Fundamentele matematicii discrete.

Conceptul de set. Relația dintre mulțimi.

Un set este o colecție de obiecte care au o anumită proprietate, unite într-un singur întreg.

Obiectele care alcătuiesc un set sunt numite elemente seturi. Pentru ca un anumit set de obiecte să poată fi numit mulțime, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

· Ar trebui să existe o regulă prin care să fie mono pentru a determina dacă un element aparține unei colecții date.

· Trebuie să existe o regulă prin care elementele să poată fi distinse unele de altele.

Seturile sunt notate cu litere mari, iar elementele sale cu litere mici. Modalități de a specifica seturile:

· Enumerarea elementelor multimii. - pentru multimi finite.

Specificarea unei proprietăți caracteristice .

set gol- se numeste multime care nu contine niciun element (Ø).

Se spune că două mulțimi sunt egale dacă sunt formate din aceleași elemente. , A=B

O multime de B numită submulțime a mulțimii A( , dacă și numai dacă toate elementele mulțimii B aparțin setului A.

De exemplu: , B =>

Proprietate:

Notă: de obicei, luați în considerare un subset al aceleiași mulțimi, care este numit universal(u). Setul universal conține toate elementele.

Operații pe platouri.

A

B

1. Asociere 2 mulţimi A şi B se numesc astfel de mulţime căreia îi aparţin elementele mulţimii A sau ale mulţimii B (elemente ale cel puţin uneia dintre mulţimi).

2.trecere 2 seturi este un nou set format din elemente care aparțin simultan atât primului cât și celui de-al doilea.

Nr: , ,

Proprietate: operațiuni de unire și intersecție.

· Comutativitate.

Asociativitatea. ;

· Distributiv. ;

U

4.Plus. Dacă A este o submulțime a mulțimii universale U, apoi complementul multimii A la multe U(notat) este multimea formata din acele elemente ale multimii U, care nu aparțin setului A.

Relații binare și proprietățile lor.

Lăsa AȘi ÎN acestea sunt mulțimi de natură derivată, luați în considerare o pereche ordonată de elemente (a, c) a ϵ A, c ϵ B pot fi considerate „enks” comandate.

(a 1, a 2, a 3,... a n), Unde A 1 ϵ A 1; A 2 ϵ A 2; …; A n ϵ A n ;

Produsul cartezian (direct) al multimilor A 1, A 2, ..., A n, se numește mulțime, care constă din n k ordonate de forma .

nr: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Subseturile produsului cartezian numit raportul de grade n sau relaţie enară. Dacă n=2, apoi luați în considerare binar relaţie. Ce spun ei asta a 1, a 2 sunt în relație binară R, Când a 1 R a 2.

Relație binară pe o mulțime M se numește submulțime a produsului direct al mulțimii n asupra lui însuși.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b ϵ M) în exemplul anterior, raportul este mai mic pe platou M generează următoarea mulțime: ((1,2);(1,3); (2,3))

Relațiile binare au diverse proprietăți, inclusiv:

Reflexivitate: .

· Antireflexivitate (ireflexivitate): .

· Simetrie: .

· Antisimetrie: .

· Tranzitivitate: .

· Asimetrie: .

Tipuri de relații.

Relația de echivalență;

· Relația de comandă.

v O relație tranzitivă reflexivă se numește relație de cvasi-ordin.

v O relație tranzitivă simetrică reflexivă se numește relație de echivalență.

v O relație tranzitivă antisimetrică reflexivă se numește relație de ordin (parțial).

v O relație tranzitivă antireflexivă antisimetrică se numește relație de ordine strictă.

Definiție. Relația binară R se numește submulțime de perechi (a,b)∈R produsul cartezian A×B, adică R⊆A×B . În același timp, mulți A se numeste domeniul de definitie al relatiei R, multimea B se numeste domeniul valorilor.

Notație: aRb (adică a și b sunt în raport cu R). /

cometariu: dacă A = B , atunci R se spune că este o relație pe mulțimea A .

