Deformari si deplasari. legea lui Hooke
Actiunea fortelor externe asupra unui corp solid duce la aparitia unor tensiuni si deformari in punctele din volumul acestuia. În acest caz, starea de stres într-un punct, relația dintre tensiunile la diferite locuri care trec prin acest punct, sunt determinate de ecuațiile staticii și nu depind de proprietățile fizice ale materialului. Starea deformată, legătura dintre deplasări și deformații sunt stabilite folosind considerații geometrice sau cinematice și, de asemenea, nu depind de proprietățile materialului. Pentru a stabili o relație între tensiuni și deformari, este necesar să se țină cont de proprietățile reale ale materialului și de condițiile de încărcare. Modelele matematice care descriu relația dintre tensiuni și deformații sunt dezvoltate pe baza datelor experimentale. Aceste modele ar trebui să reflecte proprietățile reale ale materialelor și condițiile de încărcare cu un grad suficient de acuratețe.
Cele mai comune pentru materialele structurale sunt modelele de elasticitate și plasticitate. Elasticitatea este proprietatea unui corp de a-și schimba forma și dimensiunea sub acțiunea sarcinilor externe și de a-și restabili configurația inițială atunci când sarcinile sunt îndepărtate. Matematic, proprietatea elasticității se exprimă în stabilirea unei relații funcționale unu-la-unu între componentele tensorului tensiunii și tensorului deformarii. Proprietatea elasticității reflectă nu numai proprietățile materialelor, ci și condițiile de încărcare. Pentru majoritatea materialelor structurale, proprietatea de elasticitate se manifestă la valori moderate ale forțelor externe, ducând la deformații mici, și la viteze de încărcare scăzute, când pierderile de energie datorate efectelor temperaturii sunt neglijabile. Un material se numește elastic liniar dacă componentele tensorului de tensiuni și ale tensorului de deformare sunt legate prin relații liniare.
La niveluri ridicate de încărcare, atunci când apar deformații semnificative în corp, materialul își pierde parțial proprietățile elastice: atunci când este descărcat, dimensiunile și forma inițiale nu sunt complet restaurate, iar când încărcările externe sunt complet îndepărtate, deformațiile reziduale sunt fixate. În acest caz relația dintre tensiuni și deformari încetează să fie lipsită de ambiguitate. Această proprietate materială se numește plasticitate. Deformațiile reziduale acumulate în procesul de deformare plastică se numesc plastice.
Un nivel ridicat de stres poate provoca distrugere, adică împărțirea corpului în părți. Corpurile solide din diferite materiale sunt distruse la diferite cantități de deformare. Fractura este fragilă la solicitări mici și apare, de regulă, fără deformații plastice vizibile. O astfel de distrugere este tipică pentru fontă, oțeluri aliate, beton, sticlă, ceramică și unele alte materiale structurale. Pentru oțelurile cu conținut scăzut de carbon, metale neferoase, materiale plastice, un tip de fractură plastic este caracteristic în prezența unor deformații reziduale semnificative. Cu toate acestea, împărțirea materialelor în funcție de natura distrugerii lor în fragile și ductile este foarte condiționată; de obicei se referă la unele condiții standard de funcționare. Unul și același material se poate comporta, în funcție de condiții (temperatura, natura încărcăturii, tehnologia de fabricație etc.), ca fragil sau ca ductil. De exemplu, materialele care sunt din plastic la temperaturi normale sunt distruse ca fragile la temperaturi scăzute. Prin urmare, este mai corect să vorbim nu despre materialele fragile și plastice, ci despre starea fragilă sau plastică a materialului.
Fie materialul să fie liniar elastic și izotrop. Să considerăm un volum elementar în condițiile unei stări de efort uniaxiale (Fig. 1), astfel încât tensorul tensiunii are forma
Sub o astfel de încărcare, există o creștere a dimensiunilor în direcția axei Oh, caracterizată prin deformare liniară, care este proporțională cu mărimea tensiunii
Fig.1. Stare de efort uniaxială
Acest raport este o notație matematică legea lui Hooke, stabilirea unei relații proporționale între solicitarea și deformația liniară corespunzătoare într-o stare de efort uniaxială. Coeficientul de proporționalitate E se numește modulul de elasticitate longitudinală sau modulul lui Young. Are dimensiunea tensiunilor.
