Деформации и премествания. Закон на Хук
Действието на външни сили върху твърдо тяло води до появата на напрежения и деформации в точки от неговия обем. В този случай състоянието на напрежение в дадена точка, връзката между напреженията в различни места, преминаващи през тази точка, се определят от уравненията на статиката и не зависят от физичните свойства на материала. Деформираното състояние, връзката между преместванията и деформациите се установяват чрез геометрични или кинематични съображения и също не зависят от свойствата на материала. За да се установи връзка между напреженията и деформациите, е необходимо да се вземат предвид действителните свойства на материала и условията на натоварване. На базата на експериментални данни са разработени математически модели, описващи връзката между напрежения и деформации. Тези модели трябва да отразяват реалните свойства на материалите и условията на натоварване с достатъчна степен на точност.
Най-често срещаните за структурните материали са модели на еластичност и пластичност. Еластичността е свойството на тялото да променя формата и размера си под въздействието на външни натоварвания и да възстановява първоначалната си конфигурация, когато натоварванията бъдат премахнати. Математически свойството еластичност се изразява в установяването на функционална връзка едно към едно между компонентите на тензора на напрежението и тензора на деформацията. Свойството на еластичност отразява не само свойствата на материалите, но и условията на натоварване. За повечето структурни материали свойството на еластичност се проявява при умерени стойности на външни сили, водещи до малки деформации, и при ниски скорости на натоварване, когато загубите на енергия поради температурни ефекти са незначителни. Един материал се нарича линейно еластичен, ако компонентите на тензора на напрежението и тензора на деформацията са свързани чрез линейни отношения.
При високи нива на натоварване, когато в тялото се появят значителни деформации, материалът частично губи своите еластични свойства: когато е разтоварен, първоначалните му размери и форма не се възстановяват напълно, а когато външните натоварвания са напълно премахнати, остатъчните деформации се фиксират. В такъв случай връзката между напреженията и деформациите престава да бъде еднозначна. Това материално свойство се нарича пластичност.Натрупаните в процеса на пластично деформиране остатъчни деформации се наричат пластични.
Високото ниво на стрес може да причини унищожаване, т.е. разделяне на тялото на части.Твърдите тела, направени от различни материали, се разрушават при различна степен на деформация. Счупването е крехко при малки деформации и се случва, като правило, без забележими пластични деформации. Такова разрушаване е типично за чугун, легирани стомани, бетон, стъкло, керамика и някои други конструкционни материали. За нисковъглеродни стомани, цветни метали, пластмаси е характерен пластичен тип счупване при наличие на значителни остатъчни деформации. Въпреки това, разделянето на материалите според естеството на тяхното разрушаване на крехки и пластични е много условно, обикновено се отнася до някои стандартни условия на работа. Един и същ материал може да се държи, в зависимост от условията (температура, естество на натоварването, технология на производство и др.), Като чуплив или като пластичен. Например, материали, които са пластични при нормални температури, се разрушават като крехки при ниски температури. Следователно е по-правилно да се говори не за крехки и пластични материали, а за крехко или пластично състояние на материала.
Нека материалът е линейно еластичен и изотропен. Нека разгледаме елементарен обем при условия на едноосно напрегнато състояние (фиг. 1), така че тензорът на напрежението да има формата
При такова натоварване има увеличение на размерите по посока на оста охарактеризиращ се с линейна деформация, която е пропорционална на големината на напрежението
Фиг. 1.Едноосно напрегнато състояние
Това съотношение е математическа нотация Закон на Хук, установяване на пропорционална връзка между напрежението и съответната линейна деформация в състояние на едноосно напрежение. Коефициентът на пропорционалност E се нарича модул на надлъжна еластичност или модул на Юнг.Има измерението на напреженията.
