O'zgaruvchan qatorlar. Mutlaq va shartli yaqinlashish Yechimlarning muqobil qator misollari

Cheksiz sonli musbat va cheksiz sonli manfiy hadlarni o'z ichiga olgan qatorlar o'zgaruvchan deyiladi.

Mutlaq va shartli yaqinlashuv

Agar qator ham yaqinlashsa, qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar qator mutlaq yaqinlashsa, u yaqinlashadi (odatiy ma'noda). Qarama-qarshilik to'g'ri emas.

Ketma-ket shartli yaqinlashuvchi deyiladi, agar uning o'zi yaqinlashsa va uning a'zolari modullaridan tashkil topgan qatorlar ajralib chiqsa.

Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing .

Keling, o'zgaruvchan qatorlar uchun Leybnitsning etarli testini qo'llaylik. olamiz

chunki . Shunday qilib, bu seriya birlashadi.

38. O'zgaruvchan qatorlar. Leybnits belgisi.

Muqobil qatorning alohida holi - o'zgaruvchan qator, ya'ni ketma-ket atamalar qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan qator.

Leybnits belgisi

Yaqin atrofda almashinadiganlar uchun Leybnitsning etarli darajada yaqinlashuv testi qo'llaniladi.

(an) shunday sonlar ketma-ketligi bo'lsin

1. an+1< an для всех n;

Keyin o'zgaruvchan seriyalar chiqadi.

39. Funktsional qatorlar. Quvvat seriyasi. konvergentsiya radiusi. Konvergentsiya oralig'i.

Funktsional qatorlar va quvvat qatorlari tushunchasi

Oddiy raqamlar seriyasi, esda tuting, raqamlardan iborat:

Seriyaning barcha aʼzolari NUMBERS.

Funktsional qator FUNCTIONSdan iborat:

Polinomlar, faktoriallar va boshqa sovg'alarga qo'shimcha ravishda, seriyaning umumiy atamasi, albatta, "x" harfini o'z ichiga oladi. Bu shunday ko'rinadi, masalan:

Raqamlar qatori kabi har qanday funksional qator kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

Ko'rib turganingizdek, funktsional qatorning barcha a'zolari funksiyalardir.

Funktsional seriyalarning eng mashhur turi quvvat seriyasi.

Ta'rif:

Darajali qator - umumiy atamasi mustaqil o'zgaruvchining musbat butun sonli darajalarini o'z ichiga olgan qator.

Ko'pgina darsliklarda soddalashtirilgan darajalar qatori quyidagicha yozilgan: , bu erda raqamlar qatorlarining eski tanish "to'ldirilishi" (faqat "en" ga bog'liq bo'lgan polinomlar, darajalar, faktoriallar). Eng oddiy misol:

Keling, bu parchalanishni ko'rib chiqamiz va ta'rifni qayta ko'rib chiqamiz: darajalar qatori a'zolari musbat butun (tabiiy) darajalarda "x" ni o'z ichiga oladi.

Ko'pincha, quvvat seriyasini quyidagi "modifikatsiyalar" da topish mumkin: yoki bu erda a doimiy. Masalan:

To'g'ri aytganda, kuch seriyasining soddalashtirilgan ko'rinishlari yoki unchalik to'g'ri emas. Ko'rsatkichda bitta "en" harfi o'rniga murakkabroq ifodani joylashtirish mumkin, masalan:

Yoki bu quvvat seriyasi:

Agar "xAx" da ko'rsatkichlar tabiiy bo'lsa edi.

Quvvat seriyasining konvergentsiyasi.

Konvergentsiya oralig'i, yaqinlashish radiusi va yaqinlashish maydoni

Bunday atamalarning ko'pligidan qo'rqishning hojati yo'q, ular "bir-birining yoniga" boradi va tushunish ayniqsa qiyin emas. Ba'zi oddiy eksperimental seriyalarni tanlash va darhol tushunishni boshlash yaxshiroqdir.

Men sizdan quvvat seriyasini sevishingizni va yoqishingizni so'rayman. O'zgaruvchi "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qadar har qanday haqiqiy qiymatni olishi mumkin. Bir nechta ixtiyoriy x qiymatlarni ketma-ket umumiy atamaga almashtiring:

Agar x = 1 bo'lsa

Agar x=-1 bo'lsa, u holda

Agar x = 3 bo'lsa

Agar x=-0,2 bo'lsa, u holda

Ko'rinib turibdiki, "x" ni u yoki bu qiymatga almashtirish orqali biz turli xil sonli qatorlarni olamiz. Ba'zi raqamlar qatorlari yaqinlashadi, ba'zilari esa ajralib chiqadi. Va bizning vazifamiz - quvvat seriyalari yaqinlashadigan "x" qiymatlari to'plamini topish. Bunday to'plam qatorning yaqinlashish mintaqasi deb ataladi.

