Деформации и поместувања. Хуковиот закон
Дејството на надворешните сили на цврсто тело доведува до појава на напрегања и напрегања во точките од неговиот волумен. Во овој случај, состојбата на стрес во точка, односот помеѓу напрегањата на различни места што минуваат низ оваа точка, се одредуваат со равенките на статиката и не зависат од физичките својства на материјалот. Деформираната состојба, врската помеѓу поместувањата и деформациите се воспоставуваат со помош на геометриски или кинематички размислувања и исто така не зависат од својствата на материјалот. За да се воспостави врска помеѓу напрегањата и деформациите, неопходно е да се земат предвид вистинските својства на материјалот и условите на оптоварување. Математичките модели кои ја опишуваат врската помеѓу напрегањата и деформациите се развиени врз основа на експериментални податоци. Овие модели треба да ги одразуваат реалните својства на материјалите и условите на товарење со доволен степен на точност.
Најчести за структурните материјали се моделите на еластичност и пластичност. Еластичноста е својство на телото да ја менува формата и големината под дејство на надворешни оптоварувања и да ја врати првобитната конфигурација кога ќе се отстранат оптоварувањата. Математички, својството на еластичност се изразува во воспоставување на функционален однос еден-на-еден помеѓу компонентите на тензорот на напрегање и тензорот на напрегање. Својството на еластичност ги одразува не само својствата на материјалите, туку и условите за оптоварување. За повеќето структурни материјали, својството на еластичност се манифестира при умерени вредности на надворешните сили, што доведува до мали деформации и при ниски стапки на оптоварување, кога загубите на енергија поради температурните ефекти се занемарливи. Материјалот се нарекува линеарно еластичен ако компонентите на тензорот на напрегање и тензорот на напрегање се поврзани со линеарни односи.
При високи нивоа на оптоварување, кога се случуваат значителни деформации во телото, материјалот делумно ги губи своите еластични својства: при растоварување, неговите оригинални димензии и форма не се целосно обновени, а кога надворешните оптоварувања се целосно отстранети, преостанатите деформации се фиксираат. Во овој случај односот помеѓу напрегањата и напрегањата престанува да биде недвосмислен. Ова материјално својство се нарекува пластичност.Преостанатите деформации акумулирани во процесот на пластична деформација се нарекуваат пластика.
Високото ниво на стрес може да предизвика уништување, т.е., поделба на телото на делови.Цврстите тела направени од различни материјали се уништуваат при различни количества на деформации. Фрактурата е кршлива при мали деформации и се јавува, по правило, без забележливи пластични деформации. Таквото уништување е типично за леано железо, легирани челици, бетон, стакло, керамика и некои други структурни материјали. За ниско-јаглеродни челици, обоени метали, пластика, пластичен тип на фрактура е карактеристичен во присуство на значителни преостанати деформации. Сепак, поделбата на материјалите според природата на нивното уништување на кршливи и еластични е многу условена; тоа обично се однесува на некои стандардни работни услови. Еден ист материјал може да се однесува, во зависност од условите (температура, природа на товарот, технологија на производство итн.), како кршлив или како еластичен. На пример, материјалите кои се пластични на нормални температури се уништуваат како кршливи на ниски температури. Затоа, поправилно е да се зборува не за кршливи и пластични материјали, туку за кршливост или пластична состојба на материјалот.
Нека материјалот е линеарно еластичен и изотропен. Да разгледаме елементарен волумен во услови на едноаксијална напонска состојба (сл. 1), така што тензорот на напрегање има форма
При такво оптоварување, има зголемување на димензиите во насока на оската О,се карактеризира со линеарна деформација, која е пропорционална на големината на напрегањето
Сл.1.Едноаксијална стресна состојба
Овој сооднос е математичка нотација Хуковиот закон, воспоставување на пропорционален однос помеѓу напрегањето и соодветната линеарна деформација во едноаксијална напонска состојба. Коефициентот на пропорционалност Е се нарекува модул на надолжна еластичност или Јанг-модул.Има димензија на напрегања.