Заедно с увеличаването на размера в посока на действие; при едно и също напрежение размерите намаляват в две ортогонални посоки (фиг. 1). Съответните деформации ще бъдат означени с и , и тези деформации са отрицателни за положителни и са пропорционални на:
При едновременно действие на напрежения по три ортогонални оси, когато няма тангенциални напрежения, принципът на суперпозиция (суперпозиция на решения) е валиден за линеен еластичен материал:
Като вземем предвид формулите (1 4), получаваме
|
Тангенциалните напрежения причиняват ъглови деформации и при малки деформации не влияят на промяната на линейните размери и следователно на линейните деформации. Следователно те са валидни и при произволно напрегнато състояние и изразяват т.нар обобщен закон на Хук.
Ъгловата деформация се дължи на напрежението на срязване , а деформациите и съответно на напреженията и . Между съответните напрежения на срязване и ъгловите деформации за линейно еластично изотропно тяло съществуват пропорционални зависимости
които изразяват закона Кука на смяна.Коефициентът на пропорционалност G се нарича срязващ модул.Съществено е нормалното напрежение да не влияе на ъгловите деформации, тъй като в този случай се променят само линейните размери на сегментите, а не ъглите между тях (фиг. 1).
Съществува линейна връзка и между средното напрежение (2.18), което е пропорционално на първия инвариант на тензора на напрежението, и обемната деформация (2.32), което съвпада с първия инвариант на тензора на напрежението:
Фиг.2.Равнинна деформация на срязване
Съответно съотношение на страните Да сеНаречен обемен модул на еластичност.
Формулите (1 7) включват еластичните характеристики на материала Д, , Жи ДА СЕ,определяне на неговите еластични свойства. Тези характеристики обаче не са независими. За изотропен материал две независими еластични характеристики обикновено се избират като еластичен модул ди коефициент на Поасон. За изразяване на модула на срязване Жпрез ди , Нека разгледаме равнинна деформация на срязване под действието на срязващи напрежения (фиг. 2). За да опростим изчисленията, използваме квадратен елемент със страна а.Изчислете главните напрежения , . Тези напрежения действат върху места, разположени под ъгъл спрямо първоначалните места. От фиг. 2 намерете връзката между линейната деформация в посока на напрежението и ъгловата деформация . Големият диагонал на ромба, характеризиращ деформацията, е равен на
За малки деформации
При тези съотношения
Преди деформацията този диагонал имаше размера . Тогава ще имаме
От обобщения закон на Хук (5) получаваме
Сравнението на получената формула със закона на Хук с отместване (6) дава
В резултат на това получаваме
Сравнявайки този израз с обемния закон на Хук (7), стигаме до резултата
Механични характеристики Д, , Жи Да сеса установени след обработка на експерименталните данни от изпитване на образци за различни видове натоварвания. От физическа гледна точка всички тези характеристики не могат да бъдат отрицателни. В допълнение, от последния израз следва, че коефициентът на Поасон за изотропен материал не надвишава 1/2. Така получаваме следните ограничения за еластичните константи на изотропен материал:
Граничната стойност води до гранична стойност , което съответства на несвиваем материал ( at ). В заключение, изразяваме напреженията по отношение на деформации от еластичните отношения (5). Записваме първото от отношенията (5) във формата
Използвайки равенство (9), ще имаме
Подобни отношения могат да се изведат за и . В резултат на това получаваме
|
Тук се използва съотношението (8) за модула на срязване. Освен това обозначението
ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ НА ЕЛАСТИЧНА ДЕФОРМАЦИЯ
Помислете първо за елементарния обем dV=dxdydzпри условия на едноосно напрегнато състояние (фиг. 1). Психически фиксирайте платформата х=0(фиг. 3). От противоположната страна действа сила .
Тази сила извършва работа при изместване. .
Тъй като напрежението се увеличава от нула до стойността
съответната деформация, по силата на закона на Хук, също нараства от нула до стойността ,
и работата е пропорционална на защрихованата на фиг. 4 квадрата: 
. Ако пренебрегнем кинетична енергияи загуби, свързани с топлинни, електромагнитни и други явления, тогава, по силата на закона за запазване на енергията, извършената работа ще се превърне в потенциална енергиянатрупани по време на процеса на деформация: .
