परिवर्तनीय पंक्ती. निरपेक्ष आणि सशर्त अभिसरण पर्यायी मालिका समाधानांची उदाहरणे
अनंत संख्येने धनात्मक आणि अनंत संख्येने ऋणात्मक संज्ञा असलेल्या संख्या शृंखलाला अल्टरनेटिंग म्हणतात.
निरपेक्ष आणि सशर्त अभिसरण
मालिका देखील अभिसरण झाल्यास मालिकेला पूर्णपणे अभिसरण म्हणतात.
जर मालिका पूर्णपणे अभिसरण होत असेल, तर ती अभिसरण आहे (सामान्य अर्थाने). संभाषण खरे नाही.
मालिका स्वतःच अभिसरण झाल्यास आणि तिच्या सदस्यांच्या मॉड्यूल्सने बनलेली मालिका वळवल्यास तिला सशर्त अभिसरण म्हटले जाते.
अभिसरण मालिकेसाठी तपास करा 
.
पर्यायी मालिकेसाठी लीबनिझ पुरेशी चाचणी लागू करूया. आम्हाला मिळते 
कारण . त्यामुळे ही मालिका एकत्र येत आहे.
38. पर्यायी पंक्ती. लीबनिझ चिन्ह.
अल्टरनेटिंग सिरीजचे एक विशेष केस म्हणजे अल्टरनेटिंग सिरीज, म्हणजे अशी मालिका ज्यामध्ये क्रमिक पदांना विरुद्ध चिन्हे असतात.
लीबनिझ चिन्ह
जवळच्या पर्यायी लोकांसाठी, लीबनिझ पुरेशी अभिसरण चाचणी लागू होते.
(a) असा क्रमांकाचा क्रम असू द्या
1. an+1< an для всех n;
मग पर्यायी मालिका आउटगोइंग आहेत.
39. कार्यात्मक पंक्ती. पॉवर मालिका. अभिसरण त्रिज्या. अभिसरण अंतराल.
कार्यात्मक मालिका आणि शक्ती मालिका संकल्पना
नेहमीच्या संख्या मालिका, लक्षात ठेवा, संख्या असतात:
मालिकेतील सर्व सदस्य NUMBERS आहेत.
फंक्शनल पंक्तीमध्ये फंक्शन्स असतात:
बहुपदी, फॅक्टोरियल आणि इतर भेटवस्तू व्यतिरिक्त, मालिकेच्या सामान्य शब्दामध्ये निश्चितपणे "x" अक्षर समाविष्ट आहे. हे असे दिसते, उदाहरणार्थ:
संख्या मालिकेप्रमाणे, कोणतीही कार्यात्मक मालिका विस्तारित स्वरूपात लिहिली जाऊ शकते:
जसे आपण पाहू शकता, कार्यात्मक मालिकेतील सर्व सदस्य फंक्शन्स आहेत.
कार्यात्मक मालिका सर्वात लोकप्रिय प्रकार आहे शक्ती मालिका.
व्याख्या:
पॉवर सिरीज ही अशी मालिका आहे जिच्या सामान्य शब्दामध्ये स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या सकारात्मक पूर्णांक शक्तींचा समावेश होतो.
बर्‍याच पाठ्यपुस्तकांमध्ये एक सरलीकृत शक्ती मालिका खालीलप्रमाणे लिहिली आहे: , संख्या मालिकेचे जुने परिचित "स्टफिंग" कोठे आहे (बहुपदी, अंश, फॅक्टोरियल जे फक्त "en" वर अवलंबून आहेत). सर्वात सोपे उदाहरण:
चला हे विघटन पाहू आणि व्याख्येचा पुनर्विचार करू: पॉवर सिरीजच्या सदस्यांमध्ये सकारात्मक पूर्णांक (नैसर्गिक) शक्तींमध्ये "x" असते.
बर्‍याचदा, पॉवर मालिका खालील "बदल" मध्ये आढळू शकते: किंवा जेथे a स्थिर आहे. उदाहरणार्थ:
काटेकोरपणे बोलायचे तर, पॉवर सीरीजचे सरलीकृत प्रतिनिधित्व किंवा अगदी बरोबर नाही. घातांकामध्ये, एकल अक्षर "en" ऐवजी, अधिक जटिल अभिव्यक्ती आढळू शकते, उदाहरणार्थ: 
किंवा ही शक्ती मालिका:
जर फक्त "xAx" वरील घातांक नैसर्गिक असतील.
पॉवर मालिका अभिसरण.
