Μεταβλητές σειρές. Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση Παραδείγματα λύσεων εναλλασσόμενων σειρών

Μια σειρά αριθμών που περιέχει έναν άπειρο αριθμό θετικών και έναν άπειρο αριθμό αρνητικών όρων ονομάζεται εναλλασσόμενη.

Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση

Μια σειρά ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν η σειρά συγκλίνει επίσης.

Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε είναι συγκλίνουσα (με τη συνήθη έννοια). Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια.

Μια σειρά λέγεται ότι είναι υπό όρους σύγκλιση εάν η ίδια συγκλίνει και η σειρά που αποτελείται από τις ενότητες των μελών της αποκλίνει.

Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης .

Ας εφαρμόσουμε την επαρκή δοκιμή Leibniz για εναλλασσόμενες σειρές. Παίρνουμε

επειδή η . Επομένως, αυτή η σειρά συγκλίνει.

38. Εναλλασσόμενες σειρές. Σημάδι Leibniz.

Μια ειδική περίπτωση μιας εναλλασσόμενης σειράς είναι μια εναλλασσόμενη σειρά, δηλαδή μια σειρά στην οποία διαδοχικοί όροι έχουν αντίθετα πρόσημα.

Σημάδι Leibniz

Για όσους εναλλάσσονται κοντά, ισχύει η δοκιμή επαρκούς σύγκλισης Leibniz.

Έστω (an) μια αριθμητική ακολουθία τέτοια ώστε

1. an+1< an для всех n;

Στη συνέχεια, οι εναλλασσόμενες σειρές είναι εξερχόμενες.

39. Λειτουργικές σειρές. Power σειρά. ακτίνα σύγκλισης. Διάστημα σύγκλισης.

Η έννοια της λειτουργικής σειράς και της σειράς ισχύος

Η συνηθισμένη σειρά αριθμών, θυμηθείτε, αποτελείται από αριθμούς:

Όλα τα μέλη της σειράς είναι ΑΡΙΘΜΟΙ.

Η λειτουργική σειρά αποτελείται από ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ:

Εκτός από πολυώνυμα, παραγοντικά και άλλα δώρα, ο κοινός όρος της σειράς περιλαμβάνει σίγουρα το γράμμα «x». Μοιάζει με αυτό, για παράδειγμα:

Όπως μια σειρά αριθμών, κάθε λειτουργική σειρά μπορεί να γραφτεί σε διευρυμένη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα τα μέλη της λειτουργικής σειράς είναι συναρτήσεις.

Ο πιο δημοφιλής τύπος λειτουργικής σειράς είναι σειρά ισχύος.

Ορισμός:

Μια σειρά ισχύος είναι μια σειρά της οποίας ο κοινός όρος περιλαμβάνει θετικές ακέραιες δυνάμεις της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Μια απλοποιημένη σειρά ισχύος σε πολλά σχολικά βιβλία είναι γραμμένη ως εξής: , πού είναι η παλιά γνωστή «γέμιση» των σειρών αριθμών (πολυώνυμα, μοίρες, παραγοντικοί παράγοντες που εξαρτώνται μόνο από το «en»). Το απλούστερο παράδειγμα:

Ας δούμε αυτήν την αποσύνθεση και ας ξανασκεφτούμε τον ορισμό: τα μέλη της σειράς ισχύος περιέχουν το "x" σε θετικές ακέραιες (φυσικές) δυνάμεις.

Πολύ συχνά, μια σειρά ισχύος μπορεί να βρεθεί στις ακόλουθες "τροποποιήσεις": ή όπου το a είναι μια σταθερά. Για παράδειγμα:

Αυστηρά μιλώντας, οι απλουστευμένες αναπαραστάσεις της σειράς ισχύος, ή όχι αρκετά σωστές. Στον εκθέτη, αντί για το μοναδικό γράμμα "en", μπορεί να εντοπιστεί μια πιο σύνθετη έκφραση, για παράδειγμα:

Ή αυτή η σειρά ισχύος:

Αν μόνο οι εκθέτες στο "xAx" ήταν φυσικοί.