Modalități de specificare a relațiilor binare

1. Lista (numerarea perechilor) pentru care este satisfăcută această relație.

2. Matrice. Relația binară R ∈ A × A , unde A = (a 1 , a 2 ,..., a n), corespunde unei matrice pătrate de ordin n , în care elementul c ij , care se află la intersecția lui i --lea rând și j-a coloană, este egal cu 1 dacă există o relație R între a i și a j , sau 0 dacă este absentă:

Proprietățile relației

Fie R o relație pe o mulțime A, R ∈ A×A . Atunci relația R:

în mod reflex dacă Ɐ a ∈ A: a R a (diagonala principală a matricei relaţiei reflexive conţine numai unele);

este antireflexivă dacă Ɐ a ∈ A: a R a (diagonala principală a matricei relațiilor reflexive conține doar zerouri);

simetric dacă Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (matricea unei astfel de relații este simetrică față de diagonala principală, adică c ij c ji);

antisimetric dacă Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (în matricea unei astfel de relații nu există simetrice față de diagonala principală);

tranzitiv dacă Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c rând, adică c ij = 1 , atunci toate cele din j-lea rând (fie ca aceste unități să corespundă k e coordonate astfel încât, c jk = 1) trebuie să corespundă celor din al-lea rând în aceleași k coordonate, adică c ik = 1 (și, poate, și în alte coordonate).

Sarcina 3.1. Determinați proprietățile relației R - „a fi divizor”, dată pe mulțimea numerelor naturale.

Soluţie.

raportul R = ((a,b):a divizor b):

reflexiv, nu antireflexiv, deoarece orice număr se împarte fără rest: a/a = 1 pentru tot a∈N ;

nu simetric, antisimetric, de exemplu, 2 este un divizor al lui 4, dar 4 nu este un divizor al lui 2;

tranzitiv, deoarece dacă b/a ∈ N și c/b ∈ N, atunci c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, de exemplu, dacă 6/3 = 2∈N și 18/6 = 3∈N , atunci 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Sarcina 3.2. Determinați proprietățile relației R - „a fi frate”, dată pe un set de oameni.
Soluţie.

Raportul R = ((a,b):a - fratele lui b):

nereflexiv, antireflexiv datorită absenței evidente a aRa pentru toate a;

nu simetric, deoarece în general există aRb între fratele a și sora b, dar nu bRa ;

nu antisimetric, deoarece dacă a și b sunt frați, atunci aRb și bRa, dar a≠b;

tranzitiv, dacă numim frați oameni care au părinți comuni (tată și mamă).

Sarcina 3.3. Determinați proprietățile relației R - „a fi șeful” specificate pe setul de elemente de structură

Soluţie.

Raportul R = ((a,b): a - boss b):

• non-reflexiv, anti-reflexiv, dacă nu are sens într-o anumită interpretare;
• nu simetric, antisimetric, deoarece pentru toate a≠b aRb și bRa nu sunt satisfăcute simultan;
• tranzitiv, deoarece dacă a este capul lui b și b este capul lui c , atunci a este capul lui c .

Să se determine proprietățile relației R i , definite pe mulțimea M i printr-o matrice, dacă:

1. R 1 „au același rest când se împarte la 5”; M 1 este mulțimea numerelor naturale.
2. R2 „să fie egal”; M 2 este mulțimea numerelor naturale.
3. R 3 „locuiește în același oraș”; M 3 set de oameni.
4. R 4 „fii familiar”; M 4 multe persoane.
5. R5 ((a,b):(a-b) - par; M 5 set de numere (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R6 ((a,b):(a+b) - par; M6 set de numere (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R7 ((a,b):(a+1) - divizor (a+b)); M 7 - set (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R8 ((a,b):a - divizor (a+b),a≠1); M 8 este mulțimea numerelor naturale.
9. R 9 „a fi soră”; M 9 - multă lume.
10. R 10 „a fi fiică”; M 10 - o mulțime de oameni.

Operații pe relații binare

Fie R 1 , R 1 relaţii definite pe mulţimea A .

Uniune R1 ∪ R2: R1 ∪ R2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 sau (a,b) ∈ R2) ;

intersecție R1 ∩ R2: R1 ∩ R2 = ((a,b): (a,b) ∈ R1 şi (a,b) ∈ R2) ;

diferență R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 şi (a,b) ∉ R 2 ) ;

relație universală U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

plus R 1 U \ R 1 , unde U = A × A;

relație de identitate I: = ((a;a) / a ∈ A);

relație inversă R-1 1 :R-1 1 = ((a,b): (b,a) ∈ R 1 );

compoziţie R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), unde R 1 ⊂ A × C și R 2 ⊂ C×B;

Definiție. Gradul de relație R pe o mulțime A este compoziția sa cu sine.

Desemnare:

Definiție. Dacă R ⊂ A × B, atunci se numește R º R -1 nucleul relației R .

Teorema 3.1. Fie R ⊂ A × A o relație definită pe o mulțime A .

