Deformatsiyalar va siljishlar. Guk qonuni
Qattiq jismga tashqi kuchlarning ta'siri uning hajmidagi nuqtalarda kuchlanish va deformatsiyalarning paydo bo'lishiga olib keladi. Bunday holda, bir nuqtadagi kuchlanish holati, bu nuqtadan o'tadigan turli joylardagi stresslar orasidagi bog'liqlik statik tenglamalar bilan aniqlanadi va materialning fizik xususiyatlariga bog'liq emas. Deformatsiyalangan holat, siljishlar va deformatsiyalar o'rtasidagi bog'liqlik geometrik yoki kinematik mulohazalar yordamida o'rnatiladi va shuningdek, materialning xususiyatlariga bog'liq emas. Stresslar va deformatsiyalar o'rtasidagi munosabatni o'rnatish uchun materialning haqiqiy xususiyatlarini va yuklash sharoitlarini hisobga olish kerak. Eksperimental ma'lumotlar asosida kuchlanish va deformatsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni tavsiflovchi matematik modellar ishlab chiqilgan. Ushbu modellar materiallarning haqiqiy xususiyatlarini va yuklash sharoitlarini etarli darajada aniqlik bilan aks ettirishi kerak.
Strukturaviy materiallar uchun eng keng tarqalgan - elastiklik va plastika modellari. Elastiklik - tashqi yuklar ta'sirida jismning shakli va hajmini o'zgartirish va yuklarni olib tashlashda uning dastlabki konfiguratsiyasini tiklash xususiyati. Matematik jihatdan elastiklik xossasi kuchlanish tenzori va deformatsiya tenzori komponentlari o‘rtasida birma-bir funksional bog‘lanishning o‘rnatilishida ifodalanadi. Elastiklik xususiyati nafaqat materiallarning xususiyatlarini, balki yuklash sharoitlarini ham aks ettiradi. Ko'pgina konstruktiv materiallar uchun elastiklik xususiyati tashqi kuchlarning o'rtacha qiymatlarida o'zini namoyon qiladi, bu kichik deformatsiyalarga olib keladi va harorat ta'siridan energiya yo'qotishlari ahamiyatsiz bo'lgan past yuklanish tezligida. Agar kuchlanish va deformatsiya tenzorining tarkibiy qismlari chiziqli munosabatlar bilan bog'langan bo'lsa, material chiziqli elastik deb ataladi.
Yuqori yuklanish darajasida, tanada sezilarli deformatsiyalar sodir bo'lganda, material qisman elastik xususiyatlarini yo'qotadi: yuk tushirilganda uning dastlabki o'lchamlari va shakli to'liq tiklanmaydi va tashqi yuklar to'liq olib tashlanganda, qoldiq deformatsiyalar o'rnatiladi. Ushbu holatda zo'riqishlar va kuchlanishlar o'rtasidagi munosabat bir ma'noli bo'lishni to'xtatadi. Ushbu moddiy xususiyat deyiladi plastiklik. Plastik deformatsiya jarayonida to'plangan qoldiq deformatsiyalar plastik deb ataladi.
Yuqori darajadagi stress sabab bo'lishi mumkin halokat, ya'ni tananing qismlarga bo'linishi. Har xil materiallardan yasalgan qattiq jismlar har xil miqdordagi deformatsiyada yo'q qilinadi. Kichkina shtammlarda sinish mo'rt bo'lib, qoida tariqasida sezilarli plastik deformatsiyalarsiz sodir bo'ladi. Bunday vayronagarchilik quyma temir, qotishma po'latlar, beton, shisha, keramika va boshqa ba'zi strukturaviy materiallarga xosdir. Kam uglerodli po'latlar, rangli metallar, plastmassalar uchun sezilarli qoldiq deformatsiyalar mavjudligida plastik turdagi sinish xarakterlidir. Biroq, materiallarni yo'q qilish xususiyatiga ko'ra mo'rt va egiluvchanlarga bo'linishi juda shartli bo'lib, odatda ba'zi standart ish sharoitlariga taalluqlidir. Bitta va bir xil material sharoitlarga (harorat, yukning tabiati, ishlab chiqarish texnologiyasi va boshqalar) qarab, mo'rt yoki egiluvchan bo'lishi mumkin. Masalan, normal haroratda plastik bo'lgan materiallar past haroratlarda mo'rt bo'lib yo'q qilinadi. Shuning uchun, mo'rt va plastik materiallar haqida emas, balki materialning mo'rt yoki plastik holati haqida gapirish to'g'riroq.
Material chiziqli elastik va izotrop bo'lsin. Bir o'qli kuchlanish holati sharoitida elementar hajmni ko'rib chiqamiz (1-rasm), shunda kuchlanish tensori shaklga ega bo'ladi.