Har qanday quvvat seriyasi uchun (muayyan misoldan vaqtincha chetga chiqish) uchta holat mumkin:

1) Quvvat qatori ma'lum bir intervalda mutlaqo yaqinlashadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, intervaldan "x" ning istalgan qiymatini tanlab, uni darajali qatorning umumiy hadiga almashtirsak, biz mutlaqo yaqinlashuvchi sonlar qatorini olamiz. Bunday oraliq darajalar qatorining yaqinlashish intervali deyiladi.

Konvergentsiya radiusi, sodda qilib aytganda, yaqinlashuv oralig'ining yarmi uzunligi:

Geometrik jihatdan vaziyat quyidagicha ko'rinadi:

Bunda qatorning yaqinlashish intervali: qatorning yaqinlashish radiusi:

Cheksiz sonli musbat va cheksiz sonli manfiy hadlarni o'z ichiga olgan qatorlar o'zgaruvchan deyiladi.

Mutlaq va shartli yaqinlashuv

Agar qator ham yaqinlashsa, qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar qator mutlaq yaqinlashsa, u yaqinlashadi (odatiy ma'noda). Qarama-qarshilik to'g'ri emas.

Ketma-ket shartli yaqinlashuvchi deyiladi, agar uning o'zi yaqinlashsa va uning a'zolari modullaridan tashkil topgan qatorlar ajralib chiqsa.

Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing .

Keling, o'zgaruvchan qatorlar uchun Leybnitsning etarli testini qo'llaylik. olamiz

chunki . Shunday qilib, bu seriya birlashadi.

38. O'zgaruvchan qatorlar. Leybnits belgisi.

Muqobil qatorning alohida holi - o'zgaruvchan qator, ya'ni ketma-ket atamalar qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan qator.

Leybnits belgisi

Yaqin atrofda almashinadiganlar uchun Leybnitsning etarli darajada yaqinlashuv testi qo'llaniladi.

(an) shunday sonlar ketma-ketligi bo'lsin

1. an+1< an для всех n;

Keyin o'zgaruvchan seriyalar chiqadi.

39. Funktsional qatorlar. Quvvat seriyasi. konvergentsiya radiusi. Konvergentsiya oralig'i.

Funktsional qatorlar va quvvat qatorlari tushunchasi

Oddiy raqamlar seriyasi, esda tuting, raqamlardan iborat:

Seriyaning barcha aʼzolari NUMBERS.

Funktsional qator FUNCTIONSdan iborat:

Polinomlar, faktoriallar va boshqa sovg'alarga qo'shimcha ravishda, seriyaning umumiy atamasi, albatta, "x" harfini o'z ichiga oladi. Bu shunday ko'rinadi, masalan:

Raqamlar qatori kabi har qanday funksional qator kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

Ko'rib turganingizdek, funktsional qatorning barcha a'zolari funksiyalardir.

Funktsional seriyalarning eng mashhur turi quvvat seriyasi.

Ta'rif:

Darajali qator - umumiy atamasi mustaqil o'zgaruvchining musbat butun sonli darajalarini o'z ichiga olgan qator.

Ko'pgina darsliklarda soddalashtirilgan darajalar qatori quyidagicha yozilgan: , bu erda raqamlar qatorlarining eski tanish "to'ldirilishi" (faqat "en" ga bog'liq bo'lgan polinomlar, darajalar, faktoriallar). Eng oddiy misol:

Keling, bu parchalanishni ko'rib chiqamiz va ta'rifni qayta ko'rib chiqamiz: darajalar qatori a'zolari musbat butun (tabiiy) darajalarda "x" ni o'z ichiga oladi.

Ko'pincha, quvvat seriyasini quyidagi "modifikatsiyalar" da topish mumkin: yoki bu erda a doimiy. Masalan:

To'g'ri aytganda, kuch seriyasining soddalashtirilgan ko'rinishlari yoki unchalik to'g'ri emas. Ko'rsatkichda bitta "en" harfi o'rniga murakkabroq ifodani joylashtirish mumkin, masalan:

Yoki bu quvvat seriyasi:

Agar "xAx" da ko'rsatkichlar tabiiy bo'lsa edi.

Quvvat seriyasining konvergentsiyasi.

Konvergentsiya oralig'i, yaqinlashish radiusi va yaqinlashish maydoni

Bunday atamalarning ko'pligidan qo'rqishning hojati yo'q, ular "bir-birining yoniga" boradi va tushunish ayniqsa qiyin emas. Ba'zi oddiy eksperimental seriyalarni tanlash va darhol tushunishni boshlash yaxshiroqdir.

Men sizdan quvvat seriyasini sevishingizni va yoqishingizni so'rayman. O'zgaruvchi "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qadar har qanday haqiqiy qiymatni olishi mumkin. Bir nechta ixtiyoriy x qiymatlarni ketma-ket umumiy atamaga almashtiring:

Agar x = 1 bo'lsa

Agar x=-1 bo'lsa, u holda

Ta'rif 1

A'zolari ixtiyoriy (+), (?) belgilariga ega bo'lgan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ son qatori o'zgaruvchan qator deyiladi.