Заедно со зголемувањето на големината во насока на дејство; под ист напон, димензиите се намалуваат во две ортогонални насоки (сл. 1). Соодветните деформации ќе бидат означени со и , а овие деформации се негативни за позитивните и се пропорционални со:
Со истовремено дејство на напрегањата по три ортогонални оски, кога нема тангенцијални напрегања, принципот на суперпозиција (суперпозиција на решенија) важи за линеарен еластичен материјал:
Земајќи ги предвид формулите (1 4), добиваме
|
Тангенцијалните напрегања предизвикуваат аголни деформации, а при мали деформации не влијаат на промената на линеарните димензии, а со тоа и на линеарни деформации. Затоа, тие важат и во случај на произволна стресна состојба и изразуваат т.н генерализиран Хуковиот закон.
Аголната деформација се должи на напрегање на смолкнување , и деформации и , соодветно, на напрегања и . Помеѓу соодветните напрегања на смолкнување и аголни деформации за линеарно еластично изотропно тело, постојат пропорционални односи
кои го изразуваат законот Кука на смена.Се нарекува факторот на пропорционалност G модул за смолкнување.Неопходно е нормалното напрегање да не влијае на аголните деформации, бидејќи во овој случај се менуваат само линеарните димензии на сегментите, а не аглите меѓу нив (сл. 1).
Исто така постои и линеарна зависност помеѓу просечниот напон (2,18), кој е пропорционален на првата непроменлива на тензорот на напрегање, и волуметриското напрегање (2,32), што се совпаѓа со првата инваријанта на тензорот на напрегање:
Сл.2.Рамнинско напрегање на смолкнување
Соодветен сооднос Доповикани масовен модул на еластичност.
Формулите (1 7) ги вклучуваат еластичните карактеристики на материјалот Е, , Ги ДО,одредување на неговите еластични својства. Сепак, овие карактеристики не се независни. За изотропен материјал, обично се избираат две независни еластични карактеристики како модул на еластичност Еи Поасонов сооднос. Да се изрази модулот на смолкнување Гпреку Еи , Да разгледаме деформација на рамно смолкнување под дејство на напрегања на смолкнување (сл. 2). За да ги поедноставиме пресметките, користиме квадрат елемент со страна а.Пресметајте ги главните напрегања , . Овие напрегања делуваат на местата лоцирани под агол на оригиналните места. Од сл. 2 најдете ја врската помеѓу линеарната деформација во насока на напрегање и аголната деформација . Главната дијагонала на ромбот што ја карактеризира деформацијата е еднаква на
За мали деформации
Со оглед на овие соодноси
Пред деформацијата, оваа дијагонала имаше големина . Тогаш ќе имаме
Од генерализираниот Хуковиот закон (5) добиваме
Споредба на добиената формула со Хуковиот закон со поместување (6) дава
Како резултат на тоа, добиваме
Споредувајќи го овој израз со волуметрискиот закон на Хук (7), доаѓаме до резултатот
Механички карактеристики Е, , Ги Досе наоѓаат по обработката на експерименталните податоци на примероците за тестирање за различни видови товари. Од физичка гледна точка, сите овие карактеристики не можат да бидат негативни. Дополнително, од последниот израз произлегува дека Поасоновиот сооднос за изотропен материјал не надминува 1/2. Така, ги добиваме следните ограничувања за еластичните константи на изотропниот материјал:
Граничната вредност води кон гранична вредност , што одговара на некомпресибилен материјал ( на ). Како заклучок, напрегањата ги изразуваме во однос на деформации од релациите на еластичност (5). Првата од релациите (5) ја пишуваме во форма
Користејќи ја еднаквоста (9), ќе имаме
Слични односи може да се изведат за и . Како резултат на тоа, добиваме
|
Овде се користи релацијата (8) за модулот на смолкнување. Покрај тоа, ознаката
ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА НА ЕЛАСТИЧНА ДЕФОРМАЦИЈА
Размислете прво за елементарниот волумен dV=dxdydzво услови на едноаксијална напонска состојба (сл. 1). Ментално поправете ја платформата x=0(сл. 3). На спротивната страна делува сила .
Оваа сила функционира при поместување. .
