Променливи редове. Абсолютна и условна конвергенция Редуващи се серии примери на решения

Редица от числа, съдържаща безкраен брой положителни и безкраен брой отрицателни членове, се нарича редуваща се.

Абсолютна и условна конвергенция

Редица се нарича абсолютно сходна, ако редицата също се сближава.

Ако една редица се сближава абсолютно, тогава тя е сходяща (в обичайния смисъл). Обратното не е вярно.

Една серия се нарича условно сходяща, ако самата тя се сближава и серията, съставена от модулите на нейните членове, се разминава.

Изследвайте редове за сходимост .

Нека приложим достатъчния тест на Лайбниц за редуващи се серии. Получаваме

тъй като . Следователно тази серия се сближава.

38. Редуващи се редове. Знак на Лайбниц.

Специален случай на редуваща се серия е редуваща се серия, т.е. серия, в която последователните членове имат противоположни знаци.

Знак на Лайбниц

За тези, които се редуват наблизо, се прилага тестът за достатъчна конвергенция на Лайбниц.

Нека (an) е числова последователност, такава че

1. an+1< an для всех n;

Тогава редуващи се серии излизат.

39. Функционални редове. Степенен ред. радиус на конвергенция. Интервал на конвергенция.

Концепцията за функционални редове и степенни редове

Обичайната числова серия, запомнете, се състои от числа:

Всички членове на поредицата са ЧИСЛА.

Функционалният ред се състои от ФУНКЦИИ:

В допълнение към полиномите, факторите и други подаръци, общият термин на поредицата със сигурност включва буквата "x". Изглежда така например:

Подобно на редица от числа, всяка функционална серия може да бъде написана в разширена форма:

Както можете да видите, всички членове на функционалната серия са функции.

Най-популярният тип функционална серия е степенни редове.

определение:

Степенен ред е ред, чийто общ член включва цели положителни степени на независимата променлива.

Опростени степенни редове в много учебници се записват по следния начин: , където е старият познат „пълнеж“ от числови редове (полиноми, степени, факториели, които зависят само от „en“). Най-простият пример:

Нека да разгледаме това разлагане и да преосмислим дефиницията: членовете на степенната редица съдържат "x" в цели положителни (естествени) степени.

Много често степенна серия може да се намери в следните "модификации": или където a е константа. Например:

Строго погледнато, опростените представяния на степенните серии или не съвсем правилни. В експонентата вместо единичната буква "en" може да се намира по-сложен израз, например:

Или тази степенна серия:

Ако само показателите при "xAx" бяха естествени.

Конвергенция на степенни редове.

Интервал на конвергенция, радиус на конвергенция и зона на конвергенция

Няма нужда да се страхувате от такова изобилие от термини, те вървят „един до друг“ и не са особено трудни за разбиране. По-добре е да изберете няколко прости експериментални серии и веднага да започнете да разбирате.

Моля ви да обичате и предпочитате степенните редове. Променливата може да приеме всяка реална стойност от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност". Заменете няколко произволни x стойности в общия член на серията:

Ако x=1 тогава

Ако x=-1, тогава

Ако x=3 тогава

Ако x=-0,2, тогава

Очевидно е, че замествайки "х" в една или друга стойност, получаваме различни числови серии. Някои числови серии ще се сближат, а други ще се разминат. И нашата задача е да намерим набора от стойности на "x", при които степенните редове ще се сближат. Такова множество се нарича област на сближаване на серията.

За всеки степенен ред (временно отклонение от конкретен пример) са възможни три случая:

1) Степенният ред се сходи абсолютно на някакъв интервал. С други думи, ако изберем която и да е стойност на "х" от интервала и я заместим в общия член на степенния ред, тогава получаваме абсолютно сходяща серия от числа. Такъв интервал се нарича интервал на сходимост на степенния ред.

Радиусът на конвергенция, съвсем просто, е половината от дължината на интервала на конвергенция:

Геометрично ситуацията изглежда така:

В този случай интервалът на сближаване на серията: радиусът на сближаване на серията:

Редица от числа, съдържаща безкраен брой положителни и безкраен брой отрицателни членове, се нарича редуваща се.

Абсолютна и условна конвергенция

Редица се нарича абсолютно сходна, ако редицата също се сближава.

Ако една редица се сближава абсолютно, тогава тя е сходяща (в обичайния смисъл). Обратното не е вярно.

Една серия се нарича условно сходяща, ако самата тя се сближава и серията, съставена от модулите на нейните членове, се разминава.

Изследвайте редове за сходимост .

Нека приложим достатъчния тест на Лайбниц за редуващи се серии. Получаваме

тъй като . Следователно тази серия се сближава.

38. Редуващи се редове. Знак на Лайбниц.

Специален случай на редуваща се серия е редуваща се серия, т.е. серия, в която последователните членове имат противоположни знаци.

Знак на Лайбниц

За тези, които се редуват наблизо, се прилага тестът за достатъчна конвергенция на Лайбниц.

Нека (an) е числова последователност, такава че

1. an+1< an для всех n;

Тогава редуващи се серии излизат.

39. Функционални редове. Степенен ред. радиус на конвергенция. Интервал на конвергенция.

Концепцията за функционални редове и степенни редове

Обичайната числова серия, запомнете, се състои от числа:

Всички членове на поредицата са ЧИСЛА.