Σύγκλιση σειράς ισχύος.

Διάστημα σύγκλισης, ακτίνα σύγκλισης και περιοχή σύγκλισης

Δεν χρειάζεται να φοβάστε μια τέτοια αφθονία όρων, πηγαίνουν "ο ένας δίπλα στον άλλο" και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να κατανοηθούν. Είναι καλύτερα να επιλέξετε μερικές απλές πειραματικές σειρές και να αρχίσετε αμέσως να καταλαβαίνετε.

Σας ζητώ να αγαπήσετε και να ευνοήσετε τη σειρά ισχύος Η μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο". Αντικαταστήστε πολλές αυθαίρετες τιμές x στον κοινό όρο της σειράς:

Αν x=1 τότε

Αν x=-1, τότε

Αν x=3 τότε

Αν x=-0,2, τότε

Είναι προφανές ότι αντικαθιστώντας το "x" σε μία ή την άλλη τιμή, παίρνουμε διαφορετικές αριθμητικές σειρές. Κάποιες σειρές αριθμών θα συγκλίνουν και κάποιες θα αποκλίνουν. Και το καθήκον μας είναι να βρούμε το σύνολο των τιμών του "x" στο οποίο θα συγκλίνει η σειρά ισχύος. Ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται περιοχή σύγκλισης της σειράς.

Για οποιαδήποτε σειρά ισχύος (προσωρινά αποκλίνουσα από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα), είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις:

1) Η σειρά ισχύος συγκλίνει απολύτως σε κάποιο διάστημα. Με άλλα λόγια, εάν επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή του "x" από το διάστημα και την αντικαταστήσουμε με τον κοινό όρο της σειράς ισχύος, τότε παίρνουμε μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά αριθμών. Ένα τέτοιο διάστημα ονομάζεται διάστημα σύγκλισης της σειράς ισχύος.

Η ακτίνα σύγκλισης, πολύ απλά, είναι το μισό του μήκους του διαστήματος σύγκλισης:

Γεωμετρικά η κατάσταση μοιάζει με αυτό:

Σε αυτήν την περίπτωση, το διάστημα σύγκλισης της σειράς: η ακτίνα σύγκλισης της σειράς:

Μια σειρά αριθμών που περιέχει έναν άπειρο αριθμό θετικών και έναν άπειρο αριθμό αρνητικών όρων ονομάζεται εναλλασσόμενη.

Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση

Μια σειρά ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν η σειρά συγκλίνει επίσης.

Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε είναι συγκλίνουσα (με τη συνήθη έννοια). Το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια.

Μια σειρά λέγεται ότι είναι υπό όρους σύγκλιση εάν η ίδια συγκλίνει και η σειρά που αποτελείται από τις ενότητες των μελών της αποκλίνει.

Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης .

Ας εφαρμόσουμε την επαρκή δοκιμή Leibniz για εναλλασσόμενες σειρές. Παίρνουμε

επειδή η . Επομένως, αυτή η σειρά συγκλίνει.

38. Εναλλασσόμενες σειρές. Σημάδι Leibniz.

Μια ειδική περίπτωση μιας εναλλασσόμενης σειράς είναι μια εναλλασσόμενη σειρά, δηλαδή μια σειρά στην οποία διαδοχικοί όροι έχουν αντίθετα πρόσημα.

Σημάδι Leibniz

Για όσους εναλλάσσονται κοντά, ισχύει η δοκιμή επαρκούς σύγκλισης Leibniz.

Έστω (an) μια αριθμητική ακολουθία τέτοια ώστε

1. an+1< an для всех n;

Στη συνέχεια, οι εναλλασσόμενες σειρές είναι εξερχόμενες.

39. Λειτουργικές σειρές. Power σειρά. ακτίνα σύγκλισης. Διάστημα σύγκλισης.

Η έννοια της λειτουργικής σειράς και της σειράς ισχύος

Η συνηθισμένη σειρά αριθμών, θυμηθείτε, αποτελείται από αριθμούς:

Όλα τα μέλη της σειράς είναι ΑΡΙΘΜΟΙ.

