Diskret matematika asoslari.

To'plam tushunchasi. To'plamlar orasidagi munosabat.

To'plam - ma'lum bir xususiyatga ega bo'lgan, yagona bir butunga birlashtirilgan ob'ektlar yig'indisidir.

To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar deyiladi elementlar to'plamlar. Muayyan ob'ektlar to'plamini to'plam deb atash uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

· Elementning berilgan to'plamga tegishliligini aniqlash uchun mono bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

· Elementlarni bir-biridan ajratish mumkin bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

To'plamlar bosh harflar bilan, uning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi. To'plamlarni belgilash usullari:

· To'plam elementlarini sanab o'tish. - chekli to'plamlar uchun.

Xarakterli xususiyatni belgilash .

bo'sh to'plam- hech qanday elementni (Ø) o'z ichiga olmaydigan to'plam deyiladi.

Ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, ular teng deyiladi. , A=B

Bir guruh B to'plamning kichik to'plami deb ataladi A( , agar va faqat to'plamning barcha elementlari bo'lsa B to'plamga tegishli A.

Masalan: , B =>

Mulk:

Eslatma: odatda deyiladi bir xil to'plamning kichik to'plamini ko'rib chiqing universal(u). Universal to'plam barcha elementlarni o'z ichiga oladi.

To'plamlarda operatsiyalar.

A

B

1. Uyushma 2 to'plam A va B to'plam elementlari tegishli bo'lgan to'plam deb ataladi (to'plamlardan kamida bittasining elementlari).

2.kesib o'tish 2 to'plam bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi to'plamlarga tegishli bo'lgan elementlardan tashkil topgan yangi to'plamdir.

Nr: , ,

Mulk: birlashma va kesishish operatsiyalari.

· Kommutativlik.

Assotsiativlik. ;

· Distributiv. ;

U

4.Qo'shish. Agar A universal to‘plamning kichik to‘plamidir U, keyin to‘plamning to‘ldiruvchisi A ko'pchilikka U(belgilangan) to‘plamning o‘sha elementlaridan tashkil topgan to‘plamdir U, to'plamga tegishli bo'lmagan A.

Binar munosabatlar va ularning xossalari.

Mayli A Va IN bu hosila tabiatli to'plamlar, tartiblangan juft elementlarni ko'rib chiqing (a, c) a s A, c s B buyurtma qilingan "enks" deb hisoblash mumkin.

(a 1, a 2, a 3, ...a n), Qayerda A 1 s A 1; A 2 s A 2; …; A n s A n ;

To'plamlarning dekart (to'g'ridan-to'g'ri) mahsuloti A 1, A 2, ..., A n, ko'rinishdagi tartiblangan n k dan iborat to'plam deyiladi.

№: M= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Dekart mahsulotining kichik to'plamlari daraja nisbati deb ataladi n yoki umumiy munosabat. Agar n=2, keyin o'ylab ko'ring ikkilik munosabat. Bunga nima deyishadi a 1, a 2 ikkilik munosabatda R, Qachon a 1 R a 2.

To'plamdagi ikkilik munosabat M to'plamning bevosita mahsulotining kichik to'plami deyiladi n o'zi ustida.

M× M= M 2= {(a, b)| a, b s M) oldingi misolda, nisbat to'plamda kichikroq M quyidagi to‘plamni hosil qiladi: ((1,2);(1,3); (2,3))

Ikkilik munosabatlar turli xil xususiyatlarga ega, jumladan:

Reflektorlik: .

· Refleksga qarshi (refleksivlik): .

· Simmetriya: .

· Antisimmetriya: .

· Tranzitivlik: .

· Asimmetriya: .

Munosabatlar turlari.

Ekvivalentlik munosabati;

· Buyurtma munosabati.

v Refleksiv o'tish munosabati kvazitartibli munosabat deyiladi.

v Refleksiv simmetrik tranzitiv munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.

v Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deyiladi.

v Antirefleksiv antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartib munosabati deyiladi.

Ta'rif. Ikkilik munosabat R juftlar to‘plami deyiladi (a,b)∈R Dekart mahsuloti A × B, ya'ni R⊆A × B. Shu bilan birga, ko'p A R munosabatni aniqlash sohasi, B to'plam qiymatlar sohasi deyiladi.

Belgilash: aRb (ya'ni a va b R ga nisbatan). /

Izoh: agar A = B bo'lsa, u holda R A to'plamdagi munosabat deyiladi.

Binar munosabatlarni belgilash usullari

1. Ushbu munosabatlar qanoatlantiriladigan ro'yxat (juftlarni sanab o'tish).

2. Matritsa. Ikkilik munosabat R ∈ A × A , bu erda A = (a 1, a 2,..., a n), n tartibli kvadrat matritsaga to'g'ri keladi, bunda c ij elementi i kesishmasida joylashgan. --chi qator va j-ustun, agar a i va j o'rtasida R munosabati mavjud bo'lsa, 1 ga, agar u mavjud bo'lmasa, 0 ga teng:

Aloqa xususiyatlari

A, R ∈ A×A to‘plamdagi R munosabati bo‘lsin. Keyin R munosabati:

refleksiv ravishda, agar Ɐ a ∈ A bo'lsa: a R a (refleksiv munosabat matritsasining asosiy diagonali faqat bittasini o'z ichiga oladi);