अभिसरण मध्यांतर, अभिसरण त्रिज्या आणि अभिसरण क्षेत्र
अशा विपुल अटींपासून घाबरण्याची गरज नाही, ते "एकमेकांच्या शेजारी" जातात आणि त्यांना समजणे विशेषतः कठीण नाही. काही सोप्या प्रायोगिक मालिका निवडणे आणि लगेच समजून घेणे चांगले आहे.
मी तुम्हाला पॉवर सीरिजवर प्रेम करण्यास आणि अनुकूल करण्यास सांगतो व्हेरिएबल "मायनस इन्फिनिटी" पासून "प्लस इन्फिनिटी" पर्यंत कोणतेही वास्तविक मूल्य घेऊ शकते. मालिकेच्या सामान्य शब्दामध्ये अनेक अनियंत्रित x मूल्ये बदला:
जर x=1 तर
जर x=-1, तर
जर x=3 तर
जर x=-0.2, तर
हे स्पष्ट आहे की "x" ला एक किंवा दुसर्या मूल्यामध्ये बदलून, आपल्याला भिन्न संख्यात्मक मालिका मिळतात. काही संख्या शृंखला एकत्रित होतील आणि काही भिन्न होतील. आणि आमचे कार्य "x" च्या मूल्यांचा संच शोधणे आहे ज्यावर पॉवर मालिका एकत्रित होईल. अशा संचाला मालिकेच्या अभिसरणाचा प्रदेश म्हणतात.
कोणत्याही शक्ती मालिकेसाठी (विशिष्ट उदाहरणावरून तात्पुरते विषयांतर), तीन प्रकरणे शक्य आहेत:
1) पॉवर मालिका काही अंतराने पूर्णपणे अभिसरण करते. दुसऱ्या शब्दांत, जर आपण मध्यांतरातून "x" चे कोणतेही मूल्य निवडले आणि त्यास पॉवर सिरीजच्या सामान्य शब्दामध्ये बदलले, तर आपल्याला पूर्णपणे अभिसरण संख्या मालिका मिळेल. अशा मध्यांतराला पॉवर सिरीजच्या अभिसरणाचे मध्यांतर म्हणतात.
अभिसरण त्रिज्या, अगदी सोप्या भाषेत, अभिसरण मध्यांतराच्या अर्धा लांबी आहे:
भौमितिकदृष्ट्या, परिस्थिती अशी दिसते: 
या प्रकरणात, मालिकेच्या अभिसरणाचा मध्यांतर: मालिकेच्या अभिसरणाची त्रिज्या: 
अनंत संख्येने धनात्मक आणि अनंत संख्येने ऋणात्मक संज्ञा असलेल्या संख्या शृंखलाला अल्टरनेटिंग म्हणतात.
निरपेक्ष आणि सशर्त अभिसरण
मालिका देखील अभिसरण झाल्यास मालिकेला पूर्णपणे अभिसरण म्हणतात.
जर मालिका पूर्णपणे अभिसरण होत असेल, तर ती अभिसरण आहे (सामान्य अर्थाने). संभाषण खरे नाही.
मालिका स्वतःच अभिसरण झाल्यास आणि तिच्या सदस्यांच्या मॉड्यूल्सने बनलेली मालिका वळवल्यास तिला सशर्त अभिसरण म्हटले जाते.
अभिसरण मालिकेसाठी तपास करा 
.
पर्यायी मालिकेसाठी लीबनिझ पुरेशी चाचणी लागू करूया. आम्हाला मिळते 
कारण . त्यामुळे ही मालिका एकत्र येत आहे.
38. पर्यायी पंक्ती. लीबनिझ चिन्ह.
अल्टरनेटिंग सिरीजचे एक विशेष केस म्हणजे अल्टरनेटिंग सिरीज, म्हणजे अशी मालिका ज्यामध्ये क्रमिक पदांना विरुद्ध चिन्हे असतात.
लीबनिझ चिन्ह
जवळच्या पर्यायी लोकांसाठी, लीबनिझ पुरेशी अभिसरण चाचणी लागू होते.
(a) असा क्रमांकाचा क्रम असू द्या
1. an+1< an для всех n;
मग पर्यायी मालिका आउटगोइंग आहेत.
39. कार्यात्मक पंक्ती. पॉवर मालिका. अभिसरण त्रिज्या. अभिसरण अंतराल.
कार्यात्मक मालिका आणि शक्ती मालिका संकल्पना
नेहमीच्या संख्या मालिका, लक्षात ठेवा, संख्या असतात:
मालिकेतील सर्व सदस्य NUMBERS आहेत.