Η λειτουργική σειρά αποτελείται από ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ:

Εκτός από πολυώνυμα, παραγοντικά και άλλα δώρα, ο κοινός όρος της σειράς περιλαμβάνει σίγουρα το γράμμα «x». Μοιάζει με αυτό, για παράδειγμα:

Όπως μια σειρά αριθμών, κάθε λειτουργική σειρά μπορεί να γραφτεί σε διευρυμένη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα τα μέλη της λειτουργικής σειράς είναι συναρτήσεις.

Ο πιο δημοφιλής τύπος λειτουργικής σειράς είναι σειρά ισχύος.

Ορισμός:

Μια σειρά ισχύος είναι μια σειρά της οποίας ο κοινός όρος περιλαμβάνει θετικές ακέραιες δυνάμεις της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Μια απλοποιημένη σειρά ισχύος σε πολλά σχολικά βιβλία είναι γραμμένη ως εξής: , πού είναι η παλιά γνωστή «γέμιση» των σειρών αριθμών (πολυώνυμα, μοίρες, παραγοντικοί παράγοντες που εξαρτώνται μόνο από το «en»). Το απλούστερο παράδειγμα:

Ας δούμε αυτήν την αποσύνθεση και ας ξανασκεφτούμε τον ορισμό: τα μέλη της σειράς ισχύος περιέχουν το "x" σε θετικές ακέραιες (φυσικές) δυνάμεις.

Πολύ συχνά, μια σειρά ισχύος μπορεί να βρεθεί στις ακόλουθες "τροποποιήσεις": ή όπου το a είναι μια σταθερά. Για παράδειγμα:

Αυστηρά μιλώντας, οι απλουστευμένες αναπαραστάσεις της σειράς ισχύος, ή όχι αρκετά σωστές. Στον εκθέτη, αντί για το μοναδικό γράμμα "en", μπορεί να εντοπιστεί μια πιο σύνθετη έκφραση, για παράδειγμα:

Ή αυτή η σειρά ισχύος:

Αν μόνο οι εκθέτες στο "xAx" ήταν φυσικοί.

Σύγκλιση σειράς ισχύος.

Διάστημα σύγκλισης, ακτίνα σύγκλισης και περιοχή σύγκλισης

Δεν χρειάζεται να φοβάστε μια τέτοια αφθονία όρων, πηγαίνουν "ο ένας δίπλα στον άλλο" και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να κατανοηθούν. Είναι καλύτερα να επιλέξετε μερικές απλές πειραματικές σειρές και να αρχίσετε αμέσως να καταλαβαίνετε.

Σας ζητώ να αγαπήσετε και να ευνοήσετε τη σειρά ισχύος Η μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο". Αντικαταστήστε πολλές αυθαίρετες τιμές x στον κοινό όρο της σειράς:

Αν x=1 τότε

Αν x=-1, τότε

Ορισμός 1

Η σειρά αριθμών $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, της οποίας τα μέλη έχουν αυθαίρετα πρόσημα (+), (?), ονομάζεται εναλλασσόμενη σειρά.

Οι εναλλασσόμενες σειρές που εξετάστηκαν παραπάνω είναι μια ειδική περίπτωση της εναλλασσόμενης σειράς. είναι σαφές ότι δεν εναλλάσσονται όλες οι εναλλασσόμενες σειρές. Για παράδειγμα, η σειρά $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ εναλλασσόμενες αλλά όχι εναλλασσόμενες σειρές χαρακτήρων.

Σημειώστε ότι σε μια εναλλασσόμενη σειρά όρων, τόσο με το πρόσημο (+) όσο και με το πρόσημο (-), υπάρχουν άπειρα πολλοί. Εάν αυτό δεν ισχύει, για παράδειγμα, η σειρά περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό αρνητικών όρων, τότε μπορούν να απορριφθούν και μια σειρά που αποτελείται μόνο από θετικούς όρους μπορεί να ληφθεί υπόψη και το αντίστροφο.