1. R este reflexiv dacă și numai dacă (în continuare se folosește semnul ⇔) când I ⊂ R.
2. R este simetric ⇔ R = R -1 .
3. R este tranzitiv ⇔ R º R ⊂ R
4. R este antisimetric ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
5. R este antireflexiv ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Sarcina 3.4 . Fie R relația dintre mulțimile (1,2,3) și (1,2,3,4) dată de enumerarea perechilor: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). În plus, S este o relație între mulțimile S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Calculați R -1 , S -1 și S º R. Verificați dacă (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Soluţie.
R-1 = ((1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3));
S-1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1 .

Sarcina 3.5 . Fie R relația „...părinte...” și S relația „...frate...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Faceți o scurtă descriere verbală a relației:

R-1, S-1, RºS, S-1ºR-1 și RºR.

Soluţie.

R -1 - relatia "... copil ...";

S -1 - relația „... frate sau soră...”;

R º S - relația „... părinte...”;

S -1 º R -1 - relația "... copil ..."

R º R - relația „...bunica sau bunicul...”

Sarcini pentru soluție independentă

1) Fie R relația „...tată...”, iar S relația „...sora...” pe setul tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R-1, S-1, RºS, S-1ºR-1, RºR.

2) Fie R relația „...frate...”, iar S relația „...mamă...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , S º S.

3) Fie R relația „...bunicul...”, iar S relația „...fiul...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

4) Fie R relația „...fiica...”, iar S relația „...bunica...” pe setul tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

5) Fie R relația „...nepoată...”, iar S relația „...tată...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

6) Fie R relația „sora...” și S relația „mamă...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

7) Fie R relația „...mamă...”, iar S relația „...sora...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Fie R relația „...fiu...”, iar S relația „...bunic...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

9) Fie R relația „...sora...”, iar S relația „...tată...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , R º S , S -1 º R -1 , S º S.

10) Fie R relația „...mamă...”, iar S relația „...frate...” pe mulțimea tuturor oamenilor. Oferiți o descriere verbală a relației:

R -1 , S -1 , S º R , R -1 º S -1 , R º R .

Definiții

• 1. O relație binară între elementele mulțimilor A și B este orice submulțime a produsului cartezian RAB, RAA.
• 2. Dacă A=B, atunci R este o relație binară pe A.
• 3. Notație: (x, y)R xRy.
• 4. Domeniul relaţiei binare R este mulţimea R = (x: există y astfel încât (x, y)R).
• 5. Domeniul relației binare R este mulțimea R = (y: există x astfel încât (x, y)R).
• 6. Complementul unei relații binare R între elementele A și B este mulțimea R = (AB) R.
• 7. Relația inversă pentru relația binară R este mulțimea R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Produsul relațiilor R1AB și R2BC este relația R1 R2 = ((x, y) : există zB astfel încât (x, z)R1 și (z, y)R2).
• 9. Relația f se numește funcție de la A la B dacă sunt îndeplinite două condiții:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) pentru toți x, y1, y2, faptul că (x, y1)f și (x, y2)f implică y1=y2.
• 10. Relația f se numește funcție de la A la B dacă în primul paragraf f = A, f = B.
• 11. Notație: (x, y)f y = f(x).
• 12. Funcția de identitate iA: AA este definită după cum urmează: iA(x) = x.
• 13. O funcție f se numește funcție 1-1 dacă pentru orice x1, x2, y faptul că y = f(x1) și y = f(x2) implică x1=x2.
• 14. Funcția f: AB realizează o corespondență unu-la-unu între A și B dacă f = A, f = B și f este o funcție 1-1.
• 15. Proprietăți ale relației binare R pe mulțimea A:
  • - reflexivitate: (x, x)R pentru toate xA.
  • - ireflexivitate: (x, x)R pentru toate xA.
  • - simetrie: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisimetrie: (x, y)R și (y, x)R x=y.
  • - tranzitivitatea: (x, y)R și (y, z)R (x, z)R.
  • - dihotomie: fie (x, y)R, fie (y, x)R pentru toate xA și yA.
• 16. Mulțimile A1, A2, ..., Ar din P(A) formează o partiție a mulțimii A dacă
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Subseturile Аi , i = 1, ..., r, sunt numite blocuri de partiție.