Ɐ a ∈ A: a R a (refleksiv munosabat matritsasining asosiy diagonali faqat nollarni o'z ichiga oladi) bo'lsa, antirefleksiv hisoblanadi;

simmetrik agar Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (bunday munosabat matritsasi bosh diagonalga nisbatan simmetrik, ya'ni c ij c ji);

antisimmetrik, agar Ɐ a, b ∈ A bo'lsa: a R b & b R a ⇒ a = b (bunday munosabat matritsasida bosh diagonalga nisbatan simmetriklar mavjud emas);

tranzitiv ravishda agar Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c qator, ya'ni c ij = 1 bo'lsa, j-qatordagi barcha birliklar (bu birliklar k e koordinatalariga to'g'ri kelsin, shunday qilib, c jk = 1) bir xil k koordinatadagi i-qatordagilarga mos kelishi kerak, ya'ni c ik = 1 (va, ehtimol, boshqa koordinatalarda ham).

Vazifa 3.1. Natural sonlar to'plamida berilgan R - "bo'luvchi bo'lish" munosabatining xossalarini aniqlang.

Yechim.

nisbat R = ((a,b):a bo'luvchi b):

refleksiv, antirefleksiv emas, chunki har qanday son o'zini qoldiqsiz ajratadi: a/a = 1 barcha a∈N uchun;

simmetrik emas, antisimmetrik, masalan, 2 4 ning bo'luvchisi, lekin 4 2 ning bo'luvchisi emas;

tranzitiv, chunki agar b/a ∈ N va c/b ∈ N bo'lsa, u holda c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, masalan, 6/3 = 2∈N va 18/6 = 3∈N bo'lsa. , keyin 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Vazifa 3.2. Odamlar to'plamiga berilgan R - "birodar bo'lish" munosabatining xususiyatlarini aniqlang.
Yechim.

R nisbati = ((a,b):a - b ning ukasi):

barcha a uchun aRa ning aniq yo'qligi sababli refleksiv bo'lmagan, anti-refleksiv;

nosimmetrik emas, chunki umuman olganda a va opa b o'rtasida aRb bor, lekin bRa emas;

antisimmetrik emas, chunki a va b aka-uka bo'lsa, aRb va bRa, lekin a≠b;

tranzitiv, agar biz aka-ukalarni umumiy ota-onasi (otasi va onasi) bo'lgan odamlar deb atasak.

Vazifa 3.3. Tuzilish elementlari to'plamida ko'rsatilgan R - "boss bo'lish" munosabatining xususiyatlarini aniqlang

Yechim.

R nisbati = ((a, b) : a - boss b):

• refleksiv bo'lmagan, anti-refleks, agar u ma'lum bir talqinda mantiqiy bo'lmasa;
• simmetrik emas, antisimmetrik, chunki hamma uchun a≠b aRb va bRa bir vaqtda qanoatlanmaydi;
• tranzitiv, chunki a - b ning boshi va b - c ning boshi bo'lsa, a - c ning boshi.

M i to‘plamda matritsa orqali aniqlangan R i munosabatning xossalarini aniqlang, agar:

1. R 1 "5 ga bo'linganda bir xil qoldiqga ega"; M 1 - natural sonlar to'plami.
2. R 2 "teng bo'lish"; M 2 - natural sonlar to'plami.
3. R 3 "bir shaharda yashash"; M 3 odamlar to'plami.
4. R 4 "tanish bo'ling"; M 4 ko'p odamlar.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - juft; M 5 sonlar to'plami (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - juft; M 6 sonlar to‘plami (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R 7 ((a,b):(a+1) - bo'luvchi (a+b)) ; M 7 - to'plam (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 ((a,b):a - bo'luvchi (a+b),a≠1); M 8 - natural sonlar to'plami.
9. R 9 "singil bo'lish"; M 9 - ko'p odamlar.
10. R 10 "qizi bo'lish"; M 10 - ko'p odamlar.

Binar munosabatlar ustida amallar

R 1, R 1 A to'plamda aniqlangan munosabatlar bo'lsin.

ittifoq R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 yoki (a,b) ∈ R 2 );

chorraha R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 va (a,b) ∈ R 2 );

farq R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R 1 va (a,b) ∉ R 2 ) ;

universal munosabat U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

qo'shimcha R 1 U \ R 1, bu erda U = A × A;

shaxs munosabati I: = ((a;a) / a ∈ A);

teskari munosabat R-1 1 :R-1 1 = ((a,b) : (b,a) ∈ R 1 );

tarkibi R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), bu erda R 1 ⊂ A × C va R 2 ⊂ C×B;

Ta'rif. Aloqa darajasi A to'plamdagi R - uning o'zi bilan tarkibi.

Belgilash:

Ta'rif. Agar R ⊂ A × B bo'lsa, u holda R º R -1 deyiladi R munosabatining yadrosi .

3.1 teorema. R ⊂ A × A A to'plamda aniqlangan munosabat bo'lsin.

1. I ⊂ R bo'lganda (bundan buyon matnda ⇔ belgisi qo'llanilsa) R refleksiv hisoblanadi.
2. R nosimmetrik ⇔ R = R -1.
3. R tranzitiv ⇔ R º R ⊂ R
4. R antisimmetrik ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I.
5. R antirefleksli ⇔ R ⌒ I = ∅.

