Vahelduvad seeriad. Absoluutne ja tingimuslik konvergents Lahenduste vahelduvad seerianäited

Kosmetoloogia

Arvurida, mis sisaldab lõpmatu arvu positiivseid ja lõpmatu arv negatiivseid liikmeid, nimetatakse vahelduvateks.

Absoluutne ja tingimuslik lähenemine

Seeriat peetakse absoluutselt koonduvaks, kui seeria ka läheneb.

Kui jada läheneb absoluutselt, siis on see konvergentne (tavalises tähenduses). Vastupidine väide ei vasta tõele.

Jada nimetatakse tingimuslikult koonduvaks, kui ta ise koondub ja selle liikmete moodulitest koosnev jada lahkneb.

Uurige seeriat lähenemise suhtes .

Kasutame vahelduvate seeriate jaoks Leibnizi piisavat testi. Saame

sest . Seetõttu see seeria läheneb.

38. Vahelduvad read. Leibnizi märk.

Vahelduva jada erijuhtum on vahelduv seeria, st jada, milles järjestikustel terminitel on vastupidised märgid.

Leibnizi test

Kõrvuti vahelduvate märkide puhul kehtib Leibnizi konvergentsi piisav kriteerium.

Olgu (an) selline arvujada, et

1. an+1< an для всех n;

Seejärel algavad vahelduvad seeriad.

39. Funktsionaalsed seeriad. Võimsusseeria. Lähenemisraadius. Konvergentsi intervall.

Funktsionaalseeria ja võimsusseeria mõiste

Pidage meeles, et tavaline numbriseeria koosneb numbritest:

Kõik sarja liikmed on NUMBER.

Funktsionaalne seeria koosneb FUNKTSIOONIDEst:

Sarja tavaliige sisaldab lisaks polünoomidele, faktoriaalidele ja muudele kingitustele kindlasti ka tähte “X”. Näiteks näeb see välja selline:

Nagu numbriseeria, saab mis tahes funktsionaalse seeria kirjutada laiendatud kujul:

Nagu näete, on kõik funktsionaalse seeria liikmed funktsioonid.

Funktsionaalsete seeriate populaarseim tüüp on jõuseeria.

Definitsioon:

Astmete jada on jada, mille ühine termin sisaldab sõltumatu muutuja positiivseid täisarvu astmeid.

Paljudes õpikutes kirjutatakse astmerida lihtsalt järgmiselt: , kus on vana tuttav arvuridade “täidis” (polünoomid, astmed, faktoriaalid, olenevalt ainult “en-st”). Lihtsaim näide:

Vaatame seda laiendust ja saame veel kord aru definitsioonist: astmerea tingimused sisaldavad "x" positiivsete täisarvuliste (looduslike) astmetena.

Väga sageli võib astmerida leida järgmistest "modifikatsioonidest": või kus a on konstant. Näiteks:

Rangelt võttes ei ole astmeridade lihtsustatud tähistused täiesti õiged. Eksponentis võib üksiku tähe “en” asemel olla keerulisem avaldis, näiteks:

Või see võimsusseeria:

Kui ainult “XA” kraadiindeksid oleksid loomulikud.

Astumusridade konvergents.

Konvergentsivahemik, lähenemisraadius ja lähenemisala

Terminite sellisest rohkusest ei maksa end hirmutada, need käivad “kõrvuti” ega tekita erilisi raskusi nende mõistmisel. Parem on valida mõni lihtne eksperimentaalne seeria ja hakata seda kohe välja mõtlema.

Palun armastage ja eelistage astmerida. Muutuja võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse vahemikus „miinus lõpmatus” kuni „pluss lõpmatus”. Asendame mitu suvalist "x" väärtust seeria ühisesse terminisse:

Kui x = 1, siis

Kui x=-1, siis

Kui x = 3, siis

Kui x = -0,2, siis

Ilmselgelt, asendades “x” ühe või teise väärtusega, saame erinevad arvusarjad. Mõned numbriseeriad lähenevad ja mõned lähevad lahku. Ja meie ülesanne on leida “x” väärtuste kogum, mille juures astmerida läheneb. Sellist hulka nimetatakse jada konvergentsipiirkonnaks.