• 17. Echivalența pe o mulțime A este o relație reflexivă, tranzitivă și simetrică pe A.
• 18. Clasa de echivalență a unui element x prin echivalență R este mulțimea [x]R=(y: (x, y)R).
• 19. Mulțimea factorilor A cu R este mulțimea claselor de echivalență a elementelor mulțimii A. Denumire: A/R.
• 20. Clasele de echivalență (elementele mulțimii de factori A/R) formează o partiție a mulțimii A. Dimpotrivă. Orice partiție a mulțimii A corespunde unei relații de echivalență R ale cărei clase de echivalență coincid cu blocurile partiției specificate. Diferit. Fiecare element al mulțimii A se încadrează într-o clasă de echivalență din A/R. Clasele de echivalență fie nu se intersectează, fie coincid.
• 21. O preordonare pe o mulțime A este o relație reflexivă și tranzitivă pe A.
• 22. O ordine parțială pe o mulțime A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A.
• 23. Ordine liniară pe mulțimea A este o relație reflexivă, tranzitivă și antisimetrică pe A care satisface proprietatea dihotomiei.

Fie A=(1, 2, 3), B=(a, b). Să scriem produsul cartezian: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Luați orice submulțime a acestui produs cartezian: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Atunci R este o relație binară pe mulțimile A și B.

Va fi această relație o funcție? Să verificăm îndeplinirea a două condiții 9a) și 9b). Domeniul relației R este mulțimea R = (1, 2) (1, 2, 3), adică prima condiție nu este îndeplinită, deci una dintre perechi trebuie adăugată la R: (3, a) sau (3, b). Dacă se adaugă ambele perechi, atunci a doua condiție nu va fi îndeplinită, deoarece ab. Din același motiv, una dintre perechile (1, a) sau (1, b) trebuie să fie eliminată din R. Astfel, relația R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) este o funcție. Rețineți că R nu este o funcție 1-1.

Pe mulțimile date A și B vor fi și funcții următoarele relații: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) etc.

Fie A=(1, 2, 3). Un exemplu de relație pe o mulțime A este R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Un exemplu de funcție pe mulțimea A este f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Exemple de rezolvare a problemelor

1. Găsiți R, R, R1, RR, RR1, R1R pentru R = ((x, y) | x, y D și x+y0).

Dacă (x, y)R, atunci x și y parcurg toate numerele reale. Prin urmare, R = R = D.

Dacă (x, y)R, atunci x+y0, deci y+x0 și (y, x)R. Prin urmare R1=R.

Pentru orice xD, yD luăm z=-|max(x, y)|-1, apoi x+z0 și z+y0, adică. (x, z)R și (z, y)R. Prin urmare RR = RR1 = R1R = D2.

2. Pentru care relații binare R este R1= R adevărată?

Lasă-l pe RAB. Sunt posibile două cazuri:

• (1) AB. Să luăm xAB. Apoi (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Contradicţie.
• (2) AB=. Deoarece R1BA și RAB, atunci R1= R= . Din R1 = rezultă că R = . Din R = rezultă că R=AB. Contradicţie.

Prin urmare, dacă A și B, atunci astfel de relații R nu există.

3. Pe mulțimea D de numere reale, definim relația R astfel: (x, y)R (x-y) este un număr rațional. Demonstrați că R este o echivalență.

Reflexivitate:

Pentru orice xD x-x=0 este un număr rațional. Deoarece (x, x)R.

Simetrie:

Dacă (x, y)R, atunci x-y = . Atunci y-x=-(x-y)=- este un număr rațional. Prin urmare (y, x)R.

Tranzitivitate:

Dacă (x, y)R, (y, z)R, atunci x-y = și y-z =. Adunând aceste două ecuații, obținem că x-z = + este un număr rațional. Prin urmare (x, z)R.

Prin urmare, R este o echivalență.

4. Compartimentul planului D2 este format din blocurile prezentate în figura a). Notați relația de echivalență R corespunzătoare acestei partiții și clasele de echivalență.

Problemă similară pentru b) și c).

a) două puncte sunt echivalente dacă se află pe o dreaptă de forma y=2x+b, unde b este orice număr real.

b) două puncte (x1,y1) și (x2,y2) sunt echivalente dacă (partea întreagă a lui x1 este egală cu partea întreagă a lui x2) și (partea întreagă a lui y1 este egală cu partea întreagă a lui y2).

c) Decide pentru tine.

Sarcini pentru soluție independentă

• 1. Demonstrați că dacă f este o funcție de la A la B și g este o funcție de la B la C, atunci fg este o funcție de la A la C.
• 2. Fie A și B mulțimi finite formate din m și, respectiv, n elemente.

Câte relații binare există între elementele mulțimilor A și B?

Câte funcții există de la A la B?

