodatnim pomacima izračunava se za mali element na sljedeći način:
dW = dN dz = dA dz = dV
OD 
zbrajajući energiju deformacije svih malih elemenata, dobijamo ukupnu energiju deformacije:
Zakon o očuvanju energije W = U daje:
.
Ovaj omjer se zove princip mogućih pokreta(takođe se zove princip virtuelnih pokreta). Slično, možemo razmotriti slučaj kada djeluju i posmična naprezanja. Tada se može dobiti da je energija deformacije W dodati sljedeći termin:
Ovdje - posmično naprezanje, - smicanje malog elementa. Onda princip mogućih kretanjaće poprimiti oblik:
Za razliku od prethodnog oblika pisanja zakona održanja energije, ovdje nema pretpostavke da sile počinju postepeno rasti, a rastu proporcionalno pomacima
7) Poissonov efekat.
Uzmite u obzir uzorak izduženja uzorka:
Fenomen skraćivanja tjelesnog elementa preko smjera produženja naziva se Poissonov efekat.
Nađimo uzdužnu relativnu deformaciju.
Poprečna relativna deformacija će biti:
Poissonov omjer količina se zove:
Za izotropne materijale (čelik, liveno gvožđe, beton) Poissonov odnos
To znači da je u poprečnom smjeru deformacija manje uzdužni.
Bilješka
: moderne tehnologije mogu stvoriti kompozitne materijale s Poissonovim omjerom > 1, odnosno poprečna deformacija će biti veća od uzdužne. Na primjer, to je slučaj za materijal ojačan tvrdim vlaknima pod malim uglom. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, tj. što manje 
, što je veći Poissonov omjer.
Sl.8.8. Sl.8.9
Još više iznenađuje materijal prikazan na (sl. 8.9.), a za takvo ojačanje dolazi do paradoksalnog rezultata - uzdužno izduženje dovodi do povećanja veličine tijela u poprečnom smjeru.
8) Generalizovani Hookeov zakon.
Razmotrite element koji se proteže u uzdužnom i poprečnom smjeru. Nađimo deformacije koje nastaju u ovim smjerovima. 
Izračunajte deformaciju 
proizilaze iz radnje 
:
Uzmite u obzir deformaciju od akcije 
, što je rezultat Poissonovog efekta:
Ukupna deformacija će biti:
Ako radi i 
, zatim dodajte još jedno skraćivanje u smjeru x-ose 
.
posljedično: 
Slično: 
Ovi omjeri se nazivaju generalizovani Hookeov zakon.
Zanimljivo je da se prilikom pisanja Hookeovog zakona postavlja pretpostavka o nezavisnosti istezanja od posmičnih deformacija (o nezavisnosti od posmičnih napona, što je ista stvar) i obrnuto. Eksperimenti dobro potvrđuju ove pretpostavke. Gledajući unaprijed, napominjemo da čvrstoća, naprotiv, jako ovisi o kombinaciji posmičnih i normalnih napona.
Bilješka: Gore navedeni zakoni i pretpostavke potvrđeni su brojnim direktnim i indirektnim eksperimentima, ali, kao i svi drugi zakoni, imaju ograničeno područje primjene.
Hookeov zakon obično se nazivaju linearnim odnosima između komponenti deformacije i komponenti naprezanja.
Uzmite elementarni pravokutni paralelepiped s plohama paralelnim s koordinatnim osama, opterećen normalnim naprezanjem σ x, ravnomerno raspoređenih na dve suprotne strane (slika 1). Gde y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Do dostizanja granice proporcionalnosti, relativna elongacija je data formulom
gdje E je zatezni modul. Za čelik E = 2*10 5 MPa, dakle, deformacije su vrlo male i mjere se u procentima ili u 1 * 10 5 (u deformacijskim instrumentima koji mjere deformacije).
Proširivanje elementa u smjeru osi X je praćeno njegovim suženjem u poprečnom smjeru, što je određeno komponentama deformacije
gdje μ je konstanta koja se zove poprečni omjer kompresije ili Poissonov omjer. Za čelik μ obično se uzima kao 0,25-0,3.
Ako je element koji se razmatra istovremeno opterećen normalnim naprezanjima σ x, y, σz, ravnomjerno raspoređenih po njegovim stranama, zatim se dodaju deformacije
Superponiranjem komponenti deformacije uzrokovanih svakim od tri napona, dobijamo relacije
Ovi omjeri su potvrđeni brojnim eksperimentima. primijenjen metoda preklapanja ili superpozicije pronalaženje ukupnih deformacija i napona uzrokovanih višestrukim silama je legitimno sve dok su deformacije i naponi mali i linearno ovisni o primijenjenim silama. U takvim slučajevima zanemarujemo male promjene u dimenzijama deformabilnog tijela i male pomake tačaka primjene vanjskih sila i naše proračune baziramo na početnim dimenzijama i početnom obliku tijela.