Како што напонот се зголемува од нула до вредноста
соодветната деформација, врз основа на Хуковиот закон, исто така се зголемува од нула до вредноста ,
а работата е пропорционална на засенчената на Сл. 4 квадрати: 
. Ако занемариме кинетичка енергијаи загуби поврзани со топлински, електромагнетни и други појави, тогаш, врз основа на законот за зачувување на енергијата, извршената работа ќе се претвори во потенцијална енергијаакумулирани за време на процесот на деформација: .
F= dU/dVповикани специфична потенцијална енергија на деформација,значајно потенцијална енергијаакумулирани по единица волумен на телото. Во случај на едноаксијална напонска состојба
8.2. Основни закони што се користат во јачината на материјалите
Односите на статиката. Тие се напишани во форма на следните равенки за рамнотежа.
Законот на Хук ( 1678): колку е поголема силата, толку е поголема деформацијата и, згора на тоа, е директно пропорционална на силата. Физички, тоа значи дека сите тела се пружини, но со голема ригидност. Со едноставно затегнување на гредата од надолжната сила Н= Фовој закон може да се напише како:
Еве 
надолжна сила, л- должина на шипката, НО- нејзината површина на пресек, Е- коефициент на еластичност од првиот вид ( Модул на Јанг).
Земајќи ги предвид формулите за напрегања и деформации, Хуковиот закон е напишан на следниов начин: 
.
Слична врска е забележана во експериментите помеѓу напрегањата на смолкнување и аголот на смолкнување:
.
Г
повиканимодул на смолкнување
, поретко - еластичниот модул од вториот вид. Како и секој закон, тој има ограничување на применливост и Хуковиот закон. Напон 
, до кој важи законот на Хук, се нарекува граница на пропорционалност(ова е најважната карактеристика кај сопроматот).
Ајде да ја прикажеме зависноста
од
графички (сл. 8.1). Оваа слика се нарекува дијаграм за истегнување
. По точката Б (т.е. во 
), оваа зависност повеќе не е линеарна.
На 
по растоварувањето, во телото се појавуваат преостанати деформации, затоа 
повикани граница на еластичност
.
Кога напрегањето ќе ја достигне вредноста σ = σ t, многу метали почнуваат да покажуваат својство наречено флуидност. Ова значи дека дури и при постојано оптоварување, материјалот продолжува да се деформира (т.е. се однесува како течност). Графички, тоа значи дека дијаграмот е паралелен со апсцисата (DL графика). Напрегањето σ t при кое тече материјалот се вика сила на принос .
Некои материјали (чл. 3 - градежен челик) по краток проток повторно почнуваат да се спротивставуваат. Отпорот на материјалот продолжува до одредена максимална вредност σ pr, потоа почнува постепено уништување. Се нарекува вредноста σ pr - цврстина на истегнување (синоним за челик: цврстина на истегнување, за бетон - кубна или призматска цврстина). Се користат и следните ознаки:
=Р б
Слична зависност е забележана во експериментите помеѓу тангенцијални напрегања и ножици.
3) Закон Дугамел-Нојман (линеарно термичко проширување):
Во присуство на температурна разлика, телото ја менува својата големина и е директно пропорционално на оваа температурна разлика.
Нека има температурна разлика 
. Тогаш овој закон има форма:
Еве α - коефициент на линеарно термичко проширување, л - должина на прачка, Δ л- неговото издолжување.
4) закон на лази .
Истражувањата покажаа дека сите материјали се многу нехомогени во малите. Шематската структура на челикот е прикажана на сл. 8.2.
Некои од компонентите имаат флуидни својства, така што многу материјали под оптоварување добиваат дополнително издолжување со текот на времето. 
(сл.8.3.) (метали на високи температури, бетон, дрво, пластика - на обични температури). Овој феномен се нарекува лазиматеријал.
За течноста, законот е вистинит: како повеќе сила, толку е поголема брзината на телото во течноста. Ако оваа врска е линеарна (т.е. силата е пропорционална на брзината), тогаш може да се напише како:
Е 
Ако преминеме на релативни сили и релативни издолжувања, добиваме
Еве го индексот " кр
" значи дека се зема предвид делот од издолжувањето што е предизвикан од лази на материјалот. Механичка карактеристика 
наречен коефициент на вискозност.
Закон за зачувување на енергијата.