Mis tahes võimsusseeria jaoks (ajutiselt abstraktselt konkreetsest näitest) on võimalik kolm juhtumit:

1) Astmete jada koondub absoluutselt teatud intervallile. Teisisõnu, kui valime intervallist suvalise “x” väärtuse ja asendame selle astmerea üldliikmega, saame absoluutselt konvergentse arvurea. Sellist intervalli nimetatakse astmeridade konvergentsi intervalliks.

Lähenemisraadius on lihtsalt pool lähenemisvahemiku pikkusest:

Geomeetriliselt näeb olukord välja selline:

Sel juhul on seeria konvergentsi intervall: jada lähenemisraadius:

Arvurida, mis sisaldab lõpmatu arvu positiivseid ja lõpmatu arv negatiivseid liikmeid, nimetatakse vahelduvateks.

Absoluutne ja tingimuslik lähenemine

Seeriat peetakse absoluutselt koonduvaks, kui seeria ka läheneb.

Kui jada läheneb absoluutselt, siis on see konvergentne (tavalises tähenduses). Vastupidine väide ei vasta tõele.

Jada nimetatakse tingimuslikult koonduvaks, kui ta ise koondub ja selle liikmete moodulitest koosnev jada lahkneb.

Uurige seeriat lähenemise suhtes .

Kasutame vahelduvate seeriate jaoks Leibnizi piisavat testi. Saame

sest . Seetõttu see seeria läheneb.

38. Vahelduvad read. Leibnizi märk.

Vahelduva jada erijuhtum on vahelduv seeria, st jada, milles järjestikustel terminitel on vastupidised märgid.

Leibnizi test

Kõrvuti vahelduvate märkide puhul kehtib Leibnizi konvergentsi piisav kriteerium.

Olgu (an) selline arvujada, et

1. an+1< an для всех n;

Seejärel algavad vahelduvad seeriad.

39. Funktsionaalsed seeriad. Võimsusseeria. Lähenemisraadius. Konvergentsi intervall.

Funktsionaalseeria ja võimsusseeria mõiste

Pidage meeles, et tavaline numbriseeria koosneb numbritest:

Kõik sarja liikmed on NUMBER.

Funktsionaalne seeria koosneb FUNKTSIOONIDEst:

Sarja tavaliige sisaldab lisaks polünoomidele, faktoriaalidele ja muudele kingitustele kindlasti ka tähte “X”. Näiteks näeb see välja selline:

Nagu numbriseeria, saab mis tahes funktsionaalse seeria kirjutada laiendatud kujul:

Nagu näete, on kõik funktsionaalse seeria liikmed funktsioonid.

Funktsionaalsete seeriate populaarseim tüüp on jõuseeria.

Definitsioon:

Astmete jada on jada, mille ühine termin sisaldab sõltumatu muutuja positiivseid täisarvu astmeid.

Paljudes õpikutes kirjutatakse astmerida lihtsalt järgmiselt: , kus on vana tuttav arvuridade “täidis” (polünoomid, astmed, faktoriaalid, olenevalt ainult “en-st”). Lihtsaim näide:

Vaatame seda laiendust ja saame veel kord aru definitsioonist: astmerea tingimused sisaldavad "x" positiivsete täisarvuliste (looduslike) astmetena.

Väga sageli võib astmerida leida järgmistest "modifikatsioonidest": või kus a on konstant. Näiteks:

Rangelt võttes ei ole astmeridade lihtsustatud tähistused täiesti õiged. Eksponentis võib üksiku tähe “en” asemel olla keerulisem avaldis, näiteks:

Või see võimsusseeria:

Kui ainult “XA” kraadiindeksid oleksid loomulikud.

Astumusridade konvergents.

Konvergentsivahemik, lähenemisraadius ja lähenemisala

Kui x = 1, siis

Kui x=-1, siis

Definitsioon 1

Arvurida $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, mille liikmetel on suvalised märgid (+), (?), nimetatakse vahelduvaks jadaks.

