Diskreetse matemaatika alused.

Komplekti mõiste. Hulkadevaheline seos.

Komplekt on objektide kogum, millel on teatud omadus, mis on ühendatud üheks tervikuks.

Objekte, mis moodustavad hulga, nimetatakse elemendid komplektid. Selleks, et teatud objektide komplekti saaks nimetada komplektiks, peavad olema täidetud järgmised tingimused:

· Peaks kehtima reegel, mille järgi on mono määrata, kas element kuulub antud kogusse.

· Peab olema reegel, mille järgi saab elemente üksteisest eristada.

Komplektid on tähistatud suurte tähtedega ja selle elemente väikeste tähtedega. Komplektide määramise viisid:

· Hulgaelementide loendamine. - lõplike kogumite jaoks.

Iseloomuliku omaduse määramine .

tühi komplekt- nimetatakse hulgaks, mis ei sisalda ühtegi elementi (Ø).

Kahte hulka loetakse võrdseteks, kui need koosnevad samadest elementidest. , A=B

Palju B nimetatakse hulga alamhulgaks AGA( , siis ja ainult siis, kui kõik komplekti elemendid B kuuluvad komplekti A.

Näiteks: , B =>

Omadus:

Märkus: tavaliselt kaaluge sama hulga alamhulka, mida nimetatakse universaalne(u). Universaalne komplekt sisaldab kõiki elemente.

Operatsioonid komplektidel.

A

B

1. Ühing 2 hulka A ja B nimetatakse sellist hulka, kuhu kuuluvad hulga A või hulga B elemendid (vähemalt ühe hulga elemendid).

2.ristumine 2 komplekti on uus komplekt, mis koosneb elementidest, mis kuuluvad samaaegselt nii esimesse kui ka teise komplekti.

Nr: , ,

Kinnistu: liitumis- ja ristmikuoperatsioonid.

· Kommutatiivsus.

Assotsiatiivsus. ;

· Distributiivne. ;

U

4.Lisand. Kui a AGA on universaalse hulga alamhulk U, siis komplekti täiend AGA paljudele U(tähistatud) on hulk, mis koosneb komplekti nendest elementidest U, mis ei kuulu komplekti AGA.

Binaarsed seosed ja nende omadused.

Lase AGA ja AT need on tuletatud olemusega komplektid, vaatleme järjestatud elementide paari (a, c) a ϵ A, c ϵ B tellitud "enks" võib kaaluda.

(a 1, a 2, a 3,…a n), kus a 1 ϵ A 1; a 2 ϵ A 2; …; a n ϵ A n;

Hulkade Descartes'i (otsene) korrutis A 1, A 2, ..., A n, nimetatakse hulgaks, mis koosneb järjestatud n k-st vormist .

Nr: M= {1,2,3}

M × M = M2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Descartes'i korrutise alamhulgad nimetatakse kraadisuhteks n või enaarne suhe. Kui a n=2, siis kaaluge binaarne suhted. Mida nad nii ütlevad a 1, a 2 on binaarses seoses R, millal a 1 R a 2.

Binaarne seos hulgal M nimetatakse hulga otsekorrutise alamhulgaks n enda peal.

M × M = M2= {(a, b)| a, b ϵ M) eelmises näites on suhe komplektis väiksem M genereerib järgmise komplekti: ((1,2);(1,3); (2,3))

Binaarsetel suhetel on mitmesuguseid omadusi, sealhulgas:

Peegeldusvõime: .

· Antirefleksiivsus (irrefleksiivsus): .

· Sümmeetria: .

· Antisümmeetria: .

· Transitiivsus: .

· Asümmeetria: .

Suhete tüübid.

Ekvivalentsuseos;

· Tellimuse suhe.

v Refleksiivset transitiivset seost nimetatakse kvaasijärku seoseks.

v Refleksiivset sümmeetrilist transitiivset seost nimetatakse ekvivalentseosteks.

v Refleksiivset antisümmeetrilist transitiivset seost nimetatakse (osalise) järjestuse seoseks.

v Antirefleksiivset antisümmeetrilist transitiivset seost nimetatakse range järjestuse suhteks.

Definitsioon. Binaarne seos R nimetatakse paaride alamhulgaks (a,b)∈R Descartes'i korrutis A×B, st R⊆A×B . Samas paljud A nimetatakse relatsiooni R definitsioonipiirkonnaks, hulka B väärtuste domeeniks.

Tähistus: aRb (st a ja b on R suhtes). /

Kommenteeri: kui A = B , siis öeldakse, et R on relatsioon hulgal A .