Размислете за натоварен зрак
Да го воведеме концептот на поместување точка, на пример,
- вертикално движење на точката Б;
- хоризонтално поместување на точката В.
Сили 
додека извршувате некоја работа У.
Имајќи предвид дека силите 
почнуваат да се зголемуваат постепено и под претпоставка дека тие се зголемуваат пропорционално со поместувањата, добиваме:
.
Според законот за зачувување: ниедна работа не исчезнува, таа се троши на вршење друга работа или оди во друга енергија (енергијае работата што телото може да ја изврши.
Работата на силите 
, се троши за совладување на отпорот на еластичните сили кои се појавуваат во нашето тело. За да ја пресметаме оваа работа, земаме предвид дека телото може да се смета дека се состои од мали еластични честички. Да разгледаме еден од нив:
Од страната на соседните честички, на неа делува стрес 
. Резултирачкиот стрес ќе биде 
Под влијание 
честичката е издолжена. По дефиниција, издолжувањето е издолжување по единица должина. Потоа:
Ајде да ја пресметаме работата dWдека силата го прави dN (тука се зема предвид и дека силите dNпочнуваат постепено да се зголемуваат и тие се зголемуваат пропорционално со поместувањата):
За целото тело добиваме:
.
Работа Впосветена 
, повикан енергија на еластична деформација.
Според законот за зачувување на енергијата:
6)Принцип можни движења .
Ова е еден од начините да се напише законот за зачувување на енергијата.
Дозволете сили да дејствуваат на зракот Ф 1
,
Ф 2
,
…
. Тие предизвикуваат точки да се движат во телото 
и стресот 
. Да го дадеме телото дополнителни мали можни поместувања
. Во механиката, записот на формата 
значи изразот „можна вредност на количината а“. Овие можни движења ќе предизвикаат во телото дополнителни можни деформации
. Тие ќе доведат до појава на дополнителни надворешни сили и напрегања. 
,
δ.
Дозволете ни да ја пресметаме работата на надворешните сили на дополнителни можни мали поместувања:
Еве 
- дополнителни поместувања на оние точки каде што се применуваат сили Ф 1
,
Ф 2
,
…
Размислете повторно за мал елемент со пресек dA и должина џ (види сл. 8.5. и 8.6.). Според дефиницијата дополнително издолжување џна овој елемент се пресметува со формулата:
џ= џ.
Силата на истегнување на елементот ќе биде:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Работата на внатрешните сили на дополнителни поместувања се пресметува за мал елемент на следниов начин:
dW = dN dz = dA dz = dV
ОД 
собирајќи ја енергијата на напрегање на сите мали елементи, ја добиваме вкупната енергија на напрегање:
Закон за зачувување на енергијата В = Удава:
.
Овој сооднос се нарекува принципот на можни движења(исто така наречен принцип на виртуелни движења).Слично, можеме да го разгледаме случајот кога дејствуваат и напрегањата на смолкнување. Тогаш може да се добие дека енергијата на вирус Вдодадете го следниот термин:
Овде - напрегање на смолкнување, - смолкнување на мал елемент. Потоа принцип на можни движењаќе има форма:
За разлика од претходната форма на пишување на законот за зачувување на енергијата, овде не постои претпоставка дека силите почнуваат постепено да се зголемуваат и тие се зголемуваат пропорционално со поместувањата
7) Поасон ефект.
Размислете за моделот на издолжување на примерокот:
Феноменот на скратување на елемент на телото низ правецот на издолжување се нарекува Поасон ефект.
Да ја најдеме надолжната релативна деформација.
Попречната релативна деформација ќе биде:
Поасонов соодносколичината се нарекува:
За изотропни материјали (челик, леано железо, бетон) Поасонов сооднос
Тоа значи дека во попречната насока деформацијата помалкунадолжен.
Забелешка
: современите технологии можат да создадат композитни материјали со Поасон сооднос > 1, односно попречната деформација ќе биде поголема од надолжната. На пример, ова е случај за материјал зајакнат со тврди влакна под низок агол. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, т.е. помалку 
, толку е поголем Поасонов сооднос.
Сл.8.8. Сл.8.9
Уште поизненаден е материјалот прикажан на (сл. 8.9.), А за такво засилување се случува парадоксален резултат - надолжното издолжување доведува до зголемување на големината на телото во попречен правец.