Odată cu creșterea dimensiunii în direcția acțiunii; sub aceeași solicitare, dimensiunile scad în două direcții ortogonale (Fig. 1). Deformațiile corespunzătoare vor fi notate cu și , iar aceste deformații sunt negative pentru cele pozitive și sunt proporționale cu:
Cu acțiunea simultană a tensiunilor de-a lungul a trei axe ortogonale, atunci când nu există solicitări tangenţiale, principiul suprapunerii (suprapunerea soluţiilor) este valabil pentru un material elastic liniar:
Ținând cont de formulele (1 4), obținem
|
Tensiunile tangențiale provoacă deformații unghiulare, iar la deformații mici nu afectează modificarea dimensiunilor liniare și, prin urmare, deformații liniare. Prin urmare, ele sunt valabile și în cazul unei stări de stres arbitrare și exprimă așa-numita legea lui Hooke generalizată.
Deformarea unghiulară se datorează tensiunilor de forfecare , și deformațiilor și, respectiv, solicitărilor și . Între eforturile de forfecare și deformațiile unghiulare corespunzătoare pentru un corp izotrop liniar elastic, există relații proporționale
care exprimă legea Cârlig pe tură. Se numește factorul de proporționalitate G modul de forfecare. Este esențial ca efortul normal să nu afecteze deformațiile unghiulare, deoarece în acest caz se modifică doar dimensiunile liniare ale segmentelor, și nu unghiurile dintre ele (Fig. 1).
Există, de asemenea, o dependență liniară între tensiunea medie (2.18), care este proporțională cu primul invariant al tensorului tensiunii și deformarea volumetrică (2.32), care coincide cu primul invariant al tensorului deformarii:
Fig.2. Tensiune de forfecare plană
Raportul de aspect corespunzător La numit modulul de elasticitate în vrac.
Formulele (1 7) includ caracteristicile elastice ale materialului E, , Gși LA, determinarea proprietăților sale elastice. Cu toate acestea, aceste caracteristici nu sunt independente. Pentru un material izotrop, sunt de obicei alese două caracteristici elastice independente ca modul elastic Eși raportul lui Poisson. Pentru a exprima modulul de forfecare G prin Eși , Să considerăm o deformare plană prin forfecare sub acțiunea solicitărilor de forfecare (Fig. 2). Pentru a simplifica calculele, folosim un element pătrat cu o latură A. Calculați tensiunile principale , . Aceste tensiuni acționează pe locurile situate într-un unghi față de locurile originale. Din fig. 2 găsiți relația dintre deformarea liniară în direcția tensiunii și deformarea unghiulară . Diagonala majoră a rombului care caracterizează deformarea este egală cu
Pentru mici deformari
Având în vedere aceste rapoarte
Înainte de deformare, această diagonală avea dimensiunea . Atunci vom avea
Din legea lui Hooke generalizată (5) obținem
Compararea formulei obținute cu legea lui Hooke cu deplasare (6) dă
Drept urmare, obținem
Comparând această expresie cu legea volumetrică a lui Hooke (7), ajungem la rezultat
Caracteristici mecanice E, , Gși La se găsesc după prelucrarea datelor experimentale ale epruvetelor de încercare pentru diferite tipuri de încărcări. Din punct de vedere fizic, toate aceste caracteristici nu pot fi negative. În plus, din ultima expresie rezultă că raportul lui Poisson pentru un material izotrop nu depășește 1/2. Astfel, obținem următoarele restricții pentru constantele elastice ale unui material izotrop:
Valoarea limită duce la valoarea limită , care corespunde unui material incompresibil ( la ). În concluzie, exprimăm tensiunile în termeni de deformații din relațiile de elasticitate (5). Scriem prima dintre relațiile (5) sub forma
Folosind egalitatea (9), vom avea
Relații similare pot fi derivate pentru și . Drept urmare, obținem
|
Aici se utilizează relația (8) pentru modulul de forfecare. În plus, desemnarea
ENERGIE POTENȚIALĂ A DEFORMĂRII ELASTICE
Luați în considerare mai întâi volumul elementar dV=dxdydzîn condiţii de stare de efort uniaxial (Fig. 1). Remediați mental site-ul x=0(Fig. 3). O forță acționează pe partea opusă .
Această forță funcționează în deplasare. .