3.4-topshiriq . Juftlarni sanash orqali berilgan (1,2,3) va (1,2,3,4) to‘plamlar orasidagi munosabat R bo‘lsin: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Bundan tashqari, S S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)) to'plamlar orasidagi munosabatdir. R -1 , S -1 va S º R ni hisoblang. (S º R) -1 = R -1 , S -1 ekanligini tekshiring.

Yechim.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2 .1), (2.2), (2.3)) = (S º R ) -1 .

3.5-topshiriq . Barcha odamlar to‘plamida R “...ota-ona...” munosabati, S esa “...aka...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning qisqacha og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 va R º R.

Yechim.

R -1 - munosabat "... bola ...";

S -1 - munosabat "... uka yoki opa-singil ...";

R º S - "... ota-ona ..." munosabati;

S -1 º R -1 - munosabat "... bola ..."

R º R - munosabat "... buvi yoki bobo ..."

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...ota...”, S esa “...singil...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...aka...”, S esa “...ona...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...bobo...”, S esa “...o‘g‘il...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

4) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...qizi...”, S esa “...buvi...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

5) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...jiyan...”, S esa “...ota...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Barcha odamlar to‘plamidagi R munosabati “singil...”, S esa “ona...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...ona...”, S esa “...singil...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...o‘g‘il...”, S esa “...bobo...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...singil...”, S esa “...ota...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Barcha odamlar to‘plamidagi R “...ona...”, S esa “...aka...” munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Ta'riflar

• 1. A va B to’plamlar elementlari orasidagi ikkilik munosabat RAB, RAA dekart ko’paytmasining istalgan kichik to’plamidir.
• 2. Agar A=B bo'lsa, u holda R A dagi ikkilik munosabatdir.
• 3. Belgilash: (x, y)R xRy.
• 4. R ikkilik munosabatning aniqlanish sohasi R = (x: (x, y)R bo'ladigan y mavjud).
• 5. R ikkilik munosabat diapazoni R = to'plamdir (y: (x, y)R bo'ladigan x mavjud).
• 6. A va B elementlar orasidagi R ikkilik munosabatning to‘ldiruvchisi R = (AB) R to‘plamdir.
• 7. Ikkilik R munosabati uchun teskari munosabat R1 = ((y, x) : (x, y)R to'plamdir.
• 8. R1AB va R2BC munosabatlarining hosilasi R1 R2 = ((x, y) munosabati: (x, z)R1 va (z, y)R2 bo‘ladigan zB mavjud.
• 9. Agar ikkita shart bajarilsa, f munosabati A dan B gacha funksiya deyiladi:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) barcha x, y1, y2 uchun (x, y1)f va (x, y2)f ning y1=y2 ni bildirishi.
• 10. Agar birinchi xatboshida f = A, f = B bo'lsa, f munosabat A dan B gacha funktsiya deyiladi.
• 11. Belgilash: (x, y)f y = f(x).
• 12. iA: AA identifikatsiya funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: iA(x) = x.
• 13. Agar har qanday x1, x2, y uchun y = f(x1) va y = f(x2) ning x1=x2 ni nazarda tutsa, f funksiya 1-1-funksiya deyiladi.
• 14. f funktsiyasi: AB, agar f = A, f = B va f 1-1 funktsiya bo'lsa, A va B o'rtasida birma-bir moslikni bajaradi.
• 15. A to‘plamdagi R ikkilik munosabatining xossalari:
  • - reflekslilik: (x, x)R barcha xA uchun.
  • - qaytarilmaslik: (x, x)R barcha xA uchun.
  • - simmetriya: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisimmetriya: (x, y)R va (y, x)R x=y.
  • - tranzitivlik: (x, y)R va (y, z)R (x, z)R.
  • - dixotomiya: barcha xA va yA uchun (x, y)R yoki (y, x)R.
• 16. P(A) dan A1, A2, ..., Ar to‘plamlari A to‘plamning bo‘limini tashkil qiladi, agar
• - Ai , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , i j.

Ai , i = 1, ..., r, kichik to'plamlar bo'lim bloklari deyiladi.

• 17. A to‘plamdagi ekvivalentlik A to‘plamdagi refleksiv, o‘tishli va simmetrik munosabatdir.
• 18. R ekvivalentligi bo‘yicha x elementning ekvivalentlik klassi [x]R=(y: (x, y)R) to‘plamdir.
• 19. A dan R koeffitsient to'plami A to'plam elementlarining ekvivalentlik sinflari to'plamidir. Belgilanishi: A/R.
• 20. Ekvivalentlik sinflari (A/R faktorlar to'plamining elementlari) A to'plamning bo'limini tashkil qiladi. Aksincha. A to'plamining har qanday bo'limi ekvivalentlik sinflari ko'rsatilgan bo'lim bloklari bilan mos keladigan R ekvivalentlik munosabatiga mos keladi. Boshqacha. A to'plamining har bir elementi A/R dan qandaydir ekvivalentlik sinfiga kiradi. Ekvivalentlik sinflari kesishmaydi yoki mos kelmaydi.
• 21. A to'plamdagi oldindan tartib - A to'plamidagi refleksiv va o'tish munosabati.
• 22. A to‘plamdagi qisman tartib A to‘plamdagi refleksiv, o‘tishli va antisimmetrik munosabatdir.
• 23. Chiziqli tartib A to'plamda dixotomiya xususiyatini qanoatlantiradigan A bo'yicha refleksli, o'tishli va antisimmetrik munosabatdir.

