Strogi odnos poretka. Relacija strogog reda Relacija strogog linearnog reda ima svojstva

Riječ "red" često se koristi u najrazličitijim izdanjima. Oficir daje komandu: „Izračunaj po redosledu brojeva“, aritmetičke radnje se izvode određenim redosledom, sportisti postaju u visini, svi vodeći šahisti se poredaju u određeni red prema tzv. Elo koeficijentima (američki profesor koji je razvio sistem koeficijenata, koji omogućava da se uzmu u obzir svi uspjesi i neuspjesi igrača), nakon prvenstva, svi fudbalski timovi su raspoređeni po određenom redoslijedu, itd. zasadio magarca ne "!).

Ređajući elemente određenog skupa jedan za drugim, na taj način ih poredamo ili uspostavljamo neki odnos među njima. zaredom. Najjednostavniji primjer je prirodni red prirodnih brojeva. Njegova prirodnost leži u činjenici da za bilo koja dva prirodna broja znamo koji od njih slijedi drugi ili koji je veći od drugog, pa prirodne brojeve možemo poredati u niz tako da se nalazi veći broj, jer na primjer, desno od manjeg: 1, 2, 3, ... . Naravno, niz elemenata se može pisati u bilo kojem smjeru, a ne samo s lijeva na desno. Sam koncept prirodnih brojeva već sadrži ideju reda. Uspostavljanjem nekog relativnog rasporeda elemenata bilo kojeg skupa, na njega postavljamo neki binarni odnos poretka, koji u svakom konkretnom slučaju može imati svoje ime, na primjer, "biti manji", "biti stariji", "sadržati u " , "prati" itd. Simboli za naručivanje također mogu biti različiti, na primjer, Í itd.

Glavna karakteristika relacije poretka je da ima svojstvo tranzitivnosti. Dakle, ako imamo posla sa nizom nekih objekata x 1, x 2, ..., x n,... , naređeno, na primjer, u odnosu na , zatim iz onoga što se izvodi x 1x 2... x n..., to bi trebalo slijediti za bilo koji par x i , x j izvodi se i elementi ovog niza x ixj:

Za par elemenata x ij u grafu odnosa crtamo strelicu odozgo x i na vrhu xj, odnosno od manjeg elementa do većeg.

Graf odnosa poretka može se pojednostaviti korištenjem tzv Hasse dijagrami. Hasseov dijagram je konstruiran na sljedeći način. Manji elementi su postavljeni ispod, a veliki iznad. Kako jedno takvo pravilo nije dovoljno za sliku, crtaju se linije koje pokazuju koji je od dva elementa veći, a koji manji od drugog. U ovom slučaju, dovoljno je nacrtati samo linije da se elementi odmah prate. Primjeri Hasse dijagrama prikazani su na slici:

Strelice se mogu izostaviti u Hasseovom dijagramu. Hasseov dijagram se može rotirati u ravnini, ali ne proizvoljno. Prilikom okretanja potrebno je održavati relativni položaj (iznad - ispod) vrhova dijagrama:

Stav R u mnoštvu X pozvao odnos strogog reda, ako je tranzitivan i asimetričan.

Poziva se skup u kojem je definirana relacija strogog reda uredno. Na primjer, skup prirodnih brojeva uređen je relacijom "manje od". Ali isti skup je također poređan drugom relacijom - “podijeljeno je sa” i “većim”.

Graf relacije "manje od" u skupu prirodnih brojeva može se predstaviti kao zraka:

Stav R V X naziva se relacija nestrogi (parcijalni) poredak, ako je tranzitivan i antisimetričan. Svaki odnos nestriktnog poretka je refleksivan.

Epitet "djelomičan" izražava činjenicu da možda svi elementi skupa nisu uporedivi u ovom pogledu.

Tipični primjeri relacije parcijalnog reda su "ne više", "ne manje", "ne starije". Čestica "ne" u nazivima odnosa služi za izražavanje njihove refleksivnosti. Relacija "ne više" poklapa se sa relacijom "manje ili jednako", a relacija "ne manje" je isto što i "veće od ili jednako". U tom smislu, parcijalni poredak se takođe naziva opušten u redu. Često se parcijalni (nestrogi) odnos poretka označava simbolom "".