Binaarsete suhete täpsustamise viisid

1. Loetelu (paaride loend), mille puhul see seos on rahuldatud.

2. Maatriks. Binaarne seos R ∈ A × A , kus A = (a 1 , a 2 ,..., a n), vastab ruutmaatriksile suurusjärgus n, milles element c ij , mis on i ristumiskohas. rida ja j-s veerg on võrdne 1-ga, kui a i ja a j vahel on seos, või 0-ga, kui see puudub:

Suhete omadused

Olgu R seos hulgal A, R ∈ A×A . Siis seos R:

refleksiivselt, kui Ɐ a ∈ A: a R a (refleksiivse seose maatriksi põhidiagonaal sisaldab ainult ühtesid);

on antirefleksiivne, kui Ɐ a ∈ A: a R a (refleksiivse seosmaatriksi põhidiagonaal sisaldab ainult nulle);

sümmeetriline, kui Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (sellise seose maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, st c ij c ji);

antisümmeetriline, kui Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (sellise seose maatriksis peadiagonaali suhtes sümmeetrilisi pole);

transitiivselt, kui Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c rida, st c ij = 1 , siis kõik j-ndas reas olevad (vastagu need ühikud k e koordinaatidele nii, et c jk = 1) peavad vastama i-nda rea ​​omadele samades k koordinaatides, st c ik = 1 (ja võib-olla ka teistes koordinaatides).

Ülesanne 3.1. Määrake naturaalarvude hulgal antud seose R - "olema jagaja" omadused.

Lahendus.

suhe R = ((a,b):a jagaja b):

refleksiivne, mitte antirefleksiivne, kuna iga arv jagab end ilma jäägita: a/a = 1 kõigi a∈N ;

mitte sümmeetriline, antisümmeetriline, näiteks 2 on 4 jagaja, aga 4 ei ole 2 jagaja;

transitiivselt, kuna kui b/a ∈ N ja c/b ∈ N, siis c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, näiteks kui 6/3 = 2∈N ja 18/6 = 3∈N , siis 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Ülesanne 3.2. Määrake inimeste hulgal antud seose R omadused - "olla vend".
Lahendus.

Suhe R = ((a,b):a – b vend):

mitterefleksiivne, refleksivastane, kuna aRa ilmselgelt puudub kõigi a puhul;

mitte sümmeetriline, kuna üldiselt on venna a ja õe b vahel aRb, kuid mitte bRa ;

mitte antisümmeetriline, sest kui a ja b on vennad, siis aRb ja bRa, aga a≠b;

transitiivselt, kui nimetame vendadeks inimesi, kellel on ühised vanemad (isa ja ema).

Ülesanne 3.3. Määrake struktuurielementide hulgal määratud seose R - "olema boss" omadused

Lahendus.

Suhe R = ((a,b) : a - ülemus b):

• mitterefleksiivne, antirefleksiivne, kui sellel pole konkreetses tõlgenduses mõtet;
• mitte sümmeetriline, antisümmeetriline, kuna kõigi a≠b puhul ei ole aRb ja bRa üheaegselt täidetud;
• transitiivselt, kuna kui a on b pea ja b on c pea, siis a on c pea.

Määrake hulgal M i maatriksiga defineeritud seose R i omadused, kui:

1. R 1 "oma jääk on sama, kui jagatakse 5-ga"; M 1 on naturaalarvude hulk.
2. R2 "olema võrdne"; M 2 on naturaalarvude hulk.
3. R 3 "elavad samas linnas"; M 3 inimeste komplekt.
4. R 4 "ole tuttav"; M 4 palju inimesi.
5. R 5 ((a,b):(a-b) – paaris; M 5 arvude komplekt (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) – paaris; M 6 arvude komplekt (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R7 ((a,b):(a+1) - jagaja (a+b)); M 7 - komplekt (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R8 ((a,b):a - jagaja (a+b),a≠1); M 8 on naturaalarvude hulk.
9. R 9 "õeks olla"; M 9 - palju inimesi.
10. R 10 "tütar olla"; M 10 - palju inimesi.

Tehted binaarsuhete kohta

Olgu R 1 , R 1 hulgas A defineeritud seosed.

ühing R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 või (a, b) ∈ R 2 );

ristmik R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 ja (a, b) ∈ R 2 );

erinevus R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b) : (a, b) ∈ R 1 ja (a, b) ∉ R 2 ) ;

universaalne suhtumine U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

lisamine R1U\R1, kus U = A × A;

identiteedi seos I: = ((a;a) / a ∈ A);

vastupidine seos R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

koostis R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a, b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), kus R 1 ⊂ A × C ja R 2 ⊂ C×B;

Definitsioon. Suhte aste R komplektis A on selle kompositsioon iseendaga.

Määramine:

Definitsioon. Kui R ⊂ A × B, siis kutsutakse R º R -1 suhte R tuum .

Teoreem 3.1. Olgu R ⊂ A × A hulgal A defineeritud seos.