A=(1, 2, 3), B=(a, b) bo‘lsin. Dekart mahsulotini yozamiz: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Ushbu Dekart ko'paytmasining istalgan kichik to'plamini oling: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). U holda R A va B to'plamlardagi ikkilik munosabatdir.

Bu munosabat funksiya bo'ladimi? 9a) va 9b) ikkita shartning bajarilishini tekshiramiz. R munosabat sohasi R = (1, 2) (1, 2, 3) to'plamdir, ya'ni birinchi shart bajarilmaydi, shuning uchun R ga juftlardan birini qo'shish kerak: (3, a) yoki (3, b). Agar ikkala juft qo'shilsa, ikkinchi shart bajarilmaydi, chunki ab. Xuddi shu sababga ko'ra, (1, a) yoki (1, b) juftliklaridan biri R dan olib tashlanishi kerak. Shunday qilib, R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) munosabat funktsiyadir. E'tibor bering, R 1-1 funktsiyasi emas.

Berilgan A va B to‘plamlarda quyidagi munosabatlar ham funksiyalar bo‘ladi: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) va boshqalar.

A=(1, 2, 3) bo‘lsin. A to'plamdagi munosabatga misol R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). A to'plamdagi funksiyaga misol f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Muammoni hal qilishga misollar

1. R = ((x, y) | x, y D va x+y0) uchun R, R, R1, RR, RR1, R1R ni toping.

Agar (x, y)R bo'lsa, x va y barcha haqiqiy sonlar orqali o'tadi. Shuning uchun R = R = D.

Agar (x, y)R bo'lsa, u holda x+y0, demak y+x0 va (y, x)R. Shuning uchun R1=R.

Har qanday xD, yD uchun biz z=-|max(x, y)|-1, keyin x+z0 va z+y0 ni olamiz, ya'ni. (x, z)R va (z, y)R. Shuning uchun RR = RR1 = R1R = D2.

2. Qaysi ikkilik munosabatlar uchun R R1= R to'g'ri?

RAB bo'lsin. Ikki holat mumkin:

• (1) AB. Keling, xAB ni olaylik. Keyin (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Qarama-qarshilik.
• (2) AB=. R1BA va RAB ekan, u holda R1= R= . R1 = dan R = degan xulosa kelib chiqadi. R = dan R=AB kelib chiqadi. Qarama-qarshilik.

Shuning uchun, agar A va B bo'lsa, unda bunday munosabatlar R mavjud emas.

3. Haqiqiy sonlarning D to‘plamida R munosabatini quyidagicha aniqlaymiz: (x, y)R (x-y) ratsional son. R ning ekvivalent ekanligini isbotlang.

Reflektorlik:

Har qanday xD uchun x-x=0 ratsional sondir. Chunki (x, x) R.

Simmetriya:

Agar (x, y)R bo'lsa, x-y = bo'ladi. U holda y-x=-(x-y)=- ratsional son. Shuning uchun (y, x) R.

Tranzitivlik:

Agar (x, y)R, (y, z)R bo'lsa, x-y = va y-z = bo'ladi. Ushbu ikkita tenglamani qo'shib, biz x-z = + ratsional son ekanligini olamiz. Shuning uchun (x, z) R.

Demak, R ekvivalentdir.

4. D2 tekislikning bo'limi a) rasmda ko'rsatilgan bloklardan iborat. Ushbu bo'limga mos keladigan R ekvivalentlik munosabatini va ekvivalentlik sinflarini yozing.

b) va c) uchun shunga o'xshash muammo.

a) ikkita nuqta y=2x+b ko‘rinishdagi to‘g‘ri chiziqda yotsa, ekvivalent bo‘ladi, bunda b har qanday haqiqiy son.

b) ikkita nuqta (x1,y1) va (x2,y2) ekvivalent bo'ladi, agar (x1 ning butun qismi x2 ning butun qismiga teng) va (y1 ning butun qismi y2 ning butun qismiga teng bo'lsa).

c) O'zingiz qaror qiling.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

• 1. Agar f A dan B gacha, g esa B dan C gacha funktsiya bo'lsa, fg A dan C gacha funktsiya ekanligini isbotlang.
• 2. A va B mos ravishda m va n elementdan tashkil topgan chekli to‘plamlar bo‘lsin.

A va B to'plamlar elementlari o'rtasida nechta binar munosabatlar mavjud?

A dan B gacha qancha funktsiya mavjud?

A dan B gacha qancha 1-1 funksiya bor?

Qaysi m va n uchun A va B o'rtasida yakkama-yakka moslik mavjud?

3. Istalgan A va B uchun f (AB)=f(A)f(B) shartni bajarishini isbotlang, agar f 1-1 funksiya bo‘lsa.

To'plamda aniqlangan munosabat bir qancha xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin, xususan:

2. Reflektorlik

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X har bir element refleksiv deyiladi X to'plamlar X munosabatda bo‘ladi R O'zim bilan.

Belgilar yordamida bu munosabatni quyidagicha yozish mumkin:

R aks ettiruvchi tarzda X Û(" XÎ X) x R x

Misol. Segmentlar to'plamidagi tenglik munosabati refleksli, chunki har bir segment o'ziga teng.

Refleksiv munosabat grafigining barcha uchlarida halqalar mavjud.

2. Antireflektorlik

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X element bo'lmasa, aksi refleksiv deyiladi X to'plamlar X munosabatda emas R O'zim bilan.