Câte 1-1 funcții există de la A la B?

Pentru ce m și n există o corespondență unu-la-unu între A și B?

3. Demonstrați că f îndeplinește condiția f(AB)=f(A)f(B) pentru orice A și B dacă și numai dacă f este o funcție 1-1.

O relație definită pe o mulțime poate avea un număr de proprietăți și anume:

2. Reflexivitate

Definiție. Atitudine R pe platou X se numeşte reflexiv dacă fiecare element X seturi X este in relatie R Cu mine insumi.

Folosind simboluri, această relație poate fi scrisă după cum urmează:

R reflexiv asupra X Û(" XÎ X) x R x

Exemplu. Relaţia de egalitate pe mulţimea segmentelor este reflexivă, întrucât fiecare segment este egal cu el însuși.

Graficul relației reflexive are bucle la toate vârfurile.

2. Antireflexivitate

Definiție. Atitudine R pe platou X se numeste antireflexiv daca nici un element X seturi X nu in relatie R Cu mine insumi.

R antireflexiv pe X Û(" XÎ X)

Exemplu. Relația „directă X perpendicular pe linie la» pe setul de linii din plan este antireflexiv, deoarece nicio linie dreaptă a unui plan nu este perpendiculară pe ea însăși.

Graficul unei relații antireflexive nu conține bucle.

Rețineți că există relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. De exemplu, luați în considerare relația „punct X simetric la un punct la» pe ansamblul punctelor planului.

Punct X simetric la un punct X- Adevărat; punct la simetric la un punct la- este falsă, prin urmare, nu putem afirma că toate punctele planului sunt simetrice față de ele însele și nici nu putem afirma că niciun punct al planului nu este simetric față de el însuși.

3. Simetrie

Definiție. Atitudine R pe platou X se numeste simetric daca, din faptul ca elementul X este in relatie R cu element la, rezultă că elementul la este in relatie R cu element X.

R simetric X Û(" X, laÎ X) x R y Þ y R x

Exemplu. Relația „directă X trece linia la pe mulţimea de drepte ale planului” este simetrică, deoarece dacă drept X trece linia la, apoi linia dreaptă la trebuie să treacă linia X.

Graficul relației simetrice împreună cu fiecare săgeată dintr-un punct X exact la ar trebui să conțină o săgeată care conectează aceleași puncte, dar în direcția opusă.

4. Asimetrie

Definiție. Atitudine R pe platou X se numește asimetric dacă nu există elemente X, la din multi X nu se poate întâmpla ca elementul X este in relatie R cu element lași element la este in relatie R cu element X.

R asimetric X Û(" X, laÎ X) x R y Þ

Exemplu. Atitudine" X < la» asimetric, deoarece pentru orice pereche de elemente X, la nu se poate spune că este în același timp X < laȘi la<X.

Un grafic al unei relații asimetrice nu are bucle, iar dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci această săgeată este doar una.

5. Antisimetrie

Definiție. Atitudine R pe platou X se numeste antisimetric daca, din faptul ca X este in relatie cu la, A la este in relatie cu X urmează că X = y.

R antisimetric X Û(" X, laÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Exemplu. Atitudine" X£ la» este antisimetric, deoarece conditii X£ laȘi la£ X sunt executate în acelaşi timp numai când X = y.

Graficul unei relații antisimetrice are bucle, iar dacă două vârfuri ale graficului sunt conectate printr-o săgeată, atunci această săgeată este doar una.

6. Tranzitivitatea

Definiție. Atitudine R pe platou X se numește tranzitiv dacă pentru orice elemente X, la, z din multi X De la ce X este in relatie cu la, A la este in relatie cu z urmează că X este in relatie cu z.

R tranzitiv X Û(" X, la, zÎ X) x R y Ù la RzÞ x Rz

Exemplu. Atitudine" X multiplu la» este tranzitivă, deoarece dacă primul număr este un multiplu al celui de-al doilea, iar al doilea este un multiplu al treilea, atunci primul număr este un multiplu al treilea.

Graficul unei relații tranzitive cu fiecare pereche de săgeți din X La la iar din la La z conține o săgeată care pleacă de la X La z.

7. Conectivitate

Definiție. Atitudine R pe platou X se numește conectat dacă pentru orice elemente X, la din multi x x este in relatie cu la sau la este in relatie cu X sau x = y.

R conectat X Û(" X, la, zÎ X) x R y Ú la RzÚ X= la

Cu alte cuvinte: relație R pe platou X se numește conectat dacă pentru orice elemente distincte X, la din multi x x este in relatie cu la sau la este in relatie cu X sau x = y.