फंक्शनल पंक्तीमध्ये फंक्शन्स असतात:
बहुपदी, फॅक्टोरियल आणि इतर भेटवस्तू व्यतिरिक्त, मालिकेच्या सामान्य शब्दामध्ये निश्चितपणे "x" अक्षर समाविष्ट आहे. हे असे दिसते, उदाहरणार्थ:
संख्या मालिकेप्रमाणे, कोणतीही कार्यात्मक मालिका विस्तारित स्वरूपात लिहिली जाऊ शकते:
जसे आपण पाहू शकता, कार्यात्मक मालिकेतील सर्व सदस्य फंक्शन्स आहेत.
कार्यात्मक मालिका सर्वात लोकप्रिय प्रकार आहे शक्ती मालिका.
व्याख्या:
पॉवर सिरीज ही अशी मालिका आहे जिच्या सामान्य शब्दामध्ये स्वतंत्र व्हेरिएबलच्या सकारात्मक पूर्णांक शक्तींचा समावेश होतो.
बर्‍याच पाठ्यपुस्तकांमध्ये एक सरलीकृत शक्ती मालिका खालीलप्रमाणे लिहिली आहे: , संख्या मालिकेचे जुने परिचित "स्टफिंग" कोठे आहे (बहुपदी, अंश, फॅक्टोरियल जे फक्त "en" वर अवलंबून आहेत). सर्वात सोपे उदाहरण:
चला हे विघटन पाहू आणि व्याख्येचा पुनर्विचार करू: पॉवर सिरीजच्या सदस्यांमध्ये सकारात्मक पूर्णांक (नैसर्गिक) शक्तींमध्ये "x" असते.
बर्‍याचदा, पॉवर मालिका खालील "बदल" मध्ये आढळू शकते: किंवा जेथे a स्थिर आहे. उदाहरणार्थ:
काटेकोरपणे बोलायचे तर, पॉवर सीरीजचे सरलीकृत प्रतिनिधित्व किंवा अगदी बरोबर नाही. घातांकामध्ये, एकल अक्षर "en" ऐवजी, अधिक जटिल अभिव्यक्ती आढळू शकते, उदाहरणार्थ: 
किंवा ही शक्ती मालिका:
जर फक्त "xAx" वरील घातांक नैसर्गिक असतील.
पॉवर मालिका अभिसरण.
अभिसरण मध्यांतर, अभिसरण त्रिज्या आणि अभिसरण क्षेत्र
अशा विपुल अटींपासून घाबरण्याची गरज नाही, ते "एकमेकांच्या शेजारी" जातात आणि त्यांना समजणे विशेषतः कठीण नाही. काही सोप्या प्रायोगिक मालिका निवडणे आणि लगेच समजून घेणे चांगले आहे.
मी तुम्हाला पॉवर सीरिजवर प्रेम करण्यास आणि अनुकूल करण्यास सांगतो व्हेरिएबल "मायनस इन्फिनिटी" पासून "प्लस इन्फिनिटी" पर्यंत कोणतेही वास्तविक मूल्य घेऊ शकते. मालिकेच्या सामान्य शब्दामध्ये अनेक अनियंत्रित x मूल्ये बदला:
जर x=1 तर
जर x=-1, तर
व्याख्या १
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, ज्या सदस्यांना अनियंत्रित चिन्हे (+), (?) आहेत, तिला पर्यायी मालिका म्हणतात.
वर विचारात घेतलेल्या पर्यायी मालिका ही पर्यायी मालिकेची एक विशेष बाब आहे; हे स्पष्ट आहे की प्रत्येक पर्यायी मालिका पर्यायी नसते. उदाहरणार्थ, मालिका $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ पर्यायी परंतु वर्ण-पर्यायी मालिका नाही.
लक्षात घ्या की शब्दांच्या पर्यायी मालिकेत, चिन्ह (+) आणि चिन्ह (-) दोन्हीसह, अमर्यादपणे अनेक आहेत. हे खरे नसल्यास, उदाहरणार्थ, मालिकेत मर्यादित संख्येत नकारात्मक संज्ञा आहेत, तर त्या टाकून दिल्या जाऊ शकतात आणि केवळ सकारात्मक संज्ञांनी बनलेल्या मालिकेचा विचार केला जाऊ शकतो आणि त्याउलट.
व्याख्या २
जर संख्या शृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ एकत्र होते आणि त्याची बेरीज एस, आणि आंशिकबेरीज $S_n$ च्या बरोबरीची आहे, नंतर $r_(n) =S-S_(n) $ ला मालिकेतील उर्वरित म्हणतात आणि $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, i.e. अभिसरण मालिकेतील उर्वरित भाग 0 कडे झुकतो.