R antirefleksli yoniq X Û(" XÎ X)

Misol. Munosabat "to'g'ridan-to'g'ri X chiziqqa perpendikulyar da» tekislikdagi chiziqlar to'plamida antirefleksiv, chunki tekislikning hech qanday to'g'ri chizig'i o'ziga perpendikulyar emas.

Antirefleksiv munosabat grafigi hech qanday halqalarni o'z ichiga olmaydi.

E'tibor bering, refleksiv ham, antirefleksiv ham bo'lmagan munosabatlar mavjud. Masalan, "nuqta" munosabatini ko'rib chiqing X nuqtaga simmetrik da» tekislik nuqtalari to'plamida.

Nuqta X nuqtaga simmetrik X- rost; nuqta da nuqtaga simmetrik da- noto'g'ri, shuning uchun biz tekislikning barcha nuqtalari o'ziga simmetrik ekanligini ta'kidlay olmaymiz yoki tekislikning hech bir nuqtasi o'ziga simmetrik emas deb da'vo qila olmaymiz.

3. Simmetriya

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X elementi ekanligidan kelib chiqib, agar simmetrik deyiladi X munosabatda bo‘ladi R element bilan da, shundan kelib chiqadiki, element da munosabatda bo‘ladi R element bilan X.

R simmetrik X Û(" X, daÎ X) x R y Þ y R x

Misol. Munosabat "to'g'ridan-to'g'ri X chiziqni kesib o'tadi da tekislikning to'g'ri chiziqlari to'plamida" simmetrikdir, chunki to'g'ri bo'lsa X chiziqni kesib o'tadi da, keyin to'g'ri chiziq da chiziqni kesib o'tishi kerak X.

Bir nuqtadan har bir o'q bilan birga simmetrik munosabatlar grafigi X aynan da bir xil nuqtalarni bog'laydigan o'qni o'z ichiga olishi kerak, lekin teskari yo'nalishda.

4. Asimmetriya

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X elementlar bo'lmasa, assimetrik deyiladi X, da ko'pchilikdan X element bo'lishi mumkin emas X munosabatda bo‘ladi R element bilan da va element da munosabatda bo‘ladi R element bilan X.

R assimetrik X Û(" X, daÎ X) x R y Þ

Misol. munosabat " X < da» assimetrik tarzda, chunki har qanday juft elementlar uchun X, da bir vaqtning o'zida bo'lishi mumkin emas X < da Va da<X.

Asimmetrik munosabat grafigida halqalar yo‘q va agar grafikning ikkita cho‘qqisi o‘q bilan bog‘langan bo‘lsa, bu o‘q faqat bitta bo‘ladi.

5. Antisimmetriya

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X antisimmetrik, agar, deb ataladi X bilan munosabatda bo‘ladi da, A da bilan munosabatda bo‘ladi X shunga amal qiladi X = y.

R antisimmetrik X Û(" X, daÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Misol. munosabat " X£ da» antisimmetrikdir, chunki sharoitlar X£ da Va da£ X faqat qachon bir vaqtning o'zida bajariladi X = y.

Antisimmetrik munosabatning grafigi halqalarga ega va agar grafikning ikkita cho'qqisi o'q bilan bog'langan bo'lsa, bu o'q faqat bitta bo'ladi.

6. Tranzitivlik

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X har qanday elementlar uchun bo'lsa, o'tish deyiladi X, da, z ko'pchilikdan X nimadan X bilan munosabatda bo‘ladi da, A da bilan munosabatda bo‘ladi z shunga amal qiladi X bilan munosabatda bo‘ladi z.

R tranzitiv X Û(" X, da, zÎ X) x R y Ù da RzÞ x Rz

Misol. munosabat " X bir nechta da» tranzitivdir, chunki agar birinchi raqam ikkinchining karrali, ikkinchisi esa uchinchining karrali bo'lsa, birinchi raqam uchinchining karrali bo'ladi.

Har bir juft o'q bilan o'tish munosabati grafigi X Kimga da va dan da Kimga z dan keladigan o'qni o'z ichiga oladi X Kimga z.

7. Ulanish

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X har qanday elementlar uchun agar bog'langan deb ataladi X, da ko'pchilikdan x x bilan munosabatda bo‘ladi da yoki da bilan munosabatda bo‘ladi X yoki x = y.

R ulangan X Û(" X, da, zÎ X) x R y Ú da RzÚ X= da

Boshqacha aytganda: munosabatlar R to'plamda X har qanday alohida elementlar uchun agar bog'langan deb ataladi X, da ko'pchilikdan x x bilan munosabatda bo‘ladi da yoki da bilan munosabatda bo‘ladi X yoki x = y.

Misol. munosabat " X< da» bog'langan, chunki qanday haqiqiy sonlarni olsak ham, ulardan biri ikkinchisidan katta bo'lishi aniq yoki ular tengdir.

Munosabatlar grafigida barcha uchlari strelkalar bilan bog'langan.