Relacija uključivanja U između podskupova nekog skupa je također parcijalni poredak. Očigledno, nijedna dva podskupa nisu uporediva u ovom pogledu. Na slici ispod prikazan je djelomični poredak uključivanjem na skup svih podskupova skupa (1,2,3). Strelice na grafikonu, koje bi trebale da pokazuju nagore, nisu prikazane.

Skupovi na kojima je dat parcijalni red se pozivaju djelimično naručeno, ili jednostavno uredno setovi.

Elementi X I at nazivaju se djelomično uređeni skupovi uporedi, Ako Xat ili atX. Inače, nisu uporedivi.

Poziva se uređeni skup u kojem su bilo koja dva elementa uporediva linearno uređeno, a redoslijed je linearni poredak. Linearni poredak se takođe naziva savršenim redom.

Na primjer, skup svih realnih brojeva prirodnog reda, kao i svi njegovi podskupovi, linearno je uređen.

Mogu se naručiti objekti najrazličitije prirode hijerarhijski. Evo nekoliko primjera.

Primer 1: Delovi knjige su poređani tako da knjiga sadrži poglavlja, poglavlja sadrže odeljke, a odeljci se sastoje od pododeljaka.

Primjer 2. Fascikle u kompjuterskom sistemu datoteka su ugniježđene jedna u drugu, formirajući granastu strukturu.

Primjer 3. Odnos roditelji - djeca može se prikazati u obliku tzv porodično stablo, koji pokazuje ko je čiji predak (ili potomak).

Pustite na set A dato djelimično naređenje. Element X pozvao maksimum (minimum) element skupa A, ako iz činjenice da Xat(atX), slijedi jednakost X= y. Drugim riječima, element X je maksimum (minimum) ako za bilo koji element at ili to nije tačno Xat(atX), ili se izvodi X=y. Dakle, maksimalni (minimalni) element je veći (manji) od svih ostalih elemenata sa kojima je u vezi.

Element X pozvao najveći (najmanji), ako za bilo koji atÎ A izvedeno at< х (х< у).

Djelomično uređen skup može imati više minimalnih i/ili maksimalnih elemenata, ali ne može biti više od jednog minimalnog i maksimalnog elementa. Najmanji (najveći) element je ujedno i minimum (maksimum), ali obrnuto nije tačno. Slika lijevo prikazuje djelomični poredak sa dva minimalna i dva maksimalna elementa, a desno - djelomični poredak sa najmanjim i najvećim elementom:

U konačnom, djelomično uređenom skupu, uvijek postoje minimalni i maksimalni elementi.

Uređeni skup koji ima najveće i najmanje elemente naziva se ograničeno. Na slici je prikazan primjer beskonačnog ograničenog skupa. Naravno, nemoguće je prikazati beskonačan skup na konačnoj stranici, ali je moguće prikazati princip njegove konstrukcije. Ovdje petlje u blizini vrhova nisu prikazane kako bi se pojednostavilo crtanje. Iz istog razloga, lukovi koji daju prikaz svojstva tranzitivnosti nisu prikazani. Drugim riječima, slika prikazuje Hasseov dijagram odnosa reda.

Beskonačni skupovi možda nemaju ni maksimum, ni minimum, ni oboje. Na primjer, skup prirodnih brojeva (1,2, 3, ...) ima najmanji element 1, ali nema maksimum. Skup svih realnih brojeva prirodnog reda nema ni najmanji ni najveći element. Međutim, njegov podskup koji se sastoji od svih brojeva X< 5 ima najveći element (broj 5), ali ne i najmanji element.

Neka je R binarna relacija na skupu A.

DEFINICIJA. binarnu relaciju R na skupu A naziva se relacija reda na A ili red na A ako je tranzitivan i antisimetričan.

DEFINICIJA. Relacija poretka R na skupu A naziva se nestroga ako je refleksivna na A, tj. za bilo koji od A.

Relacija reda R se kaže da je stroga (na A) ako je antirefleksivna na A, tj. za bilo koji od A. Međutim, antisimetrija tranzitivne relacije R proizlazi iz činjenice da je antirefleksivna. Stoga možemo dati sljedeću ekvivalentnu definiciju.

DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se strogim redom na A ako je tranzitivna i antirefleksivna na A.

Primjeri. 1. Neka je skup svih podskupova skupa M. Relacija uključivanja na skupu je relacija nestrogog reda.

2. Relacije na skupu realnih brojeva su, respektivno, relacije strogog i nestrogog reda.

3. Relacija djeljivosti u skupu prirodnih brojeva je relacija nestrogog reda.

DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se relacija predreda ili predred na A ako je refleksivna na i tranzitivna.