Bunday yuklashda eksa yo'nalishi bo'yicha o'lchamlarning ortishi kuzatiladi Oh, kuchlanishning kattaligiga mutanosib bo'lgan chiziqli deformatsiya bilan tavsiflanadi
1-rasm. Bir o'qli stress holati
Bu nisbat matematik yozuvdir Guk qonuni, bir o'qli kuchlanish holatida kuchlanish va mos keladigan chiziqli deformatsiya o'rtasidagi proportsional munosabatni o'rnatish. E proportsionallik koeffitsienti uzunlamasına elastiklik moduli yoki Yang moduli deb ataladi. U stresslar o'lchamiga ega.
Harakat yo'nalishi bo'yicha o'lchamning oshishi bilan birga; bir xil kuchlanish ostida o'lchamlar ikki ortogonal yo'nalishda kamayadi (1-rasm). Tegishli deformatsiyalar va bilan belgilanadi , va bu deformatsiyalar musbatlar uchun manfiy va quyidagilarga proportsionaldir:
Uchta ortogonal o'q bo'ylab kuchlanishlarning bir vaqtning o'zida ta'siri bilan, tangensial stresslar bo'lmaganda, chiziqli elastik material uchun superpozitsiya (eritmalarning superpozitsiyasi) printsipi amal qiladi:
Formulalarni hisobga olgan holda (1 4), biz olamiz
|
Tangensial kuchlanishlar burchak deformatsiyalarini keltirib chiqaradi va kichik deformatsiyalarda ular chiziqli o'lchamlarning o'zgarishiga ta'sir qilmaydi, shuning uchun chiziqli deformatsiyalar. Shuning uchun ular ixtiyoriy stress holatida ham amal qiladi va atalmishni ifodalaydi umumlashtirilgan Guk qonuni.
Burchak deformatsiyasi siljish kuchlanishi , va deformatsiyalar va mos ravishda stresslar va . Chiziqli elastik izotrop jism uchun mos keladigan siljish kuchlanishlari va burchak deformatsiyalari o'rtasida proportsional munosabatlar mavjud.
qonunni ifodalovchi Shiftda bog'lang. G mutanosiblik omili deyiladi kesish moduli. Oddiy kuchlanish burchak deformatsiyalariga ta'sir qilmasligi juda muhim, chunki bu holda ular orasidagi burchaklar emas, balki faqat segmentlarning chiziqli o'lchamlari o'zgaradi (1-rasm).
Stress tensorining birinchi invariantiga proportsional bo'lgan o'rtacha kuchlanish (2.18) va deformatsiya tenzorining birinchi invariantiga to'g'ri keladigan hajmli deformatsiya (2.32) o'rtasida ham chiziqli bog'liqlik mavjud:
2-rasm. Planar kesish deformatsiyasi
Tegishli tomonlar nisbati TO chaqirdi egiluvchanlikning ommaviy moduli.
Formulalar (1 7) materialning elastik xususiyatlarini o'z ichiga oladi E, , G Va TO, uning elastik xususiyatlarini aniqlash. Biroq, bu xususiyatlar mustaqil emas. Izotropik material uchun odatda elastik modul sifatida ikkita mustaqil elastik xususiyat tanlanadi E va Puasson nisbati. Kesish modulini ifodalash uchun G orqali E Va , Kesish kuchlanishlari ta'sirida tekis siljish deformatsiyasini ko'rib chiqamiz (2-rasm). Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun biz tomoni bilan kvadrat elementdan foydalanamiz A. Asosiy kuchlanishlarni hisoblang , . Bu stresslar asl saytlarga burchak ostida joylashgan saytlarda harakat qiladi. Anjirdan. 2 kuchlanish yo'nalishidagi chiziqli deformatsiya va burchak deformatsiyasi o'rtasidagi bog'liqlikni toping . Deformatsiyani tavsiflovchi rombning katta diagonali teng
Kichik deformatsiyalar uchun
Ushbu nisbatlarni hisobga olgan holda
Deformatsiyadan oldin bu diagonal o'lchamga ega edi . Keyin bizda bo'ladi
Umumlashtirilgan Guk qonunidan (5) olamiz
Olingan formulani Guk qonuni bilan siljish (6) bilan taqqoslash beradi
Natijada, biz olamiz
Bu ifodani Gukning hajm qonuni (7) bilan solishtirib, natijaga erishamiz
Mexanik xususiyatlar E, , G Va TO Har xil turdagi yuklar uchun sinov namunalarining eksperimental ma'lumotlarini qayta ishlagandan so'ng topiladi. Jismoniy nuqtai nazardan, bu xususiyatlarning barchasi salbiy bo'lishi mumkin emas. Bundan tashqari, oxirgi ifodadan kelib chiqadiki, izotrop material uchun Puasson nisbati 1/2 dan oshmaydi. Shunday qilib, biz izotropik materialning elastik konstantalari uchun quyidagi cheklovlarni olamiz:
Cheklangan qiymat chegara qiymatiga olib keladi , bu siqilmaydigan materialga mos keladi ( at ). Xulosa qilib aytganda, kuchlanishlarni elastiklik munosabatlaridan deformatsiyalar shaklida ifodalaymiz (5). (5) munosabatlarning birinchisini shaklda yozamiz
Tenglikdan (9) foydalanib, biz ega bo'lamiz
Xuddi shunday munosabatlar va uchun ham olinishi mumkin. Natijada, biz olamiz
|
Bu erda kesish moduli uchun (8) munosabat ishlatiladi. Bundan tashqari, belgilash
ELASTIK DEFORMATSIYALARNING POTENTSIAL ENERGIYASI
Avval elementar hajmni ko'rib chiqing dV=dxdydz bir o'qli kuchlanish holati sharoitida (1-rasm). Saytni aqliy ravishda tuzating x=0(3-rasm). Qarama-qarshi tomonda kuch ta'sir qiladi .