Yuqorida ko'rib chiqilgan o'zgaruvchan qatorlar o'zgaruvchan qatorlarning alohida holatidir; har bir muqobil qator almashinmasligi aniq. Masalan, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) qatori ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ almashinadigan, lekin belgilar almashinmaydigan qator.

E'tibor bering, (+) va (-) belgisi bilan o'zgaruvchan atamalar qatorida cheksiz ko'p mavjud. Agar bu to'g'ri bo'lmasa, masalan, qator chekli sonli salbiy shartlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, u holda ularni tashlab yuborish mumkin va faqat ijobiy shartlardan tashkil topgan qatorni ko'rib chiqish mumkin va aksincha.

Ta'rif 2

Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ son qatori yaqinlashsa va uning yig‘indisi S, va qisman yig'indi $S_n$ ga teng, keyin $r_(n) =S-S_(n) $ qatorning qolgan qismi deb ataladi va $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, ya'ni. konvergent qatorning qolgan qismi 0 ga intiladi.

Ta'rif 3

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyasi, agar qator $\sum \limits _(n=1) a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan bo'lsa, mutlaq yaqinlashuvchi deyiladi. )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.

Ta'rif 4

Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ yaqinlashsa va $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( bo'lsa. n )\o'ng| $, uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan iborat bo'lib, ajralib chiqadi, keyin asl qator shartli (mutlaq bo'lmagan) konvergent deb ataladi.

1-teorema (oʻzgaruvchan qatorlar yaqinlashuvi uchun yetarli mezon)

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ $\sum \limits _(n=1) a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator $\sum \limits _(n=1) bo'lsa, $\sum \limits _(n=1)^(\infty) $ mutlaq yaqinlashadi. ^ yaqinlashadi (\infty )\left|u_(n) \o'ng| $.

Izoh

1-teorema o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashishi uchun faqat etarli shartni beradi. Teskari teorema to'g'ri emas, ya'ni. agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ o'zgaruvchan qator yaqinlashsa, $\sum \limits _(n=1)^ modullardan tashkil topgan qator kerak emas. ( \infty )\left|u_(n) \o'ng| $ (u konvergent yoki divergent bo'lishi mumkin). Masalan, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( qatori \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leybnits testi bo'yicha yaqinlashadi va uning shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator $\sum \limits _(n) ga teng. =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (garmonik qator) farqlanadi.

Mulk 1

Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ qatori absolyut yaqinlashsa, u oʻz aʼzolarining har qanday almashtirishi uchun mutlaq yaqinlashadi va qatorlar yigʻindisi tartibga bogʻliq emas. a'zolaridan. Agar $S"$ uning barcha ijobiy shartlari yig'indisi bo'lsa va $S""$ uning manfiy shartlarining barcha mutlaq qiymatlari yig'indisi bo'lsa, unda qatorlar yig'indisi $\sum \limits _(n=) ga teng. 1)^(\infty )u_(n) $ $S=S"-S""$ ga teng.

Mulk 2

Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ $ absolyut yaqinlashsa va $C=(\rm const)$ boʻlsa, $\sum \limits _(n=1) qatori )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ ham mutlaqo yaqinlashadi.

Mulk 3

Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ va $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ qatorlari mutlaqo yaqinlashsa, u holda $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ qatori ham mutlaq yaqinlashadi.

4-xossa (Riman teoremasi)

Agar qator shartli yaqinlashsa, qanday A sonni olsak ham, bu qatorning shartlarini uning yig'indisi aynan A ga teng bo'ladigan tarzda o'zgartirishimiz mumkin; bundan tashqari, shartli yaqinlashuvchi qatorning hadlarini shunday tartibga solish mumkinki, shundan keyin u ajralib chiqadi.

1-misol

Shartli va mutlaq yaqinlashish uchun qatorlarni o'rganing

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Yechim. Bu ketma-ket belgilar almashinadi, biz umumiy atamani quyidagicha belgilaymiz: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

2-misol

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ qatorini mutlaq va shartli yaqinlashish uchun tekshiring.

1. Biz ketma-ketlikni mutlaq yaqinlashish uchun tekshiramiz. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ni belgilang va mutlaq qiymatlar qatorini tuzing $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Biz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| seriyasini olamiz. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ musbat shartlar bilan, bunga biz ketma-ket taqqoslash uchun chegara mezonini qo'llaymiz. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) bilan taqqoslash uchun (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty) koʻrinishga ega boʻlgan qatorni koʻrib chiqing. )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu qator $p=\frac(1)(2) koʻrsatkichli Dirixlet seriyasidir.
2. Keyin shartli uchun $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ asl qatorini tekshiramiz. konvergentsiya. Buning uchun Leybnits testi shartlarining bajarilishini tekshiramiz. 1-shart): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, bunda $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , ya'ni. bu seriya almashinadi. Seriya hadlarining monoton kamayishiga 2) shartni tekshirish uchun quyidagi usuldan foydalanamiz. $x\in ) da aniqlangan $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ yordamchi funksiyasini ko‘rib chiqaylik.