1. R on refleksiivne siis ja ainult siis (edaspidi kasutatakse ⇔-märki), kui I ⊂ R.
2. R on sümmeetriline ⇔ R = R -1 .
3. R on transitiivne ⇔ R º R ⊂ R
4. R on antisümmeetriline ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R on refleksivastane ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Ülesanne 3.4 . Olgu R seos hulkade (1,2,3) ja (1,2,3,4) vahel, mis saadakse paaride loendamisega: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Lisaks on S seos hulkade vahel S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Arvutage R -1 , S -1 ja S º R. Kontrollige, et (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Lahendus.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S° R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S°R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S ºR) -üks.

Ülesanne 3.5 . Olgu R suhe "...vanem..." ja S suhe "...vend..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet lühidalt verbaalselt:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 ja R º R.

Lahendus.

R -1 - seos "... laps ...";

S -1 - seos "... vend või õde ...";

R º S - seos "... vanem ...";

S -1 º R -1 - seos "... laps ..."

R º R - suhe "...vanaema või vanaisa..."

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1) Olgu R seos "...isa..." ja S suhe "...õde..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R-1, S-1, RºS, S-1ºR-1, RºR.

2) Olgu R seos "...vend..." ja S seos "...ema..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Olgu R seos "...vanaisa..." ja S seos "...poeg..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

4) Olgu R seos "...tütar..." ja S seos "...vanaema..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

5) Olgu R seos "...õetütar..." ja S suhe "...isa..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Olgu R seos "õde..." ja S suhe "ema..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Olgu R seos "...ema..." ja S suhe "...õde..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Olgu R seos "...poeg..." ja S suhe "...vanaisa..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Olgu R seos "...õde..." ja S suhe "...isa..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Olgu R seos "...ema..." ja S suhe "...vend..." kõigi inimeste hulgas. Kirjeldage suhet suuliselt:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Definitsioonid

• 1. Hulkade A ja B elementide vaheline binaarseos on Descartes'i korrutise RAB, RAA mis tahes alamhulk.
• 2. Kui A=B, siis R on binaarseos A-l.
• 3. Tähistus: (x, y)R xRy.
• 4. Binaarseose R domeeniks on hulk R = (x: on y nii, et (x, y)R).
• 5. Kahendseose R vahemik on hulk R = (y: leidub x, et (x, y)R).
• 6. Elementide A ja B vahelise binaarseose R komplement on hulk R = (AB) R.
• 7. Binaarseose R pöördseos on hulk R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Seoste R1AB ja R2BC korrutis on seos R1 R2 = ((x, y) : eksisteerib zB nii, et (x, z)R1 ja (z, y)R2).
• 9. Seost f nimetatakse funktsiooniks punktist A punkti B, kui on täidetud kaks tingimust:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) kõigi x, y1, y2 puhul tähendab asjaolu, et (x, y1)f ja (x, y2)f, y1=y2.
• 10. Seost f nimetatakse funktsiooniks punktist A punkti B, kui esimeses lõigus f = A, f = B.
• 11. Tähistus: (x, y)f y = f(x).
• 12. Identiteedifunktsioon iA: AA on defineeritud järgmiselt: iA(x) = x.
• 13. Funktsiooni f nimetatakse 1-1-funktsiooniks, kui mistahes x1, x2, y korral eeldab asjaolu, et y = f(x1) ja y = f(x2) x1=x2.
• 14. Funktsioon f: AB täidab üks-ühele vastavuse A ja B vahel, kui f = A, f = B ja f on 1-1 funktsioon.
• 15. Binaarseose R omadused hulgal A:
  • - refleksiivsus: (x, x)R kõigi xA puhul.
  • - irrefleksiivsus: (x, x)R kõigi xA puhul.
  • - sümmeetria: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisümmeetria: (x, y)R ja (y, x)R x=y.
  • - transitiivsus: (x, y)R ja (y, z)R (x, z)R.
  • - dihhotoomia: kas (x, y)R või (y, x)R kõigi xA ja yA jaoks.
• 16. Hulgad A1, A2, ..., Ar P(A) moodustavad hulga A partitsiooni, kui
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Alamhulka Аi , i = 1, ..., r nimetatakse partitsiooniplokkideks.

