Baris variabel. Konvergensi absolut dan bersyarat Contoh solusi deret bolak-balik

Deret bilangan yang mengandung jumlah suku positif dan negatif yang tidak terbatas disebut bolak-balik.

Konvergensi absolut dan kondisional

Suatu deret disebut konvergen mutlak jika deret tersebut juga konvergen.

Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret tersebut konvergen (dalam pengertian biasa). Kebalikannya tidak benar.

Suatu deret dikatakan konvergen bersyarat jika deret itu sendiri konvergen dan deret yang tersusun dari modul-modul anggotanya divergen.

Selidiki deret konvergensi .

Mari kita terapkan uji cukup Leibniz untuk deret bolak-balik. Kita mendapatkan

karena . Oleh karena itu, deret ini konvergen.

38. Baris bergantian. tanda Leibniz.

Kasus khusus deret bolak-balik adalah deret bolak-balik, yaitu deret yang suku-suku berurutannya berlawanan tanda.

Tanda Leibniz

Bagi mereka yang bergantian di dekatnya, uji konvergensi Leibniz yang cukup berlaku.

Misalkan (an) adalah barisan bilangan sedemikian sehingga

1. an+1< an для всех n;

Kemudian seri bolak-balik keluar.

39. Baris fungsional. Seri kekuatan. radius konvergensi. Interval konvergensi.

Konsep deret fungsional dan deret daya

Seri angka yang biasa, ingat, terdiri dari angka:

Semua anggota seri adalah NUMBER.

Baris fungsional terdiri dari FUNGSI:

Selain polinomial, faktorial, dan hadiah lainnya, istilah umum dari deret tersebut tentu saja mencakup huruf "x". Tampilannya seperti ini, misalnya:

Seperti deret bilangan, deret fungsional apa pun dapat ditulis dalam bentuk yang diperluas:

Seperti yang Anda lihat, semua anggota deret fungsional adalah fungsi.

Jenis deret fungsional yang paling populer adalah seri kekuasaan.

Definisi:

Deret pangkat adalah deret yang suku umumnya mencakup pangkat bilangan bulat positif dari variabel bebas.

Deret pangkat yang disederhanakan di banyak buku teks ditulis sebagai berikut: , di mana "isian" lama dari deret bilangan (polinomial, derajat, faktorial yang hanya bergantung pada "en"). Contoh paling sederhana:

Mari kita lihat dekomposisi ini dan pikirkan kembali definisinya: anggota deret pangkat mengandung "x" dalam bilangan bulat positif (alami) pangkat.

Sangat sering, deret pangkat dapat ditemukan dalam "modifikasi" berikut: atau di mana a adalah konstanta. Sebagai contoh:

Sebenarnya, representasi yang disederhanakan dari seri daya, atau tidak sepenuhnya benar. Dalam eksponen, alih-alih satu huruf "en", ekspresi yang lebih kompleks dapat ditemukan, misalnya:

Atau seri kekuatan ini:

Kalau saja eksponen di "xAx" itu alami.

Konvergensi Seri Daya.

Interval konvergensi, radius konvergensi, dan area konvergensi

Tidak perlu takut dengan banyak istilah, mereka "bersebelahan" dan tidak terlalu sulit untuk dipahami. Lebih baik memilih beberapa seri eksperimen sederhana dan segera mulai memahami.

Saya meminta Anda untuk mencintai dan menyukai deret pangkat. Variabel dapat mengambil nilai riil apa pun dari "minus tak terhingga" hingga "plus tak terhingga". Substitusikan beberapa nilai x arbitrer ke dalam suku umum deret:

Jika x=1 maka

Jika x = -1, maka

Jika x=3 maka

Jika x=-0,2, maka

Jelas bahwa dengan mensubstitusi "x" menjadi satu atau nilai lain, kita mendapatkan deret numerik yang berbeda. Beberapa deret bilangan akan konvergen dan beberapa akan divergen. Dan tugas kita adalah menemukan himpunan nilai "x" di mana deret pangkat akan bertemu. Himpunan seperti ini disebut daerah konvergensi dari deret tersebut.