Exemplu. Atitudine" X< la» este conectat, deoarece indiferent de ce numere reale luăm, unul dintre ele este cu siguranță mai mare decât celălalt sau ele sunt egale.

Pe un grafic de relații, toate vârfurile sunt conectate prin săgeți.

Exemplu. Verificați ce proprietăți

atitudine" X - separator la» definite pe platou

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) această relaţie este reflexivă, deoarece fiecare număr din mulțimea dată este un divizor al lui însuși;

2) această relaţie nu are proprietatea de antireflexivitate;

3) proprietatea de simetrie nu este satisfăcută, deoarece de exemplu, 2 este un divizor al lui 4, dar 4 nu este un divizor al lui 2;

4) această relație este antisimetrică: două numere pot fi simultan divizori unul celuilalt numai dacă aceste numere sunt egale;

5) relaţia este tranzitivă, întrucât dacă un număr este un divizor al celui de-al doilea, iar al doilea este un divizor al celui de-al treilea, atunci primul număr va fi în mod necesar un divizor al celui de-al treilea;

6) relaţia nu are proprietatea conectivităţii, întrucât de exemplu, numerele 2 și 3 de pe grafic nu sunt legate printr-o săgeată, deoarece două numere distincte 2 și 3 nu sunt divizori unul celuilalt.

Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, asimetrie și tranzitivitate.

§ 3. Relația de echivalență.
Legătura relației de echivalență cu împărțirea unei mulțimi în clase

Definiție. Atitudine R pe platou X se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Exemplu. Luați în considerare relația" X colega de clasa la» pe un set de studenţi ai facultăţii pedagogice. Are proprietăți:

1) reflexivitate, din moment ce fiecare elev este un coleg de clasă pentru el însuși;

2) simetrie, deoarece dacă student X la, apoi studentul la este coleg de clasă cu un elev X;

3) tranzitivitatea, deoarece dacă student X- colega de clasa la, și studentul la- colega de clasa z, apoi studentul X fi coleg de clasă cu un elev z.

Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate și, prin urmare, este o relație de echivalență. În același timp, setul de studenți ai facultății pedagogice poate fi împărțit în subseturi formate din studenți înscriși la același curs. Obținem 5 subseturi.

Relația de echivalență este și, de exemplu, relația dreptelor paralele, relația de egalitate a figurilor. Fiecare astfel de relație este legată de împărțirea mulțimii în clase.

Teorema. Dacă pe platou X dată fiind o relație de echivalență, apoi împarte această mulțime în submulțimi disjunse în perechi (clase de echivalență).

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă există vreo relație definită pe mulțime X, generează o partiție a acestui set în clase, atunci este o relație de echivalență.

Exemplu. Pe platou X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) se dă relația „au același rest când se împarte la 3”. Este o relație de echivalență?

Să construim un grafic al acestei relații:

Această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate, prin urmare, este o relație de echivalență și împarte mulțimea Xîn clase de echivalență. Fiecare clasă de echivalență va avea numere care, împărțite la 3, dau același rest: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, i.e. element arbitrar al acestei clase. Deci, clasa fracțiilor egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase.

În cursul inițial al matematicii apar și relații de echivalență, de exemplu, „expresii XȘi la au aceleași valori numerice”, „figura X egal cu cifra la».

Fie dată o mulțime A nevide și R o submulțime a pătratului cartezian al mulțimii A: R  A  A.

atitudine R pe platou A numită submulțime a unei mulțimi A A(sau A 2 ). Prin urmare atitudine există un caz special de potrivire în care zona de sosire este aceeași cu zona de plecare. La fel ca o potrivire, o relație este o pereche ordonată în care ambele elemente aparțin aceluiași set.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Faptul că ( A, b)R poate fi scris astfel: A R b. Scrie: " A este în raport cu R b„ sau „între AȘi b relația R este valabilă. In rest scrie: A, b)R sau AR b.

Un exemplu de relații pe un set de numere sunt următoarele: "=", "", "", ">", etc. Pe setul de angajați ai oricărei companii, atitudinea „a fi șef” sau „a fi subordonat”, pe un set de rude – „a fi strămoș”, „a fi frate”, „a fi tată ”, etc.

Relațiile considerate se numesc relații binare (duble) omogene și sunt cele mai importante în matematică. Alături de ei, iau în considerare și P-local sau P relații -ary:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Deoarece relația este un caz special de corespondență, toate metodele descrise anterior pot fi folosite pentru a le seta.

