Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність Знакозмінні ряди прикладів рішення

Косметологія

Числовий ряд, що містить безліч позитивних і безліч негативних членів, називається знакозмінним.

Абсолютна та умовна збіжність

Ряд називається абсолютно схожим, якщо ряд також сходиться.

Якщо ряд сходиться абсолютно, він є схожим (у звичайному сенсі). Зворотне твердження не так.

Ряд називається умовно сходящимся, якщо він сходиться, а ряд, складений із модулів його членів, розходиться.

Дослідити на збіжність ряд .

Застосуємо достатню ознаку Лейбниця для рядів, що чергаються. Отримуємо

оскільки. Отже, цей ряд сходиться.

38. Знакомічні ряди. Ознака Лейбниця.

Приватним випадком знакозмінного ряду є ряд, що чергується, тобто такий ряд, в якому послідовні члени мають протилежні знаки.

Ознака Лейбниця

Для знакочередуючих поряд діє достатня ознака збіжності Лейбниця.

Нехай (an) є числовою послідовністю, такою, що

1. an+1< an для всех n;

Тоді ряди, що чергуються, виходять.

39. Функціональні ряди. Ступінні ряди. Радіус збіжності. Інтервал збіжності.

Поняття функціонального ряду та статечного ряду

Звичайний числовий ряд, згадуємо, складається з чисел:

Усі члени ряду – це ЧИСЛА.

Функціональний ряд складається з ФУНКЦІЙ:

У спільний член ряду крім багаточленів, факторіалів та інших подарунків неодмінно входить буква «ікс». Виглядає це, наприклад, так:

Як і числовий ряд, будь-який функціональний ряд можна розписати у розгорнутому вигляді:

Як бачите, всі члени функціонального ряду – це функції.

Найбільш популярним різновидом функціонального ряду є статечний ряд.

Визначення:

Ступіньовий ряд – це ряд, до загального члена якого входять цілі позитивні ступені незалежної змінної.

Спрощено статечний ряд у багатьох підручниках записують так: , де - це стара знайома "начинка" числових рядів (багаточлени, ступеня, факторіали, що залежать тільки від "ен"). Найпростіший приклад:

Подивимося на це розкладання і ще раз осмислимо визначення: члени статечного ряду містять «ікси» у цілих позитивних (натуральних) ступенях.

Дуже часто статечний ряд можна зустріти в наступних «модифікаціях»: або де – константа. Наприклад:

Строго кажучи, спрощені записи статечного ряду, або зовсім коректні. У показнику ступеня замість одинокої літери «ен» може розташовуватися складніший вираз, наприклад:

Або такий статечний ряд:

Аби показники ступенів при «іксАх» були натуральними.

Збіжність статечного ряду.

Інтервал збіжності, радіус збіжності та область збіжності

Не треба лякатися такого різноманіття термінів, вони йдуть «поряд один з одним» і не становлять особливих складнощів для розуміння. Краще виберемо якийсь простий піддослідний ряд і одразу почнемо розбиратися.

Прошу любити і шанувати статечний ряд Змінна може набувати будь-якого дійсного значення від «мінус нескінченності» до «плюс нескінченності». Підставимо до загального члена ряду кілька довільних значень «ікс»:

Якщо х = 1, то

Якщо х = -1, то

Якщо х = 3, то

Якщо х = -0,2, то

Очевидно, що, підставляючи на те чи інше значення «ікс», ми отримуємо різні числові ряди. Деякі числові ряди сходитимуться, а деякі розходитимуться. І наше завдання знайти безліч значень «ікс», при якому статечний ряд буде сходитися. Така множина і називається областю збіжності ряду.

Для будь-якого статечного ряду (тимчасово відволікаємось від конкретного прикладу) можливі три випадки:

1) Ступіньовий ряд сходиться абсолютно на деякому інтервалі. Іншими словами, якщо ми вибираємо будь-яке значення «ікс» з інтервалу підставляємо його в спільний член статечного ряду, то у нас виходить числовий ряд, що абсолютно сходить. Такий інтервал і називається інтервалом збіжності статечного ряду.

Радіус збіжності, якщо дуже просто, це половина довжини інтервалу збіжності:

Геометрично ситуація виглядає так:

В даному випадку інтервал збіжності ряду: радіус збіжності ряду:

Числовий ряд, що містить безліч позитивних і безліч негативних членів, називається знакозмінним.

Абсолютна та умовна збіжність

Ряд називається абсолютно схожим, якщо ряд також сходиться.

Якщо ряд сходиться абсолютно, він є схожим (у звичайному сенсі). Зворотне твердження не так.

Ряд називається умовно сходящимся, якщо він сходиться, а ряд, складений із модулів його членів, розходиться.

Дослідити на збіжність ряд .