Bu kuch siljishda ishlaydi. .
Sifatida kuchlanish noldan qiymatgacha oshadi
Guk qonuniga ko'ra mos keladigan deformatsiya ham noldan qiymatgacha ortadi. ,
va ish rasmdagi soyali bilan proportsionaldir. 4 kvadrat: 
. Agar e'tiborsizlik qilsak kinetik energiya va issiqlik, elektromagnit va boshqa hodisalar bilan bog'liq yo'qotishlar, keyin energiyaning saqlanish qonuni tufayli bajarilgan ish quyidagilarga aylanadi. potentsial energiya deformatsiya jarayonida to'plangan: .
F= dU/dV chaqirdi deformatsiyaning o'ziga xos potentsial energiyasi, mazmunli potentsial energiya tananing hajmi birligiga to'plangan. Bir o'qli kuchlanish holatida
8.2. Materiallar mustahkamligida ishlatiladigan asosiy qonunlar
Statik aloqalar. Ular quyidagi muvozanat tenglamalari shaklida yoziladi.
Guk qonuni ( 1678): kuch qanchalik katta bo'lsa, deformatsiya shunchalik katta bo'ladi va bundan tashqari, kuchga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Jismoniy jihatdan, bu barcha jismlarning buloq ekanligini anglatadi, lekin katta qattiqlik bilan. Uzunlamasına kuch bilan nurning oddiy kuchlanishi bilan N= F ushbu qonun quyidagicha yozilishi mumkin:
Bu yerga 
uzunlamasına kuch, l- bar uzunligi, A- uning tasavvurlar maydoni; E- birinchi turdagi elastiklik koeffitsienti ( Young moduli).
Kuchlanish va deformatsiyalar formulalarini hisobga olgan holda, Guk qonuni quyidagicha yoziladi: 
.
Kesish kuchlanishlari va kesish burchagi o'rtasidagi tajribalarda shunga o'xshash bog'liqlik kuzatiladi:
.
G
chaqirdikesish moduli
, kamroq tez-tez - ikkinchi turdagi elastik modul. Har qanday qonun singari, u ham qo'llash chegarasi va Guk qonuniga ega. Kuchlanishi 
, qaysigacha Guk qonuni amal qiladi, deyiladi proportsionallik chegarasi(bu sopromatdagi eng muhim xususiyatdir).
Keling, qaramlikni tasvirlaylik
dan
grafik tarzda (8.1-rasm). Ushbu rasm deyiladi cho'zish diagrammasi
. B nuqtasidan keyin (ya'ni 
), bu bog'liqlik endi chiziqli emas.
Da 
tushirishdan keyin tanada qoldiq deformatsiyalar paydo bo'ladi, shuning uchun 
chaqirdi elastik chegara
.
Stress s = s t qiymatiga yetganda, ko'pgina metallar shunday xususiyatni namoyon qila boshlaydilar. suyuqlik. Bu shuni anglatadiki, doimiy yuk ostida ham material deformatsiyalanishda davom etadi (ya'ni suyuqlik kabi harakat qiladi). Grafik jihatdan bu diagramma abscissa (DL chizmasi) ga parallel ekanligini bildiradi. Materiallar oqadigan kuchlanish s t deyiladi hosil kuchi .
Ba'zi materiallar (3-modda - qurilish po'lati) qisqa oqimdan keyin yana qarshilik ko'rsatishni boshlaydi. Materialning qarshiligi ma'lum bir maksimal qiymatgacha davom etadi s pr, keyin asta-sekin yo'q qilish boshlanadi. s pr - qiymati deyiladi mustahkamlik chegarasi (po'latning sinonimi: kuchlanish kuchi, beton uchun - kub yoki prizmatik quvvat). Quyidagi belgilar ham qo'llaniladi:
=R b
Xuddi shunday bog'liqlik tangensial kuchlanish va kesish o'rtasidagi tajribalarda ham kuzatiladi.