• 17. Ekvivalentsus hulgal A on refleksiivne, transitiivne ja sümmeetriline seos A suhtes.
• 18. Elemendi x ekvivalentsusklass ekvivalendi R järgi on hulk [x]R=(y: (x, y)R).
• 19. Koefitsientide hulk A võrra R on hulga A elementide ekvivalentsusklasside hulk. Nimetus: A/R.
• 20. Ekvivalentsusklassid (faktorihulga A/R elemendid) moodustavad hulga A partitsiooni. Vastupidi. Hulga A mis tahes partitsioon vastab ekvivalentsusrelatsioonile R, mille ekvivalentsusklassid langevad kokku määratud partitsiooni plokkidega. Teistmoodi. Hulga A iga element kuulub A/R-st mõnda ekvivalentklassi. Ekvivalentsusklassid kas ei ristu või langevad kokku.
• 21. Eeltellimus hulgal A on refleksiivne ja transitiivne seos A-s.
• 22. Osaline järjestus hulgal A on refleksiivne, transitiivne ja antisümmeetriline seos A-s.
• 23. Lineaarne järjekord hulgal A on refleksiivne, transitiivne ja antisümmeetriline seos A-l, mis rahuldab dihhotoomia omadust.

Olgu A=(1, 2, 3), B=(a, b). Kirjutame välja Descartesiuse korrutise: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Võtke selle Descartes'i korrutise mis tahes alamhulk: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Siis R on binaarsuhe hulkadel A ja B.

Kas see seos on funktsioon? Kontrollime kahe tingimuse 9a) ja 9b) täitmist. Seose R domeeniks on hulk R = (1, 2) (1, 2, 3), st esimene tingimus ei ole täidetud, seega tuleb R-le lisada üks paaridest: (3, a) või (3, b). Kui mõlemad paarid liidetakse, siis teine ​​tingimus ei ole täidetud, kuna ab. Samal põhjusel tuleb R-st välja jätta üks paaridest (1, a) või (1, b). Seega seos R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) on funktsioon. Pange tähele, et R ei ole 1-1 funktsioon.

Antud hulkadel A ja B on funktsioonideks ka järgmised seosed: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) jne.

Olgu A=(1, 2, 3). Hulgi A seose näide on R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Funktsiooni näide hulgast A on f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Näited probleemide lahendamisest

1. Leidke R, R, R1, RR, RR1, R1R, kui R = ((x, y) | x, y D ja x+y0).

Kui (x, y)R, siis x ja y läbivad kõik reaalarvud. Seetõttu R = R = D.

Kui (x, y)R, siis x+y0, seega y+x0 ja (y, x)R. Seega R1=R.

Iga xD, yD korral võtame z=-|max(x, y)|-1, siis x+z0 ja z+y0, s.t. (x, z)R ja (z, y)R. Seetõttu RR = RR1 = R1R = D2.

2. Milliste binaarseoste R puhul on R1= R tõene?

Las RAB. Võimalikud on kaks juhtumit:

• (1) AB. Võtame xAB. Siis (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Vastuolu.
• (2) AB=. Kuna R1BA ja RAB, siis R1= R= . R1 = põhjal järeldub, et R = . Kui R = järeldub, et R = AB. Vastuolu.

Seega, kui A ja B, siis selliseid seoseid R ei eksisteeri.

3. Reaalarvude hulgal D defineerime seose R järgmiselt: (x, y)R (x-y) on ratsionaalarv. Tõesta, et R on ekvivalents.

Peegeldusvõime:

Iga xD korral on x-x=0 ratsionaalarv. Kuna (x, x)R.

Sümmeetria:

Kui (x, y)R, siis x-y = . Siis y-x=-(x-y)=- on ratsionaalarv. Seetõttu (y, x)R.

Transitiivsus:

Kui (x, y)R, (y, z)R, siis x-y = ja y-z =. Lisades need kaks võrrandit, saame, et x-z = + on ratsionaalne arv. Seetõttu (x, z)R.

Seega on R samaväärsus.

4. Tasapinna D2 jaotus koosneb joonisel a) näidatud plokkidest. Kirjutage üles sellele partitsioonile vastav ekvivalentsuhe R ja ekvivalentsusklassid.

Sarnane probleem b) ja c) jaoks.

a) kaks punkti on samaväärsed, kui nad asuvad sirgel kujul y=2x+b, kus b on mis tahes reaalarv.

b) kaks punkti (x1,y1) ja (x2,y2) on samaväärsed, kui (x1 täisarvuline osa võrdub x2 täisarvuga) ja (y1 täisarv on võrdne y2 täisarvuga).

c) Otsustage ise.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

• 1. Tõesta, et kui f on funktsioon punktist A punkti B ja g on funktsioon punktist B punktini C, siis fg on funktsioon punktist A punkti C.
• 2. Olgu A ja B lõplikud hulgad, mis koosnevad vastavalt m ja n elemendist.

Mitu binaarseost eksisteerib hulga A ja B elementide vahel?

Mitu funktsiooni on punktist A punktini B?

Mitu 1-1 funktsiooni on punktist A punktini B?

Millise m ja n korral on A ja B vahel üks-ühele vastavus?

