Väliste jõudude mõju tahkele kehale põhjustab selle ruumala punktides pingete ja deformatsioonide ilmnemist. Sellisel juhul määratakse pingeseisund punktis, seos pingete vahel erinevates kohtades, mis seda punkti läbivad, staatika võrranditega ja ei sõltu materjali füüsikalistest omadustest. Deformeeritud olek, seos nihete ja deformatsioonide vahel määratakse kindlaks geomeetriliste või kinemaatilisi kaalutlusi kasutades ning samuti ei sõltu need materjali omadustest. Pingete ja deformatsioonide vahelise seose kindlakstegemiseks on vaja arvestada materjali tegelikke omadusi ja koormustingimusi. Katseandmete põhjal töötatakse välja pingete ja deformatsioonide vahelisi seoseid kirjeldavad matemaatilised mudelid. Need mudelid peaksid piisava täpsusega kajastama materjalide tegelikke omadusi ja laadimistingimusi.

Konstruktsioonimaterjalide puhul on kõige levinumad elastsuse ja plastilisuse mudelid. Elastsus on keha omadus väliskoormuse mõjul muuta kuju ja suurust ning taastada selle algne konfiguratsioon, kui koormused eemaldatakse. Matemaatiliselt väljendub elastsuse omadus pingetensori ja deformatsioonitensori komponentide üks-ühele funktsionaalse seose loomises. Elastsuse omadus ei peegelda mitte ainult materjalide omadusi, vaid ka koormustingimusi. Enamiku konstruktsioonimaterjalide puhul avaldub elastsusomadus välisjõudude mõõdukate väärtuste korral, mis põhjustab väikseid deformatsioone, ja madalatel koormustel, kui temperatuurimõjudest tingitud energiakadud on tühised. Materjali nimetatakse lineaarselt elastseks, kui pingetensori ja deformatsioonitensori komponendid on omavahel ühendatud lineaarsete suhetega.

Suurel koormusel, kui kehas tekivad olulised deformatsioonid, kaotab materjal osaliselt oma elastsed omadused: mahalaadimisel ei taastata täielikult selle esialgseid mõõtmeid ja kuju ning väliskoormuse täielikul eemaldamisel registreeritakse jääkdeformatsioonid. Sel juhul pingete ja pingete vaheline seos lakkab olemast üheselt mõistetav. Seda materiaalset omadust nimetatakse plastilisus. Plastilise deformatsiooni käigus kogunenud jääkdeformatsioone nimetatakse plastiliseks.

Kõrge stressitase võib põhjustada hävitamine, st keha jagamine osadeks. Erinevatest materjalidest valmistatud tahked kehad hävivad erineva deformatsiooni korral. Luumurd on väikeste pingete korral rabe ja toimub reeglina ilma märgatavate plastiliste deformatsioonideta. Selline hävitamine on tüüpiline malmile, legeerterasele, betoonile, klaasile, keraamikale ja mõnele muule konstruktsioonimaterjalile. Madala süsinikusisaldusega teraste, värviliste metallide, plastide puhul on märkimisväärsete jääkdeformatsioonide korral iseloomulik plastne murdetüüp. Materjalide jaotamine nende hävimise laadi järgi rabedateks ja plastilisteks on aga väga tinglik, tavaliselt viitab see mõnele standardsele töötingimustele. Üks ja sama materjal võib käituda olenevalt tingimustest (temperatuur, koormuse iseloom, tootmistehnoloogia jne) rabedana või plastilisena. Näiteks materjalid, mis on tavatemperatuuril plastilised, hävivad madalal temperatuuril rabedana. Seetõttu on õigem rääkida mitte rabedatest ja plastilistest materjalidest, vaid materjali rabedast või plastilisest olekust.

Materjal olgu lineaarselt elastne ja isotroopne. Vaatleme elementaarmahtu üheteljelise pingeseisundi tingimustes (joonis 1), nii et pingetensoril on kuju

Sellise koormuse korral suurenevad mõõtmed telje suunas Oh, mida iseloomustab lineaarne deformatsioon, mis on võrdeline pinge suurusega

Joonis 1.Üheteljeline pingeseisund

See suhe on matemaatiline tähistus Hooke'i seadus, proportsionaalse seose loomine pinge ja vastava lineaarse deformatsiooni vahel üheteljelises pingeseisundis. Proportsionaalsuse kordajat E nimetatakse pikisuunalise elastsusmooduliks või Youngi mooduliks. Sellel on pingete mõõde.