3) Dugamel-Neyman qonuni (chiziqli termal kengayish):
Harorat farqi mavjud bo'lganda, tana o'z hajmini o'zgartiradi va bu harorat farqiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
Harorat farqi bo'lsin 
. Keyin bu qonun quyidagi shaklni oladi:
Bu yerga α - chiziqli termal kengayish koeffitsienti, l - novda uzunligi, D l- uning cho'zilishi.
4) sudralma qonuni .
Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, barcha materiallar kichik o'lchamlarda juda bir xil emas. Po'latning sxematik tuzilishi 8.2-rasmda ko'rsatilgan.
Komponentlarning ba'zilari suyuqlik xususiyatlariga ega, shuning uchun yuk ostida ko'plab materiallar vaqt o'tishi bilan qo'shimcha cho'zilishlarga ega bo'ladi. 
(Fig.8.3.) (yuqori haroratda metallar, beton, yog'och, plastmassa - oddiy haroratda). Bu hodisa deyiladi o'rmalash material.
Suyuqlik uchun qonun to'g'ri: Qanaqasiga ko'proq kuch, suyuqlikdagi tananing tezligi qanchalik katta. Agar bu bog'liqlik chiziqli bo'lsa (ya'ni kuch tezlikka mutanosib bo'lsa), uni quyidagicha yozish mumkin:
E 
Agar biz nisbiy kuchlar va nisbiy cho'zilishlarga o'tsak, olamiz
Bu erda indeks " cr
" materialning emirilishidan kelib chiqadigan cho'zilish qismi ko'rib chiqilishini anglatadi. Mexanik xarakteristikasi 
yopishqoqlik koeffitsienti deb ataladi.
Energiyani tejash qonuni.
Yuklangan nurni ko'rib chiqing
Keling, nuqtani harakatlantirish tushunchasini kiritaylik, masalan,
- B nuqtaning vertikal harakati;
- S nuqtaning gorizontal siljishi.
Kuchlar 
ba'zi ishlarni bajarayotganda U.
Buni hisobga olgan holda kuchlar 
asta-sekin o'sishni boshlasa va ular siljishlarga mutanosib ravishda oshadi deb faraz qilsak, biz quyidagilarni olamiz:
.
Saqlash qonuniga ko'ra: hech qanday ish yo'qoladi, u boshqa ishlarni bajarishga sarflanadi yoki boshqa energiyaga ketadi (energiya tananing qila oladigan ishidir.
Kuchlarning ishi 
, tanamizda paydo bo'ladigan elastik kuchlarning qarshiligini engish uchun sarflanadi. Bu ishni hisoblash uchun tanani kichik elastik zarrachalardan tashkil topgan deb hisoblash mumkinligini hisobga olamiz. Keling, ulardan birini ko'rib chiqaylik:
Qo'shni zarralar tomonidan unga stress ta'sir qiladi 
. Natijada stress bo'ladi 
Ta'sir ostida 
zarracha cho'zilgan. Ta'rifga ko'ra, cho'zilish - bu uzunlik birligiga to'g'ri keladigan cho'zilish. Keyin:
Keling, ishni hisoblaylik dW kuch qiladi dN (bu erda kuchlar ham hisobga olinadi dN asta-sekin o'sishni boshlaydi va ular siljishlarga mutanosib ravishda ortadi):
Butun tana uchun biz olamiz:
.
Ish V qilgan 
, chaqirildi elastik deformatsiya energiyasi.
Energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra:
6)Prinsip mumkin bo'lgan harakatlar .
Bu energiyaning saqlanish qonunini yozish usullaridan biridir.
Kuchlar nurga ta'sir qilsin F 1
,
F 2
,
…
. Ular tanadagi nuqtalarning harakatlanishiga olib keladi 
va stress 
. Keling, tanani beraylik qo'shimcha kichik mumkin bo'lgan siljishlar
. Mexanikada shaklning yozuvi 
"miqdorning mumkin bo'lgan qiymati" iborasini anglatadi A". Bu mumkin bo'lgan harakatlar tanada sabab bo'ladi qo'shimcha mumkin bo'lgan deformatsiyalar
. Ular qo'shimcha tashqi kuchlar va stresslarning paydo bo'lishiga olib keladi. 
,
δ.
Qo'shimcha mumkin bo'lgan kichik siljishlar bo'yicha tashqi kuchlarning ishini hisoblaylik:
Bu yerga 
- kuchlar qo'llaniladigan nuqtalarning qo'shimcha siljishi F 1
,
F 2
,
…
Yana kesma bilan kichik elementni ko'rib chiqing dA va uzunligi dz (8.5 va 8.6-rasmlarga qarang). Ta'rifga ko'ra, qo'shimcha cho'zilish dz Ushbu element quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
dz= dz.