3. Tõesta, et f rahuldab tingimust f(AB)=f(A)f(B) mis tahes A ja B korral siis ja ainult siis, kui f on funktsioon 1-1.

Hulgi määratletud relatsioonil võib olla mitmeid omadusi, nimelt:

2. Refleksiivsus

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse refleksiivseks, kui iga elementi X komplektid X on suhtes R Koos endaga.

Kasutades sümboleid, saab selle seose kirjutada järgmiselt:

R peegeldavalt edasi X Û(" XÎ X) x R x

Näide. Võrdsuse suhe segmentide hulgal on refleksiivne, kuna iga segment on võrdne iseendaga.

Refleksiivse seose graafikul on tsüklid kõigis tippudes.

2. Antirefleksiivsus

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse refleksivastaseks, kui elementi pole X komplektid X mitte suhtes R Koos endaga.

R antirefleksiivselt sisse lülitatud X Û(" XÎ X)

Näide. Suhe "otsene X joonega risti juures» joonte komplektil tasapinnas on refleksivastane, sest ükski tasapinna sirgjoon ei ole iseendaga risti.

Antirefleksiivse seose graafik ei sisalda silmuseid.

Pange tähele, et on suhteid, mis ei ole refleksiivsed ega antirefleksiivsed. Näiteks kaaluge seost "punkt X sümmeetriline punkti suhtes juures» tasapinna punktide kogumil.

Punkt X sümmeetriline punkti suhtes X- tõsi; punkt juures sümmeetriline punkti suhtes juures- on vale, seetõttu ei saa me väita, et tasandi kõik punktid on enda suhtes sümmeetrilised, ega ka seda, et ükski tasandi punkt pole sümmeetriline iseenda suhtes.

3. Sümmeetria

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse sümmeetriliseks, kui, kuna element X on suhtes R elemendiga juures, järeldub, et element juures on suhtes R elemendiga X.

R sümmeetriline X Û(" X, juuresÎ X) x R y Þ y R x

Näide. Suhe "otsene Xületab piiri juures tasapinna sirgjoonte hulgal” on sümmeetriline, sest kui sirge Xületab piiri juures, siis sirgjoon juures peab ületama piiri X.

Sümmeetriline seoste graafik koos iga punktist lähtuva noolega X täpselt juures peaks sisaldama noolt, mis ühendab samu punkte, kuid vastupidises suunas.

4. Asümmeetria

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse asümmeetriliseks, kui elemente pole X, juures paljudelt X ei saa juhtuda, et element X on suhtes R elemendiga juures ja element juures on suhtes R elemendiga X.

R asümmeetriline X Û(" X, juuresÎ X) x R y Þ

Näide. Suhtumine" X < juures» asümmeetriliselt, sest mis tahes elemendipaari jaoks X, juures ei saa öelda, et samal ajal X < juures ja juures<X.

Asümmeetrilise seose graafikul pole silmuseid ja kui graafiku kaks tippu on ühendatud noolega, siis on see nool ainult üks.

5. Antisümmeetria

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse antisümmeetriliseks, kui sellest, et X on suhtes juures, a juures on suhtes X järgib seda X = y.

R antisümmeetriline X Û(" X, juuresÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Näide. Suhtumine" X£ juures» on antisümmeetriline, sest tingimustele X£ juures ja juures£ X täidetakse samal ajal ainult siis, kui X = y.

Antisümmeetrilise seose graafikul on silmused ja kui graafi kaks tippu on ühendatud noolega, siis on see nool ainult üks.

6. Transitiivsus

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse transitiivseks kui mis tahes elemendi puhul X, juures, z paljudelt X millest X on suhtes juures, a juures on suhtes z järgib seda X on suhtes z.

R transitiivne X Û(" X, juures, zÎ X) x R y Ù aadressil RzÞ x Rz

Näide. Suhtumine" X mitmekordne juures» on transitiivne, sest kui esimene arv on teise kordne ja teine ​​on kolmanda kordne, siis on esimene arv kolmanda kordne.

Iga noolepaariga transitiivse seose graafik alates X juurde juures ja alates juures juurde z sisaldab noolt, mis väljub X juurde z.

7. Ühenduvus

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse ühendatud, kui mis tahes elemendi puhul X, juures paljudelt x x on suhtes juures või juures on suhtes X või x = y.

Rühendatud X Û(" X, juures, zÎ X) x R y Ú aadressil RzÚ X= juures

Teisisõnu: suhe R võtteplatsil X nimetatakse ühendatud, kui mis tahes erineva elemendi puhul X, juures paljudelt x x on suhtes juures või juures on suhtes X või x = y.

Näide. Suhtumine" X< juures» on ühendatud, sest olenemata sellest, millised reaalarvud me võtame, on üks neist kindlasti suurem kui teine ​​või on need võrdsed.

Relatsioonigraafikul on kõik tipud ühendatud nooltega.