Функционалният ред се състои от ФУНКЦИИ:

В допълнение към полиномите, факторите и други подаръци, общият термин на поредицата със сигурност включва буквата "x". Изглежда така например:

Подобно на редица от числа, всяка функционална серия може да бъде написана в разширена форма:

Както можете да видите, всички членове на функционалната серия са функции.

Най-популярният тип функционална серия е степенни редове.

определение:

Степенен ред е ред, чийто общ член включва цели положителни степени на независимата променлива.

Опростени степенни редове в много учебници се записват по следния начин: , където е старият познат „пълнеж“ от числови редове (полиноми, степени, факториели, които зависят само от „en“). Най-простият пример:

Нека да разгледаме това разлагане и да преосмислим дефиницията: членовете на степенната редица съдържат "x" в цели положителни (естествени) степени.

Много често степенна серия може да се намери в следните "модификации": или където a е константа. Например:

Строго погледнато, опростените представяния на степенните серии или не съвсем правилни. В експонентата вместо единичната буква "en" може да се намира по-сложен израз, например:

Или тази степенна серия:

Ако само показателите при "xAx" бяха естествени.

Конвергенция на степенни редове.

Интервал на конвергенция, радиус на конвергенция и зона на конвергенция

Няма нужда да се страхувате от такова изобилие от термини, те вървят „един до друг“ и не са особено трудни за разбиране. По-добре е да изберете няколко прости експериментални серии и веднага да започнете да разбирате.

Моля ви да обичате и предпочитате степенните редове. Променливата може да приеме всяка реална стойност от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност". Заменете няколко произволни x стойности в общия член на серията:

Ако x=1 тогава

Ако x=-1, тогава

Определение 1

Числовият ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, чиито членове имат произволни знаци (+), (?), се нарича редуващ се ред.

Разгледаните по-горе редуващи се серии са частен случай на редуващите се серии; ясно е, че не всяка редуваща се серия е редуваща се. Например серията $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ редуващи се серии, но не и редуващи се знаци.

Имайте предвид, че в редуваща се поредица от термини, както със знак (+), така и със знак (-), има безкрайно много. Ако това не е вярно, например, серията съдържа краен брой отрицателни членове, тогава те могат да бъдат отхвърлени и може да се разглежда серия, съставена само от положителни членове, и обратно.

Определение 2

Ако числовата поредица $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и нейната сума е S и частичносумата е равна на $S_n$, тогава $r_(n) =S-S_(n) $ се нарича остатък от серията и $\mathop(\lim)\limits_(n\to \infty) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, т.е. остатъкът от конвергентния ред клони към 0.

Определение 3

Серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се нарича абсолютно конвергентна, ако серията е съставена от абсолютните стойности на нейните членове $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.

Определение 4

Ако числовата поредица $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и поредицата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\надясно| $, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се разминава, тогава първоначалната серия се нарича условно (не абсолютно) конвергентна.

Теорема 1 (достатъчен критерий за сходимост на редуващи се редове)

Редуващата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава абсолютно, ако серията, съставена от абсолютните стойности на нейните членове$\sum \limits _(n=1) ^ се сближава (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Коментирайте

Теорема 1 дава само достатъчно условие за сходимост на редуващи се редове. Обратната теорема не е вярна, т.е. ако променливата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава, тогава не е необходимо серията, съставена от модули $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (може да бъде или конвергентен, или дивергентен). Например серията $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ се сближава според теста на Лайбниц и серията, съставена от абсолютните стойности на неговите членове, е $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (хармонична серия) се разминава.

Имот 1

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава абсолютно, тогава тя се сближава абсолютно за всяка пермутация на нейните членове и сумата на серията не зависи от реда на членовете. Ако $S"$ е сумата от всички нейни положителни членове, а $S""$ е сумата от всички абсолютни стойности на нейните отрицателни членове, тогава сумата на серията е $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ е равно на $S=S"-S""$.

Имот 2

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава абсолютно и $C=(\rm const)$, тогава серията $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ също се сближава абсолютно.

Имот 3

Ако сериите $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ и $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ се събират абсолютно, тогава серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ също се сближава абсолютно.

Свойство 4 (теорема на Риман)

Ако редът условно се сближава, тогава без значение какво число А вземем, можем да пренаредим членовете на този ред така, че сумата му да е точно равна на А; освен това е възможно да се пренаредят членовете на условно конвергентен ред по такъв начин, че след това той да се разминава.

Пример 1

Изследвайте редовете за условна и абсолютна сходимост

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Решение. Тази серия е с променлив знак, чийто общ термин означаваме: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Пример 2

Разгледайте серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за абсолютна и условна конвергенция.

1. Ние проверяваме серията за абсолютна конвергенция. Обозначете $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ и съставете поредица от абсолютни стойности $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Получаваме серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ с положителни членове, към които прилагаме граничния критерий за сравнение на серии. За сравнение с $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ разгледайте серия, която има формата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Този ред е ред на Дирихле с показател $p=\frac(1)(2)
2. След това разглеждаме оригиналната серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за условно конвергенция. За целта проверяваме изпълнението на условията на теста на Лайбниц. Условие 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, където $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , т.е. тази серия се редува. За да проверим условие 2) за монотонното намаляване на членовете на серията, използваме следния метод. Разгледайте спомагателната функция $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ дефинирана в $x\in )