Untuk setiap deret pangkat (sementara menyimpang dari contoh spesifik), tiga kasus dimungkinkan:

1) Deret pangkat konvergen mutlak pada selang tertentu. Dengan kata lain, jika kita memilih nilai "x" dari interval dan mensubstitusikannya ke dalam suku umum dari deret pangkat, maka kita mendapatkan deret bilangan yang benar-benar konvergen. Interval seperti ini disebut interval konvergensi deret pangkat.

Jari-jari konvergensi, cukup sederhana, adalah setengah dari panjang interval konvergensi:

Secara geometris, situasinya terlihat seperti ini:

Dalam hal ini, interval konvergensi deret: jari-jari konvergensi deret:

Deret bilangan yang mengandung jumlah suku positif dan negatif yang tidak terbatas disebut bolak-balik.

Konvergensi absolut dan kondisional

Suatu deret disebut konvergen mutlak jika deret tersebut juga konvergen.

Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret tersebut konvergen (dalam pengertian biasa). Kebalikannya tidak benar.

Suatu deret dikatakan konvergen bersyarat jika deret itu sendiri konvergen dan deret yang tersusun dari modul-modul anggotanya divergen.

Selidiki deret konvergensi .

Mari kita terapkan uji cukup Leibniz untuk deret bolak-balik. Kita mendapatkan

karena . Oleh karena itu, deret ini konvergen.

38. Baris bergantian. tanda Leibniz.

Kasus khusus deret bolak-balik adalah deret bolak-balik, yaitu deret yang suku-suku berurutannya berlawanan tanda.

Tanda Leibniz

Bagi mereka yang bergantian di dekatnya, uji konvergensi Leibniz yang cukup berlaku.

Misalkan (an) adalah barisan bilangan sedemikian sehingga

1. an+1< an для всех n;

Kemudian seri bolak-balik keluar.

39. Baris fungsional. Seri kekuatan. radius konvergensi. Interval konvergensi.

Konsep deret fungsional dan deret daya

Seri angka yang biasa, ingat, terdiri dari angka:

Semua anggota seri adalah NUMBER.

Baris fungsional terdiri dari FUNGSI:

Selain polinomial, faktorial, dan hadiah lainnya, istilah umum dari deret tersebut tentu saja mencakup huruf "x". Tampilannya seperti ini, misalnya:

Seperti deret bilangan, deret fungsional apa pun dapat ditulis dalam bentuk yang diperluas:

Seperti yang Anda lihat, semua anggota deret fungsional adalah fungsi.

Jenis deret fungsional yang paling populer adalah seri kekuasaan.

Definisi:

Deret pangkat adalah deret yang suku umumnya mencakup pangkat bilangan bulat positif dari variabel bebas.

Deret pangkat yang disederhanakan di banyak buku teks ditulis sebagai berikut: , di mana "isian" lama dari deret bilangan (polinomial, derajat, faktorial yang hanya bergantung pada "en"). Contoh paling sederhana:

Mari kita lihat dekomposisi ini dan pikirkan kembali definisinya: anggota deret pangkat mengandung "x" dalam bilangan bulat positif (alami) pangkat.

Sangat sering, deret pangkat dapat ditemukan dalam "modifikasi" berikut: atau di mana a adalah konstanta. Sebagai contoh:

Sebenarnya, representasi yang disederhanakan dari seri daya, atau tidak sepenuhnya benar. Dalam eksponen, alih-alih satu huruf "en", ekspresi yang lebih kompleks dapat ditemukan, misalnya:

Atau seri kekuatan ini:

Kalau saja eksponen di "xAx" itu alami.

Konvergensi Seri Daya.

Interval konvergensi, radius konvergensi, dan area konvergensi

Tidak perlu takut dengan banyak istilah, mereka "bersebelahan" dan tidak terlalu sulit untuk dipahami. Lebih baik memilih beberapa seri eksperimen sederhana dan segera mulai memahami.

Saya meminta Anda untuk mencintai dan menyukai deret pangkat. Variabel dapat mengambil nilai riil apa pun dari "minus tak terhingga" hingga "plus tak terhingga". Substitusikan beberapa nilai x arbitrer ke dalam suku umum deret:

Jika x=1 maka

Jika x = -1, maka

Definisi 1

Deret bilangan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, yang anggotanya memiliki tanda sembarang (+), (?), disebut deret bolak-balik.