Koos suuruse suurenemisega tegevussuunas; sama pinge all vähenevad mõõtmed kahes ristsuunas (joon. 1). Vastavaid deformatsioone tähistatakse ja , ja need deformatsioonid on positiivsete suhtes negatiivsed ja võrdelised:

Pingete samaaegsel toimel piki kolme ortogonaaltelge, kui tangentsiaalseid pingeid pole, kehtib lineaarse elastse materjali puhul superpositsiooni (lahenduste superpositsiooni) põhimõte:

Võttes arvesse valemeid (1 4), saame

Tangentsiaalsed pinged põhjustavad nurkdeformatsioone ja väikeste deformatsioonide korral ei mõjuta need lineaarmõõtmete muutust ja seega ka lineaarseid deformatsioone. Seetõttu kehtivad need ka suvalise pingeseisundi korral ja väljendavad nn üldistatud Hooke'i seadus.

Nurkdeformatsioon on tingitud nihkepingest , ja deformatsioonidest ja vastavalt pingetest ja . Lineaarselt elastse isotroopse keha vastavate nihkepingete ja nurkdeformatsioonide vahel on proportsionaalsed seosed

mis väljendavad seadust Konks vahetuses. Proportsionaalsustegurit G nimetatakse nihkemoodul. On oluline, et normaalpinge ei mõjutaks nurkdeformatsioone, kuna sel juhul muutuvad ainult segmentide joonmõõtmed, mitte nendevahelised nurgad (joonis 1).

Lineaarne sõltuvus eksisteerib ka keskmise pinge (2.18), mis on võrdeline pingetensori esimese invariandiga, ja mahulise deformatsiooni (2.32) vahel, mis langeb kokku deformatsioonitensori esimese invariandiga:

Joonis 2. Tasapinnaline nihkepinge

Vastav kuvasuhe To helistas elastsusmoodul.

Valemid (1 7) sisaldavad materjali elastsusomadusi E, , G ja TO, selle elastsete omaduste määramine. Need omadused ei ole aga sõltumatud. Isotroopse materjali puhul valitakse elastsusmooduliks tavaliselt kaks sõltumatut elastsuskarakteristikut E ja Poissoni koefitsient. Nihkemooduli väljendamiseks G läbi E ja , Vaatleme tasapinnalist nihkedeformatsiooni nihkepingete mõjul (joonis 2). Arvutuste lihtsustamiseks kasutame ruudukujulist elementi, millel on külg a. Arvutage põhipinged , . Need pinged mõjuvad kohtadele, mis asuvad algsete kohtade suhtes nurga all. Jooniselt fig. 2 leida seos pingesuunalise lineaarse deformatsiooni ja nurkdeformatsiooni vahel . Deformatsiooni iseloomustava rombi suurdiagonaal on võrdne

Väikeste deformatsioonide jaoks

Arvestades neid suhteid

Enne deformatsiooni oli sellel diagonaalil suurus . Siis saame

Üldistatud Hooke'i seadusest (5) saame

Saadud valemi võrdlus Hooke'i seadusega nihkega (6) annab

Selle tulemusena saame

Võrreldes seda avaldist Hooke'i mahuseadusega (7), jõuame tulemuseni

Mehaanilised omadused E, , G ja To leitakse pärast proovide katseandmete töötlemist erinevat tüüpi koormuste jaoks. Füüsilisest küljest ei saa kõik need omadused olla negatiivsed. Lisaks tuleneb viimasest avaldisest, et Poissoni suhe isotroopse materjali puhul ei ületa 1/2. Seega saame isotroopse materjali elastsuskonstantide jaoks järgmised piirangud:

Piirväärtus viib piirväärtuseni , mis vastab kokkusurumatule materjalile ( at ). Kokkuvõttes väljendame pingeid deformatsioonidena elastsusseostest (5). Kirjutame vormile esimese seostest (5).

Võrdsust (9) kasutades saame

Sarnaseid seoseid saab tuletada ja jaoks. Selle tulemusena saame

Siin kasutatakse nihkemooduli seost (8). Lisaks tähistus

ELASTISE DEFORMATSIOONI POTENTSIAALNE ENERGIA

Mõelge kõigepealt elementaarsele helitugevusele dV=dxdydzüheteljelise pingeseisundi tingimustes (joon. 1). Parandage sait vaimselt x=0(joonis 3). Vastaspoolel mõjub jõud . See jõud töötab nihkes. . Kui pinge tõuseb nullist väärtuseni Hooke'i seaduse kohaselt suureneb ka vastav deformatsioon nullist väärtuseni , ja töö on võrdeline joonisel fig. 4 ruutu: . Kui jätame tähelepanuta kineetiline energia ning soojus-, elektromagnetiliste ja muude nähtustega seotud kadusid, siis energia jäävuse seaduse kohaselt muutub tehtud töö potentsiaalne energia deformatsiooniprotsessi käigus kogunenud: . F= dU/dV helistas deformatsiooni eripotentsiaalne energia, tähendusrikas potentsiaalne energia kogunenud kehamahuühiku kohta. Üheteljelise pingeseisundi korral