Pe măsură ce tensiunea crește de la zero la valoare
deformația corespunzătoare, în virtutea legii lui Hooke, crește și ea de la zero la valoare ,
iar lucrul este proportional cu cel umbrit din Fig. 4 pătrate: 
. Dacă neglijăm energie kineticăși pierderile asociate fenomenelor termice, electromagnetice și de altă natură, atunci, în virtutea legii conservării energiei, munca depusă se va transforma în energie potențială acumulate în timpul procesului de deformare: .
F= dU/dV numit energia potențială specifică de deformare, plin de înțeles energie potențială acumulate pe unitatea de volum a corpului. În cazul unei stări de efort uniaxiale
8.2. Legile de bază utilizate în rezistența materialelor
Relații de statică. Ele sunt scrise sub forma următoarelor ecuații de echilibru.
legea lui Hooke ( 1678): cu cât forța este mai mare, cu atât deformația este mai mare și, în plus, este direct proporțională cu forța. Din punct de vedere fizic, asta înseamnă că toate corpurile sunt arcuri, dar cu o mare rigiditate. Cu o simplă tensiune a fasciculului prin forța longitudinală N= F această lege poate fi scrisă astfel:
Aici 
forta longitudinala, l- lungimea barei, DAR- aria secțiunii sale transversale, E- coeficient de elasticitate de primul fel ( Modulul Young).
Luând în considerare formulele pentru tensiuni și deformari, legea lui Hooke este scrisă după cum urmează: 
.
O relație similară este observată în experimentele între tensiunile de forfecare și unghiul de forfecare:
.
G
numitmodulul de forfecare
, mai rar - modulul elastic de al doilea fel. Ca orice lege, are o limită de aplicabilitate și legea lui Hooke. Voltaj 
, până la care legea lui Hooke este valabilă, se numește limita de proporționalitate(aceasta este cea mai importantă caracteristică în sopromat).
Să descriem dependența
din
grafic (Fig. 8.1). Acest tablou se numește diagrama de întindere
. După punctul B (adică la 
), această dependență nu mai este liniară.
La 
după descărcare apar deformații reziduale în corp, așadar 
numit limita elastica
.
Când tensiunea atinge valoarea σ = σ t, multe metale încep să prezinte o proprietate numită fluiditate. Aceasta înseamnă că, chiar și sub sarcină constantă, materialul continuă să se deformeze (adică se comportă ca un lichid). Grafic, aceasta înseamnă că diagrama este paralelă cu abscisa (diagrama DL). Tensiunea σ t la care curge materialul se numește puterea de curgere .
Unele materiale (Art. 3 - oțel de construcție) după o curgere scurtă încep să reziste din nou. Rezistența materialului continuă până la o anumită valoare maximă σ pr, apoi începe distrugerea treptată. Se numește valoarea σ pr - rezistență la tracțiune (sinonim pentru oțel: rezistență la tracțiune, pentru beton - rezistență cubică sau prismatică). De asemenea, sunt utilizate următoarele denumiri:
=R b
O dependență similară este observată în experimentele între tensiunile tangenţiale și forfecare.
3) Legea Dugamel-Neumann (dilatare termică liniară):
În prezența unei diferențe de temperatură, corpul își schimbă dimensiunea și este direct proporțional cu această diferență de temperatură.
Să fie o diferență de temperatură 
. Atunci această lege ia forma:
Aici α - coeficient de dilatare termică liniară, l - lungimea tijei, Δ l- prelungirea lui.
4) legea fluajului .
Studiile au arătat că toate materialele sunt foarte neomogene la mici. Structura schematică a oțelului este prezentată în Fig. 8.2.
Unele dintre componente au proprietăți fluide, astfel încât multe materiale sub sarcină câștigă o alungire suplimentară în timp. 
(fig.8.3.) (metale la temperaturi ridicate, beton, lemn, materiale plastice - la temperaturi obișnuite). Acest fenomen se numește târî material.
Pentru un lichid, legea este adevărată: Cum mai multă putere, cu atât viteza corpului în fluid este mai mare. Dacă această relație este liniară (adică forța este proporțională cu viteza), atunci poate fi scrisă ca:
E 
Dacă trecem la forțe relative și alungiri relative, obținem
Aici indexul " cr
„ înseamnă că se ia în considerare partea de alungire care este cauzată de fluajul materialului. Caracteristica mecanică 
numit coeficient de viscozitate.
