Rânduri variabile. Convergență absolută și condițională Exemple de soluții în serii alternative
O serie de numere care conține un număr infinit de termeni pozitivi și un număr infinit de termeni negativi se numește alternant.
Convergența absolută și condiționată
O serie se numește absolut convergentă dacă și seria converge.
Dacă o serie converge absolut, atunci este convergentă (în sensul obișnuit). Reversul nu este adevărat.
Se spune că o serie este convergentă condiționat dacă ea însăși converge și seria compusă din modulele membrilor săi diverge.
Investigați seria de convergență 
.
Să aplicăm testul Leibniz suficient pentru serii alternative. Primim 
pentru că . Prin urmare, această serie converge.
38. Alternarea rândurilor. semnul Leibniz.
Un caz special de serie alternantă este o serie alternativă, adică o serie în care termenii succesivi au semne opuse.
semnul Leibniz
Pentru cei care alternează în apropiere, se aplică testul de convergență suficientă Leibniz.
Fie (an) o secvență de numere astfel încât
1. an+1< an для всех n;
Apoi sunt emise serii alternative.
39. Rânduri funcționale. Serie de puteri. raza de convergenta. Interval de convergență.
Conceptul de serie funcțională și serie de putere
Seria de numere obișnuită, amintiți-vă, constă din numere:
Toți membrii seriei sunt NUMERE.
Rândul funcțional este format din FUNCȚII:
Pe lângă polinoame, factoriali și alte cadouri, termenul comun al seriei include cu siguranță litera „x”. Arata cam asa, de exemplu:
La fel ca o serie de numere, orice serie funcțională poate fi scrisă în formă extinsă:
După cum puteți vedea, toți membrii seriei funcționale sunt funcții.
Cel mai popular tip de serie funcțională este serie de puteri.
Definiție:
O serie de puteri este o serie al cărei termen comun include puteri întregi pozitive ale variabilei independente.
O serie de puteri simplificată în multe manuale este scrisă astfel: , unde este vechea „umplutură” familiară a seriilor de numere (polinoame, grade, factoriali care depind doar de „en”). Cel mai simplu exemplu:
Să ne uităm la această descompunere și să regândim definiția: membrii seriei de puteri conțin „x” în puteri întregi pozitive (naturale).
Foarte des, o serie de puteri poate fi găsită în următoarele „modificări”: sau unde a este o constantă. De exemplu:
Strict vorbind, reprezentările simplificate ale seriei de putere, sau nu chiar corecte. În exponent, în loc de singura literă „en”, poate fi localizată o expresie mai complexă, de exemplu: 
Sau această serie de puteri:
Dacă doar exponenții de la „xAx” ar fi naturali.
Convergența seriei de putere.
Intervalul de convergență, raza de convergență și zona de convergență
Nu este nevoie să vă temeți de o asemenea abundență de termeni, ei merg „unul lângă celălalt” și nu sunt deosebit de greu de înțeles. Este mai bine să alegeți câteva serii experimentale simple și să începeți imediat să înțelegeți.
Vă rog să iubiți și să favorizați seria de putere Variabila poate lua orice valoare reală de la „minus infinit” la „plus infinit”. Înlocuiți mai multe valori arbitrare x în termenul comun al seriei:
Dacă x=1 atunci
Dacă x=-1, atunci
Dacă x=3 atunci
Dacă x=-0,2, atunci
Este evident că prin înlocuirea „x” într-una sau alta valoare, obținem serii numerice diferite. Unele serii de numere vor converge, iar altele vor diverge. Și sarcina noastră este să găsim setul de valori „x” la care seria de puteri va converge. O astfel de mulțime se numește regiunea de convergență a seriei.
Pentru orice serie de puteri (abaterea temporară de la un exemplu specific), sunt posibile trei cazuri:
1) Seria de puteri converge absolut pe un interval . Cu alte cuvinte, dacă alegem orice valoare a lui "x" din interval și o înlocuim în termenul comun al seriei de puteri, atunci obținem o serie de numere absolut convergentă. Un astfel de interval se numește intervalul de convergență al seriei de puteri.
Raza de convergență, pur și simplu, este jumătate din lungimea intervalului de convergență:
Geometric, situația arată astfel: 
În acest caz, intervalul de convergență al seriei: raza de convergență a seriei: 
O serie de numere care conține un număr infinit de termeni pozitivi și un număr infinit de termeni negativi se numește alternant.
Convergența absolută și condiționată
O serie se numește absolut convergentă dacă și seria converge.
Dacă o serie converge absolut, atunci este convergentă (în sensul obișnuit). Reversul nu este adevărat.
Se spune că o serie este convergentă condiționat dacă ea însăși converge și seria compusă din modulele membrilor săi diverge.
Investigați seria de convergență 
.
Să aplicăm testul Leibniz suficient pentru serii alternative. Primim 
pentru că . Prin urmare, această serie converge.
38. Alternarea rândurilor. semnul Leibniz.
Un caz special de serie alternantă este o serie alternativă, adică o serie în care termenii succesivi au semne opuse.
semnul Leibniz
Pentru cei care alternează în apropiere, se aplică testul de convergență suficientă Leibniz.
Fie (an) o secvență de numere astfel încât
1. an+1< an для всех n;
Apoi sunt emise serii alternative.
39. Rânduri funcționale. Serie de puteri. raza de convergenta. Interval de convergență.
Conceptul de serie funcțională și serie de putere
Seria de numere obișnuită, amintiți-vă, constă din numere:
Toți membrii seriei sunt NUMERE.