Eespool käsitletud vahelduvad seeriad on vahelduvate seeriate erijuhtum; On selge, et iga vahelduv seeria ei ole vahelduv. Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ vahelduv, kuid mitte vahelduv seeria.

Pange tähele, et vahelduvas jadas on lõpmatult palju termineid, millel on nii märk (+) kui ka märk (-). Kui see ei vasta tõele, näiteks seeria sisaldab lõplikku arvu negatiivseid liikmeid, siis võib need kõrvale jätta ja vaadelda ainult positiivsetest liikmetest koosnevat seeriat ja vastupidi.

2. definitsioon

Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja selle summa on S, osaline summa on võrdne $S_n$ , siis $r_(n) =S-S_(n) $ nimetatakse seeria jäägiks ja $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, st. konvergentse rea ülejäänud osa kipub olema 0.

3. määratlus

Seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ nimetatakse absoluutselt konvergentseks, kui seeria, mis koosneb selle liikmete $\sum \limits _(n=1) absoluutväärtustest )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

4. määratlus

Kui arvuseeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub ja seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\paremale| $, mis koosneb selle liikmete absoluutväärtustest, lahkneb, siis nimetatakse algset seeriat tingimuslikult (mitte-absoluutselt) koonduvaks.

Teoreem 1 (piisav kriteerium vahelduvate ridade koondumiseks)

Vahelduv jada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ läheneb ja absoluutselt, kui selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada läheneb $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Kommenteeri

1. teoreem annab vaid piisava tingimuse vahelduvate ridade koondumiseks. Pöördteoreem ei vasta tõele, s.t. kui vahelduv seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ koondub, siis ei ole vaja, et moodulitest $\sum \limits _(n=1) koosnev jada ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (see võib olla kas koonduv või lahknev). Näiteks seeria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ koondub Leibnizi kriteeriumi järgi ja selle liikmete absoluutväärtustest koosnev jada $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmoonilised jada) lahkneb.

Vara 1

Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne, siis koondub see absoluutselt oma tingimuste mis tahes permutatsiooni korral ja seeria summa ei sõltu tingimuste järjekord. Kui $S"$ on kõigi selle positiivsete liikmete summa ja $S""$ on negatiivsete liikmete absoluutväärtuste summa, siis seeria $\sum \limits _(n=1) summa ^(\infty )u_(n) $ võrdub $S=S"-S""$.

Vara 2

Kui seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ on absoluutselt konvergentne ja $C=(\rm const)$, siis seeria $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ on samuti absoluutselt konvergentne.

Vara 3

Kui seeriad $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ja $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ on absoluutselt koonduvad, siis on ka seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ absoluutselt koonduvad.

Omadus 4 (Riemanni teoreem)

Kui seeria on tinglikult koonduv, siis olenemata sellest, millise arvu A me võtame, saame selle jada liikmed ümber paigutada nii, et selle summa osutub täpselt võrdseks A-ga; Lisaks on võimalik tinglikult koonduva jada tingimusi ümber korraldada nii, et pärast seda see lahkneb.

Näide 1

Uurige seeriat tingimusliku ja absoluutse konvergentsi suhtes

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Lahendus. See seeria on vahelduv, mille üldterminit tähistatakse järgmisega: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Näide 2

Uurige seeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ absoluutse ja tingimusliku konvergentsi jaoks.

Uurime seeriat absoluutse konvergentsi jaoks. Tähistame $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ja koostame absoluutväärtuste jada>$a_(n) =\ vasak|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Saame seeria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ positiivsete terminitega, millele rakendame seeriate võrdlemise piirtesti. Võrdluseks seeriaga $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ vaatleme seeriat, mille kuju on $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. See seeria on Dirichlet' seeria eksponendiga $p=\frac(1)(2)
Järgmisena uurime algseeriat $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ tingimuslikuks lähenemine. Selleks kontrollime Leibnizi testi tingimuste täitmist. Tingimus 1: $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kus $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , st. see seeria on vahelduv. Tingimuse 2) kontrollimiseks seeria liikmete monotoonse vähenemise kohta kasutame järgmist meetodit. Vaatleme abifunktsiooni $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, mis on defineeritud punktis $x\in )