F= dU/dVНаречен специфична потенциална енергия на деформация,смислен потенциална енергиянатрупани в единица обем на тялото. При едноосно напрегнато състояние
8.2. Основни закони, използвани в съпротивлението на материалите
Връзки на статиката. Те се записват под формата на следните уравнения на равновесието.
Закон на Хук ( 1678): колкото по-голяма е силата, толкова по-голяма е деформацията и освен това е право пропорционална на силата. Физически това означава, че всички тела са пружини, но с голяма твърдост. С просто опъване на гредата от надлъжната сила н= Етози закон може да се напише като:
Тук 
надлъжна сила, л- дължина на лентата, НО- неговата площ на напречното сечение, д- коефициент на еластичност от първи род ( Модул на Юнг).
Като се вземат предвид формулите за напрежения и деформации, законът на Хук е написан, както следва: 
.
Подобна връзка се наблюдава при експерименти между напреженията на срязване и ъгъла на срязване:
.
Ж
Нареченмодул на срязване
, по-рядко - модулът на еластичност от втори род. Като всеки закон и той има граница на приложимост и закона на Хук. Волтаж 
, до която е валиден законът на Хук, се нарича граница на пропорционалност(това е най-важната характеристика на сопромат).
Нека изобразим зависимостта
от
графично (фиг. 8.1). Тази картина се нарича диаграма на разтягане
. След точка Б (т.е 
), тази зависимост вече не е линейна.
При 
след разтоварване се появяват остатъчни деформации в тялото, следователно 
Наречен граница на еластичност
.
Когато напрежението достигне стойността σ = σ t, много метали започват да проявяват свойството, наречено течливост. Това означава, че дори при постоянно натоварване материалът продължава да се деформира (т.е. държи се като течност). Графично това означава, че диаграмата е успоредна на абсцисата (DL графика). Напрежението σ t, при което материалът тече, се нарича провлачване .
Някои материали (чл. 3 - строителна стомана) след кратко течение започват отново да се съпротивляват. Съпротивлението на материала продължава до определена максимална стойност σ pr, след което започва постепенно разрушаване. Стойността σ pr - се нарича издръжливост на опън (синоним на стомана: якост на опън, за бетон - кубична или призматична якост). Използват се и следните обозначения:
=Р b
Подобна зависимост се наблюдава при експерименти между тангенциални напрежения и срязване.
3) Закон на Дюгамел–Нойман (линейно термично разширение):
При наличие на температурна разлика тялото променя размерите си и е правопропорционално на тази температурна разлика.
Нека има температурна разлика 
. Тогава този закон приема формата:
Тук α - коефициент на линейно термично разширение, л - дължина на пръта, Δ л- неговото удължаване.
4) закон на пълзенето .
Проучванията показват, че всички материали са силно нехомогенни в малки. Схематичната структура на стоманата е показана на фиг. 8.2.
Някои от компонентите имат течни свойства, така че много материали под натоварване получават допълнително удължение с течение на времето. 
(фиг.8.3.) (метали при високи температури, бетон, дърво, пластмаси - при обикновени температури). Това явление се нарича пълзенематериал.
За течност законът е верен: как повече сила, толкова по-голяма е скоростта на тялото във течността. Ако тази зависимост е линейна (т.е. силата е пропорционална на скоростта), тогава тя може да се запише като:
д 
Ако преминем към относителните сили и относителните удължения, получаваме
Ето индекса " кр
" означава, че се взема предвид частта от удължението, причинена от пълзенето на материала. Механична характеристика 
наречен коефициент на вискозитет.
Закон за запазване на енергията.
Помислете за натоварена греда
Нека въведем концепцията за преместване на точка, например,
- вертикално движение на точка B;
- хоризонтално отместване на точка С.