Legea conservării energiei.
Luați în considerare o grindă încărcată
Să introducem conceptul de mutare a unui punct, de exemplu,
- deplasarea verticală a punctului B;
- decalajul orizontal al punctului C.
Forțe 
în timp ce face ceva lucru U.
Avand in vedere ca fortele 
începe să crească treptat și presupunând că cresc proporțional cu deplasările, obținem:
.
Conform legii conservării: nicio muncă nu dispare, este cheltuită pentru a face alte lucrări sau intră în altă energie (energie este munca pe care o poate face corpul.
Opera forțelor 
, este cheltuită pentru depășirea rezistenței forțelor elastice care apar în corpul nostru. Pentru a calcula acest lucru, luăm în considerare faptul că corpul poate fi considerat ca fiind format din particule elastice mici. Să luăm în considerare una dintre ele:
Din partea particulelor învecinate, asupra ei acționează un stres 
. Stresul rezultat va fi 
Sub influenta 
particula este alungită. Prin definiție, alungirea este alungirea pe unitatea de lungime. Apoi:
Să calculăm munca dW că forța face dN (aici se ține cont și că forțele dNîncep să crească treptat și cresc proporțional cu deplasările):
Pentru întregul corp obținem:
.
Muncă W comise 
, numit energie elastică de deformare.
Conform legii conservării energiei:
6)Principiu posibile mișcări .
Aceasta este una dintre modalitățile de a scrie legea conservării energiei.
Lasă forțele să acționeze asupra fasciculului F 1
,
F 2
,
…
. Ele provoacă mișcarea punctelor în corp 
si stres 
. Să dăm trupul posibile deplasări suplimentare mici
. În mecanică, înregistrarea formei 
înseamnă sintagma „valoarea posibilă a cantității A". Aceste posibile mișcări vor provoca în organism posibile deformari suplimentare
. Ele vor duce la apariția unor forțe și tensiuni externe suplimentare. 
,
δ.
Să calculăm munca forțelor externe pe deplasări mici suplimentare posibile:
Aici 
- deplasari suplimentare ale acelor puncte in care se aplica forte F 1
,
F 2
,
…
Luați în considerare din nou un element mic cu o secțiune transversală dA si lungime dz (vezi fig. 8.5. și 8.6.). Conform definiției, alungire suplimentară dz al acestui element se calculează prin formula:
dz= dz.
Forța de tracțiune a elementului va fi:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Lucrarea forțelor interne asupra deplasărilor suplimentare este calculată pentru un element mic, după cum urmează:
dW = dN dz = dA dz = dV
DIN 
însumând energia de deformare a tuturor elementelor mici, obținem energia de deformare totală:
Legea conservării energiei W = U ofera:
.
Acest raport se numește principiul miscarilor posibile(numit si principiul mișcărilor virtuale).În mod similar, putem lua în considerare cazul în care acționează și tensiunile de forfecare. Apoi se poate obține că energia de deformare W adăugați următorul termen:
Aici - efort de forfecare, - forfecare a unui element mic. Apoi principiul miscarilor posibile va lua forma:
Spre deosebire de forma anterioară de scriere a legii conservării energiei, aici nu se presupune că forțele încep să crească treptat și cresc proporțional cu deplasările.
7) efect Poisson.
Luați în considerare modelul de alungire al probei:
Fenomenul de scurtare a unui element al corpului pe direcția de alungire se numește efect Poisson.
Să găsim deformația relativă longitudinală.
Deformația relativă transversală va fi:
coeficientul lui Poisson cantitatea se numeste:
Pentru materiale izotrope (oțel, fontă, beton) Raportul lui Poisson
Aceasta înseamnă că în direcția transversală deformarea Mai puțin longitudinal.
Notă
: tehnologiile moderne pot crea materiale compozite cu un raport Poisson > 1, adică deformația transversală va fi mai mare decât cea longitudinală. De exemplu, acesta este cazul materialului armat cu fibre dure la un unghi mic. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, adică mai putin 
, cu atât este mai mare raportul lui Poisson.
Fig.8.8. Fig.8.9
Și mai surprinzător este materialul prezentat în (Fig. 8.9.), Și pentru o astfel de armare are loc un rezultat paradoxal - alungirea longitudinală duce la o creștere a dimensiunii corpului în direcția transversală.