Evident, prin setarea raportului într-un mod matriceal, obținem o matrice pătrată.

Cu o reprezentare geometrică (grafică) a relației, obținem o diagramă care include:

vârfuri, notate cu puncte sau cercuri, care corespund elementelor mulțimii,

și arce (linii) corespunzătoare perechilor de elemente incluse în relații binare, notate prin linii cu săgeți îndreptate de la vârful corespunzător elementului A spre vârful corespunzător elementului b , Dacă A Rb .

O astfel de figură se numește un grafic direcționat (sau digraf) al unei relații binare.

Sarcina 4.9.1 . Raport „a fi un divizor pe mulțimea M = (1, 2, 3, 4)” poate fi dat matrice:

enumerare: R = ((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4));

geometric (grafic):

1. Scrieți perechile ordonate aparținând următoarelor relații binare pe mulțimea A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Relația R pe mulțimea X = (a, b, c, d) este dată de matrice

,

în care ordinea rândurilor și coloanelor corespunde ordinii elementelor scrise. Enumerați perechile ordonate care aparțin relației date. Arătați relația folosind un grafic.

3. Relația pe mulțimea A = (1, 2, 3, 4) este reprezentată printr-un grafic. Necesar:

enumerați perechile ordonate care aparțin lui R;

scrieți matricea corespunzătoare;

definiți această relație folosind predicate.

(Răspuns: a-b= 1).

4.10. Tipuri de bază (proprietăți) de relații binare

Fie relația binară R pe platou A 2 : R  A  A = (( A, b) | AA, bA, ( A, b)R)

relație binară R pe platou A numit reflectorizant, dacă pentru vreunul AA efectuat ARA, acesta este ( A,A)R. Diagonala principală a matricei relațiilor reflexive este formată din uni. Un grafic de relații reflexive are în mod necesar bucle la fiecare vârf.

Exemple relaţii reflexive: , =,  pe mulţimea numerelor reale, „a nu fi şeful” pe mulţimea angajaţilor.

relație binară R pe multimea A se numeste antireflexiv (ireflexivă), dacă pentru vreunul AA nu deţine relaţia ARA, acesta este ( A,A)R. Diagonala principală a matricei de relații ireflexive este formată din zerouri. Graficul unei relații ireflexive nu are bucle.

Exemple relații anti-reflexive:<, >pe multimea numerelor reale, perpendicularitatea dreptelor pe multimea dreptelor.

relație binară R pe platoul A numit simetric, dacă pentru vreunul A, bA din ARb ar trebui să bRA, adică dacă ( A, b)R, apoi și ( b, A)R. Matricea raportului simetric este simetrică față de diagonala sa principală ( σ ij = σ ji). Graficul unei relații simetrice nu este direcționat (marginile sunt afișate fără săgeți). Fiecare pereche de vârfuri aici este conectată printr-o muchie nedirecționată.

Exemple relaţii simetrice:  pe mulţimea numerelor reale, „a fi rudă” pe mulţimea oamenilor.

relație binară R pe platoul A numit:

antisimetric, dacă pentru vreunul A, bA din ARbȘi bRA urmează că A=b. Adică dacă ( A, b)RȘi( b, A)R, apoi rezultă că A=b. Matricea raportului antisimetric de-a lungul diagonalei principale are toate 1-urile și nicio pereche de 1-urile situate în locații simetrice față de diagonala principală. Cu alte cuvinte, totul σ ii=1, iar dacă σ ij=1, atunci neapărat σ ji=0. Un grafic de relații antisimetrice are bucle la fiecare vârf, iar vârfurile sunt conectate printr-un singur arc direcționat.

Exemple relaţii antisimetrice: , ,  pe mulţimea numerelor reale; ,  pe platouri;

Asimetric, dacă pentru vreunul A, bA din ARb urmată de eşec bRA, adică dacă ( A, b)R, Acea ( b, A) R. Matricea raportului oblic de-a lungul diagonalei principale are zerouri ( σ ij=0) toate și nicio pereche de unități simetrice (dacă σ ij=1, atunci neapărat σ ji=0). Un grafic al unei relații asimetrice nu are bucle, iar vârfurile sunt conectate printr-un singur arc direcționat.