Näide. Kontrollige, millised omadused

suhtumine" X - jagaja juures» määratletud komplektil

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) see seos on refleksiivne, kuna iga arv antud hulgast on iseenda jagaja;

2) sellel seosel puudub antirefleksiivsuse omadus;

3) sümmeetriaomadus ei ole täidetud, sest näiteks 2 on 4 jagaja, aga 4 ei ole 2 jagaja;

4) see seos on antisümmeetriline: kaks arvu saavad samaaegselt olla üksteise jagajad ainult siis, kui need arvud on võrdsed;

5) seos on transitiivne, kuna kui üks arv jagab teist ja teine ​​on kolmanda, siis on esimene arv tingimata kolmanda jagaja;

6) seosel puudub ühenduvuse omadus, kuna näiteks graafikul olevad numbrid 2 ja 3 pole noolega ühendatud, sest kaks erinevat arvu 2 ja 3 ei ole üksteise jagajad.

Seega on sellel seosel refleksiivsuse, asümmeetria ja transitiivsuse omadused.

§ 3. Samaväärsusseos.
Ekvivalentsuseose seos hulga klassideks jagamisega

Definitsioon. Suhtumine R võtteplatsil X nimetatakse samaväärsusrelatsiooniks, kui see on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne.

Näide. Mõelge suhtele" X klassivend juures» pedagoogikateaduskonna üliõpilaste komplektil. Sellel on omadused:

1) refleksiivsus, kuna iga õpilane on iseendale klassikaaslane;

2) sümmeetria, sest kui õpilane X juures, siis õpilane juures on õpilase klassivend X;

3) transitiivsus, sest kui õpilane X- klassivend juures ja õpilane juures- klassivend z, siis õpilane X olla õpilase klassikaaslane z.

Seega on sellel seosel refleksiivsuse, sümmeetria ja transitiivsuse omadused ning seepärast on see ekvivalentsuhe. Samas võib pedagoogikateaduskonna üliõpilaste kogumi jagada alamhulkadeks, mis koosnevad samale kursusele õppivatest üliõpilastest. Saame 5 alamhulka.

Ekvivalentsuseos on ka näiteks paralleelsirgete seos, kujundite võrdsuse seos. Iga selline seos on seotud hulga jagamisega klassideks.

Teoreem. Kui võtteplatsil X Kui antakse ekvivalentsusseos, jagab see selle hulga paarikaupa disjunktiivseteks alamhulkadeks (ekvivalentsusklassideks).

Tõene on ka vastupidine väide: kui hulgal on defineeritud mis tahes seos X, genereerib selle hulga partitsiooni klassidesse, siis on see ekvivalentsuhe.

Näide. Võtteplatsil X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) on antud seos "3-ga jagamisel on sama jääk". Kas see on samaväärsuse seos?

Koostame selle seose graafiku:

Sellel seosel on refleksiivsuse, sümmeetria ja transitiivsuse omadused, seega on see ekvivalentsuhe ja jagab hulga X samaväärsusklassidesse. Igas ekvivalentsusklassis on arvud, mis 3-ga jagamisel annavad sama jäägi: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Arvatakse, et ekvivalentsusklassi määrab ükskõik milline selle esindaja, s.t. selle klassi suvaline element. Seega saab võrdsete murdude klassi täpsustada, määrates mis tahes sellesse klassi kuuluva murdosa.

Matemaatika algkursusel esinevad ka ekvivalentsussuhted, näiteks "avaldised X ja juures on samad arvväärtused", "joonis X võrdne figuuriga juures».

Olgu mingi mittetühi hulk A antud ja R mingi hulga A Descartes'i ruudu alamhulk: R  A  A.

suhtumine R võtteplatsil AGA nimetatakse hulga alamhulgaks AGA AGA(või AGA 2 ). Sellel viisil suhtumine on sobitamise erijuhtum, kus saabumisala on sama mis väljumisala. Nii nagu vaste, on ka seos järjestatud paar, kus mõlemad elemendid kuuluvad samasse hulka.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Asjaolu, et ( a, b)R saab kirjutada järgmiselt: a R b. Seal on kirjas: " a on seotud R-ga b" või "vahel a ja b seos R kehtib. Vastasel juhul kirjutage: a, b)R või aR b.

Arvukomplekti seoste näited on järgmised: "=", "", "", ">" jne. Mis tahes ettevõtte töötajate komplektil suhtumine "olla ülemus" või "olla alluv", sugulaste kogumil - "olla esivanem", "olla vend", "olla isa". ", jne.

Vaadeldavaid seoseid nimetatakse binaarseteks (kahekohalisteks) homogeenseteks seosteks ja need on matemaatikas kõige olulisemad. Koos nendega arvestavad nad ka P-kohalik või P-aarsed suhted:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Kuna seos on kirjavahetuse erijuht, saab nende seadmiseks kasutada kõiki eelnevalt kirjeldatud meetodeid.