8) Legea lui Hooke generalizată.
Luați în considerare un element care se întinde în direcțiile longitudinale și transversale. Să găsim deformația care apare în aceste direcții. 
Calculați deformația 
decurgând din acţiune 
:
Luați în considerare deformarea din acțiune 
, care rezultă din efectul Poisson:
Deformarea totală va fi:
Dacă funcționează și 
, apoi adăugați încă o scurtare în direcția axei x 
.
Prin urmare: 
În mod similar: 
Aceste rapoarte se numesc legea lui Hooke generalizată.
Interesant este că atunci când scrieți legea lui Hooke, se face o presupunere despre independența deformațiilor de alungire față de deformațiile de forfecare (despre independența față de solicitările de forfecare, care este același lucru) și invers. Experimentele confirmă bine aceste ipoteze. Privind în perspectivă, observăm că rezistența, dimpotrivă, depinde puternic de combinația de forfecare și tensiuni normale.
Notă: Legile și ipotezele de mai sus sunt confirmate de numeroase experimente directe și indirecte, dar, ca toate celelalte legi, au o zonă limitată de aplicabilitate.
Legea lui Hooke de obicei denumite relații liniare între componentele de deformare și componentele de tensiune.
Luați un paralelipiped dreptunghiular elementar cu fețe paralele cu axele de coordonate, încărcat cu efort normal σ x, distribuite uniform pe două fețe opuse (Fig. 1). în care y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Până la atingerea limitei proporționalității, alungirea relativă este dată de formula
Unde E este modulul de tracțiune. Pentru oțel E = 2*10 5 MPa, prin urmare, deformațiile sunt foarte mici și se măsoară procentual sau în 1 * 10 5 (la instrumentele de extensometru care măsoară deformațiile).
Extinderea unui element în direcția axei X este însoțită de îngustarea acestuia pe direcția transversală, determinată de componentele deformarii
Unde μ este o constantă numită raportul de compresie transversală sau raportul lui Poisson. Pentru oțel μ de obicei luate egale cu 0,25-0,3.
Dacă elementul în cauză este încărcat simultan cu solicitări normale σ x, y, σz, distribuit uniform pe fețele sale, apoi se adaugă deformații
Suprapunerea componentelor de deformare cauzate de fiecare dintre cele trei tensiuni se obtin relatiile
Aceste rapoarte sunt confirmate de numeroase experimente. aplicat metoda de suprapunere sau suprapuneri a găsi deformațiile și tensiunile totale cauzate de forțe multiple este legitim atâta timp cât deformațiile și tensiunile sunt mici și depind liniar de forțele aplicate. În astfel de cazuri, neglijăm micile modificări ale dimensiunilor corpului deformabil și micile deplasări ale punctelor de aplicare a forțelor externe și ne bazăm calculele pe dimensiunile inițiale și pe forma inițială a corpului.
De remarcat că liniaritatea relațiilor dintre forțe și deformații nu rezultă încă din micimea deplasărilor. Deci, de exemplu, într-un comprimat Q tijă încărcată cu o forță transversală suplimentară R, chiar și cu o mică abatere δ există un moment suplimentar M = Qδ, ceea ce face ca problema să nu fie liniară. În astfel de cazuri, deviațiile totale nu sunt funcții liniare ale forțelor și nu pot fi obținute cu o simplă suprapunere (suprapunere).
S-a stabilit experimental că dacă tensiunile de forfecare acționează pe toate fețele elementului, atunci distorsiunea unghiului corespunzător depinde doar de componentele tensiunii de forfecare corespunzătoare.
Constant G se numește modul de forfecare sau modul de forfecare.
Cazul general de deformare a unui element din acțiunea a trei componente normale și a trei componente tangențiale de tensiuni asupra acestuia poate fi obținut prin suprapunere: trei deformații liniare determinate de expresiile (5.2a) se suprapun cu trei deformații de forfecare determinate de relațiile (5.2b) . Ecuațiile (5.2a) și (5.2b) determină relația dintre componentele deformare și tensiune și se numesc legea lui Hooke generalizată. Să arătăm acum că modulul de forfecare G exprimat în termeni de modul de întindere Eși raportul lui Poisson μ . Pentru a face acest lucru, luați în considerare un caz special în care σ x = σ , y = -σ și σz = 0.