Сили 
докато върши някаква работа U.
Като се има предвид, че силите 
започват да нарастват постепенно и ако приемем, че нарастват пропорционално на изместванията, получаваме:
.
Според закона за опазване: нито една работа не изчезва, тя се изразходва за извършване на друга работа или отива в друга енергия (енергияе работата, която тялото може да извърши.
Работата на силите 
, се изразходва за преодоляване на съпротивлението на еластичните сили, които възникват в тялото ни. За да изчислим тази работа, ние вземаме предвид, че тялото може да се разглежда като състоящо се от малки еластични частици. Нека разгледаме един от тях:
От страна на съседните частици върху него действа напрежение 
. Полученият стрес ще бъде 
Под влиянието 
частицата е удължена. По дефиниция удължението е удължението за единица дължина. Тогава:
Нека изчислим работата dWче силата прави dN (тук също така се взема предвид, че силите dNзапочват да нарастват постепенно и се увеличават пропорционално на изместванията):
За цялото тяло получаваме:
.
работа Уангажирани 
, Наречен енергия на еластична деформация.
Според закона за запазване на енергията:
6)Принцип възможни движения .
Това е един от начините да се напише законът за запазване на енергията.
Нека сили действат върху гредата Е 1
,
Е 2
,
…
. Те карат точките да се движат в тялото 
и стрес 
. Да дадем тялото допълнителни малки възможни премествания
. В механиката записът на формата 
означава фразата „възможна стойност на количеството а". Тези възможни движения ще предизвикат в тялото възможни допълнителни деформации
. Те ще доведат до появата на допълнителни външни сили и напрежения. 
,
δ.
Нека изчислим работата на външните сили върху допълнителни възможни малки премествания:
Тук 
- допълнителни премествания на тези точки, където се прилагат сили Е 1
,
Е 2
,
…
Помислете отново за малък елемент с напречно сечение dA и дължина дз (вижте фиг. 8.5. и 8.6.). Според дефиницията допълнително удължение дзна този елемент се изчислява по формулата:
дз= дз.
Силата на опън на елемента ще бъде:
dN = (+δ) dA ≈ dA..
Работата на вътрешните сили върху допълнителните премествания се изчислява за малък елемент, както следва:
dW = dN dz = dA dz = dV
ОТ 
сумирайки енергията на деформация на всички малки елементи, получаваме общата енергия на деформация:
Закон за запазване на енергията У = Uдава:
.
Това съотношение се нарича принципът на възможните движения(също наричан принцип на виртуалните движения).По същия начин можем да разгледаме случая, когато действат и срязващи напрежения. Тогава може да се получи, че енергията на напрежението Удобавете следния термин:
Тук - напрежение на срязване, - срязване на малък елемент. Тогава принцип на възможните движенияще приеме формата:
За разлика от предишната форма на записване на закона за запазване на енергията, тук няма предположение, че силите започват да нарастват постепенно и те нарастват пропорционално на преместванията
7) Ефект на Поасон.
Помислете за модела на удължаване на пробата:
Феноменът на скъсяване на елемент от тялото в посоката на удължаване се нарича Ефект на Поасон.
Нека намерим надлъжната относителна деформация.
Относителната напречна деформация ще бъде:
Коефициент на Поасонколичеството се нарича:
За изотропни материали (стомана, чугун, бетон) коефициент на Поасон
Това означава, че в напречна посока деформацията по-малконадлъжно.
Забележка
: съвременните технологии могат да създават композитни материали с коефициент на Поасон > 1, тоест напречната деформация ще бъде по-голяма от надлъжната. Например, такъв е случаят с материал, подсилен с твърди влакна под нисък ъгъл. 
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
, т.е. по-малкото 
, толкова по-голям е коефициентът на Поасон.