Rândul funcțional este format din FUNCȚII:
Pe lângă polinoame, factoriali și alte cadouri, termenul comun al seriei include cu siguranță litera „x”. Arata cam asa, de exemplu:
La fel ca o serie de numere, orice serie funcțională poate fi scrisă în formă extinsă:
După cum puteți vedea, toți membrii seriei funcționale sunt funcții.
Cel mai popular tip de serie funcțională este serie de puteri.
Definiție:
O serie de puteri este o serie al cărei termen comun include puteri întregi pozitive ale variabilei independente.
O serie de puteri simplificată în multe manuale este scrisă astfel: , unde este vechea „umplutură” familiară a seriilor de numere (polinoame, grade, factoriali care depind doar de „en”). Cel mai simplu exemplu:
Să ne uităm la această descompunere și să regândim definiția: membrii seriei de puteri conțin „x” în puteri întregi pozitive (naturale).
Foarte des, o serie de puteri poate fi găsită în următoarele „modificări”: sau unde a este o constantă. De exemplu:
Strict vorbind, reprezentările simplificate ale seriei de putere, sau nu chiar corecte. În exponent, în loc de singura literă „en”, poate fi localizată o expresie mai complexă, de exemplu: 
Sau această serie de puteri:
Dacă doar exponenții de la „xAx” ar fi naturali.
Convergența seriei de putere.
Intervalul de convergență, raza de convergență și zona de convergență
Nu este nevoie să vă temeți de o asemenea abundență de termeni, ei merg „unul lângă celălalt” și nu sunt deosebit de greu de înțeles. Este mai bine să alegeți câteva serii experimentale simple și să începeți imediat să înțelegeți.
Vă rog să iubiți și să favorizați seria de putere Variabila poate lua orice valoare reală de la „minus infinit” la „plus infinit”. Înlocuiți mai multe valori arbitrare x în termenul comun al seriei:
Dacă x=1 atunci
Dacă x=-1, atunci
Definiția 1
Seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, ai cărei membri au semne arbitrare (+), (?), se numește serie alternantă.
Seriile alternante considerate mai sus sunt un caz special al seriei alternante; este clar că nu orice serie alternativă este alternativă. De exemplu, seria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ serii alternante, dar nu alternante de caractere.
Rețineți că într-o serie alternantă de termeni, atât cu semnul (+), cât și cu semnul (-), există infinit de mulți. Dacă acest lucru nu este adevărat, de exemplu, seria conține un număr finit de termeni negativi, atunci aceștia pot fi aruncați și poate fi luată în considerare o serie compusă doar din termeni pozitivi și invers.
Definiția 2
Dacă seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge și suma sa este S și parțial suma este egală cu $S_n$ , atunci $r_(n) =S-S_(n) $ se numește restul seriei și $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, i.e. restul seriei convergente tinde spre 0.
Definiția 3
O serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ se numește absolut convergentă dacă seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.
Definiția 4
Dacă seria de numere $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge și seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\dreapta| $, compus din valorile absolute ale membrilor săi, diverge, apoi seria originală se numește convergentă condiționat (neabsolut).
Teorema 1 (un criteriu suficient pentru convergența serii alternative)
Seria alternantă $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut dacă seria compusă din valorile absolute ale membrilor săi$\sum \limits _(n=1) ^ converge (\infty )\left|u_(n) \right| $.
cometariu
Teorema 1 oferă doar o condiție suficientă pentru convergența serii alternative. Teorema inversă nu este adevărată, adică dacă seria alternativă $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, atunci nu este necesar ca seria compusă din module $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (poate fi fie convergent, fie divergent). De exemplu, seria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ converge conform testului Leibniz, iar seria compusă din valorile absolute ale termenilor săi este $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (seria armonică) diverge.
Proprietatea 1
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut, atunci converge absolut pentru orice permutare a membrilor săi, iar suma seriei nu depinde de ordine a membrilor. Dacă $S"$ este suma tuturor termenilor săi pozitivi și $S""$ este suma tuturor valorilor absolute ale termenilor săi negativi, atunci suma seriei este $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ este egal cu $S=S"-S""$.
Proprietatea 2
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge absolut și $C=(\rm const)$, atunci seria $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ de asemenea converge absolut.
Proprietatea 3
Dacă seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ și $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ converg absolut, atunci şi seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ converg absolut.
Proprietatea 4 (teorema lui Riemann)
Dacă seria converge condiționat, atunci indiferent ce număr A luăm, putem rearanja termenii acestei serii astfel încât suma ei să fie exact egală cu A; în plus, este posibil să se rearanjeze termenii unei serii condițional convergente în așa fel încât după aceea să diverge.
Exemplul 1
Investigați seria pentru convergența condiționată și absolută
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Soluţie. Această serie este alternantă de semne, termenul comun al căruia îl notăm: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Exemplul 2
Examinați seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pentru convergența absolută și condiționată.
- Examinăm seria pentru convergență absolută. Notați $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ și compuneți o serie de valori absolute $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Obținem seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ cu termeni pozitivi, cărora le aplicăm criteriul limită pentru compararea seriilor. Pentru comparație cu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ considerați o serie care are forma $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty ) )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Această serie este o serie Dirichlet cu exponent $p=\frac(1)(2)
- Apoi, examinăm seria originală $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pentru condițional convergenţă. Pentru a face acest lucru, verificăm îndeplinirea condițiilor testului Leibniz. Condiția 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, unde $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , adică această serie este alternativă. Pentru a verifica condiția 2) privind scăderea monotonă a termenilor seriei, folosim următoarea metodă. Luați în considerare funcția auxiliară $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definită la $x\in )