Treba napomenuti da linearnost odnosa između sila i deformacija još ne proizlazi iz malenosti pomaka. Tako, na primjer, u komprimiranom Qštap opterećen dodatnom poprečnom silom R, čak i sa malim otklonom δ postoji dodatni momenat M = Qδ, što problem čini nelinearnim. U takvim slučajevima ukupni otkloni nisu linearne funkcije sila i ne mogu se dobiti jednostavnim prekrivanjem (superpozicijom).
Eksperimentalno je utvrđeno da ako posmična naprezanja djeluju na sve strane elementa, onda izobličenje odgovarajućeg kuta ovisi samo o odgovarajućim komponentama posmičnih naprezanja.
Konstantno G naziva se modul smicanja ili modul smicanja.
Opći slučaj deformacije elementa djelovanjem tri normalne i tri tangencijalne komponente naprezanja na njega može se dobiti korištenjem superpozicije: tri linearne deformacije određene izrazima (5.2a) su superponirane s tri posmične deformacije određene relacijama (5.2b) . Jednačine (5.2a) i (5.2b) određuju odnos između komponenti deformacije i naprezanja i nazivaju se generalizovani Hookeov zakon. Pokažimo sada da je modul smicanja G izraženo kao modul zatezanja E i Poissonov omjer μ . Da biste to učinili, razmotrite poseban slučaj gdje σ x = σ , y = -σ i σz = 0.
Izrežite element a b c d ravni paralelne sa osom z i nagnuta pod uglom od 45° u odnosu na ose X i at(Sl. 3). Kao što slijedi iz uslova ravnoteže za element 0 bs, normalni naponi σ v na svim stranama elementa a b c d jednaki su nuli, a naponi na smicanje su jednaki
Ovo stresno stanje se naziva čisti pomak. Jednačine (5.2a) to impliciraju
odnosno produžetak horizontalnog elementa 0 c jednako skraćivanju vertikalnog elementa 0 b: εy = -ε x.
Ugao između lica ab i bc promjene i odgovarajuću količinu posmične deformacije γ može se naći iz trougla 0 bs:
Otuda to sledi
Kada se štap rasteže i stisne, mijenjaju se njegova dužina i dimenzije poprečnog presjeka. Ako mentalno od štapa u nedeformisanom stanju odaberemo element dužine dx, tada će nakon deformacije njegova dužina biti jednaka dx((Sl. 3.6). U ovom slučaju, apsolutno istezanje u smjeru ose Ohće biti jednako
i relativna linearna deformacija e x je definisana jednakošću
Od ose Oh poklapa se sa osom štapa, duž koje djeluju vanjska opterećenja, nazivamo deformacijom e x uzdužna deformacija, za koju će indeks biti izostavljen u nastavku. Deformacije u smjerovima okomitim na osu nazivaju se poprečne deformacije. Ako je označeno sa b karakterističnu veličinu poprečnog presjeka (slika 3.6), tada je poprečna deformacija određena relacijom 
Relativne linearne deformacije su bezdimenzionalne veličine. Utvrđeno je da su poprečne i uzdužne deformacije pri centralnom zatezanju i kompresiji štapa međusobno povezane zavisnošću
Količina v uključena u ovu jednakost naziva se Poissonov omjer ili koeficijent poprečne deformacije. Ovaj koeficijent je jedna od glavnih konstanti elastičnosti materijala i karakterizira njegovu sposobnost poprečnih deformacija. Za svaki materijal se određuje testom zatezanja ili kompresije (vidi § 3.5) i izračunava se po formuli
Kao što proizlazi iz jednakosti (3.6), uzdužna i poprečna deformacija uvijek imaju suprotne predznake, što potvrđuje očiglednu činjenicu da se dimenzije poprečnog presjeka smanjuju pri zatezanju, a povećavaju pri pritisku.
Poissonov omjer je različit za različite materijale. Za izotropne materijale može imati vrijednosti u rasponu od 0 do 0,5. Na primjer, za drvo plute, Poissonov omjer je blizu nule, dok je za gumu blizu 0,5. Za mnoge metale na normalnim temperaturama, vrijednost Poissonovog omjera je u rasponu od 0,25 + 0,35.
Kao što je utvrđeno u brojnim eksperimentima, za većinu konstrukcijskih materijala pri malim deformacijama postoji linearna veza između napona i deformacija
Ovaj zakon proporcionalnosti prvi je ustanovio engleski naučnik Robert Hooke i zove se Hookeov zakon.
Konstanta uključena u Hookeov zakon E naziva se modulom elastičnosti. Modul elastičnosti je druga glavna konstanta elastičnosti materijala i karakteriše njegovu krutost. Kako su deformacije bezdimenzionalne veličine, iz (3.7) slijedi da modul elastičnosti ima dimenziju naprezanja.
U tabeli. 3.1 prikazane su vrijednosti modula elastičnosti i Poissonovog omjera za različite materijale.
Prilikom projektovanja i proračuna konstrukcija, uz proračun napona, potrebno je odrediti i pomake pojedinih tačaka i čvorova konstrukcija. Razmotrimo metodu za proračun pomaka pod središnjim zatezanjem i kompresijom šipki.