Фиг.8.8. Фиг.8.9
Още по-изненадващ е материалът, показан на (Фиг. 8.9.), И при такова усилване се получава парадоксален резултат - надлъжното удължение води до увеличаване на размера на тялото в напречна посока.
8) Обобщен закон на Хук.
Помислете за елемент, който се простира в надлъжна и напречна посока. Нека намерим деформацията, възникваща в тези посоки. 
Изчислете деформацията 
произтичащи от действието 
:
Помислете за деформацията от действието 
, което е резултат от ефекта на Поасон:
Общата деформация ще бъде:
Ако работи и 
, след това добавете още едно скъсяване в посоката на оста x 
.
Следователно: 
По същия начин: 
Тези съотношения се наричат обобщен закон на Хук.
Интересното е, че когато се пише законът на Хук, се прави предположение за независимостта на деформациите на удължение от деформациите на срязване (за независимост от напреженията на срязване, което е едно и също нещо) и обратно. Експериментите добре потвърждават тези предположения. Гледайки напред, отбелязваме, че силата, напротив, силно зависи от комбинацията от срязващи и нормални напрежения.
Забележка: Горните закони и предположения се потвърждават от множество преки и непреки експерименти, но, както всички други закони, те имат ограничена област на приложение.
Закон на Хукобикновено наричани линейни зависимости между компонентите на деформация и компонентите на напрежението.
Вземете елементарен правоъгълен паралелепипед с лица, успоредни на координатните оси, натоварен с нормално напрежение σ x, равномерно разпределени върху две противоположни страни (фиг. 1). При което г = σz = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
До достигане на границата на пропорционалност относителното удължение се дава по формулата
където де модулът на опън. За стомана д = 2*10 5 MPa, следователно деформациите са много малки и се измерват като процент или в 1 * 10 5 (в тензодатчици, които измерват деформации).
Разширяване на елемент в посоката на оста хсе съпровожда от нейното стесняване в напречна посока, обусловено от деформационните компоненти
където μ е константа, наречена коефициент на напречна компресия или коефициент на Поасон. За стомана μ обикновено се приема равно на 0,25-0,3.
Ако разглежданият елемент е натоварен едновременно с нормални напрежения σ x, г, σz, равномерно разпределени по лицата му, след което се добавят деформации
Чрез наслагване на компонентите на деформация, причинени от всяко от трите напрежения, получаваме отношенията
Тези съотношения се потвърждават от множество експерименти. приложено метод на наслагванеили суперпозициинамирането на общите деформации и напрежения, причинени от множество сили, е легитимно, докато деформациите и напреженията са малки и линейно зависими от приложените сили. В такива случаи пренебрегваме малките промени в размерите на деформируемото тяло и малките премествания на точките на прилагане на външните сили и базираме нашите изчисления на първоначалните размери и първоначалната форма на тялото.
Трябва да се отбележи, че линейността на връзките между сили и деформации все още не следва от малките премествания. Така например в компресиран Qпрът, натоварен с допълнителна напречна сила Р, дори и с малка деформация δ има допълнителен момент М = Qδ, което прави проблема нелинеен. В такива случаи общите деформации не са линейни функции на силите и не могат да бъдат получени с просто наслагване (суперпозиция).
Експериментално е установено, че ако напреженията на срязване действат върху всички страни на елемента, тогава изкривяването на съответния ъгъл зависи само от съответните компоненти на напрежението на срязване.
Константа Жсе нарича модул на срязване или модул на срязване.
Общият случай на деформация на елемент от действието на три нормални и три тангенциални компоненти на напрежение върху него може да се получи чрез суперпозиция: три линейни деформации, определени от изрази (5.2a), се наслагват с три деформации на срязване, определени от отношения (5.2b) . Уравнения (5.2a) и (5.2b) определят връзката между компонентите на деформация и напрежение и се наричат обобщен закон на Хук. Нека сега покажем, че модулът на срязване Жизразено чрез модул на опън ди коефициент на Поасон μ . За да направите това, помислете за специален случай, когато σ x = σ , г = -σ и σz = 0.