Decupați elementul abcd plane paralele cu axa zși înclinată la un unghi de 45° față de axe Xși la(Fig. 3). După cum rezultă din condițiile de echilibru pentru elementul 0 bс, tensiuni normale σ v pe toate fețele elementului abcd sunt egale cu zero, iar tensiunile de forfecare sunt egale
Această stare de stres se numește pură schimbare. Ecuațiile (5.2a) implică faptul că
adică prelungirea elementului orizontal 0 c este egal cu scurtarea elementului vertical 0 b: εy = -ε x.
Unghiul dintre fețe abși bc modificări și cantitatea corespunzătoare de deformare de forfecare γ poate fi găsită din triunghiul 0 bс:
De aici rezultă că
Când o tijă este întinsă și comprimată, lungimea și dimensiunile secțiunii transversale ale acesteia se modifică. Dacă selectăm mental din tijă în stare neformată un element de lungime dx, apoi după deformare lungimea sa va fi egală cu dx((Fig. 3.6). În acest caz, alungirea absolută în direcția axei Oh va fi egal cu
și deformarea liniară relativă e x este definit de egalitate
Din moment ce axa Oh coincide cu axa tijei, de-a lungul căreia acționează sarcinile externe, numim deformare e x deformare longitudinală, pentru care indicele va fi omis mai jos. Deformațiile în direcții perpendiculare pe axă se numesc deformații transversale. Dacă este notat cu b dimensiunea caracteristică a secțiunii transversale (Fig. 3.6), atunci deformarea transversală este determinată de relația 
Deformațiile liniare relative sunt mărimi adimensionale. S-a stabilit că deformațiile transversale și longitudinale în timpul tensiunii și compresiunii centrale a tijei sunt interconectate prin dependență
Mărimea v inclusă în această egalitate se numește coeficientul lui Poisson sau coeficientul de deformare transversală. Acest coeficient este una dintre principalele constante de elasticitate ale materialului și caracterizează capacitatea acestuia de a deforma deformații transversale. Pentru fiecare material, se determină dintr-o încercare de tracțiune sau compresie (vezi § 3.5) și se calculează prin formula
După cum rezultă din egalitate (3.6), deformațiile longitudinale și transversale au întotdeauna semne opuse, ceea ce confirmă faptul evident că dimensiunile secțiunii transversale scad în timpul tensiunii și cresc în timpul compresiunii.
Raportul lui Poisson este diferit pentru diferite materiale. Pentru materialele izotrope, poate lua valori cuprinse între 0 și 0,5. De exemplu, pentru lemnul de plută, raportul lui Poisson este aproape de zero, în timp ce pentru cauciuc este aproape de 0,5. Pentru multe metale la temperaturi normale, valoarea raportului lui Poisson este în intervalul 0,25 + 0,35.
După cum sa stabilit în numeroase experimente, pentru majoritatea materialelor structurale la deformații mici, există o relație liniară între tensiuni și deformații.
Această lege a proporționalității a fost stabilită pentru prima dată de omul de știință englez Robert Hooke și se numește legea lui Hooke.
Constanta inclusă în legea lui Hooke E se numește modulul de elasticitate. Modulul de elasticitate este a doua constantă principală de elasticitate a unui material și îi caracterizează rigiditatea. Deoarece deformațiile sunt mărimi adimensionale, din (3.7) rezultă că modulul de elasticitate are dimensiunea tensiunii.
În tabel. 3.1 arată valorile modulului de elasticitate și raportul lui Poisson pentru diferite materiale.
La proiectarea și calcularea structurilor, împreună cu calculul tensiunilor, este, de asemenea, necesar să se determine deplasările punctelor și nodurilor individuale ale structurilor. Luați în considerare o metodă pentru calcularea deplasărilor sub tensiunea centrală și compresia barelor.