Elementning kuchlanish kuchi quyidagicha bo'ladi:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Kichik element uchun qo'shimcha siljishlar bo'yicha ichki kuchlarning ishi quyidagicha hisoblanadi:
dW = dN dz = dA dz = dV
BILAN 
Barcha kichik elementlarning kuchlanish energiyasini yig'ib, biz umumiy deformatsiya energiyasini olamiz:
Energiyani tejash qonuni V = U beradi:
.
Bu nisbat deyiladi mumkin bo'lgan harakatlar printsipi(shuningdek deyiladi virtual harakatlar printsipi). Xuddi shunday, biz siljish kuchlanishlari ham harakat qiladigan holatni ko'rib chiqishimiz mumkin. Keyin kuchlanish energiyasini olish mumkin V quyidagi atama qo‘shing:
Bu yerda - siljish kuchlanishi, - kichik elementning kesishishi. Keyin mumkin bo'lgan harakatlar printsipi shaklni oladi:
Energiyaning saqlanish qonunini yozishning oldingi shaklidan farqli o'laroq, bu erda kuchlar asta-sekin o'sib boraveradi va ular siljishlarga mutanosib ravishda ortadi, degan taxmin yo'q.
7) Poisson effekti.
Namunaning cho'zilish naqshini ko'rib chiqing:
Tana elementining cho'zilish yo'nalishi bo'ylab qisqarishi hodisasi deyiladi Poisson effekti.
Uzunlamasına nisbiy deformatsiya topilsin.
Ko'ndalang nisbiy deformatsiya quyidagicha bo'ladi:
Puasson nisbati miqdori deyiladi:
Izotropik materiallar uchun (po'lat, quyma temir, beton) Puasson nisbati
Bu ko'ndalang yo'nalishda deformatsiyani bildiradi Ozroq uzunlamasına.
Eslatma
: zamonaviy texnologiyalar Puasson nisbati > 1 bo'lgan kompozit materiallarni yaratishi mumkin, ya'ni ko'ndalang deformatsiya bo'ylamadan kattaroq bo'ladi. Misol uchun, bu past burchak ostida qattiq tolalar bilan mustahkamlangan materialga tegishli. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, ya'ni. kamroq 
, Puasson nisbati qanchalik katta bo'lsa.
8.8-rasm. 8.9-rasm
Bundan ham hayratlanarli narsa (8.9-rasm) ko'rsatilgan materialdir va bunday mustahkamlash uchun paradoksal natija yuzaga keladi - bo'ylama cho'zilish ko'ndalang yo'nalishda tananing hajmini oshirishga olib keladi.
8) Umumlashtirilgan Guk qonuni.
Uzunlamasına va ko'ndalang yo'nalishda cho'zilgan elementni ko'rib chiqing. Ushbu yo'nalishlarda yuzaga keladigan deformatsiyani topamiz. 
Deformatsiyani hisoblang 
harakatdan kelib chiqadi 
:
Harakatdan deformatsiyani ko'rib chiqing 
Puasson effektidan kelib chiqadigan:
Umumiy deformatsiya quyidagicha bo'ladi:
Agar u ishlayotgan bo'lsa va 
, keyin x o'qi yo'nalishi bo'yicha yana bitta qisqartirishni qo'shing 
.
Demak: 
Xuddi shunday: 
Bu nisbatlar deyiladi umumlashtirilgan Guk qonuni.
Qizig'i shundaki, Guk qonunini yozishda cho'zilish deformatsiyalarining siljish deformatsiyalaridan mustaqilligi (kesish kuchlanishlaridan mustaqillik haqida, bu xuddi shunday) va aksincha, taxmin qilinadi. Tajribalar bu taxminlarni yaxshi tasdiqlaydi. Oldinga qarab, biz kuch, aksincha, kesish va normal stresslarning kombinatsiyasiga kuchli bog'liqligini ta'kidlaymiz.
Eslatma: Yuqoridagi qonunlar va taxminlar ko'plab to'g'ridan-to'g'ri va bilvosita eksperimentlar bilan tasdiqlangan, ammo boshqa barcha qonunlar singari, ular cheklangan qo'llanilishi mumkin.
Guk qonuni odatda kuchlanish komponentlari va kuchlanish komponentlari o'rtasidagi chiziqli munosabatlar deb ataladi.
Oddiy kuchlanish bilan yuklangan, koordinata o'qlariga parallel bo'lgan elementar to'rtburchaklar parallelepipedni oling. s x, ikkita qarama-qarshi yuzga bir xilda taqsimlangan (1-rasm). Qayerda y = s.z = t x y = t x z = t yz = 0.
