Relație strictă de ordine. Relație de ordine strictă O relație de ordine strictă are proprietățile

Cuvântul „ordine” este adesea folosit în cele mai diverse probleme. Ofițerul dă comanda: „Calculează în ordinea numerelor”, operațiile aritmetice sunt efectuate într-o anumită ordine, sportivii devin în înălțime, toți jucătorii de șah de frunte sunt aranjați într-o anumită ordine conform așa-numiților coeficienți Elo (un profesor american care a dezvoltat coeficienții de sistem, care permite să se țină cont de toate reușitele și eșecurile jucătorilor), după campionat, toate echipele de fotbal sunt aranjate într-o anumită ordine etc. a plantat un măgar nu „!).

Prin aranjarea elementelor unui anumit set una după alta, le ordonăm sau stabilim o relație între ele. consecutiv. Cel mai simplu exemplu este ordinea naturală a numerelor naturale. Naturalitatea sa constă în faptul că pentru oricare două numere naturale știm care dintre ele îl urmează pe celălalt sau care dintre ele este mai mare decât celălalt, așa că putem aranja numerele naturale într-o succesiune astfel încât să fie situat numărul mai mare, pt. exemplu, în dreapta celui mai mic: 1, 2, 3, ... . Desigur, succesiunea de elemente poate fi scrisă în orice direcție, și nu doar de la stânga la dreapta. Însuși conceptul de numere naturale conține deja ideea de ordine. Prin stabilirea unui aranjament relativ al elementelor oricărei mulțimi, stabilim astfel pe ea o relație de ordin binar, care în fiecare caz specific poate avea propriul nume, de exemplu, „fi mai puțin”, „fi mai vechi”, „conținut în „ , „urmare”, etc. Simbolurile pentru comandă pot fi, de asemenea, diverse, de exemplu, Í etc.

Principala trăsătură distinctivă a relației de ordine este aceea că are proprietatea tranzitivității. Deci, dacă avem de-a face cu o succesiune de obiecte x 1, x 2, ..., x n,... , ordonat, de exemplu, în raport cu , apoi din ceea ce se execută x 1x 2... x n..., ar trebui să urmeze asta pentru orice pereche x i, x j se execută şi elemente ale acestei secvenţe x ix j:

Pentru o pereche de elemente x ijîn graficul relației, desenăm o săgeată de sus x iîn partea de sus x j, adică de la un element mai mic la unul mai mare.

Graficul relației de ordine poate fi simplificat folosind așa-numitul Diagrame Hasse. Diagrama Hasse este construită după cum urmează. Elementele mai mici sunt plasate dedesubt, iar cele mari sunt deasupra. Deoarece o astfel de regulă nu este suficientă pentru imagine, sunt trasate linii care arată care dintre cele două elemente este mai mare și care este mai mic decât celălalt. În acest caz, este suficient să desenați numai linii pentru a urma imediat elementele. Exemple de diagrame Hasse sunt prezentate în figură:

Săgețile pot fi omise într-o diagramă Hasse. Diagrama Hasse poate fi rotită în plan, dar nu în mod arbitrar. La întoarcere, este necesar să se mențină poziția relativă (sus - dedesubt) a vârfurilor diagramei:

Atitudine R in multime X numit relație de ordine strictă, dacă este tranzitivă şi asimetrică.

Se numește o mulțime în care este definită o relație de ordine strictă ordonat. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este ordonată după relația „mai mică decât”. Dar același set este ordonat și de o altă relație - „este împărțit prin” și „mai mare”.

Graficul relației „mai puțin decât” din mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentat ca o rază:

Atitudine R V X se numeste relatie ordine nestrictă (parțială)., dacă este tranzitivă și antisimetrică. Fiecare relație de ordin nestrict este reflexivă.

Epitetul „parțial” exprimă faptul că poate nu toate elementele unui set sunt comparabile în acest sens.

Exemple tipice de relație de ordine parțială sunt „nu mai mult”, „nu mai puțin”, „nu mai vechi”. Particula „nu” din numele relațiilor servește la exprimarea reflexivității acestora. Relația „nu mai mult” coincide cu relația „mai mică sau egală cu”, iar relația „nu mai puțin” este aceeași cu „mai mare sau egală cu”. În acest sens, se mai numește și ordinul parțial laxîn ordine. Adesea, o relație de ordine parțială (nestrict) este notă prin simbolul „”.