Ilmselgelt, määrates suhte maatriksi viisil, saame ruutmaatriksi.

Seose geomeetrilise (graafilise) esituse abil saame diagrammi, mis sisaldab:

punktide või ringidega tähistatud tipud, mis vastavad hulga elementidele,

ja kaared (jooned), mis vastavad binaarsuhetes sisalduvate elementide paaridele, mida tähistatakse elemendile vastavast tipust suunatud nooltega joontega a elemendile vastava ülaossa b , kui a Rb .

Sellist kujundit nimetatakse binaarseose suunatud graafiks (või digraafiks).

Ülesanne 4.9.1 . Suhe "olla jagaja hulgal M = (1, 2, 3, 4)" võib anda maatriks:

loendus: R = ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4 ));

geomeetriliselt (graafiliselt):

1. Kirjutage hulgale A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) järgmistesse binaarseostesse kuuluvad järjestatud paarid:

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Seos R hulgal X = (a, b, c, d) on antud maatriksiga

,

milles ridade ja veergude järjekord vastab väljakirjutatud elementide järjekorrale. Loetlege järjestatud paarid, mis antud seosesse kuuluvad. Näidake seost graafiku abil.

3. Seos hulgal A = (1, 2, 3, 4) on kujutatud graafikuga. Vajalik:

loetlege järjestatud paarid, mis kuuluvad R-i;

kirjuta välja vastav maatriks;

defineerige see seos predikaatide abil.

(vastus: a-b= 1).

4.10. Binaarsete seoste põhitüübid (omadused).

Olgu binaarne seos R võtteplatsil AGA 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

binaarne seos R võtteplatsil AGA helistas peegeldav, kui üldse aA sooritatud aRa, see on ( a,a)R. Refleksiivse seosmaatriksi põhidiagonaal koosneb ühtedest. Refleksiivsel relatsioonigraafikul on paratamatult silmused igas tipus.

Näited refleksiivsed seosed: , =,  reaalarvude hulgal, “mitte olla boss” töötajate hulgas.

binaarne seos R hulgal A kutsutakse refleksivastane (refleksiivsed), kui üldse aA ei pea seost aRa, see on ( a,a)R. Irrefleksiivse seosmaatriksi põhidiagonaal koosneb nullidest. Irrefleksiivse seose graafikul pole silmuseid.

Näited antirefleksiivsed suhted:<, >reaalarvude hulgal, sirgete ristsirgete hulgal.

binaarne seos R võtteplatsil A helistas sümmeetriline, kui üldse a, bAGA alates aRb peaks bRa st kui ( a, b)R, siis ja ( b, a)R. Sümmeetrilise suhte maatriks on sümmeetriline oma põhidiagonaali suhtes ( σ ij = σ ji). Sümmeetrilise seose graafik ei ole suunatud (servi näidatakse ilma noolteta). Iga tipupaar on siin ühendatud suunamata servaga.

Näited sümmeetrilised seosed:  reaalarvude hulgal, "olla sugulane" inimeste hulgas.

binaarne seos R võtteplatsil A kutsus:

antisümmeetriline, kui üldse a, bAGA alates aRb ja bRa järgib seda a=b. See tähendab, et kui ( a, b)R ja ( b, a)R, siis sellest järeldub a=b. Antisümmeetrilise suhte maatriksil piki põhidiagonaali on kõik 1-d ja ükski paar ei paikne põhidiagonaali suhtes sümmeetrilistes kohtades. Teisisõnu, kõike σ ii=1 ja kui σ ij=1, siis tingimata σ ji=0. Antisümmeetrilise seose graafikul on igas tipus silmused ja tipud on ühendatud ainult ühe suunatud kaarega.

Näited antisümmeetrilised seosed: , ,  reaalarvude hulgal; ,  komplektidel;

asümmeetriline, kui üldse a, bAGA alates aRb järgneb ebaõnnestumine bRa st kui ( a, b)R, siis ( b, a) R. Kaldussuhte maatriksil piki põhidiagonaali on nullid ( σ ij=0) kõik ja mitte ühtegi sümmeetrilist ühtede paari (kui σ ij=1, siis tingimata σ ji=0). Asümmeetrilise seose graafikul pole silmuseid ja tipud on ühendatud ühe suunatud kaarega.