Primjeri. 1. Omjer djeljivosti u skupu cijelih brojeva nije red. Međutim, on je refleksivan i tranzitivan, što znači da je prednarudžbina.

2. Relacija logičke posljedice je predured na skupu propozicionalnih logičkih formula.

Linearni poredak. Važan poseban slučaj naloga je linearni poredak.

DEFINICIJA. Relacija poretka na skupu naziva se linearna relacija reda ili linearna poredak ako je povezana na , tj. za bilo koje x, y iz A

Relacija poretka koja nije linearna obično se naziva relacija parcijalne narudžbe ili parcijalna relacija.

Primjeri. 1. Relacija "manje od" na skupu realnih brojeva je relacija linearnog reda.

2. Odnos reda prihvaćen u rječnicima ruskog jezika naziva se leksikografski. Leksikografski poredak na skupu riječi u ruskom jeziku je linearan.

Riječ "red" se često koristi u raznim pitanjima. Oficir daje komandu: „Izračunaj po redosledu brojeva“, računske radnje se izvode određenim redosledom, sportisti postaju u visini, postoji redosled za izvođenje operacija u izradi dela, red reči u rečenici.

Šta je zajedničko u svim slučajevima kada je red u pitanju? Činjenica da riječ „red“ ima takvo značenje: znači koji element ovog ili onog skupa slijedi nakon kojeg (ili koji element prethodi kome).

stav " X slijedi at» tranzitivno: ako « X slijedi at" i " at slijedi z", to" x slijedi z". Osim toga, ovaj omjer mora biti antisimetričan: za dva različita X I at, Ako X slijedi at, To at ne slijedi X.

Definicija. Stav R na setu X pozvao strog odnos reda, ako je tranzitivan i antisimetričan.

Hajde da saznamo karakteristike grafa i grafa odnosa strogog reda.

Razmotrimo primjer. Na setu X= (5, 7, 10, 15, 12) odnos R: « X < at". Ovu relaciju definiramo nabrajanjem parova
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Napravimo njegov graf. Vidimo da graf ove relacije nema petlje. Na grafikonu nema dvostrukih strelica. Ako od X strelica ide na at, i od at- V z, zatim od X strelica ide na z(Sl. 8).

Konstruisani graf vam omogućava da rasporedite elemente skupa X ovim redoslijedom:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Na slici 6 (§ 6 ovog poglavlja) kolone VII, VIII su grafovi relacija strogog reda.

Nestrogi odnos poretka

Relacija "manje od" u skupu realnih brojeva je suprotna odnosu "ne manje". To više nije stroga naredba. Poenta je u X = at, odnosi X ³ at I at ³ X, tj. relacija "ne manje" je refleksivna.

Definicija. Stav R na setu X pozvao nestrogi odnos poretka, ako je refleksivan, antisimetričan i tranzitivan.

Takvi odnosi su zajednice odnosa strogog poretka sa odnosom identiteta.

Razmotrimo relaciju "nema više" (£) za skup

X= (5, 7, 10, 15, 12). Napravimo njegov graf (slika 9).

Graf odnosa nestrogog reda, za razliku od grafa relacija strogog reda, ima petlje na svakom vrhu.

Na sl. 6 (§ 6 ovog poglavlja) grafovi V, VI su grafovi relacija nestrogog reda.

Naručeni setovi

Skup se može pokazati uređenim (također kažu potpuno uređen) nekom relacijom reda, dok drugi može biti neuređen ili djelomično uređen takvom relacijom.

Definicija. Gomila X pozvao uredno neki odnos poretka R ako za bilo koja dva elementa x, y od X:

(X, at) Î R ili ( y, x) Î R.

Ako R je strogi odnos reda, onda skup X naređeno ovom relacijom pod uslovom: ako X, at bilo koja dva nejednaka elementa skupa X, To ( X, at) Î R ili ( y, x) Î R, ili bilo koja dva elementa x, y setovi X su jednaki.

Iz školskog predmeta matematike poznato je da skupovi brojeva N , Z , Q , R poredano po omjeru "manje od" (<).

Skup podskupova određenog skupa nije uređen uvođenjem inkluzivne relacije (U), ili stroge inkluzivne relacije (T) u gornjem smislu, jer postoje podskupovi od kojih nijedan nije uključen u drugi. U ovom slučaju, za dati skup se kaže da je djelimično uređen relacijom Í (ili Ì).