Изрежете елемента abcdравнини, успоредни на оста zи наклонени под ъгъл 45° спрямо осите хи при(фиг. 3). Както следва от условията на равновесие за елемента 0 bс, нормални напрежения σ vпо всички страни на елемента abcdса равни на нула, а напреженията на срязване са равни
Това състояние на стрес се нарича чиста смяна. Уравнения (5.2a) предполагат това
тоест разширението на хоризонталния елемент 0 ° Се равно на скъсяването на вертикалния елемент 0 b: εy = -ε x.
Ъгъл между лицата аби пр.н.епромени и съответното количество деформация на срязване γ може да се намери от триъгълник 0 bс:
Оттук следва, че
Когато прътът се разтяга и компресира, дължината и размерите на напречното му сечение се променят. Ако мислено изберем от пръта в недеформирано състояние елемент от дължината dx,тогава след деформация дължината му ще бъде равна на dx((фиг. 3.6). В този случай абсолютното удължение по посока на оста още бъде равно на
и относителна линейна деформация e xсе определя от равенството
Тъй като оста осъвпада с оста на пръта, по която действат външни натоварвания, наричаме деформация e xнадлъжна деформация, за която индексът ще бъде пропуснат по-долу. Деформациите в посоки, перпендикулярни на оста, се наричат напречни деформации. Ако се обозначава с bхарактерен размер на напречното сечение (фиг. 3.6), тогава напречната деформация се определя от съотношението 
Относителните линейни деформации са безразмерни величини. Установено е, че напречните и надлъжните деформации при централното опъване и натиск на пръта са свързани помежду си чрез зависимостта
Величината v, включена в това равенство, се нарича Коефициент на Поасонили коефициент на напречна деформация. Този коефициент е една от основните константи на еластичността на материала и характеризира неговата способност за напречни деформации. За всеки материал се определя от тест за опън или натиск (виж § 3.5) и се изчислява по формулата
Както следва от равенството (3.6), надлъжните и напречните деформации винаги имат противоположни знаци, което е потвърждение на очевидния факт - при разтягане размерите на напречното сечение намаляват, а при компресиране се увеличават.
Коефициентът на Поасон е различен за различните материали. За изотропни материали може да приема стойности от 0 до 0,5. Например за корковото дърво коефициентът на Поасон е близо до нула, докато за каучука е близо до 0,5. За много метали при нормални температури стойността на коефициента на Поасон е в диапазона 0,25 + 0,35.
Както е установено в множество експерименти, за повечето структурни материали при малки деформации има линейна връзка между напреженията и деформациите
Този закон за пропорционалност е установен за първи път от английския учен Робърт Хук и се нарича Закон на Хук.
Константата, включена в закона на Хук дсе нарича модул на еластичност. Модулът на еластичност е втората основна константа на еластичността на материала и характеризира неговата твърдост. Тъй като деформациите са безразмерни величини, от (3.7) следва, че модулът на еластичност има размерността на напрежението.
В табл. 3.1 показва стойностите на модула на еластичност и коефициента на Поасон за различни материали.
При проектирането и изчисляването на конструкциите, наред с изчисляването на напреженията, е необходимо да се определят и преместванията на отделните точки и възли на конструкциите. Помислете за метод за изчисляване на премествания при централно напрежение и компресия на пръти.