Relația de includere U între submulțimile unei mulțimi este, de asemenea, o ordine parțială. Evident, nici două subseturi nu sunt comparabile în acest sens. Figura de mai jos arată o ordine parțială prin includerea în mulțime a tuturor submulților din mulțime (1,2,3). Săgețile de pe grafic, care ar trebui să fie orientate în sus, nu sunt afișate.

Sunt apelate seturi pentru care este dată o ordine parțială parțial comandat, sau pur și simplu ordonat seturi.

Elemente XȘi la sunt numite mulțimi parțial ordonate comparaţie, Dacă Xla sau laX. Altfel, nu sunt comparabile.

Se numește o mulțime ordonată în care oricare două elemente sunt comparabile ordonat liniar, iar ordinea este o ordine liniară. Ordinea liniară se mai numește și ordine perfectă.

De exemplu, mulțimea tuturor numerelor reale cu o ordine naturală, precum și toate submulțimile sale, este ordonată liniar.

Se pot comanda obiecte de cea mai diversă natură ierarhic. Aici sunt cateva exemple.

Exemplul 1: Părțile unei cărți sunt ordonate astfel încât cartea să conțină capitole, capitolele să conțină secțiuni, iar secțiunile să fie formate din subsecțiuni.

Exemplul 2. Folderele din sistemul de fișiere al computerului sunt imbricate unele în altele, formând o structură ramificată.

Exemplul 3. Relația părinți – copii poate fi descrisă sub forma așa-numitelor arbore genealogic, care arată cine este al cărui strămoș (sau urmaș).

Lasă pe platou A dat un ordin parțial. Element X numit maxim (minimum) element al mulţimii A, dacă din faptul că Xla(laX), urmează egalitatea X= y. Cu alte cuvinte, elementul X este maximul (minimul) dacă pentru orice element la sau nu este adevărat că Xla(laX), sau este efectuată X=y. Astfel, elementul maxim (minim) este mai mare (mai mic) decât toate celelalte elemente cu care este în relație.

Element X numit cel mai mare (cel mai mic), dacă pentru oricare laÎ A efectuat la< х (х< у).

Un set parțial ordonat poate avea mai multe elemente minime și/sau maxime, dar nu poate exista mai mult de un element minim și maxim. Cel mai mic (cel mai mare) element este și minimul (maxim), dar invers nu este adevărat. Figura din stânga arată o ordine parțială cu două elemente minime și două maxime, iar în dreapta - o ordine parțială cu cele mai mici și mai mari elemente:

Într-o mulțime finită parțial ordonată, există întotdeauna elemente minime și maxime.

Se numește o mulțime ordonată care are cele mai mari și cele mai mici elemente limitat . Figura prezintă un exemplu de mulțime infinită mărginită. Desigur, este imposibil să descrii un set infinit pe o pagină finită, dar este posibil să arăți principiul construcției sale. Aici buclele din apropierea vârfurilor nu sunt afișate pentru a simplifica desenul. Din același motiv, arcele care asigură afișarea proprietății tranzitivității nu sunt afișate. Cu alte cuvinte, figura prezintă o diagramă Hasse a relației de ordine.

Seturile infinite pot să nu aibă un maxim, un minim sau ambele. De exemplu, mulțimea numerelor naturale (1,2, 3, ...) are cel mai mic element 1, dar nu maxim. Mulțimea tuturor numerelor reale cu ordine naturală nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element. Cu toate acestea, submulțimea sa constă din toate numerele X< 5 are un element cel mai mare (numărul 5), dar nu cel mai mic element.

Fie R o relație binară pe o mulțime A.

DEFINIȚIE. relație binară R pe o mulțime A se numește relație de ordine pe A sau ordin pe A dacă este tranzitivă și antisimetrică.

DEFINIȚIE. O relație de ordine R pe o mulțime A se numește nestrict dacă este reflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A.

O relație de ordine R se spune că este strictă (pe A) dacă este antireflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A. Totuși, antisimetria unei relații tranzitive R rezultă din faptul că este antireflexivă. Prin urmare, putem da următoarea definiție echivalentă.

DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește ordine strictă pe A dacă este tranzitivă și antireflexivă pe A.

Exemple. 1. Fie multimea tuturor submultimii multimii M. Relatia de includere pe multime este o relatie de ordine nestrict.

2. Relațiile pe mulțimea numerelor reale sunt, respectiv, o relație de ordine strictă și nestrict.

3. Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale este o relație de ordine nestrict.

DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de pre-ordine sau pre-ordine pe A dacă este reflexivă și tranzitivă.

Exemple. 1. Raportul de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi nu este o ordine. Cu toate acestea, este reflexiv și tranzitiv, ceea ce înseamnă că este o precomandă.