2.6. Tõmbetugevus

2.7. Tugevuse seisund

3. Sisemised jõutegurid (vsf)

3.1. Välisjõudude juhtum ühes tasapinnas

3.2. Põhilised seosed lineaarjõu q, nihkejõu Qy ja paindemomendi Mx vahel

See eeldab seost, mida nimetatakse kiire elemendi esimeseks tasakaaluvõrrandiks

4. Krundid vsf

5. Diagrammide koostamise kontrollimise reeglid

6. Pingeseisundi üldjuhtum

6.1 Normaal- ja nihkepinged

6.2. Nihkepingete paaristumise seadus

7. Deformatsioonid

8. Materjalide tugevuse osas kasutatavad põhieeldused ja seadused

8.1. Materjalide tugevuse osas kasutatud põhieeldused

8.2. Materjalide tugevuse osas kasutatavad põhiseadused

Temperatuurierinevuse korral muudab keha oma suurust ja on selle temperatuuri erinevusega otseselt võrdeline.

9. Näited mehaanikaseaduste kasutamisest ehituskonstruktsioonide arvutamisel

9.1. Staatiliselt määramatute süsteemide arvutamine

9.1.1. staatiliselt määramatu raudbetoonsammas

9.1.2 Termilised pinged

9.1.3. Paigalduspinged

9.1.4. Veeru arvutamine piirtasakaalu teooria järgi

9.2. Temperatuuri ja paigalduspingete omadused

9.2.1. Termiliste pingete sõltumatus keha mõõtmetest

9.2.2. Kinnituspingete sõltumatus kere mõõtmetest

9.2.3. Soojus- ja paigalduspingete kohta staatiliselt kindlaksmääratud süsteemides

9.3. Lõppkoormuse sõltumatus isetasakaalustatud algpingetest

9.4. Mõned varraste deformatsiooni tunnused pinges ja surves, võttes arvesse gravitatsioonijõudu

9.5. Pragudega konstruktsioonielementide arvutamine

Pragudega kehade arvutamise protseduur

9.6. Konstruktsioonide vastupidavuse arvutamine

9.6.1. Raudbetoonsamba vastupidavus betooni roomamise juuresolekul

9.6.2. Pingete ajast sõltumatuse tingimus viskoelastsest materjalist konstruktsioonides

9.7 Mikrokahjustuste kogunemise teooria

10. Varraste ja kõrresüsteemide jäikuse arvutamine

Komposiitvardad

Varraste süsteemid

10.1. Mohri valem konstruktsiooni nihke arvutamiseks

10.2. Mohri valem baarisüsteemide jaoks

11. Materjali hävitamise mustrid

11.1. Kompleksse stressiseisundi seaduspärasused

11.2. Sõltuvus nihkepingetest

11.3. Peamised pinged

arvutus

11.4. Materjalide hävitamise tüübid

11.5 Lühiajalise tugevuse teooriad

11.5.1 Esimene tugevusteooria

11.5.2 Teine tugevusteooria

11.5.3. Kolmas tugevusteooria (maksimaalsete nihkepingete teooria)

11.5.4. Neljas teooria (energia)

11.5.5. Viies teooria – Mohri kriteerium

12. Lühikokkuvõte tugevusteooriatest materjalide tugevusprobleemides

13. Silindrilise kesta arvutamine siserõhu mõjul

14. Väsimustõrke (tsükliline tugevus)

14.1. Tsüklilise koormuse all olevate konstruktsioonide arvutamine Wöhleri ​​diagrammi abil

14.2. Tsüklilise koormuse all olevate konstruktsioonide arvutamine pragude tekkimise teooria järgi

15. Tala painutamine

15.1. normaalsed pinged. Navieri valem

15.2. Nulljoone (x-telje) asukoha määramine lõigul

15.3 Moodul

15.4 Galilei viga

15.5 Nihkepinged talas

15.6. Nihkepinged I-tala äärikus

15.7. Pingete valemite analüüs

15.8. Emersoni efekt

15.9. Žuravski valemi paradoksid

15.10. Maksimaalsetel nihkepingetel (τzy)max

15.11. Tala tugevusarvutused

1. Hävitamine luumurruga

2. Hävitamine lõikega (kihistumine).

3. Tala arvutamine põhipingete järgi.

4. Arvutamine III ja IV tugevusteooria järgi.

16. Tala jäikuse arvutamine

16.1. Mohri läbipainde valem

16.1.1 Integraalide arvutamise meetodid. Trapetsi ja Simpsoni valemid

Trapetsikujuline valem

Simpsoni valem

. Läbipainde arvutamine tala painutustelje diferentsiaalvõrrandi lahendi põhjal

16.2.1 Tala kõvera telje diferentsiaalvõrrandi lahendus

16.2.2 Clebschi reeglid

16.2.3 Tingimused c ja d määramiseks

Läbipainde arvutamise näide

16.2.4. Talad elastsel vundamendil. Winkleri seadus

16.4. Tala kõvera telje võrrand elastsel vundamendil

16.5. Lõputu tala elastsel vundamendil

17. Stabiilsuse kaotus

17.1 Euleri valem

17.2 Muud ankurdustingimused.

17.3 Ülim paindlikkus. Pikk varras.