Deret bolak-balik yang dipertimbangkan di atas adalah kasus khusus dari deret bolak-balik; jelas bahwa tidak setiap seri bolak-balik bergantian. Misalnya, deret $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ seri bergantian tetapi bukan seri yang berganti-ganti karakter.

Perhatikan bahwa dalam deret suku yang berselang-seling, baik dengan tanda (+) maupun dengan tanda (-), jumlahnya tak terhingga. Jika ini tidak benar, misalnya, deret berisi sejumlah suku negatif yang terbatas, maka mereka dapat dibuang dan deret yang hanya terdiri dari suku positif dapat dipertimbangkan, dan sebaliknya.

Definisi 2

Jika deret bilangan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen dan jumlahnya adalah S, dan parsial jumlahnya sama dengan $S_n$ , maka $r_(n) =S-S_(n) $ disebut sisa dari deret, dan $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\ke \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, mis. sisa deret konvergen cenderung ke 0.

Definisi 3

Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ disebut konvergen mutlak jika deret tersebut terdiri dari nilai-nilai absolut anggotanya $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\kanan| $.

Definisi 4

Jika deret bilangan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen dan deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\kanan| $, terdiri dari nilai mutlak anggotanya, divergen, maka deret aslinya disebut konvergen bersyarat (non-absolutely).

Teorema 1 (kriteria yang cukup untuk konvergensi deret bolak-balik)

Deret bolak-balik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen mutlak jika deret tersebut terdiri dari nilai mutlak anggotanya$\sum \limits _(n=1) ^ konvergen (\infty )\left|u_(n) \kanan| $.

Komentar

Teorema 1 hanya memberikan kondisi yang cukup untuk konvergensi deret bolak - balik . Teorema kebalikannya tidak benar, mis. jika deret bolak-balik $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen, maka tidak perlu deret yang terdiri dari modul $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \kanan| $ (bisa konvergen atau divergen). Misalnya, deret $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergen menurut uji Leibniz, dan deret yang terdiri dari nilai absolut dari suku-sukunya adalah $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (deret harmonik) divergen.

Properti 1

Jika deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen mutlak, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk setiap permutasi anggotanya, dan jumlah deret tidak bergantung pada orde dari anggota. Jika $S"$ adalah jumlah semua suku positifnya, dan $S""$ adalah jumlah semua nilai absolut dari suku negatifnya, maka jumlah deretnya adalah $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ sama dengan $S=S"-S""$.

Properti 2

Jika deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergen mutlak dan $C=(\rm const)$, maka deret $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ juga konvergen secara mutlak.

Properti 3

Jika deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ dan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ konvergen mutlak, maka deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ juga konvergen secara mutlak.

Sifat 4 (Teorema Riemann)

Jika deret tersebut konvergen secara kondisional, maka berapa pun bilangan A yang kita ambil, kita dapat mengatur ulang suku-suku deret ini sehingga jumlahnya persis sama dengan A; selain itu, adalah mungkin untuk mengatur ulang persyaratan deret konvergen bersyarat sedemikian rupa sehingga setelah itu divergen.

Contoh 1

Selidiki deret untuk konvergensi bersyarat dan absolut

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Larutan. Deret ini adalah pergantian tanda, istilah umum yang kita nyatakan: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Contoh 2

Periksa deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ untuk konvergensi absolut dan kondisional.

1. Kami memeriksa deret untuk konvergensi absolut. Tunjukkan $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ dan buat serangkaian nilai absolut $a_(n) =\left| u_(n ) \kanan|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Kami mendapatkan deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ dengan suku positif, di mana kita menerapkan kriteria limit untuk perbandingan deret. Untuk perbandingan dengan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ pertimbangkan barisan yang berbentuk $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Deret ini adalah deret Dirichlet dengan eksponen $p=\frac(1)(2)
2. Selanjutnya, kita periksa deret aslinya $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ untuk conditional konvergensi. Untuk melakukan ini, kami memeriksa pemenuhan kondisi tes Leibniz. Kondisi 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, di mana $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , yaitu seri ini bergantian. Untuk memverifikasi kondisi 2) pada penurunan monoton dari suku-suku barisan, kami menggunakan metode berikut. Pertimbangkan fungsi bantu $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ didefinisikan pada $x\in )