Proportsionallik chegarasiga yetguncha nisbiy cho’zilish formula bilan beriladi
Qayerda E kuchlanish moduli hisoblanadi. Chelik uchun E = 2*10 5 MPa, shuning uchun deformatsiyalar juda kichik va foizda yoki 1 * 10 5 da (deformatsiyalarni o'lchaydigan deformatsiyalar asboblarida) o'lchanadi.
Elementni eksa yo'nalishida kengaytirish X kuchlanish komponentlari bilan belgilanadigan ko'ndalang yo'nalishda uning torayishi bilan birga keladi
Qayerda μ ko'ndalang siqish nisbati yoki Puasson nisbati deb ataladigan doimiydir. Chelik uchun μ odatda 0,25-0,3 ga teng olinadi.
Agar ko'rib chiqilayotgan element bir vaqtning o'zida oddiy kuchlanishlar bilan yuklangan bo'lsa s x, y, s.z, uning yuzlari bo'ylab bir tekis taqsimlanadi, keyin deformatsiyalar qo'shiladi
Uchta kuchlanishning har biridan kelib chiqadigan deformatsiya komponentlarini qo'shish orqali biz munosabatlarga erishamiz
Ushbu nisbatlar ko'plab tajribalar bilan tasdiqlangan. qo'llaniladi qoplama usuli yoki superpozitsiyalar deformatsiyalar va kuchlanishlar kichik va qo'llaniladigan kuchlarga chiziqli bog'liq bo'lsa, ko'p kuchlar ta'siridan kelib chiqqan jami deformatsiyalar va kuchlanishlarni topish qonuniydir. Bunday hollarda biz deformatsiyalanadigan jismning o'lchamlaridagi kichik o'zgarishlarni va tashqi kuchlarning qo'llanilishi nuqtalarining kichik siljishlarini e'tiborsiz qoldiramiz va hisob-kitoblarimizni tananing dastlabki o'lchamlari va boshlang'ich shakliga asoslaymiz.
Shuni ta'kidlash kerakki, kuchlar va deformatsiyalar o'rtasidagi munosabatlarning chiziqliligi hali siljishlarning kichikligidan kelib chiqmaydi. Shunday qilib, masalan, siqilgan holda Q qo'shimcha ko'ndalang kuch bilan yuklangan rod R, hatto kichik burilish bilan ham δ qo'shimcha daqiqa bor M = Qd, bu muammoni chiziqli bo'lmagan qiladi. Bunday hollarda jami burilishlar kuchlarning chiziqli funktsiyalari emas va ularni oddiy qoplama (superpozitsiya) bilan olish mumkin emas.
Eksperimental ravishda aniqlanganki, agar siljish kuchlanishlari elementning barcha yuzlariga ta'sir etsa, u holda tegishli burchakning buzilishi faqat mos keladigan siljish kuchlanish komponentlariga bog'liq.
Doimiy G kesish moduli yoki siljish moduli deb ataladi.
Elementning uchta normal va uchta tangensial kuchlanish komponentlari ta'siridan deformatsiyalanishining umumiy holatini superpozitsiya yordamida olish mumkin: (5.2a) ifodalar bilan aniqlangan uchta chiziqli deformatsiyalar (5.2b) munosabatlari bilan aniqlangan uchta kesish deformatsiyasi bilan qo'shiladi. . (5.2a) va (5.2b) tenglamalar deformatsiya va kuchlanish komponentlari o'rtasidagi munosabatni aniqlaydi va deyiladi. umumlashtirilgan Guk qonuni. Keling, kesish modulini ko'rsatamiz G kuchlanish moduli bilan ifodalanadi E va Puasson nisbati μ . Buni amalga oshirish uchun, qaerda maxsus ishni ko'rib chiqing s x = σ , y = -σ Va s.z = 0.
Elementni kesib oling a B C D o'qiga parallel tekisliklar z va o'qlarga 45 ° burchak ostida moyil X Va da(3-rasm). 0 elementi uchun muvozanat shartlaridan quyidagicha b, normal stresslar σ v elementning barcha yuzlarida a B C D nolga teng, siljish kuchlanishlari esa teng
Ushbu stress holati deyiladi toza siljish. (5.2a) tenglamalar shuni bildiradi
ya'ni gorizontal elementning kengayishi 0 c vertikal element 0 ning qisqarishiga teng b: ey = -e x.