17.4 Yasinsky valem.

17.5 Kukkumine

18. Võlli väändumine

18.1. Ümmarguste võllide väändumine

18.2. Pinged võlli sektsioonides

18.3. Võlli jäikuse arvutamine

18.4. Õhukeseseinaliste varraste vaba väändumine

18.5. Pingetused suletud profiili õhukeseseinaliste varraste vaba väände ajal

18.6. Kinnise profiiliga õhukeseseinaliste vardade pöördenurk

18.7. Avatud profiilvarraste väändumine

19. Kompleksne deformatsioon

19.1. Sisejõutegurite (ISF) graafikud

19.2. Venitage paindumisega

19.3. Maksimaalsed tõmbepinged koos painutamisega

19,4 Kaldus kurv

19.5. Ümarvarraste tugevuse katsetamine väändel koos painutusega

19.6 Ekstsentriline kompressioon. Sektsiooni kernel

19.7 Sektsioonituuma ehitamine

20. Dünaamilised ülesanded

20.1. Löö

20.2 Dünaamilise teguri valemi ulatus

Dünaamilise koefitsiendi väljendamine löögi keha kiiruse järgi

20.4. d'Alemberti põhimõte

20.5. Elastsete varraste vibratsioon

20.5.1. Vaba vibratsioon

20.5.2. Sunnitud vibratsioonid

Resonantsiga toimetulemise viisid

20.5.3 Summutatud varda sundvibratsioonid

21. Piirtasakaalu teooria ja selle kasutamine tarindite arvutamisel

21.1. Tala painutamise probleem Ülim hetk.

21.2. Piirtasakaalu teooria rakendamine arvutamisel

Kirjandus

Sisu

8.2. Materjalide tugevuse osas kasutatavad põhiseadused

Staatika seosed. Need on kirjutatud järgmiste tasakaaluvõrrandite kujul.

Hooke'i seadus ( 1678): mida suurem jõud, seda suurem on deformatsioon ja pealegi on see jõuga otseselt võrdeline. Füüsiliselt tähendab see, et kõik kehad on vedrud, kuid suure jäikusega. Tala lihtsa pingutamisega pikisuunalise jõu toimel N= F selle seaduse võib kirjutada järgmiselt:

Siin
pikisuunaline jõud, l- riba pikkus, AGA- selle ristlõikepindala, E- esimest tüüpi elastsustegur ( Youngi moodul).

Võttes arvesse pingete ja deformatsioonide valemeid, on Hooke'i seadus kirjutatud järgmiselt:
.

Sarnast seost täheldatakse katsetes nihkepingete ja nihkenurga vahel:

.

G helistasnihkemoodul , harvem - teist tüüpi elastsusmoodul. Nagu igal seadusel, on sellel kohaldatavuspiir ja Hooke'i seadus. Pinge
, milleni Hooke'i seadus kehtib, kutsutakse proportsionaalsuse piir(see on sopromati kõige olulisem omadus).

Kujutame sõltuvust  alates  graafiliselt (joonis 8.1). Seda maali nimetatakse venitusskeem . Pärast punkti B (st kell
), see sõltuvus ei ole enam lineaarne.

Kell
peale mahalaadimist tekivad kehasse jääkdeformatsioonid, seega helistas elastsuse piir .

Kui pinge saavutab väärtuse σ = σ t, hakkab paljudel metallidel ilmnema omadus nn. voolavus. See tähendab, et isegi pideva koormuse korral jätkab materjal deformeerumist (s.t. käitub nagu vedelik). Graafiliselt tähendab see, et diagramm on paralleelne abstsissiga (DL graafik). Nimetatakse pinget σ t, mille juures materjal voolab voolavuspiir .

Mõned materjalid (Art. 3 – ehitusteras) hakkavad pärast lühikest voolu uuesti vastu pidama. Materjali vastupidavus jätkub kuni teatud maksimumväärtuseni σ pr, seejärel algab järkjärguline hävitamine. Väärtust σ pr - nimetatakse tõmbetugevus (terase sünonüüm: tõmbetugevus, betooni puhul - kuup- või prismatugevus). Kasutatakse ka järgmisi nimetusi:

=R b

Sarnast sõltuvust täheldatakse katsetes tangentsiaalsete pingete ja nihkete vahel.

3) Dugamel-Neumanni seadus (lineaarne soojuspaisumine):

Temperatuurierinevuse korral muudab keha oma suurust ja on selle temperatuuri erinevusega otseselt võrdeline.

Olgu temperatuuride vahe
. Siis on see seadus järgmine:

Siin α - lineaarse soojuspaisumise koefitsient, l - varda pikkus, Δ l- selle pikenemine.