Misol. Qaysi xususiyatlarni tekshiring

munosabat" X - ajratuvchi da» to'plamda belgilangan

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) bu munosabat refleksli, chunki berilgan to‘plamdagi har bir son o‘ziga bo‘linuvchi;

2) bu munosabat antireflekslik xususiyatiga ega emas;

3) simmetriya xossasi qanoatlanmaydi, chunki masalan, 2 - 4 ning bo'luvchisi, lekin 4 - 2 ning bo'luvchisi emas;

4) bu munosabat antisimmetrikdir: ikkita son bir vaqtning o'zida bir-birining bo'luvchisi bo'lishi mumkin, agar bu raqamlar teng bo'lsa;

5) munosabat o'tishli, chunki agar bitta raqam ikkinchisining bo'luvchisi bo'lsa, ikkinchisi esa uchinchining bo'luvchisi bo'lsa, birinchi raqam, albatta, uchinchisining bo'luvchisi bo'ladi;

6) munosabat boglanish xususiyatiga ega emas, chunki masalan, grafikdagi 2 va 3 raqamlari o'q bilan bog'lanmagan, chunki ikkita aniq raqamlar 2 va 3 bir-birining bo'luvchisi emas.

Shunday qilib, bu munosabat refleksivlik, assimetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega.

§ 3. Ekvivalentlik munosabati.
Ekvivalentlik munosabatining to'plamning sinflarga bo'linishi bilan bog'lanishi

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi.

Misol. O'zaro munosabatlarni ko'rib chiqing " X sinfdosh da» pedagogika fakulteti talabalari to‘plami bo‘yicha. U quyidagi xususiyatlarga ega:

1) refleksivlik, chunki har bir talaba o'zi uchun sinfdosh;

2) simmetriya, chunki talaba bo'lsa X da, keyin talaba da talabaning sinfdoshi X;

3) tranzitivlik, chunki talaba bo'lsa X- sinfdosh da, va talaba da- sinfdosh z, keyin talaba X talabaning sinfdoshi bo'lish z.

Demak, bu munosabat reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega va shuning uchun ekvivalentlik munosabati hisoblanadi. Shu bilan birga, pedagogika fakulteti talabalari to‘plamini o‘sha kursda o‘qiyotgan talabalardan iborat bo‘linmalarga bo‘lish mumkin. Biz 5 ta kichik to'plamni olamiz.

Ekvivalentlik munosabati ham, masalan, parallel chiziqlar munosabati, raqamlar tengligi munosabati. Har bir bunday munosabat to'plamning sinflarga bo'linishi bilan bog'liq.

Teorema. To'plamda bo'lsa X ekvivalentlik munosabati berilgan bo'lsa, u bu to'plamni juft bo'lib ajratilgan kichik to'plamlarga (ekvivalentlik sinflari) ajratadi.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar to'plamda har qanday munosabat aniqlangan bo'lsa X, bu to'plamning sinflarga bo'linishini hosil qiladi, keyin u ekvivalentlik munosabati bo'ladi.

Misol. To'plamda X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) "3 ga bo'linganda bir xil qoldiqga ega bo'ladi" munosabati berilgan. Bu ekvivalent munosabatmi?

Keling, ushbu munosabatlarning grafigini tuzamiz:

Bu munosabat reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega, shuning uchun u ekvivalentlik munosabati bo'lib, to'plamni ajratadi. X ekvivalentlik sinflariga kiradi. Har bir ekvivalentlik sinfi 3 ga bo'linganda bir xil qoldiqni beradigan raqamlarga ega bo'ladi: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Ekvivalentlik sinfi uning har qanday vakili tomonidan belgilanadi, deb ishoniladi, ya'ni. bu sinfning ixtiyoriy elementi. Shunday qilib, teng kasrlar sinfini ushbu sinfga tegishli har qanday kasrni ko'rsatish orqali aniqlash mumkin.

Matematikaning dastlabki kursida ekvivalentlik munosabatlari ham yuzaga keladi, masalan, «ifodalar X Va da bir xil raqamli qiymatlarga ega", "rasm X raqamga teng da».

Ba'zi bo'sh bo'lmagan A to'plami berilsin va R A to'plamning dekart kvadratining bir nechta kichik to'plami bo'lsin: R  A  A.

munosabat R to'plamda A to'plamning kichik to'plami deb ataladi A A(yoki A 2 ). Shunday qilib munosabat kelish hududi jo'nash joyi bilan bir xil bo'lgan mos keladigan maxsus holat mavjud. Xuddi o'yin kabi, munosabat ham tartiblangan juftlik bo'lib, unda ikkala element ham bir to'plamga tegishli.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

haqiqat ( a, b)R quyidagicha yozilishi mumkin: a R b. Unda shunday deyilgan: " A R ga nisbatan b"yoki" orasida A Va b R munosabati amal qiladi. Aks holda yozing: a, b)R yoki aR b.

Raqamlar to'plamidagi munosabatlarga misol sifatida quyidagilar keltirilgan: "=", "", "", ">" va boshqalar. Har qanday kompaniyaning xodimlari to'plamida "boshliq bo'lish" yoki "bo'ysunuvchi bo'lish", qarindoshlar to'plamida - "ajdod bo'lish", "aka bo'lish", "ota bo'lish". ", va boshqalar.

Ko'rib chiqilayotgan munosabatlar ikkilik (ikki o'rinli) bir jinsli munosabatlar deb ataladi va matematikada eng muhim hisoblanadi. Ular bilan birga ular ham o'ylashadi P-mahalliy yoki P-ariy munosabatlar:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Munosabatlar yozishmalarning maxsus holati bo'lganligi sababli, ularni o'rnatish uchun avval tasvirlangan barcha usullardan foydalanish mumkin.

Shubhasiz, nisbatni matritsali tarzda o'rnatish orqali biz kvadrat matritsani olamiz.