Exemple de relații asimetrice:<, >pe setul de numere reale, „a fi tată” pe setul de oameni.

relație binară R pe platoul A numit tranzitivnym, dacă pentru vreunul A, b, CuA din ARbȘi bRA rezultă că şi ARCu. Adică dacă ( A, b)RȘi( b, Cu)R rezultă că ( A, Cu)R. Matricea relației tranzitive se caracterizează prin faptul că dacă σ ij=1 și σ jm=1, atunci neapărat σ Sunt=1. Graficul relației tranzitive este astfel încât, dacă, de exemplu, vârfurile prima secundă și a treia a doua sunt conectate prin arce, atunci există în mod necesar arce de la primul la al treilea vârf.

Exemple relații tranzitive:<, , =, >,  pe mulțimea numerelor reale; „a fi șeful” pe un set de angajați.

relație binară R pe platoul A numit antitranzitivnym, dacă pentru vreunul A, b, CuA din ARbȘi bRA rezultă că nu este îndeplinită ARCu. Adică dacă ( A, b)RȘi( b, Cu)R rezultă că ( A, Cu) R. Matricea relației antitranzitive se caracterizează prin faptul că dacă σ ij=1 și σ jm=1, atunci neapărat σ Sunt=0. Graficul relației antitranzitive este astfel încât, dacă, de exemplu, vârfurile prima secundă și a treia a doua sunt conectate prin arce, atunci nu există în mod necesar un arc de la primul la al treilea vârf.

Exemple de relații antitranzitive: „nepotrivire de paritate” pe setul de numere întregi; „să fie supervizorul imediat” pe un set de angajați.

Dacă relația nu are o proprietate, atunci prin adăugarea perechilor lipsă, puteți obține o nouă relație cu această proprietate. Setul de astfel de perechi lipsă este numit închidere relație pentru această proprietate. Desemnează-l ca R* . Astfel poți obține o închidere reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Problema 4.10.1. Pe multimea A = (1, 2, 3, 4) relatia R=(( A,b)| A,bA, A+b un numar par). Determinați tipul acestei relații.

Soluţie. Matricea acestei relații este:

. Evident, relația este reflectorizant, deoarece există unități de-a lungul diagonalei principale. Aceasta simetric: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . în mod tranzitiv: (1,3)R, (3,1)R și (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R și (2,2)R etc.

Problema 4.10.2. Ce proprietăți ale setului A = ( A, b, c, d) are relația binară R = (( A,b), (b,d), (A,d), (b,A), (b,c)}?

Soluţie . Să construim o matrice a acestei relații și a graficului ei:

Atitudine ireflexiv, deoarece toate σ ii= 0. It Nu simetric, deoarece σ 23 =1 și σ 32 =0, totuși, σ 12 =σ 21 =1. Atitudine Nu în mod tranzitiv, deoarece σ 12 =1, σ 23 =1 și σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 și σ 11 =0; dar în același timp σ 12 =1, σ 24 =1 și σ 14 =1.

Sarcina 4.10.3. Pe mulțimea A = (1,2,3,4,5) este dată relația R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Determinați tipul de relație și găsiți următoarele închideri pentru R:

reflectorizant;

simetric;

tranzitiv.

Soluţie. Relația este ireflexivă deoarece nu există niciun element al formei ( A,A). Asimetric, deoarece nu conține perechi de forma ( A,b) Și ( b,A) și toate elementele diagonale sunt 0. Antitranzitiv deoarece (1,2)R, (2,3)R, dar (1,3)R. În mod similar (2.4)R, (4.5)R și (2.5)R etc.

închiderea reflexivă a relației date R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

închidere simetrică: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

închidere tranzitivă: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Luați în considerare graficul relației inițiale și a celei tranzitive rezultate.

Sarcini pentru soluție independentă.

1. Este dată relația R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Determinați tipul acestuia și găsiți închideri prin reflexivitate, simetrie și tranzitivitate.

2. Relația pe setul de cuvinte ale limbii ruse este definită după cum urmează: A R b dacă și numai dacă au cel puțin o literă comună. Determinați tipul de relație pe mulțimea A = (vacă, căruță, ață, topor).

3. Indicați exemple de relații binare pe mulțimea A = (1, 2) și B = (1, 2, 3), care ar fi:

nu reflexiv, nu simetric, nu tranzitiv;

reflexiv, nu simetric, nu tranzitiv;

simetric, dar nu reflexiv și nu tranzitiv;

tranzitiv, dar nu reflexiv și nu simetric;

reflexiv, simetric, dar nu tranzitiv;

reflexiv, tranzitiv, dar nu simetric;

nereflexiv, simetric, tranzitiv;

reflexiv, simetric, tranzitiv.