Застосуємо достатню ознаку Лейбниця для рядів, що чергаються. Отримуємо

оскільки. Отже, цей ряд сходиться.

38. Знакомічні ряди. Ознака Лейбниця.

Ознака Лейбниця

Для знакочередуючих поряд діє достатня ознака збіжності Лейбниця.

Нехай (an) є числовою послідовністю, такою, що

1. an+1< an для всех n;

Тоді ряди, що чергуються, виходять.

39. Функціональні ряди. Ступінні ряди. Радіус збіжності. Інтервал збіжності.

Поняття функціонального ряду та статечного ряду

Звичайний числовий ряд, згадуємо, складається з чисел:

Усі члени ряду – це ЧИСЛА.

Функціональний ряд складається з ФУНКЦІЙ:

Як і числовий ряд, будь-який функціональний ряд можна розписати у розгорнутому вигляді:

Як бачите, всі члени функціонального ряду – це функції.

Найбільш популярним різновидом функціонального ряду є статечний ряд.

Визначення:

Ступіньовий ряд – це ряд, до загального члена якого входять цілі позитивні ступені незалежної змінної.

Дуже часто статечний ряд можна зустріти в наступних «модифікаціях»: або де – константа. Наприклад:

Або такий статечний ряд:

Аби показники ступенів при «іксАх» були натуральними.

Збіжність статечного ряду.

Інтервал збіжності, радіус збіжності та область збіжності

Якщо х = 1, то

Якщо х = -1, то

Визначення 1

Числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, члени якого мають довільні знаки (+), (?), називається знакозмінним рядом.

Розглянуті вище знакочередующиеся ряди є окремим випадком знакозмінного ряду; Відомо, що ні всякий знакозмінний ряд є знакочередним. Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) - \frac(1)(7) +\ldots - $ знакозмінний, але що не є знакочередним рядом.

Зазначимо, що у знакозмінному ряді членів як зі знаком (+), і зі знаком (-) нескінченно багато. Якщо це виконується, наприклад, ряд містить кінцеве число негативних членів, їх можна відкинути і розглядати ряд, складений лише з позитивних членів, і навпаки.

Визначення 2

Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться і його сума дорівнює S,а частковасума дорівнює $S_n$ , то $r_(n) =S-S_(n) $ називається залишком ряду, причому $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\ lim) \ limits_ (n \ to \ infty) (S-S_ (n)) = S-S = 0 $, тобто. залишок схожого ряду прагне 0.

Визначення 3

Ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ називається схожим абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів $\sum \limits _(n=1)^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Визначення 4

Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, а ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n ) \right| $, складений з абсолютних величин його членів, розходиться, то вихідний ряд називається умовно (неабсолютно) схожим.

Теорема 1 (достатня ознака збіжності знакозмінних рядів)

Знакозмінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, причому абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів$\sum \limits _(n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Зауваження

Теорема 1 дає лише достатню умову збіжності знакозмінних рядів. Зворотна теорема неправильна, тобто. якщо знакозмінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, то не обов'язково, що сходиться ряд, складений з модулів $\sum \limits _(n=1)^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (Він може бути як схожим, так і розбіжним). Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, $\sum \limits _(n=1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (гармонічний ряд) розходиться.

Властивість 1

Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться, то він абсолютно сходиться за будь-якої перестановки його членів, при цьому сума ряду не залежить від порядку розташування членів. Якщо $S"$ - сума всіх його позитивних членів, а $S""$ - сума всіх абсолютних величин негативних членів, то сума ряду $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ дорівнює $S=S"-S""$.

Властивість 2

Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться і $C=(\rm const)$, то ряд $\sum \limits _(n=1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ також абсолютно сходиться.

Властивість 3

Якщо ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ і $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ абсолютно сходяться, то ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ також абсолютно сходяться.

Властивість 4 (теорема Рімана)

Якщо ряд умовно сходиться, то яке б ми не взяли число А, можна переставити члени цього ряду так, щоб його сума виявилася точно рівною А; більше того, можна так переставити члени ряду, що умовно сходить, щоб після цього він розходився.

Приклад 1

Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Рішення. Цей ряд є знакозмінним, загальний член якого позначимо: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Приклад 2

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $.

Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність. Позначимо $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ і складемо ряд з абсолютних величин $a_(n) =\left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Отримуємо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ з позитивними членами, до якого застосовуємо граничну ознаку порівняння рядів. Для порівняння з рядом $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ розглянемо ряд, який має вигляд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Цей ряд є рядом Діріхле з показником $p=\frac(1)(2)
Далі досліджуємо вихідний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов ознаки Лейбниці. Умова 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, де $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , тобто. цей ряд знакочередний. Для перевірки умови 2) про монотонне зменшення членів ряду використовуємо наступний метод. Розглянемо допоміжну функцію $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, визначену при $x\in )