व्याख्या ३
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ही मालिका तिच्या सदस्यांच्या $\sum \limits _(n=1) च्या निरपेक्ष मूल्यांनी बनलेली असेल तर तिला पूर्णपणे अभिसरण म्हणतात. )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
व्याख्या 4
जर संख्या मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ एकत्र झाली आणि मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\right| $, त्याच्या सदस्यांच्या निरपेक्ष मूल्‍यांपासून बनलेली, वळवते, नंतर मूळ शृंखला सशर्त (नॉन-एकूण) अभिसरण म्हणतात.
प्रमेय 1 (पर्यायी मालिकेच्या अभिसरणासाठी पुरेसा निकष)
पर्यायी मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूर्णपणे अभिसरण करते जर मालिका तिच्या सदस्यांच्या $\sum \limits _(n=1) च्या निरपेक्ष मूल्यांनी बनलेली असेल ^ अभिसरण (\infty )\left|u_(n) \right| $.
टिप्पणी
प्रमेय 1 पर्यायी मालिकांच्या अभिसरणासाठी फक्त पुरेशी अट देतो. संभाषण प्रमेय सत्य नाही, म्हणजे. जर पर्यायी मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ एकत्र झाली, तर $\sum \limits _(n=1)^ मॉड्यूलने बनलेली मालिका आवश्यक नाही. ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (हे एकतर अभिसरण किंवा भिन्न असू शकते). उदाहरणार्थ, मालिका $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ लीबनिझ चाचणीनुसार एकत्रित होते आणि त्याच्या अटींच्या परिपूर्ण मूल्यांनी बनलेली मालिका $\sum \limits _(n) आहे =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (हार्मोनिक मालिका) वळते.
मालमत्ता १
जर मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूर्णपणे एकत्रित झाली, तर ती तिच्या सदस्यांच्या कोणत्याही क्रमपरिवर्तनासाठी पूर्णपणे अभिसरण करते आणि मालिकेची बेरीज ऑर्डरवर अवलंबून नसते सदस्यांचे. जर $S"$ ही त्याच्या सर्व धनात्मक संज्ञांची बेरीज असेल आणि $S""$ ही त्याच्या ऋण संज्ञांच्या सर्व निरपेक्ष मूल्यांची बेरीज असेल, तर मालिकेची बेरीज $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ हे $S=S"-S""$ च्या बरोबरीचे आहे.
मालमत्ता 2
जर मालिका $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूर्णपणे एकत्र होते आणि $C=(\rm const)$, तर मालिका $\sum \limits _(n=1) )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ देखील पूर्णपणे एकत्रित होते.
मालमत्ता 3
जर $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ आणि $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ पूर्णपणे एकत्र होतात, तर $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ देखील पूर्णपणे एकत्र होतात.
प्रॉपर्टी ४ (रिमनचे प्रमेय)
जर शृंखला सशर्तपणे एकत्रित झाली, तर मग आपण कितीही संख्या A घेतो, आपण या मालिकेच्या अटींची पुनर्रचना करू शकतो जेणेकरून तिची बेरीज A च्या बरोबर होईल; शिवाय, सशर्त अभिसरण मालिकेच्या अटींची अशा प्रकारे पुनर्रचना करणे शक्य आहे की त्यानंतर ते वेगळे होईल.
उदाहरण १
सशर्त आणि परिपूर्ण अभिसरणासाठी मालिकेची तपासणी करा
\[\ बेरीज \मर्यादा _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
निर्णय. ही मालिका चिन्ह-पर्यायी आहे, ज्याची सामान्य संज्ञा आपण दर्शवितो: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
उदाहरण २
संपूर्ण आणि सशर्त अभिसरणासाठी $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ चे परीक्षण करा.
- आम्ही संपूर्ण अभिसरणासाठी मालिकेचे परीक्षण करतो. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ दर्शवा आणि संपूर्ण मूल्यांची मालिका तयार करा $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. आम्हाला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| मालिका मिळते. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ सकारात्मक अटींसह, ज्यावर आम्ही मालिका तुलनेसाठी मर्यादा निकष लागू करतो. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) शी तुलना करण्यासाठी (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty) फॉर्म असलेली मालिका विचारात घ्या )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. ही मालिका $p=\frac(1)(2) घातांक असलेली डिरिचलेट मालिका आहे
- पुढे, आम्ही सशर्त $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ चे परीक्षण करतो. अभिसरण हे करण्यासाठी, आम्ही लीबनिझ चाचणीच्या अटींची पूर्तता तपासतो. अट १): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, जेथे $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , म्हणजे ही मालिका बदलत आहे. अट सत्यापित करण्यासाठी 2) मालिकेच्या अटींच्या मोनोटोनिक घटावर, आम्ही खालील पद्धत वापरतो. $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ $x\in ) वर परिभाषित केलेल्या सहाय्यक कार्याचा विचार करा