2. Relația de consecință logică este o preordonare a setului de formule logice propoziționale.

Ordine liniară. Un caz special important al unei comenzi este ordinea liniară.

DEFINIȚIE. O relație de ordine pe o mulțime se numește relație de ordine liniară sau ordine liniară pe dacă este conectată pe , adică pentru orice x, y din A

O relație de ordine care nu este liniară este denumită în mod obișnuit relație de ordin parțial sau ordine parțială.

Exemple. 1. Relația „mai mică decât” pe mulțimea numerelor reale este o relație de ordin liniar.

2. Relația de ordine acceptată în dicționarele limbii ruse se numește lexicografic. Ordinea lexicografică pe setul de cuvinte în limba rusă este o ordine liniară.

Cuvântul „ordine” este adesea folosit într-o varietate de probleme. Ofițerul dă comanda: „Calculează în ordinea numerelor”, operațiile aritmetice sunt efectuate într-o anumită ordine, sportivii devin în înălțime, există o ordine pentru efectuarea operațiunilor la fabricarea unei piese, ordinea cuvintelor într-o propoziție.

Ce este comun în toate cazurile când vine vorba de comandă? Faptul că cuvântul „ordine” are o astfel de semnificație: înseamnă care element din acest sau acel set urmează căruia (sau care element precede pe care).

Atitudine" X urmează la» tranzitiv: dacă « X urmează la" Și " la urmează z", Acea " X urmează z". În plus, acest raport trebuie să fie antisimetric: pentru două diferite XȘi la, Dacă X urmează la, Acea la nu urmează X.

Definiție. Atitudine R pe platou X numit relație strictă de ordine, dacă este tranzitivă și antisimetrică.

Să aflăm caracteristicile graficului și ale graficului relațiilor de ordine strictă.

Luați în considerare un exemplu. Pe platou X= (5, 7, 10, 15, 12) relația R: « X < la". Definim aceasta relatie prin enumerarea de perechi
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Să-i construim graficul. Vedem că graficul acestei relații nu are bucle. Nu există săgeți duble pe grafic. Dacă de la X săgeata merge la la, și de la la- V z, apoi din X săgeata merge la z(Fig. 8).

Graficul construit vă permite să aranjați elementele mulțimii X in aceasta ordine:

{5, 7, 10, 12, 15}.

În Fig. 6 (§ 6 din acest capitol) coloanele VII, VIII sunt grafice ale relațiilor de ordine strictă.

Relație de ordine nestrictă

Relația „mai puțin decât” în mulțimea numerelor reale este opusă relației „nu mai puțin”. Nu mai este un ordin strict. Ideea este, la X = la, relații X ³ laȘi la ³ X, adică relaţia „nu mai puţin” este reflexivă.

Definiție. Atitudine R pe platou X numit relație de ordine non-strict, dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv.

Astfel de relații sunt uniuni ale unei relații de ordine strictă cu o relație de identitate.

Luați în considerare relația „nu mai mult” (£) pentru mulțime

X= (5, 7, 10, 15, 12). Să construim graficul acestuia (Fig. 9).

Un grafic de relație de ordine strictă, spre deosebire de un grafic de relație de ordine strictă, are bucle la fiecare vârf.

Pe fig. 6 (§ 6 din acest capitol) graficele V, VI sunt grafice ale relațiilor de ordine nestrict.

Seturi comandate

Un set se poate dovedi a fi ordonat (de asemenea, se spune complet ordonat) de o relație de ordine, în timp ce altul poate fi neordonat sau parțial ordonat de o astfel de relație.

Definiție. O multime de X numit ordonat vreo relație de ordine R dacă pentru oricare două elemente X y din X:

(X, la) Î R sau ( y, x) Î R.

Dacă R este o relație de ordine strictă, apoi mulțimea X ordonată prin această relaţie cu condiţia: dacă X, la oricare două elemente inegale ale unei mulțimi X, Acea ( X, la) Î R sau ( y, x) Î R, sau oricare două elemente X y seturi X sunt egale.

Din cursul de matematică din școală se știe că seturile de numere N , Z , Q , R ordonat după raportul „mai mic decât” (<).

Mulțimea submulțimii unei anumite mulțimi nu este ordonată prin introducerea unei relații de incluziune (U), sau a unei relații stricte de includere (T) în sensul de mai sus, deoarece există subseturi dintre care niciunul nu este inclus în celălalt. În acest caz, se spune că mulțimea dată este parțial ordonată prin relația Í (sau Ì).