Абсолютна дължина на удължението на елемента dx(фиг. 3.6) съгласно формула (3.5) е
Таблица 3.1
|
Име на материала |
Модул на еластичност, MPa |
Коефициент Поасон |
|
Въглеродна стомана |
||
|
алуминиеви сплави |
||
|
Титанови сплави |
||
|
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
|
по протежение на влакната |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
|
през влакната |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
|
тухлена зидария |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
|
Фибростъкло СВАМ |
||
|
Текстолит |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
|
Гума върху гума |
Интегрирайки този израз в диапазона от 0 до x, получаваме
където тях) - аксиално изместване на произволна секция (фиг. 3.7) и C= и( 0) - аксиално изместване на началния участък х = 0.Ако това сечение е фиксирано, тогава u(0) = 0 и преместването на произволно сечение е
Удължаването или скъсяването на пръта е равно на аксиалното изместване на свободния му край (фиг. 3.7), чиято стойност получаваме от (3.8), като приемем x = 1:
Замествайки във формулата (3.8) израза за деформацията? от закона на Хук (3.7), получаваме
За прът, изработен от материал с постоянен модул на еластичност даксиалните премествания се определят по формулата
Интегралът, включен в това равенство, може да се изчисли по два начина. Първият начин е да напишете аналитично функцията О)и последваща интеграция. Вторият метод се основава на факта, че разглежданият интеграл е числено равен на площта на диаграмата a в секцията.Въвеждане на нотацията
Нека разгледаме специални случаи. За прът, опънат от концентрирана сила Р(ориз. 3.3, а),надлъжна сила./ V е постоянна по дължината и е равна на Р.Напреженията a съгласно (3.4) също са постоянни и равни на 
Тогава от (3.10) получаваме
От тази формула следва, че ако напреженията в определено сечение на пръта са постоянни, тогава преместванията се променят по линеен закон. Заместване в последната формула x = 1,намерете удължението на пръта:
работа EFНаречен твърдост на пръта при опън и компресия.Колкото по-голяма е тази стойност, толкова по-малко е удължението или скъсяването на пръта.
Помислете за прът под действието на равномерно разпределено натоварване (фиг. 3.8). Надлъжната сила в произволно сечение, отдалечено на разстояние x от закрепването, е равна на
Разделяне нна Е,получаваме формулата за напреженията
Замествайки този израз в (3.10) и интегрирайки, намираме
Най-голямото изместване, равно на удължението на целия прът, се получава чрез заместване на x = / в (3.13):
От формули (3.12) и (3.13) се вижда, че ако напреженията зависят линейно от x, тогава преместванията се променят по закона на квадратната парабола. Парцели Н,о и ипоказано на фиг. 3.8.
Обща диференциална зависимост свързващи функции тях)и a(x), може да се получи от съотношението (3.5). Замествайки e от закона на Хук (3.7) в тази връзка, намираме
От тази зависимост следват по-специално моделите на промяна на функцията, отбелязани в горните примери тях).
Освен това може да се отбележи, че ако във всеки раздел напреженията a изчезнат, тогава на диаграмата иможе да има екстремум в този раздел.
Като пример, нека изградим диаграма иза пръта, показан на фиг. 3.2, поставяне д- 10 4 MPa. Изчисляване на площите на парцела относноза различни области намираме:
сечение x = 1 m:
сечение x = 3 m:
сечение x = 5 m:
В горната част на лентата на диаграмата ие квадратна парабола (фиг. 3.2, д).В този случай има екстремум в участъка x = 1 m. В долната част характерът на диаграмата е линеен.
Общото удължение на пръта, което в този случай е равно на
може да се изчисли с помощта на формули (3.11) и (3.14). Тъй като долната част на пръта (виж фиг. 3.2, а)опъната със сила R (неговото удължаване съгласно (3.11) е равно на
Действие на сила R (се предава и към горната част на пръта. Освен това се компресира със сила R 2и опъната от равномерно разпределен товар р.В съответствие с това промяната в дължината му се изчислява по формулата
Обобщавайки стойностите на A/ и A/ 2 , получаваме същия резултат като по-горе.
В заключение трябва да се отбележи, че въпреки малката стойност на преместванията и удълженията (съкращенията) на прътите при напрежение и компресия, те не могат да бъдат пренебрегнати. Способността за изчисляване на тези количества е важна при много технологични проблеми (например при сглобяване на конструкции), както и за решаване на статично неопределени проблеми.