Apsolutna dužina produžetka elementa dx(Sl. 3.6) prema formuli (3.5) je
Tabela 3.1
|
Naziv materijala |
Modul elastičnosti, MPa |
Koeficijent Poisson |
|
Ugljični čelik |
||
|
legure aluminijuma |
||
|
Legure titana |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
duž vlakana |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
preko vlakana |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
zidanje |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Fiberglass SVAM |
||
|
Tekstolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Guma na gumu |
Integracijom ovog izraza u rasponu od 0 do x, dobijamo
gdje njima) - aksijalni pomak proizvoljnog presjeka (slika 3.7), i C= i( 0) - aksijalni pomak početnog presjeka x = 0. Ako je ovaj presjek fiksan, tada je u(0) = 0 i pomak proizvoljnog presjeka je
Izduženje ili skraćivanje štapa jednako je aksijalnom pomaku njegovog slobodnog kraja (slika 3.7), čiju vrijednost dobijamo iz (3.8), uz pretpostavku x = 1:
Zamjena u formuli (3.8) izrazom za deformaciju? iz Hookeovog zakona (3.7), dobijamo
Za štap od materijala sa konstantnim modulom elastičnosti E aksijalni pomaci određuju se formulom
Integral uključen u ovu jednakost može se izračunati na dva načina. Prvi način je analitički pisanje funkcije Oh) i naknadnu integraciju. Drugi metod se zasniva na činjenici da je razmatrani integral numerički jednak površini plohe a u presjeku. Uvođenje notacije
Razmotrimo posebne slučajeve. Za štap rastegnut koncentriranom silom R(pirinač. 3.3, a), uzdužna sila. / V je konstantna duž dužine i jednaka je R. Naponi a prema (3.4) su također konstantni i jednaki 
Tada iz (3.10) dobijamo
Iz ove formule slijedi da ako su naprezanja na određenom dijelu štapa konstantna, onda se pomaci mijenjaju prema linearnom zakonu. Zamjena u posljednjoj formuli x = 1, pronađite izduženje štapa:
Posao EF pozvao krutost štapa na napetost i kompresiju.Što je ova vrijednost veća, to je manje izduženje ili skraćivanje štapa.
Zamislite štap pod dejstvom ravnomerno raspoređenog opterećenja (slika 3.8). Uzdužna sila u proizvoljnom presjeku, razmaknuta na udaljenosti x od pričvršćivanja, jednaka je
Dividing N na F, dobijamo formulu za napone
Zamjenjujući ovaj izraz u (3.10) i integrirajući, nalazimo
Najveći pomak, jednak izduženju cijelog štapa, dobiva se zamjenom x = / u (3.13):
Iz formula (3.12) i (3.13) može se vidjeti da ako naponi linearno zavise od x, onda se pomaci mijenjaju prema zakonu kvadratne parabole. Parcele N, oh i i prikazano na sl. 3.8.
Opće funkcije povezivanja diferencijalne ovisnosti njih) i a(x), mogu se dobiti iz relacije (3.5). Zamjenom e iz Hookeovog zakona (3.7) u ovu relaciju nalazimo
Iz ove zavisnosti proizilaze, posebno, obrasci promjene funkcije zabilježeni u gornjim primjerima njih).
Osim toga, može se primijetiti da ako u bilo kojem dijelu naponi nestanu, onda na dijagramu i u ovom dijelu može postojati ekstrem.
Kao primjer, napravimo dijagram i za štap prikazan na sl. 3.2, stavljanje E- 10 4 MPa. Obračun površina parcela o za različite oblasti nalazimo:
presjek x = 1 m:
presjek x = 3 m:
presjek x = 5 m:
U gornjem dijelu trake dijagrama i je kvadratna parabola (slika 3.2, e). U ovom slučaju postoji ekstremum u presjeku x = 1 m. U donjem dijelu, karakter dijagrama je linearan.
Ukupno izduženje štapa, koje je u ovom slučaju jednako
može se izračunati pomoću formula (3.11) i (3.14). Budući da donji dio štapa (vidi sliku 3.2, a) rastegnuto silom R ( njegovo produženje prema (3.11) je jednako
Djelovanje sile R ( prenosi se i na gornji dio štapa. Osim toga, kompresuje se silom R 2 i rastegnuti ravnomjerno raspoređenim opterećenjem q. U skladu s tim, promjena njegove dužine se izračunava po formuli
Zbrajanjem vrijednosti A/ i A/ 2 dobijamo isti rezultat kao gore.
U zaključku treba napomenuti da se, unatoč maloj vrijednosti pomaka i izduženja (skraćivanja) šipki pod zatezanjem i kompresijom, oni ne mogu zanemariti. Sposobnost izračunavanja ovih veličina važna je u mnogim tehnološkim problemima (na primjer, pri montaži konstrukcija), kao i za rješavanje statički neodređenih problema.