Asümmeetriliste suhete näited:<, >reaalarvude hulgal, "olla isa" inimeste hulgal.

binaarne seos R võtteplatsil A helistas transitiivnenym, kui üldse a, b, KoosAGA alates aRb ja bRa sellest järeldub, et ja aRKoos. See tähendab, et kui ( a, b)R ja ( b, Koos)R sellest järeldub, et ( a, Koos)R. Transitiivse suhte maatriksit iseloomustab asjaolu, et kui σ ij=1 ja σ jm=1, siis tingimata σ im=1. Transitiivse seose graaf on selline, et kui näiteks esimene-teine ​​ja teine-kolmas tipp on kaaredega ühendatud, siis on ilmtingimata kaared esimesest kuni kolmanda tipuni.

Näited transitiivsed suhted:<, , =, >,  reaalarvude hulgal; "olla ülemus" töötajate komplektis.

binaarne seos R võtteplatsil A helistas antitransitiivnenym, kui üldse a, b, KoosAGA alates aRb ja bRa sellest järeldub, et see ei ole täidetud aRKoos. See tähendab, et kui ( a, b)R ja ( b, Koos)R sellest järeldub, et ( a, Koos) R. Antitransitiivse suhte maatriksit iseloomustab asjaolu, et kui σ ij=1 ja σ jm=1, siis tingimata σ im=0. Antitransitiivse seose graafik on selline, et kui näiteks esimene-teine ​​ja teine-kolmas tipp on omavahel kaaredega ühendatud, siis esimesest kolmandast tipust kaar ei pruugi olla.

Antitransitiivsete suhete näited: "paarsuse mittevastavus" täisarvude hulgas; "olla vahetuks juhiks" teatud töötajate hulgas.

Kui relatsioonil ei ole mingit omadust, siis lisades puuduvad paarid, saad selle omadusega uue seose. Selliste puuduvate paaride hulka nimetatakse sulgemine seos selle kinnisvaraga. Määrake see kui R* . Nii saate refleksiivse, sümmeetrilise ja transitiivse sulgemise.

Ülesanne 4.10.1. Hulgus A = (1, 2, 3, 4) seos R=(( a,b)| a,bA, a+b paarisarv). Määrake selle suhte tüüp.

Lahendus. Selle seose maatriks on:

. Ilmselgelt suhe on peegeldav, kuna põhidiagonaalis on ühikud. See sümmeetriliselt: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . transitiivselt: (1,3)R, (3,1)R ja (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R ja (2,2)R jne.

Ülesanne 4.10.2. Millised omadused on hulgal A = ( a, b, c, d) omab binaarset seost R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Lahendus . Koostame selle seose maatriksi ja selle graafiku:

Suhtumine refleksiivselt, kuna kõik σ ii= 0. See mitte sümmeetriliselt, kuna σ 23 =1 ja σ 32 =0, aga σ 12 =σ 21 =1. Suhtumine mitte transitiivselt, sest σ 12 =1, σ 23 =1 ja σ 13 =0; σ 12 = 1, σ 21 = 1 ja σ 11 = 0; kuid samal ajal σ 12 =1, σ 24 =1 ja σ 14 =1.

Ülesanne 4.10.3. Hulgul A = (1,2,3,4,5) on antud seos R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Määrake seose tüüp ja leidke R jaoks järgmised sulgemised:

peegeldav;

sümmeetriline;

transitiivne.

Lahendus. Seos on irrefleksiivne, kuna vormi element puudub ( a,a). Asümmeetriline, kuna see ei sisalda vormipaare ( a,b) ja ( b,a) ja kõik diagonaalelemendid on 0. Antitransitiivne kuna (1,2)R, (2,3)R, aga (1,3)R. Samamoodi (2.4)R, (4.5)R ja (2.5)R jne.

antud seose refleksiivne sulgemine R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

sümmeetriline sulgemine: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

transitiivne sulgemine: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Vaatleme algse seose ja sellest tuleneva transitiivse seose graafikut.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

1. Antakse seos R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Määrake selle tüüp ja leidke sulgurid refleksiivsuse, sümmeetria ja transitiivsuse järgi.

2. Seos vene keele sõnade hulgal on määratletud järgmiselt: a R b siis ja ainult siis, kui neil on vähemalt üks ühine täht. Määrake seose tüüp hulgal A = (lehm, vanker, niit, kirves).

3. Tooge näiteid binaarsete suhete kohta hulgast A = (1, 2) ja B = (1, 2, 3), mis oleks:

mitte refleksiivne, mitte sümmeetriline, mitte transitiivne;

refleksiivne, mitte sümmeetriline, mitte transitiivne;

sümmeetriline, kuid mitte refleksiivne ega transitiivne;

transitiivne, kuid mitte refleksiivne ja mitte sümmeetriline;

refleksiivne, sümmeetriline, kuid mitte transitiivne;

refleksiivne, transitiivne, kuid mitte sümmeetriline;

mitterefleksiivne, sümmeetriline, transitiivne;

refleksiivne, sümmeetriline, transitiivne.