4) roomamise seadus .

Uuringud on näidanud, et kõik materjalid on väikestes materjalides väga ebahomogeensed. Terase skemaatiline struktuur on näidatud joonisel 8.2.

Mõnel komponendil on vedeliku omadused, nii et paljud koormuse all olevad materjalid saavad aja jooksul täiendavat pikenemist.
(joon.8.3.) (metallid kõrgel temperatuuril, betoon, puit, plast - normaaltemperatuuril). Seda nähtust nimetatakse pugema materjalist.

Vedeliku puhul kehtib seadus: kuidas rohkem jõudu, seda suurem on keha kiirus vedelikus. Kui see seos on lineaarne (st jõud on võrdeline kiirusega), saab selle kirjutada järgmiselt:

E
Kui läheme üle suhtelistele jõududele ja suhtelistele pikenemistele, saame

Siin on indeks " kr " tähendab, et arvesse võetakse seda osa pikenemisest, mis on põhjustatud materjali roomamisest. Mehaaniline omadus nimetatakse viskoossuse koefitsiendiks.

Energia jäävuse seadus.

Mõelge koormatud talale

Tutvustame näiteks punkti liigutamise mõistet,

- punkti B vertikaalne liikumine;

- punkti C horisontaalne nihe.

Jõud
mõnda tööd tehes U. Arvestades, et jõud
hakkavad järk-järgult suurenema ja eeldades, et need suurenevad proportsionaalselt nihkega, saame:

.

Vastavalt kaitseseadusele: ükski töö ei kao, see kulub muu töö tegemiseks või läheb teise energiasse (energiat on töö, mida keha saab teha.

Jõude töö
, kulub meie kehas tekkivate elastsusjõudude takistuse ületamiseks. Selle töö arvutamiseks võtame arvesse, et keha võib pidada väikestest elastsetest osakestest koosnevaks. Vaatleme ühte neist:

Naaberosakeste küljelt mõjub sellele stress . Sellest tulenev stress on

Mõju all osake on piklik. Definitsiooni järgi on pikenemine pikenemine pikkuseühiku kohta. Seejärel:

Arvutame tööd dW et jõud teeb dN (siinkohal võetakse arvesse ka seda, et jõud dN hakkavad järk-järgult suurenema ja suurenevad proportsionaalselt nihkega):

Kogu keha jaoks saame:

.

Töö W pühendunud , kutsus elastse deformatsiooni energia.

Vastavalt energia jäävuse seadusele:

6)Põhimõte võimalikud liigutused .

See on üks viise, kuidas kirjutada energia jäävuse seadust.

Laske talale mõjuda jõududel F 1 , F 2 , … . Need panevad punktid kehas liikuma
ja stress
. Anname keha täiendavad väikesed võimalikud nihked
. Mehaanikas vormi rekord
tähendab fraasi "koguse võimalik väärtus a". Need võimalikud liigutused põhjustavad kehas võimalikud täiendavad deformatsioonid
. Need toovad kaasa täiendavate välisjõudude ja pingete ilmnemise.
, δ.

Arvutame välisjõudude töö võimalike täiendavate väikeste nihete korral:

Siin
- nende punktide täiendavad nihked, kus jõud rakendatakse F 1 , F 2 , …

Mõelge uuesti väikesele ristlõikega elementile dA ja pikkus dz (vt joon. 8.5. ja 8.6.). Definitsiooni järgi täiendav pikenemine  dz Selle elemendi väärtus arvutatakse järgmise valemiga:

dz=  dz.

Elemendi tõmbejõud on:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

Sisejõudude töö täiendavate nihete korral arvutatakse väikese elemendi jaoks järgmiselt:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

FROM
kõigi väikeste elementide deformatsioonienergia liitmisel saame kogu deformatsioonienergia:

Energia jäävuse seadus W = U annab:

.

Seda suhet nimetatakse võimalike liigutuste põhimõte(nimetatud ka virtuaalse liikumise põhimõte). Samamoodi võime käsitleda juhtumit, kui toimivad ka nihkepinged. Siis on võimalik saada, et tüve energia W lisada järgmine termin:

Siin  - nihkepinge,  - väikese elemendi nihkepinge. Siis võimalike liikumiste põhimõte toimub järgmisel kujul:

Erinevalt eelmisest energia jäävuse seaduse kirjutamise vormist ei eeldata siin, et jõud hakkavad järk-järgult suurenema ja suurenevad proportsionaalselt nihketega.

7) Poissoni efekt.

Mõelge proovi pikenemismustrile:

Kehaelemendi lühenemise nähtust risti pikenemise suunas nimetatakse Poissoni efekt.

Leiame pikisuunalise suhtelise deformatsiooni.