O'zaro munosabatlarning geometrik (grafik) tasviri bilan biz diagramma olamiz, unga quyidagilar kiradi:

to'plam elementlariga mos keladigan nuqtalar yoki doiralar bilan belgilangan cho'qqilar;

va ikkilik munosabatlarga kiruvchi elementlar juftlariga mos keladigan yoylar (chiziqlar), elementga mos keladigan tepadan yo'naltirilgan strelkalar bilan chiziqlar bilan belgilanadi. a elementga mos keladigan tepaga b , Agar a Rb .

Bunday raqam ikkilik munosabatning yo'naltirilgan grafigi (yoki digrafi) deyiladi.

4.9.1-topshiriq . Nisbat "M = (1, 2, 3, 4) to'plamda bo'luvchi bo'lish" berilishi mumkin. matritsa:

ro'yxatga olish: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4 ));

geometrik (grafik):

1. A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) to‘plamdagi quyidagi ikkilik munosabatlarga tegishli tartiblangan juftlarni yozing:

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. X = (a, b, c, d) to‘plamdagi R munosabati matritsa orqali berilgan.

,

unda satrlar va ustunlar tartibi yozilgan elementlarning tartibiga mos keladi. Berilgan munosabatga tegishli tartiblangan juftlarni sanab bering. Grafik yordamida munosabatlarni ko'rsating.

3. A = (1, 2, 3, 4) to‘plamdagi munosabat grafik bilan ifodalanadi. Kerakli:

R ga tegishli tartiblangan juftlarni sanab o'ting;

mos keladigan matritsani yozing;

predikatlar yordamida bu munosabatni aniqlang.

(javob: a-b= 1).

4.10. Binar munosabatlarning asosiy turlari (xossalari).

Ikkilik munosabat bo'lsin R to'plamda A 2 : R  A  A = (( a, b) | aA, bA, ( a, b)R)

ikkilik munosabat R to'plamda A chaqirdi aks ettiruvchi, agar mavjud bo'lsa aA amalga oshirildi aRa, ya'ni ( A,A)R. Refleksiv munosabat matritsasining asosiy diagonali birlardan iborat. Refleksiv munosabat grafigining har bir cho'qqisida halqalar bo'lishi shart.

Misollar refleksiv munosabatlar: , =,  haqiqiy sonlar to'plamida, xodimlar to'plamida "boshliq bo'lmaslik".

ikkilik munosabat R to'plamda A deyiladi antirefleksga qarshi (refleksiv), agar mavjud bo'lsa aA munosabatni saqlamaydi aRa, ya'ni ( A,A)R. Reflekssiz munosabat matritsasining asosiy diagonali nollardan iborat. Reflekssiz munosabat grafigida halqalar yo'q.

Misollar antirefleksli munosabatlar:<, >haqiqiy sonlar to'plami bo'yicha, chiziqlar to'plamidagi chiziqlar perpendikulyarligi.

ikkilik munosabat R to'plamda A chaqirdi simmetrik, agar mavjud bo'lsa a, bA dan aRb kerak bRa, ya'ni agar ( a, b)R, keyin va ( b, a)R. Simmetrik nisbat matritsasi o'zining asosiy diagonaliga nisbatan simmetrikdir ( σ ij = σ ji). Simmetrik munosabatning grafigi yo'naltirilmagan (qirralari o'qlarsiz ko'rsatilgan). Bu erdagi har bir juft cho'qqi yo'naltirilmagan chekka bilan bog'langan.

Misollar simmetrik munosabatlar:  haqiqiy sonlar to'plamida, odamlar to'plamida "qarindosh bo'lish".

ikkilik munosabat R to'plamda A chaqirdi:

qarshisimmetrik, agar mavjud bo'lsa a, bA dan aRb Va bRa shunga amal qiladi a=b. Ya'ni, agar ( a, b)R va( b, a)R, keyin bu quyidagicha a=b. Asosiy diagonal bo'ylab antisimmetrik nisbat matritsasi barcha 1 ga ega va asosiy diagonalga nisbatan simmetrik joylarda joylashgan 1 jufti yo'q. Boshqacha aytganda, hamma narsa σ ii=1, va agar σ ij=1, keyin albatta σ ji=0. Antisimmetrik munosabat grafigi har bir tepada halqalarga ega va cho'qqilar faqat bitta yo'naltirilgan yoy bilan bog'langan.

Misollar antisimmetrik munosabatlar: , ,  haqiqiy sonlar to‘plamida; ,  to'plamlarda;

Asimmetrik, agar mavjud bo'lsa a, bA dan aRb keyin muvaffaqiyatsizlikka uchradi bRa, ya'ni agar ( a, b)R, Bu ( b, a) R. Asosiy diagonal bo'ylab egilish nisbati matritsasi nolga ega ( σ ij=0) hammasi va nosimmetrik birlik juftlari yo'q (agar σ ij=1, keyin albatta σ ji=0). Asimmetrik munosabat grafigida halqalar yo‘q va cho‘qqilari bitta yo‘naltirilgan yoy bilan bog‘langan.