8) Генерализиран Хуковиот закон.
Размислете за елемент што се протега во надолжната и попречната насока. Дозволете ни да ја пронајдеме деформацијата што се појавува во овие насоки. 
Пресметајте ја деформацијата 
кои произлегуваат од дејството 
:
Размислете за деформацијата од дејството 
, што произлегува од ефектот на Поасон:
Вкупната деформација ќе биде:
Доколку работи и 
, потоа додадете уште едно скратување во насока на оската x 
.
Следствено: 
Слично: 
Овие соодноси се нарекуваат генерализиран Хуковиот закон.
Интересно е што при пишувањето на Хуковиот закон се прави претпоставка за независноста на напрегањата на издолжување од напрегањата на смолкнување (за независноста од напрегањата на смолкнување, што е истото) и обратно. Експериментите добро ги потврдуваат овие претпоставки. Гледајќи напред, забележуваме дека јачината, напротив, силно зависи од комбинацијата на смолкнување и нормални напрегања.
Забелешка: Горенаведените закони и претпоставки се потврдени со бројни директни и индиректни експерименти, но, како и сите други закони, тие имаат ограничена област на применливост.
Законот на Хукобично се нарекува линеарни односи помеѓу компонентите на деформација и компонентите на напрегањето.
Земете елементарен правоаголен паралелепипед со лица паралелни на координатните оски, оптоварени со нормален стрес σ x, рамномерно распоредени на две спротивни лица (сл. 1). При што y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
До достигнување на границата на пропорционалност, релативното издолжување е дадено со формулата
каде Ее модулот на истегнување. За челик Е = 2*10 5 MPa, затоа, деформациите се многу мали и се мерат како процент или во 1 * 10 5 (кај инструментите со деформации што мерат деформации).
Проширување на елемент во насока на оската Xе придружено со негово стеснување во попречниот правец, одредено од компонентите на деформација
каде μ е константа наречена попречен однос на компресија или Поасонов однос. За челик μ обично се зема еднаква на 0,25-0,3.
Ако предметниот елемент е истовремено оптоварен со нормални напрегања σ x, y, σz, рамномерно распоредени по неговите лица, а потоа се додаваат деформации
Со наметнување на деформационите компоненти предизвикани од секое од трите напрегања, ги добиваме односите
Овие соодноси се потврдени со бројни експерименти. Применето метод на преклопувањеили суперпозициида се пронајдат вкупните напрегања и напрегања предизвикани од повеќе сили е легитимно се додека напрегањата и напрегањата се мали и линеарно зависат од применетите сили. Во такви случаи, ги занемаруваме малите промени во димензиите на деформабилното тело и малите поместувања на точките на примена на надворешните сили и ги базираме нашите пресметки на почетните димензии и почетната форма на телото.
Треба да се забележи дека линеарноста на односите меѓу силите и напрегањата сè уште не произлегува од малиноста на поместувањата. Така, на пример, во компресирана Ппрачка натоварена со дополнителна попречна сила Р, дури и со мало отклонување δ има дополнителен момент М = Qδ, што го прави проблемот нелинеарен. Во такви случаи, вкупните отклонувања не се линеарни функции на силите и не можат да се добијат со едноставно преклопување (суперпозиција).
Експериментално е утврдено дека ако напрегањата на смолкнување дејствуваат на сите страни на елементот, тогаш изобличувањето на соодветниот агол зависи само од соодветните компоненти на напрегање на смолкнување.
Постојана Гсе нарекува модул на смолкнување или модул на смолкнување.
Општиот случај на деформација на елемент од дејството на три нормални и три тангентни компоненти на напрегање на него може да се добие со помош на суперпозиција: три линеарни деформации утврдени со изразите (5.2а) се надредени со три деформации на смолкнување утврдени со релациите (5.2б). . Равенките (5.2а) и (5.2б) ја одредуваат врската помеѓу компонентите на деформација и напрегање и се нарекуваат генерализиран Хуковиот закон. Сега да покажеме дека модулот на смолкнување Гизразена во однос на модулот на истегнување Еи Поасонов сооднос μ . За да го направите ова, разгледајте посебен случај каде σ x = σ , y = -σ и σz = 0.