Ristsuunaline suhteline deformatsioon on järgmine:

Poissoni suhe kogust nimetatakse:

Isotroopsete materjalide (teras, malm, betoon) puhul Poissoni suhe

See tähendab, et ristisuunas deformatsioon vähem pikisuunaline.

Märge : kaasaegsed tehnoloogiad võimaldavad luua komposiitmaterjale, mille Poissoni suhe on > 1, see tähendab, et põikisuunaline deformatsioon on suurem kui pikisuunaline deformatsioon. Näiteks on see madala nurga all kõvade kiududega tugevdatud materjali puhul.
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, st. vähem , seda suurem on Poissoni koefitsient.

Joon.8.8. Joon.8.9

Veelgi üllatavam on joonisel näidatud materjal (joon. 8.9.), Ja sellise tugevduse korral tekib paradoksaalne tulemus - pikisuunaline pikenemine toob kaasa keha suuruse suurenemise põikisuunas.

8) Üldistatud Hooke'i seadus.

Mõelge elemendile, mis venib piki- ja põikisuunas. Leiame nendes suundades tekkiva deformatsiooni.

Arvutage deformatsioon tegevusest tulenev :

Mõelge toimingust tulenevale deformatsioonile , mis tuleneb Poissoni efektist:

Kogu deformatsioon on:

Kui see töötab ja , seejärel lisage x-telje suunas veel üks lühendus
.

Järelikult:

Sarnaselt:

Neid suhteid nimetatakse üldistatud Hooke'i seadus.

Huvitav on see, et Hooke'i seadust kirjutades eeldatakse pikenemistüvede sõltumatust nihkepingetest (nihkepingetest sõltumatuse kohta, mis on sama asi) ja vastupidi. Eksperimendid kinnitavad neid oletusi hästi. Tulevikku vaadates märgime, et tugevus, vastupidi, sõltub tugevalt nihke- ja tavaliste pingete kombinatsioonist.

Märge: Ülaltoodud seadusi ja eeldusi kinnitavad arvukad otsesed ja kaudsed katsed, kuid nagu kõigil teistel seadustel, on ka nende kohaldamisala piiratud.

Hooke'i seadus mida tavaliselt nimetatakse lineaarseteks suheteks deformatsioonikomponentide ja pingekomponentide vahel.

Võtke elementaarne ristkülikukujuline rööptahukas, mille küljed on paralleelsed koordinaattelgedega ja mis on koormatud normaalse pingega σ x, mis on ühtlaselt jaotunud kahe vastaskülje vahel (joonis 1). Kus y = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Kuni proportsionaalsuse piirini on suhteline pikenemine antud valemiga

kus E on tõmbemoodul. Terase jaoks E = 2*10 5 MPa Seetõttu on deformatsioonid väga väikesed ja neid mõõdetakse protsentides või ühikutes 1 * 10 5 (deformatsioone mõõtvates tensomõõturites).

Elemendi laiendamine telje suunas X sellega kaasneb selle kitsenemine põikisuunas, mille määravad deformatsioonikomponendid

kus μ on konstant, mida nimetatakse põiksuunaliseks survesuhteks või Poissoni suhteks. Terase jaoks μ tavaliselt võetakse 0,25-0,3.

Kui vaadeldav element on samaaegselt koormatud tavaliste pingetega σ x, y, σz, jaotub ühtlaselt selle pindade vahel, seejärel lisatakse deformatsioonid

Kõigi kolme pinge põhjustatud deformatsioonikomponentide pealekandmisel saame seosed

Neid suhteid kinnitavad arvukad katsed. rakendatud ülekatte meetod või superpositsioonid mitmest jõududest põhjustatud summaarsete deformatsioonide ja pingete leidmine on õigustatud seni, kuni deformatsioonid ja pinged on väikesed ja sõltuvad lineaarselt rakendatavatest jõududest. Sellistel juhtudel jätame tähelepanuta deformeeritava keha mõõtmete väikesed muutused ja välisjõudude rakenduspunktide väikesed nihked ning lähtume arvutustes keha algmõõtmetest ja algkujust.

Tuleb märkida, et jõudude ja pingete vaheliste suhete lineaarsus ei tulene veel nihkete väiksusest. Nii näiteks kokkusurutuna K varras, mis on koormatud täiendava põikjõuga R, isegi väikese läbipainde korral δ on lisahetk M = Qδ, mis muudab probleemi mittelineaarseks. Sellistel juhtudel ei ole summaarsed läbipainded jõudude lineaarsed funktsioonid ja neid ei saa lihtsa ülekattega (superpositsiooniga) saada.

Eksperimentaalselt on kindlaks tehtud, et kui nihkepinged mõjuvad elemendi kõikidele tahkudele, siis vastava nurga moonutus sõltub ainult vastavatest nihkepinge komponentidest.

Püsiv G nimetatakse nihkemooduliks või nihkemooduliks.