Yuzlar orasidagi burchak ab Va miloddan avvalgi o'zgarishlar va siljish deformatsiyasining mos keladigan miqdori γ 0 uchburchakdan topish mumkin b:
Demak, bundan kelib chiqadi
Tayoq cho'zilgan va siqilganda uning uzunligi va kesma o'lchamlari o'zgaradi. Agar deformatsiyalanmagan holatda tayoqdan uzunlik elementini aqliy ravishda tanlasak dx, keyin deformatsiyadan keyin uning uzunligi teng bo'ladi dx((3.6-rasm). Bunday holda, eksa yo'nalishi bo'yicha mutlaq cho'zilish Oh ga teng bo'ladi
va nisbiy chiziqli deformatsiya e x tengligi bilan belgilanadi
O'qdan beri Oh tashqi yuklar harakat qiladigan novda o'qiga to'g'ri keladi, biz deformatsiya deb ataymiz e x uzunlamasına deformatsiya, buning uchun indeks quyida o'tkazib yuboriladi. O'qga perpendikulyar yo'nalishdagi deformatsiyalar ko'ndalang deformatsiyalar deyiladi. bilan belgilansa b kesimning xarakterli o'lchami (3.6-rasm), keyin ko'ndalang deformatsiya munosabatlari bilan aniqlanadi. 
Nisbiy chiziqli deformatsiyalar o'lchamsiz kattaliklardir. Tayoqning markaziy tarangligi va siqilishi paytida ko'ndalang va bo'ylama deformatsiyalar o'zaro bog'liqlik bilan bog'langanligi aniqlandi.
Bu tenglikka kiritilgan v miqdori deyiladi Puasson nisbati yoki ko'ndalang kuchlanish koeffitsienti. Bu koeffitsient materialning elastikligining asosiy konstantalaridan biri bo'lib, uning ko'ndalang deformatsiyalar qobiliyatini tavsiflaydi. Har bir material uchun u kuchlanish yoki siqish sinovidan aniqlanadi (3.5-bandga qarang) va formula bo'yicha hisoblanadi.
Tenglikdan (3.6) ko'rinib turibdiki, bo'ylama va ko'ndalang shtammlar har doim qarama-qarshi belgilarga ega bo'lib, bu kesma o'lchamlari keskinlik paytida kamayib, siqilish paytida ortib borishi aniq haqiqatni tasdiqlaydi.
Turli materiallar uchun Puasson nisbati har xil. Izotropik materiallar uchun u 0 dan 0,5 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin. Masalan, mantar yog'ochlari uchun Puasson nisbati nolga yaqin, kauchuk uchun esa 0,5 ga yaqin. Oddiy haroratda ko'pgina metallar uchun Puasson nisbati qiymati 0,25 + 0,35 oralig'ida.
Ko'pgina tajribalarda aniqlanganidek, kichik deformatsiyalardagi ko'pgina strukturaviy materiallar uchun kuchlanish va deformatsiyalar o'rtasida chiziqli bog'liqlik mavjud.
Bu mutanosiblik qonuni birinchi marta ingliz olimi Robert Guk tomonidan asos solingan va deyiladi Guk qonuni.
Guk qonuniga kiritilgan doimiy E elastiklik moduli deyiladi. Elastiklik moduli material elastikligining ikkinchi asosiy doimiysi bo'lib, uning qattiqligini tavsiflaydi. Deformatsiyalar o'lchamsiz kattaliklar bo'lgani uchun (3.7) dan egiluvchanlik moduli kuchlanish o'lchamiga ega ekanligi kelib chiqadi.
Jadvalda. 3.1 turli materiallar uchun elastiklik moduli va Puasson nisbati qiymatlarini ko'rsatadi.
Konstruksiyalarni loyihalash va hisoblashda kuchlanishlarni hisoblash bilan bir qatorda konstruksiyalarning alohida nuqtalari va tugunlarining siljishlarini ham aniqlash kerak. Barlarning markaziy tarangligi va siqilishi ostida siljishlarni hisoblash usulini ko'rib chiqing.