Исечете го елементот а бе це дерамнини паралелни на оската zи наклонет под агол од 45° кон оските Xи на(сл. 3). Како што следува од условите за рамнотежа за елементот 0 бс, нормални стресови σ vна сите лица на елементот а бе це десе еднакви на нула, а напрегањата на смолкнување се еднакви
Оваа стресна состојба се нарекува чиста смена. Равенките (5.2а) имплицираат дека
односно продолжување на хоризонталниот елемент 0 ве еднакво на скратувањето на вертикалниот елемент 0 б: εy = -ε x.
Агол помеѓу лицата abи п.н.епромени, и соодветната количина на напрегање на смолкнување γ може да се најде од триаголникот 0 бс:
Оттука произлегува дека
Кога шипката е истегната и компресирана, нејзината должина и димензиите на напречниот пресек се менуваат. Ако ментално избереме од шипката во недеформирана состојба елемент со должина dx,тогаш по деформација неговата должина ќе биде еднаква на dx((сл. 3.6). Во овој случај, апсолутното издолжување во насока на оската Оќе биде еднаков на
и релативна линеарна деформација e xсе дефинира со еднаквоста
Од оската Осе совпаѓа со оската на шипката, по која дејствуваат надворешни оптоварувања, ја нарекуваме деформација e xнадолжна деформација, за која индексот ќе биде испуштен подолу. Деформациите во правци нормални на оската се нарекуваат попречни деформации. Ако се означува со бкарактеристична големина на пресекот (сл. 3.6), тогаш попречната деформација се одредува со релацијата 
Релативните линеарни деформации се бездимензионални величини. Утврдено е дека попречните и надолжните деформации при централното затегнување и компресија на шипката се меѓусебно поврзани со зависноста
Количината v вклучена во оваа еднаквост се нарекува Поасонов соодносили коефициент на попречно напрегање. Овој коефициент е една од главните константи на еластичноста на материјалот и ја карактеризира неговата способност за попречни деформации. За секој материјал, тој се одредува од тест за истегнување или компресија (види § 3.5) и се пресметува со формулата
Како што следува од еднаквоста (3.6), надолжните и попречните напрегања секогаш имаат спротивни знаци, што го потврдува очигледниот факт дека димензиите на напречниот пресек се намалуваат за време на затегнување, а се зголемуваат за време на компресија.
Односот на Поасон е различен за различни материјали. За изотропни материјали, може да има вредности кои се движат од 0 до 0,5. На пример, за дрво од плута, односот на Поасон е блиску до нула, додека за гума е близу 0,5. За многу метали на нормални температури, вредноста на Поасоновиот однос е во опсег од 0,25 + 0,35.
Како што е утврдено во бројни експерименти, за повеќето структурни материјали при мали деформации, постои линеарна врска помеѓу напрегањата и деформациите.
Овој закон на пропорционалност прв го воспоставил англискиот научник Роберт Хук и се нарекува Хуковиот закон.
Константата вклучена во законот на Хук Есе нарекува модул на еластичност. Модулот на еластичност е втората главна константа на еластичност на материјалот и ја карактеризира неговата ригидност. Бидејќи деформациите се бездимензионални величини, од (3.7) произлегува дека модулот на еластичност има димензија на напрегање.
Во табелата. 3.1 ги прикажува вредностите на модулот на еластичност и односот на Поасон за различни материјали.
При дизајнирање и пресметување на конструкции, заедно со пресметката на напрегањата, неопходно е да се одредат и поместувањата на поединечни точки и јазли на структури. Размислете за метод за пресметување на поместувањата при централно напнатост и компресија на шипки.