Asimmetrik munosabatlarga misollar:<, >haqiqiy sonlar to'plamida, odamlar to'plamida "ota bo'lish".

ikkilik munosabat R to'plamda A chaqirdi tranzitivnym, agar mavjud bo'lsa a, b, BilanA dan aRb Va bRa shundan kelib chiqadi va aRBilan. Ya'ni, agar ( a, b)R va( b, Bilan)R bundan kelib chiqadi ( A, Bilan)R. O'tish munosabati matritsasi, agar bo'lsa, shundayligi bilan tavsiflanadi σ ij=1 va σ jm=1, keyin albatta σ im=1. O'tish munosabati grafigi shundayki, masalan, birinchi-ikkinchi va ikkinchi-uchinchi cho'qqilar yoylar bilan bog'langan bo'lsa, u holda birinchidan uchinchi cho'qqigacha yoylar albatta bo'ladi.

Misollar o'tish munosabatlari:<, , =, >,  haqiqiy sonlar to‘plamida; xodimlar to'plamida "boshliq bo'lish".

ikkilik munosabat R to'plamda A chaqirdi o'tishga qarshinym, agar mavjud bo'lsa a, b, BilanA dan aRb Va bRa bajarilmaganligidan kelib chiqadi aRBilan. Ya'ni, agar ( a, b)R va( b, Bilan)R bundan kelib chiqadi ( A, Bilan) R. Anti-o'tish munosabati matritsasi shundayligi bilan tavsiflanadi: agar σ ij=1 va σ jm=1, keyin albatta σ im=0. O'tishga qarshi munosabatning grafigi shundayki, masalan, birinchi-ikkinchi va ikkinchi-uchinchi cho'qqilar yoylar bilan bog'langan bo'lsa, birinchidan uchinchi cho'qqigacha yoy bo'lishi shart emas.

Antitransitiv munosabatlarga misollar: butun sonlar to'plamida "paritet mos kelmasligi"; xodimlar to'plami bo'yicha "bevosita rahbar bo'lish".

Agar munosabat qandaydir xususiyatga ega bo'lmasa, etishmayotgan juftlarni qo'shib, bu xususiyat bilan yangi munosabatni olishingiz mumkin. Bunday etishmayotgan juftliklar to'plami deyiladi yopilish ushbu mulk uchun munosabatlar. Uni belgilang R* . Shunday qilib, siz refleksli, nosimmetrik va o'tishli yopilishni olishingiz mumkin.

Muammo 4.10.1. A = (1, 2, 3, 4) to‘plamda R=(() munosabati a,b)| a,bA, a+b juft raqam). Ushbu munosabatlar turini aniqlang.

Yechim. Bu munosabatning matritsasi:

. Shubhasiz, munosabatlar aks ettiruvchi, chunki asosiy diagonal bo'ylab birliklar mavjud. Bu nosimmetrik tarzda: s 13 = s 31, s 24 = s 42. tranzitiv tarzda: (1,3)R, (3,1)R va (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R va (2,2)R va boshqalar.

Muammo 4.10.2. A to'plamida qanday xususiyatlar = ( a, b, c, d) ikkilik munosabatga ega R = (( a,b), (b,d), (a,d), (b,a), (b,c)}?

Yechim . Shu munosabatning matritsasi va uning grafigini tuzamiz:

Munosabat qaytarilmasdan, chunki hamma s ii= 0. Bu Yo'q nosimmetrik tarzda, chunki s 23 =1, va s 32 =0, ammo, s 12 =s 21 =1. Munosabat Yo'q tranzitiv tarzda, chunki s 12 =1, s 23 =1 va s 13 =0; s 12 =1, s 21 =1 va s 11 =0; lekin ayni vaqtda s 12 =1, s 24 =1 va s 14 =1.

4.10.3-topshiriq. A = (1,2,3,4,5) to'plamda R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) munosabat berilgan. Aloqa turini aniqlang va R uchun quyidagi yopilishlarni toping:

aks ettiruvchi;

nosimmetrik;

tranzitiv.

Yechim. Munosabat qaytarilmaydi, chunki shaklning elementi yo'q ( A,A). Asimmetrik, chunki u shaklning juftlarini o'z ichiga olmaydi ( a,b) va ( b,a) va barcha diagonal elementlar 0. (1,2)R, (2,3)R, lekin (1,3)R dan beri o‘tishga qarshi. Xuddi shunday (2.4)R, (4.5)R va (2.5)R va boshqalar.

berilgan munosabatning refleksiv yopilishi R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

nosimmetrik yopilish: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

tranzitiv yopilish: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Dastlabki munosabat va natijada o'tish davrining grafigini ko'rib chiqing.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

1. R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) munosabati berilgan. Uning turini aniqlang va reflektorlik, simmetriya va tranzitivlik bo'yicha yopilishlarni toping.

2. Rus tilining so‘z turkumiga bo‘lgan munosabati quyidagicha aniqlanadi. A R b agar ularda kamida bitta umumiy harf bo'lsa. A = to'plamdagi munosabat turini aniqlang (sigir, vagon, ip, bolta).

3. A = (1, 2) va B = (1, 2, 3) to'plamdagi ikkilik munosabatlarga misollarni ko'rsating, ular quyidagicha bo'ladi:

refleksiv emas, simmetrik emas, o'tish emas;

refleksiv, simmetrik emas, o'tish emas;

nosimmetrik, lekin refleksiv va o'tish emas;

tranzitiv, lekin refleksiv va nosimmetrik emas;

refleksiv, simmetrik, lekin o'tish emas;

refleksiv, tranzitiv, lekin nosimmetrik emas;

refleksiv bo'lmagan, simmetrik, o'tishli;

refleksiv, simmetrik, o'tish.