Elemendi deformeerumise üldjuhu kolme normaal- ja kolme tangentsiaalse pingekomponendi mõjul sellele saab saada superpositsiooni abil: kolm avaldistega (5.2a) määratud lineaarset deformatsiooni kattuvad kolme seostega (5.2b) määratud nihkedeformatsiooniga. . Võrrandid (5.2a) ja (5.2b) määravad deformatsiooni- ja pingekomponentide vahelise seose ning neid nimetatakse üldistatud Hooke'i seadus. Näitame nüüd, et nihkemoodul G mida väljendatakse tõmbemoodulina E ja Poissoni koefitsient μ . Selleks kaaluge erijuhtumit, kus σ x = σ , y = -σ ja σz = 0.

Lõika element välja abcd teljega paralleelsed tasapinnad z ja telgede suhtes 45° nurga all X ja juures(joonis 3). Nagu tuleneb elemendi 0 tasakaalutingimustest bс, tavalised pinged σ v elemendi kõikidel külgedel abcd on võrdsed nulliga ja nihkepinged on võrdsed

Seda stressiseisundit nimetatakse puhas vahetus. Võrrandid (5.2a) viitavad sellele

see tähendab horisontaalelemendi 0 laiendust c võrdub vertikaalse elemendi lühenemisega 0 b: εy = -ε x.

Nurk nägude vahel ab ja eKr muutused ja vastav nihkepinge suurus γ võib leida kolmnurgast 0 bс:

Sellest järeldub

Varda venitamisel ja kokkusurumisel muutuvad selle pikkus ja ristlõike mõõtmed. Kui valime vaimselt deformeerimata olekus vardast pikkuse elemendi dx, siis pärast deformatsiooni on selle pikkus võrdne dx((joonis 3.6). Sel juhul absoluutne pikenemine telje suunas Oh on võrdne

ja suhteline lineaarne deformatsioon e x on määratletud võrdsusega

Kuna telg Oh langeb kokku varda teljega, mida mööda mõjuvad välised koormused, nimetame deformatsiooniks e x pikisuunaline deformatsioon, mille puhul indeks jäetakse allpool välja. Deformatsioone teljega risti olevates suundades nimetatakse põikdeformatsioonideks. Kui tähistatakse b ristlõike iseloomulik suurus (joon. 3.6), siis ristdeformatsioon määratakse seosega

Suhtelised lineaarsed deformatsioonid on mõõtmeteta suurused. On kindlaks tehtud, et varda tsentraalse pinge ja kokkusurumise ajal tekkivad põiki- ja pikisuunalised deformatsioonid on omavahel seotud sõltuvusega.

Sellesse võrdusesse kaasatud suurust v nimetatakse Poissoni suhe või põikdeformatsiooni koefitsient. See koefitsient on materjali elastsuse üks peamisi konstante ja iseloomustab selle võimet põiki deformeeruda. Iga materjali puhul määratakse see tõmbe- või survekatsega (vt § 3.5) ja arvutatakse valemiga

Võrdsuse (3.6) kohaselt on piki- ja põikisuunalised deformatsioonid alati vastupidise märgiga, mis kinnitab ilmselget tõsiasja, et ristlõike mõõtmed pinges vähenevad ja kokkusurumisel suurenevad.

Poissoni suhe on erinevate materjalide puhul erinev. Isotroopsete materjalide puhul võib see võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 0,5. Näiteks korgipuidu puhul on Poissoni koefitsient nullilähedane, kummi puhul aga 0,5 lähedal. Paljude metallide puhul on normaaltemperatuuril Poissoni suhte väärtus vahemikus 0,25 + 0,35.

Nagu paljudes katsetes on kindlaks tehtud, on enamiku konstruktsioonimaterjalide puhul väikeste deformatsioonidega pingete ja deformatsioonide vahel lineaarne seos

Selle proportsionaalsuse seaduse kehtestas esmakordselt inglise teadlane Robert Hooke ja seda nimetatakse Hooke'i seadus.

Hooke'i seaduses sisalduv konstant E nimetatakse elastsusmooduliks. Elastsusmoodul on materjali teine ​​peamine elastsuskonstant ja iseloomustab selle jäikust. Kuna deformatsioonid on mõõtmeteta suurused, siis (3.7) järeldub, et elastsusmoodulil on pinge mõõde.

Tabelis. 3.1 näitab elastsusmooduli ja Poissoni suhte väärtusi erinevate materjalide jaoks.

Konstruktsioonide projekteerimisel ja arvutamisel on koos pingete arvutamisega vaja määrata ka tarindite üksikute punktide ja sõlmede nihked. Mõelge nihke arvutamise meetodile varraste keskpinge ja kokkusurumise korral.

