Varijabilni redovi. Apsolutna i uvjetna konvergencija Primjeri rješenja naizmjeničnih serija

kozmetologija

Niz brojeva koji sadrži beskonačan broj pozitivnih i beskonačan broj negativnih članova naziva se naizmjenični.

Apsolutna i uslovna konvergencija

Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako i niz konvergira.

Ako niz konvergira apsolutno, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obratno nije tačno.

Za niz se kaže da je uslovno konvergentan ako se sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira.

Istražite nizove konvergencije .

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za naizmjenične serije. Dobijamo

zbog . Stoga se ova serija konvergira.

38. Naizmjenični redovi. Leibnizov znak.

Poseban slučaj naizmjeničnog niza je naizmjenični niz, odnosno niz u kojem uzastopni članovi imaju suprotne predznake.

Leibnizov znak

Za one koji se izmjenjuju u blizini, primjenjuje se Leibnizov test dovoljne konvergencije.

Neka (an) bude niz brojeva takav da

1. an+1< an для всех n;

Tada izlaze naizmjenične serije.

39. Funkcionalni redovi. Power series. radijus konvergencije. Interval konvergencije.

Koncept funkcionalnog niza i potencijskog reda

Zapamtite, uobičajeni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi serije su BROJEVI.

Funkcionalni red se sastoji od FUNKCIJE:

Pored polinoma, faktorijala i drugih darova, uobičajeni pojam niza svakako uključuje slovo "x". To izgleda ovako, na primjer:

Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalnog niza su funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je power series.

definicija:

Potencijalni niz je niz čiji zajednički pojam uključuje pozitivne cjelobrojne potencije nezavisne varijable.

Pojednostavljeni redovi stepena u mnogim udžbenicima piše se na sledeći način: , gde je staro poznato „punjenje“ brojevnih nizova (polinomi, stepeni, faktorijeli koji zavise samo od „en“). Najjednostavniji primjer:

Pogledajmo ovu dekompoziciju i ponovo razmislimo o definiciji: članovi niza stepena sadrže "x" u pozitivnim cijelim (prirodnim) potencijama.

Vrlo često se niz stepena može naći u sljedećim "modifikacijama": ili gdje je a konstanta. Na primjer:

Strogo govoreći, pojednostavljeni prikazi potencijskog reda, ili nisu sasvim tačni. U eksponentu, umjesto jednog slova "en", može se locirati složeniji izraz, na primjer:

Ili ovaj niz snaga:

Kad bi samo eksponenti na "xAx" bili prirodni.

Konvergencija Power Series.

Interval konvergencije, radijus konvergencije i površina konvergencije

Ne treba se plašiti takvog obilja pojmova, oni idu „jedni pored drugih“ i nisu posebno teški za razumevanje. Bolje je odabrati neke jednostavne eksperimentalne serije i odmah početi razumijevati.

Tražim od vas da volite i favorizirate niz stepena Varijabla može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Zamijenite nekoliko proizvoljnih x vrijednosti u zajednički pojam niza:

Ako je x=1 onda

Ako je x=-1, onda

Ako je x=3 onda

Ako je x=-0,2, onda

Očigledno je da zamjenom "x" u jednu ili drugu vrijednost dobijamo različite numeričke serije. Neki nizovi brojeva će se konvergirati, a neki će se razilaziti. A naš zadatak je pronaći skup vrijednosti "x" na kojem će se niz moći konvergirati. Takav skup se naziva područjem konvergencije reda.

Za bilo koji niz stepena (privremeno odstupajući od konkretnog primjera), moguća su tri slučaja:

1) Redovi stepena konvergiraju apsolutno na nekom intervalu . Drugim riječima, ako odaberemo bilo koju vrijednost "x" iz intervala i zamijenimo je zajedničkim članom niza stepena, onda ćemo dobiti apsolutno konvergentan broj brojeva. Takav interval se naziva interval konvergencije niza stepena.

Radijus konvergencije, jednostavno, je polovina dužine intervala konvergencije:

Geometrijski, situacija izgleda ovako:

U ovom slučaju, interval konvergencije niza: radijus konvergencije niza:

Niz brojeva koji sadrži beskonačan broj pozitivnih i beskonačan broj negativnih članova naziva se naizmjenični.

Apsolutna i uslovna konvergencija

Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako i niz konvergira.

Ako niz konvergira apsolutno, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obratno nije tačno.

Za niz se kaže da je uslovno konvergentan ako se sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira.

Istražite nizove konvergencije .

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za naizmjenične serije. Dobijamo

zbog . Stoga se ova serija konvergira.

38. Naizmjenični redovi. Leibnizov znak.

Poseban slučaj naizmjeničnog niza je naizmjenični niz, odnosno niz u kojem uzastopni članovi imaju suprotne predznake.

Leibnizov znak

Za one koji se izmjenjuju u blizini, primjenjuje se Leibnizov test dovoljne konvergencije.

Neka (an) bude niz brojeva takav da

1. an+1< an для всех n;

Tada izlaze naizmjenične serije.