Lungimea absolută a extensiei elementului dx(Fig. 3.6) conform formulei (3.5) este
Tabelul 3.1
|
Denumirea materialului |
Modulul de elasticitate, MPa |
Coeficient Poisson |
|
Otel carbon |
||
|
aliaje de aluminiu |
||
|
Aliaje de titan |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
de-a lungul fibrelor |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
peste fibre |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
zidărie |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Fibră de sticlă SVAM |
||
|
Textolit |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Cauciuc pe cauciuc |
Integrând această expresie în intervalul de la 0 la x, obținem
Unde lor) - deplasarea axială a unei secțiuni arbitrare (Fig. 3.7) și C= și ( 0) - deplasarea axială a secțiunii inițiale x = 0. Dacă această secțiune este fixă, atunci u(0) = 0 și deplasarea unei secțiuni arbitrare este
Alungirea sau scurtarea tijei este egală cu deplasarea axială a capătului său liber (Fig. 3.7), a cărei valoare o obținem din (3.8), presupunând x = 1:
Inlocuind in formula (3.8) expresia deformarii? din legea lui Hooke (3.7), obținem
Pentru o tijă dintr-un material cu un modul constant de elasticitate E deplasările axiale sunt determinate de formula
Integrala inclusă în această egalitate poate fi calculată în două moduri. Prima modalitate este de a scrie analitic funcția Oh)și integrarea ulterioară. A doua metodă se bazează pe faptul că integrala luată în considerare este numeric egală cu aria parcelei a din secțiune. Introducerea notației
Să luăm în considerare cazurile speciale. Pentru o tijă întinsă de o forță concentrată R(orez. 3.3, a), forța longitudinală. / V este constantă pe lungime și este egală cu R. Tensiunile a conform (3.4) sunt de asemenea constante și egale cu 
Apoi din (3.10) obținem
Din această formulă rezultă că dacă tensiunile pe o anumită secțiune a tijei sunt constante, atunci deplasările se modifică conform unei legi liniare. Înlocuind în ultima formulă x = 1, aflați alungirea tijei:
Muncă EF numit rigiditatea tijei în tensiune și compresiune. Cu cât această valoare este mai mare, cu atât este mai mică alungirea sau scurtarea tijei.
Se consideră o tijă sub acțiunea unei sarcini uniform distribuite (Fig. 3.8). Forța longitudinală într-o secțiune arbitrară, distanțată la o distanță x de prindere, este egală cu
Împărțirea N pe F, obținem formula pentru tensiuni
Înlocuind această expresie în (3.10) și integrând, găsim
Cea mai mare deplasare, egală cu alungirea întregii tije, se obține prin înlocuirea x = / în (3.13):
Din formulele (3.12) și (3.13) se poate observa că dacă tensiunile depind liniar de x, atunci deplasările se modifică conform legii unei parabole pătrate. Loturi N, Oh si și prezentată în fig. 3.8.
Funcții generale de legare a dependenței diferențiale lor) iar a(x), poate fi obținut din relația (3.5). Substituind e din legea lui Hooke (3.7) în această relație, găsim
Din această dependență rezultă, în special, modelele de schimbare a funcției notate în exemplele de mai sus lor).
În plus, se poate observa că dacă în orice secțiune tensiunile dispar, atunci pe diagramă și poate exista un extremum în această secțiune.
De exemplu, să construim o diagramă și pentru tija prezentată în fig. 3.2, punerea E- 10 4 MPa. Calcularea suprafețelor parcelei despre pentru diferite zone, găsim:
secțiunea x = 1 m:
secțiunea x = 3 m:
secțiunea x = 5 m:
În secțiunea superioară a barei de diagramă și este o parabolă pătrată (Fig. 3.2, e).În acest caz, există un extremum în secțiunea x = 1 m. În secțiunea inferioară, caracterul diagramei este liniar.
Alungirea totală a tijei, care în acest caz este egală cu
poate fi calculat folosind formulele (3.11) și (3.14). Deoarece secțiunea inferioară a tijei (vezi Fig. 3.2, A) intins cu forta R ( prelungirea lui conform (3.11) este egală cu
Acțiunea forței R ( este transmis și în secțiunea superioară a tijei. În plus, este comprimat cu forță R 2și întinsă de o sarcină uniform distribuită q.În conformitate cu aceasta, modificarea lungimii sale este calculată prin formula
Însumând valorile lui A/ și A/ 2, obținem același rezultat ca mai sus.
În concluzie, trebuie menționat că, în ciuda valorii mici a deplasărilor și alungirilor (scurtărilor) tijelor sub tensiune și compresiune, acestea nu pot fi neglijate. Capacitatea de a calcula aceste cantități este importantă în multe probleme tehnologice (de exemplu, la asamblarea structurilor), precum și pentru rezolvarea problemelor static nedeterminate.