Mutlaq element kengaytma uzunligi dx(3.6-rasm) formula (3.5) bo'yicha hisoblanadi
3.1-jadval
|
Material nomi |
Elastiklik moduli, MPa |
Koeffitsient Puasson |
|
Karbonli po'lat |
||
|
alyuminiy qotishmalari |
||
|
Titan qotishmalari |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
tolalar bo'ylab |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
tolalar bo'ylab |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
g'isht ishlari |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Shisha tolali SVAM |
||
|
Tekstolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Kauchuk ustidagi kauchuk |
Ushbu ifodani 0 dan x gacha bo'lgan diapazonda integrallash orqali biz olamiz
Qayerda ularning) - ixtiyoriy kesimning eksenel siljishi (3.7-rasm), va C= va( 0) - boshlang'ich qismning eksenel siljishi x = 0. Agar bu kesma o'zgarmas bo'lsa, u (0) = 0 va ixtiyoriy kesmaning siljishi
Tayoqning cho'zilishi yoki qisqarishi uning erkin uchining eksenel siljishiga teng (3.7-rasm), uning qiymatini (3.8) dan olamiz, deb faraz qilamiz. x = 1:
(3.8) formuladagi deformatsiyaning ifodasini almashtirsak? Guk qonunidan (3.7) olamiz
Doimiy elastiklik moduliga ega bo'lgan materialdan tayyorlangan tayoq uchun E eksenel siljishlar formula bilan aniqlanadi
Ushbu tenglikka kiritilgan integralni ikki usulda hisoblash mumkin. Birinchi usul funksiyani analitik yozishdir Oh) va keyingi integratsiya. Ikkinchi usul esa ko'rib chiqilayotgan integralning son jihatdan kesmadagi a uchastkasining maydoniga teng bo'lishiga asoslanadi. Belgilanish bilan tanishtirish
Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik. Konsentrlangan kuch bilan cho'zilgan novda uchun R(guruch. 3.3, a), uzunlamasına kuch. / V uzunlik bo'ylab doimiy va teng R.(3.4) ga muvofiq a kuchlanishlar ham doimiy va tengdir 
Keyin (3.10) dan olamiz
Bu formuladan kelib chiqadiki, agar novdaning ma'lum bir qismidagi kuchlanishlar doimiy bo'lsa, u holda siljishlar chiziqli qonunga muvofiq o'zgaradi. Oxirgi formulaga almashtirish x = 1, tayoqning cho'zilishini toping:
Ish EF chaqirdi kuchlanish va siqilishda tayoqning qattiqligi. Bu qiymat qanchalik katta bo'lsa, rodning cho'zilishi yoki qisqarishi shunchalik kichik bo'ladi.
Bir xil taqsimlangan yuk ta'sirida novdani ko'rib chiqaylik (3.8-rasm). Mahkamlashdan x masofada joylashgan ixtiyoriy kesimdagi uzunlamasına kuch ga teng.
Bo'linish N yoqilgan F, stresslar formulasini olamiz
Ushbu ifodani (3.10) ga almashtirib, integrallash orqali topamiz
Butun tayoqning cho'zilishiga teng bo'lgan eng katta siljish x = / ni (3.13) ga almashtirish orqali olinadi:
(3.12) va (3.13) formulalardan ko'rinib turibdiki, agar kuchlanishlar x ga chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda siljishlar kvadrat parabola qonuniga muvofiq o'zgaradi. Syujetlar N, oh va Va shaklda ko'rsatilgan. 3.8.
Umumiy differensial bog'liqlik bog'lovchi funktsiyalari ularning) va a(x) ni (3.5) munosabatdan olish mumkin. Bu munosabatga Guk qonunidan (3.7) e ni almashtirsak, topamiz
Bu bog'liqlikdan, xususan, yuqoridagi misollarda qayd etilgan funksiyaning o'zgarish qonuniyatlari kelib chiqadi ularning).
Bundan tashqari, shuni ta'kidlash mumkinki, agar biron bir bo'limda stresslar yo'qolsa, diagrammada Va bu bo'limda ekstremum bo'lishi mumkin.
Misol tariqasida, diagramma tuzamiz Va shaklda ko'rsatilgan novda uchun. 3.2, qo'yish E- 10 4 MPa. Uchastka maydonlarini hisoblash O turli sohalar uchun biz quyidagilarni topamiz:
bo'lim x = 1 m:
bo'lim x = 3 m:
bo'lim x = 5 m:
Diagramma satrining yuqori qismida Va kvadrat paraboladir (3.2-rasm, e). Bunday holda, x = 1 m bo'limda ekstremum mavjud. Pastki qismda diagrammaning xarakteri chiziqli.
Bu holda teng bo'lgan tayoqning umumiy cho'zilishi
(3.11) va (3.14) formulalar yordamida hisoblanishi mumkin. Rodning pastki qismidan beri (3.2-rasmga qarang, A) kuch bilan cho'zilgan R ( uning (3.11) ga muvofiq cho'zilishi teng
Kuch harakati R ( tayoqning yuqori qismiga ham uzatiladi. Bundan tashqari, u kuch bilan siqiladi R 2 va bir xil taqsimlangan yuk bilan cho'zilgan q. Bunga muvofiq, uning uzunligining o'zgarishi formula bo'yicha hisoblanadi
A/ va A/ 2 qiymatlarini jamlab, yuqoridagi kabi natijaga erishamiz.
Xulosa o'rnida shuni ta'kidlash kerakki, taranglik va siqilish ta'sirida novdalarning siljishi va cho'zilishi (qisqartirilishi) ning kichik qiymatiga qaramay, ularni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Ushbu miqdorlarni hisoblash qobiliyati ko'plab texnologik masalalarda (masalan, konstruktsiyalarni yig'ishda), shuningdek, statik noaniq muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega.