39. Funkcionalni redovi. Power series. radijus konvergencije. Interval konvergencije.

Koncept funkcionalnog niza i potencijskog reda

Zapamtite, uobičajeni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi serije su BROJEVI.

Funkcionalni red se sastoji od FUNKCIJE:

Pored polinoma, faktorijala i drugih darova, uobičajeni pojam niza svakako uključuje slovo "x". To izgleda ovako, na primjer:

Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalnog niza su funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je power series.

definicija:

Potencijalni niz je niz čiji zajednički pojam uključuje pozitivne cjelobrojne potencije nezavisne varijable.

Pogledajmo ovu dekompoziciju i ponovo razmislimo o definiciji: članovi niza stepena sadrže "x" u pozitivnim cijelim (prirodnim) potencijama.

Vrlo često se niz stepena može naći u sljedećim "modifikacijama": ili gdje je a konstanta. Na primjer:

Strogo govoreći, pojednostavljeni prikazi potencijskog reda, ili nisu sasvim tačni. U eksponentu, umjesto jednog slova "en", može se locirati složeniji izraz, na primjer:

Ili ovaj niz snaga:

Kad bi samo eksponenti na "xAx" bili prirodni.

Konvergencija Power Series.

Interval konvergencije, radijus konvergencije i površina konvergencije

Ako je x=1 onda

Ako je x=-1, onda

Definicija 1

Brojevni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, čiji članovi imaju proizvoljne predznake (+), (?), naziva se naizmjenični niz.

Naizmjenični nizovi koji su gore razmatrani su poseban slučaj naizmjeničnog niza; jasno je da nije svaka naizmjenična serija naizmjenična. Na primjer, serija $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ naizmjenični, ali ne naizmjenični nizovi.

Imajte na umu da u naizmjeničnom nizu pojmova, i sa znakom (+) i sa znakom (-), postoji beskonačno mnogo. Ako to nije tačno, na primjer, niz sadrži konačan broj negativnih članova, onda se oni mogu odbaciti i uzeti u obzir niz sastavljen samo od pozitivnih članova, i obrnuto.

Definicija 2

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i njegov zbir je S, i djelomični zbir je jednak $S_n$ , tada se $r_(n) =S-S_(n) $ naziva ostatak niza, a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, tj. ostatak konvergentnog niza teži 0.

Definicija 3

Niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ naziva se apsolutno konvergentnim ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.

Definicija 4

Ako niz brojeva $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira i niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\desno| $, sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova, divergira, tada se originalni niz naziva uslovno (ne-apsolutno) konvergentnim.

Teorema 1 (dovoljan kriterij za konvergenciju naizmjeničnih redova)

Naizmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira ako je niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova$\sum \limits _(n=1) ^ konvergira (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Komentar

Teorema 1 daje samo dovoljan uvjet za konvergenciju naizmjeničnih redova. Obratna teorema nije tačna, tj. ako naizmjenični niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira, onda nije neophodno da niz sastavljen od modula $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (može biti ili konvergentan ili divergentan). Na primjer, serija $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergira prema Leibnizovom testu, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova je $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonični niz) divergira.

Nekretnina 1

Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergira apsolutno, tada konvergira apsolutno za bilo koju permutaciju svojih članova, a zbir niza ne zavisi od reda članova. Ako je $S"$ zbir svih njegovih pozitivnih članova, a $S""$ zbir svih apsolutnih vrijednosti njegovih negativnih članova, tada je zbir niza $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ je jednako $S=S"-S""$.

Nekretnina 2

Ako niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ apsolutno konvergira i $C=(\rm const)$, tada niz $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ također apsolutno konvergira.

Nekretnina 3

Ako se nizovi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ apsolutno konvergiraju, tada niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ takođe apsolutno konvergira.

Svojstvo 4 (Riemannova teorema)

Ako se niz uslovno konvergira, onda bez obzira koji broj A uzmemo, možemo preurediti članove ovog niza tako da njegov zbir bude tačno jednak A; štaviše, moguće je preurediti članove uslovno konvergentnog niza na takav način da nakon toga on divergira.

Primjer 1

Istražite niz za uslovnu i apsolutnu konvergenciju

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Rješenje. Ovaj niz je naizmjenični znak, čiji zajednički termin označavamo: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Primjer 2

Ispitajte niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za apsolutnu i uslovnu konvergenciju.

Ispitujemo apsolutnu konvergenciju serije. Označite $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i sastavite niz apsolutnih vrijednosti $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dobijamo niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ sa pozitivnim članovima, na koje primjenjujemo granični kriterij za poređenje serija. Za poređenje sa $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ razmotrite niz koji ima oblik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ovaj niz je Dirichletov niz s eksponentom $p=\frac(1)(2)
Zatim, ispitujemo originalni niz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ za uslovne konvergencija. Da bismo to učinili, provjeravamo ispunjenost uslova Leibnizovog testa. Uslov 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdje je $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ova serija je naizmjenična. Za provjeru uvjeta 2) o monotonom opadanju članova niza koristimo sljedeću metodu. Razmotrite pomoćnu funkciju $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definiranu na $x\in )