Razmotrite set X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) i ima dvije relacije "manje od" i "djeljivo sa". Lako je provjeriti da su oba ova odnosa odnosi poretka. Graf relacije manje od može se predstaviti kao zraka.

Graf relacije "je podijeljen sa" može se prikazati samo na ravni.

Osim toga, na grafu druge relacije postoje vrhovi koji nisu povezani strelicom. Na primjer, ne postoji strelica koja povezuje brojeve 4 i 5 (slika 10).

Prva relacija X < at' se naziva linearnim. Općenito, ako je red odnos R(strogi i nestrogi) na setu X ima svojstvo: za bilo koje X, atÎ X ili xRy, ili yRx, tada se naziva linearna relacija reda, a skup X je linearno uređen skup.

Ako je set X naravno i sastoji se od n elemenata, zatim linearnog reda X svodi se na nabrajanje njegovih elemenata brojevima 1,2,3, ..., n.

Linearno uređeni skupovi imaju niz svojstava:

1°. Neka a, b, c– set elemenata X, poredano po relaciji R. Ako se to zna aRv I vRc, onda kažemo da je element V leži između elemenata A I With.

2°. Gomila X, linearno poredano relacijom R, naziva se diskretnim ako između bilo koja dva njegova elementa leži samo konačan skup elemenata ovog skupa.

3°. Linearno uređen skup naziva se gust ako za bilo koja dva različita elementa ovog skupa postoji element skupa koji leži između njih.

Važan tip binarnih odnosa su odnosi poretka. Strogi odnos reda - binarni odnos koji je antirefleksivan, antisimetričan i tranzitivan:

oznaka - (A prethodio b). Primjeri su

odnosi "veći od", "manje od", "stariji" itd. Za brojeve, uobičajena oznaka su znakovi "<", ">".

Nestrogi odnos poretka - binarni refleksivni, antisimetrični i tranzitivni odnos. Uz prirodne primjere nestrogih nejednakosti za brojeve, primjer je odnos između tačaka u ravni ili prostoru „da budu bliže ishodištu“. Nestroga nejednakost, za cijele i realne brojeve, također se može smatrati disjunkcijama jednakosti i odnosa strogog reda.

Ako sportski turnir ne predviđa podjelu mjesta (tj. svaki učesnik dobije određeno, samo jelo/nagrađeno mjesto), onda je to primjer strogog reda; inače, nestrogi.

Relacije poretka se uspostavljaju na skupu kada je za neke ili sve parove njegovih elemenata relacija

prednost . Postavljanje-za skup se poziva neka relacija reda njegovo "naređenje, i "self. set kao rezultat ovoga postaje uredno. Relacije poretka se mogu uvesti na različite načine. Za konačan skup, svaka permutacija njegovih elemenata "specifikuje neki strogi red. Beskonačan skup se može urediti na beskonačan broj načina. Samo oni redosledi koji imaju smisleno značenje su od interesa.

Ako za odnos narudžbe R na setu .M i neke različite elemente, barem jedna od relacija vrijedi

aRb ili b Ra , zatim elementi A I b pozvao uporedivi inače - neuporedivo.

Potpuno (ili linearno) uređen skup M -

skup na kojem je data relacija reda i bilo koja dva elementa skupa M uporedivi; djelomično naručeni set- isto, ali su dozvoljeni parovi neuporedivih elemenata.

Linearno uređen skup je skup tačaka na pravoj liniji sa relacijom "desno", skup cijelih, racionalnih, realnih brojeva u odnosu na "veće od" itd.

Primjer djelomično uređenog skupa su trodimenzionalni vektori, ako je redoslijed dat kao da

To jest, ako je prioritet zadovoljen u sve tri koordinate, vektori (2, 8, 5) i (6, 9, 10) su uporedivi, a vektori (2, 8, 5) i (12, 7, 40) ) nisu uporedivi. Ovaj način uređenja može se proširiti na vektore bilo koje dimenzije: vektor

prethodi vektoru if

I gotovo

Na skupu vektora mogu se razmotriti i drugi primjeri uređenja.

1) djelomični red: , Ako

One. po dužini vektora; vektori iste dužine su neuporedivi.

2) linearni poredak: , Ako a Ako a-d, To b< е ; ako jed \u003d c?u6 \u003d e, onda