Ορισμός 2

Αν η αριθμητική σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει και το άθροισμά της είναι S, και μερικήτο άθροισμα είναι ίσο με $S_n$ , τότε το $r_(n) =S-S_(n) $ ονομάζεται το υπόλοιπο της σειράς και το $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, π.χ. το υπόλοιπο της συγκλίνουσας σειράς τείνει στο 0.

Ορισμός 3

Μια σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα εάν η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.

Ορισμός 4

Εάν η σειρά αριθμών $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει και η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\right| $, που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών του, αποκλίνει, τότε η αρχική σειρά ονομάζεται υπό όρους (μη απολύτως) συγκλίνουσα.

Θεώρημα 1 (επαρκές κριτήριο για τη σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών)

Η εναλλασσόμενη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απολύτως εάν η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των μελών της$\sum \limits _(n=1) ^ συγκλίνει (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Σχόλιο

Το θεώρημα 1 δίνει μόνο μια επαρκή συνθήκη για τη σύγκλιση εναλλασσόμενων σειρών. Το θεώρημα της αντίστροφης δεν είναι αληθές, δηλ. εάν η εναλλασσόμενη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει, τότε δεν είναι απαραίτητο η σειρά που αποτελείται από ενότητες $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (μπορεί να είναι είτε συγκλίνον είτε αποκλίνον). Για παράδειγμα, η σειρά $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ συγκλίνει σύμφωνα με τη δοκιμή Leibniz και η σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της είναι $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (αρμονική σειρά) αποκλίνει.

Ιδιοκτησία 1

Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει απολύτως για οποιαδήποτε μετάθεση των μελών της και το άθροισμα της σειράς δεν εξαρτάται από τη σειρά των μελών. Εάν το $S"$ είναι το άθροισμα όλων των θετικών όρων του και το $S""$ είναι το άθροισμα όλων των απόλυτων τιμών των αρνητικών όρων του, τότε το άθροισμα της σειράς είναι $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ ισούται με $S=S"-S""$.

Ιδιοκτησία 2

Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ συγκλίνει απόλυτα και το $C=(\rm const)$, τότε η σειρά $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) Το $ συγκλίνει επίσης απόλυτα.

Ιδιοκτησία 3

Εάν η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ και $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ συγκλίνουν απολύτως, τότε η σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ επίσης συγκλίνουν απόλυτα.

Ιδιότητα 4 (θεώρημα Riemann)

Εάν η σειρά συγκλίνει υπό όρους, τότε ανεξάρτητα από τον αριθμό Α που πάρουμε, μπορούμε να αναδιατάξουμε τους όρους αυτής της σειράς έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ακριβώς ίσο με το Α. Επιπλέον, είναι δυνατή η αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από αυτό να αποκλίνει.

Παράδειγμα 1

Διερευνήστε τη σειρά για υπό όρους και απόλυτη σύγκλιση

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Λύση. Αυτή η σειρά είναι εναλλασσόμενη, τον κοινό όρο της οποίας συμβολίζουμε: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Παράδειγμα 2

Εξετάστε τη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ για απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση.

1. Εξετάζουμε τη σειρά για απόλυτη σύγκλιση. Σημειώστε $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ και συνθέστε μια σειρά απόλυτες τιμές $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Παίρνουμε τη σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ με θετικούς όρους, στους οποίους εφαρμόζουμε το κριτήριο ορίου για σύγκριση σειρών. Για σύγκριση με $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ θεωρήστε μια σειρά που έχει τη μορφή $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Αυτή η σειρά είναι μια σειρά Dirichlet με εκθέτη $p=\frac(1)(2)
2. Στη συνέχεια, εξετάζουμε την αρχική σειρά $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ για υπό όρους σύγκλιση. Για να γίνει αυτό, ελέγχουμε την εκπλήρωση των προϋποθέσεων του τεστ Leibniz. Συνθήκη 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, όπου $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , δηλ. αυτή η σειρά εναλλάσσεται. Για να επαληθεύσουμε τη συνθήκη 2) στη μονοτονική μείωση των όρων της σειράς, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη μέθοδο. Θεωρήστε τη βοηθητική συνάρτηση $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ που ορίζεται στο $x\in )