Absoluutne elemendi pikendamise pikkus dx(joonis 3.6) valemi (3.5) kohaselt on

Tabel 3.1

Materjali nimi	Elastsusmoodul, MPa	Koefitsient Poisson
Süsinikteras
alumiiniumisulamid
Titaanisulamid
	(1,15-s-1,6) 10 5
piki kiude	(0,1 ^ 0,12) 10 5
üle kiudude	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
telliskivi	(0,027 +0,03)-10 5
Klaaskiust SVAM
Tekstoliit	(0,07 + 0,13)-10 5
Kumm kummi peal

Integreerides selle avaldise vahemikus 0 kuni x, saame

kus neid) - suvalise sektsiooni aksiaalne nihe (joonis 3.7), ja C= ja( 0) - algsektsiooni aksiaalne nihe x = 0. Kui see lõik on fikseeritud, siis u(0) = 0 ja suvalise lõigu nihe on

Varda pikenemine või lühenemine on võrdne selle vaba otsa teljesuunalise nihkega (joonis 3.7), mille väärtuse saame (3.8) põhjal, eeldades x = 1:

Kas asendada valemis (3.8) deformatsiooni avaldis? Hooke'i seadusest (3.7) saame

Konstantse elastsusmooduliga materjalist vardale E aksiaalsed nihked määratakse valemiga

Selle võrrandiga hõlmatud integraali saab arvutada kahel viisil. Esimene võimalus on funktsiooni analüütiline kirjutamine Oh) ja sellele järgnev integratsioon. Teine meetod põhineb sellel, et vaadeldav integraal on arvuliselt võrdne lõigul oleva krundi pindalaga a. Tutvustame noodikirja

Vaatleme erijuhtumeid. Kontsentreeritud jõuga venitatud vardale R(riis. 3.3, a), pikisuunaline jõud. / V on kogu pikkuses konstantne ja võrdub R. Pinged a vastavalt (3.4) on samuti konstantsed ja võrdsed

Siis (3.10) saame

Sellest valemist järeldub, et kui pinged varda teatud lõigul on püsivad, siis nihked muutuvad lineaarse seaduse järgi. Viimase valemiga asendamine x = 1, leidke varda pikenemine:

Töö EF helistas varda jäikus pinges ja surves. Mida suurem see väärtus, seda väiksem on varda pikenemine või lühenemine.

Vaatleme varrast ühtlaselt jaotunud koormuse mõjul (joonis 3.8). Pikisuunaline jõud suvalises lõikes, mis paikneb kinnitusest x kaugusel, on võrdne

Jagamine N peal F, saame pingete valemi

Asendades selle avaldise (3.10) ja integreerides, leiame

Suurim nihe, mis on võrdne kogu varda pikenemisega, saadakse, asendades x = / väärtusega (3.13):

Valemitest (3.12) ja (3.13) on näha, et kui pinged sõltuvad lineaarselt x-st, siis nihked muutuvad vastavalt ruutparabooli seadusele. Krundid N, oh ja ja näidatud joonisel fig. 3.8.

Üldised diferentsiaalsõltuvusega sidumisfunktsioonid neid) ja a(x), võib saada seosest (3.5). Asendades sellesse seosesse e Hooke'i seadusest (3.7), leiame

Sellest sõltuvusest tulenevad eelkõige ülaltoodud näidetes märgitud funktsiooni muutumise mustrid neid).

Lisaks võib märkida, et kui mõnes lõigus pinged kaovad, siis diagrammil ja selles jaotises võib olla äärmus.

Näitena koostame diagrammi ja joonisel fig. 3.2, panemine E- 10 4 MPa. Krundi pindalade arvutamine umbes erinevate piirkondade jaoks leiame:

lõik x = 1 m:

lõik x = 3 m:

lõik x = 5 m:

Diagrammiriba ülemises osas ja on ruudukujuline parabool (joonis 3.2, e). Sel juhul on lõigus x = 1 m ekstreemum. Alumises osas on diagrammi iseloom lineaarne.

Varda kogupikenemine, mis antud juhul on võrdne

saab arvutada valemite (3.11) ja (3.14) abil. Kuna varda alumine osa (vt joonis 3.2, a) jõuga venitatud R ( selle pikenemine vastavalt (3.11) on võrdne

Jõutegevus R ( edastatakse ka varda ülemisse sektsiooni. Lisaks surutakse see kokku jõuga R 2 ja venitatakse ühtlaselt jaotatud koormusega q. Vastavalt sellele arvutatakse selle pikkuse muutus valemiga

A/ ja A/ 2 väärtused kokku võttes saame sama tulemuse nagu ülal.

Kokkuvõttes tuleb märkida, et vaatamata varraste nihkete ja pikenemiste (lühenemiste) väikesele väärtusele pinge ja surve all, ei saa neid tähelepanuta jätta. Nende suuruste arvutamise oskus on oluline paljude tehnoloogiliste probleemide puhul (näiteks konstruktsioonide kokkupanemisel), samuti staatiliselt määramatute ülesannete lahendamisel.