Апсолутна должина на продолжување на елементот dx(сл. 3.6) според формулата (3.5) е
Табела 3.1
|
Име на материјалот |
Модул на еластичност, MPa |
Коефициент Поасон |
|
Јаглероден челик |
||
|
алуминиумски легури |
||
|
Легури на титаниум |
||
|
(1,15-с-1,6) 10 5 |
||
|
по влакната |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
низ влакната |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
тули |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
SVAM од фиберглас |
||
|
Текстолит |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Гума на гума |
Интегрирајќи го овој израз во опсегот од 0 до x, добиваме
каде нив) - аксијално поместување на произволен пресек (сл. 3.7), и C= и ( 0) - аксијално поместување на почетниот пресек x = 0.Ако овој дел е фиксиран, тогаш u(0) = 0 и поместувањето на произволен дел е
Издолжувањето или скратувањето на шипката е еднакво на аксијалното поместување на нејзиниот слободен крај (сл. 3.7), чија вредност ја добиваме од (3.8), под претпоставка x = 1:
Заменувајќи го во формулата (3.8) изразот за деформацијата? од Хуковиот закон (3.7), добиваме
За прачка направена од материјал со постојан модул на еластичност Еаксијалните поместувања се одредуваат со формулата
Интегралот вклучен во оваа еднаквост може да се пресмета на два начина. Првиот начин е аналитички да се запише функцијата О)и последователна интеграција. Вториот метод се заснова на фактот дека интегралот што се разгледува е нумерички еднаков на површината на заплетот a во делот.Воведување на ознаката
Да разгледаме посебни случаи. За прачка испружена со концентрирана сила Р(ориз. 3.3, а),надолжната сила./ V е константна по должината и е еднаква на Р.Напрегањата a според (3.4) се исто така константни и еднакви на 
Потоа од (3.10) добиваме
Од оваа формула произлегува дека ако напрегањата на одреден дел од шипката се константни, тогаш поместувањата се менуваат според линеарен закон. Замена во последната формула x = 1,Најдете го издолжувањето на шипката:
Работа ЕФповикани вкочанетост на шипката при напнатост и компресија.Колку е поголема оваа вредност, толку е помало издолжувањето или скратувањето на шипката.
Размислете за прачка под дејство на рамномерно распореден товар (сл. 3.8). Надолжната сила во произволен дел, распоредена на растојание x од прицврстувањето, е еднаква на
Поделба Нна F,ја добиваме формулата за напрегања
Заменувајќи го овој израз во (3.10) и интегрирајќи, наоѓаме
Најголемото поместување, еднакво на издолжувањето на целата прачка, се добива со замена на x = / во (3.13):
Од формулите (3.12) и (3.13) може да се види дека ако напрегањата зависат линеарно од x, тогаш поместувањата се менуваат според законот за квадратна парабола. Парцели N,ох и иприкажано на сл. 3.8.
Општи функции за поврзување на диференцијална зависност нив)и a(x), може да се добие од релацијата (3.5). Заменувајќи го e од законот на Хук (3.7) во оваа релација, наоѓаме
Од оваа зависност следат, особено, моделите на промена на функцијата забележани во горните примери нив).
Покрај тоа, може да се забележи дека ако во кој било дел стресот исчезнува, тогаш на дијаграмот иможе да има екстрем во овој дел.
Како пример, ајде да изградиме дијаграм иза шипката прикажана на сл. 3.2, ставање Е- 10 4 MPa. Пресметување на површините на парцелата заза различни области, наоѓаме:
дел x = 1 m:
дел x = 3 m:
дел x = 5 m:
На горниот дел од лентата со дијаграми ие квадратна парабола (сл. 3.2, д).Во овој случај, постои екстрем во делот x = 1 m. Во долниот дел, карактерот на дијаграмот е линеарен.
Вкупното издолжување на шипката, кое во овој случај е еднакво на
може да се пресмета со користење на формулите (3.11) и (3.14). Од долниот дел на шипката (види Сл. 3.2, а)се протегала со сила Р (неговото издолжување според (3.11) е еднакво на
Дејство на сила Р (се пренесува и на горниот дел од шипката. Покрај тоа, тој е компресиран со сила R 2и се протега со рамномерно распореден товар q.Во согласност со ова, промената на нејзината должина се пресметува со формулата
Сумирајќи ги вредностите на A/ и A/2, го добиваме истиот резултат како погоре.
Како заклучок, треба да се забележи дека, и покрај малата вредност на поместувањата и издолжувањата (скратувањата) на прачките под напнатост и компресија, тие не можат да се занемарат. Способноста да се пресметаат овие количини е важна во многу технолошки проблеми (на пример, при склопување на структури), како и за решавање на статички неодредени проблеми.