Luați în considerare setul X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) și are două relații „mai puțin decât” și „divizibil cu”. Este ușor de verificat că ambele aceste relații sunt relații de ordine. Graficul relației mai mic decât poate fi reprezentat ca o rază.

Graficul relației „este împărțit prin” poate fi reprezentat doar pe un plan.

În plus, există vârfuri pe graficul celei de-a doua relații care nu sunt conectate printr-o săgeată. De exemplu, nu există săgeată care să lege numerele 4 și 5 (Fig. 10).

Prima relație X < la' se numește liniar. În general, dacă relația de ordine R(strict și non-strict) pe platou X are proprietatea: pentru orice X, laÎ X sau xRy, sau yRx, atunci se numește relație de ordin liniar, iar mulțimea X este o mulțime ordonată liniar.

Dacă setul X desigur, și constă din n elemente, apoi ordonarea liniară X reduce la enumerarea elementelor sale cu numerele 1,2,3, ..., n.

Mulțimile ordonate liniar au o serie de proprietăți:

1°. Lăsa a, b, c– elemente de set X, ordonat după relație R. Daca se stie ca aRvȘi vRc, atunci spunem că elementul V se află între elemente AȘi Cu.

2°. O multime de X, ordonat liniar după relație R, se numește discret dacă între oricare două dintre elementele sale se află doar o mulțime finită de elemente din această mulțime.

3°. O mulțime ordonată liniar se numește densă dacă pentru oricare două elemente distincte ale acestei mulțimi există un element al mulțimii aflat între ele.

Un tip important de relații binare sunt relațiile de ordine. Relație strictă de ordine - o relație binară care este antireflexivă, antisimetrică și tranzitivă:

denumire - (A precedat b). Exemplele sunt

relații „mai mare decât”, „mai puțin decât”, „mai vechi”, etc. Pentru numere, notația obișnuită este semnele "<", ">".

Relație de ordine nestrictă - relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Alături de exemplele naturale de inegalități nestricte pentru numere, un exemplu este relația dintre punctele dintr-un plan sau spațiu „pentru a fi mai aproape de origine”. Inegalitatea nestrictă, pentru numere întregi și reale, poate fi considerată și ca o disjuncție a relațiilor de egalitate și de ordine strictă.

Dacă un turneu sportiv nu prevede împărțirea locurilor (adică fiecare participant primește un anumit loc, doar mâncare/premiat), atunci acesta este un exemplu de ordine strictă; altfel, non-strict.

Relațiile de ordine se stabilesc pe o mulțime atunci când, pentru unele sau toate perechile de elemente ale sale, relația

precedenta . Setarea-pentru un set se numește o relație de ordine „Ordinea lui, iar „sine. stabilit ca urmare a acesteia devine ordonat. Relațiile de ordine pot fi introduse în moduri diferite. Pentru o mulțime finită, orice permutare a elementelor sale „specifică o anumită ordine strictă. O mulțime infinită poate fi ordonată într-un număr infinit de moduri. Numai acele ordonări care au sens semnificativ sunt de interes.

Dacă pentru relaţia de comandă R pe platou .Mși unele elemente diferite, cel puțin una dintre relații este valabilă

aRb sau sutien , apoi elementele AȘi b numit comparabil in caz contrar - incomparabil.

Set ordonat complet (sau liniar). M -

mulțime pe care este dată relația de ordine și oricare două elemente ale mulțimii M comparabil; set parțial comandat- la fel, dar sunt permise perechi de elemente incomparabile.

O mulțime ordonată liniar este o mulțime de puncte pe o dreaptă cu relația „la dreapta”, o mulțime de numere întregi, raționale, reale în raport cu „mai mare decât” etc.

Un exemplu de mulțime parțial ordonată sunt vectorii tridimensionali, dacă ordinea este dată ca și cum

Adică, dacă precedența este îndeplinită în toate cele trei coordonate, vectorii (2, 8, 5) și (6, 9, 10) sunt comparabili, iar vectorii (2, 8, 5) și (12, 7, 40) ) nu sunt comparabile. Acest mod de ordonare poate fi extins la vectori de orice dimensiune: vector

precede vectorul dacă

Și gata

Alte exemple de ordonare pot fi considerate pe multimea vectorilor.

1) ordine parțială: , Dacă

Acestea. prin lungimea vectorilor; vectorii de aceeași lungime sunt incomparabili.

2) ordine liniară: , Dacă A Dacă anunț, Acea b< е ; dacă jed \u003d c? u6 \u003d e, atunci