रिंग होमोमॉर्फिज्म प्रमेय. रिंग homomorphisms

आयसोमॉर्फिझमची संकल्पना खरोखरच विचाराधीन संचांच्या सर्व गुणधर्मांची समानता व्यक्त करते ही वस्तुस्थिती पुढील प्रस्तावाच्या स्वरूपात तयार केली जाऊ शकते:

जर संच एमआणि मी"काही संबंध प्रणालीच्या संदर्भात समरूपी आहेत एस, नंतर सेटची कोणतीही मालमत्ता एम, प्रणाली संबंधांच्या दृष्टीने तयार केले आहे एस(आणि म्हणून, संबंध प्रणालीच्या संबंधांद्वारे परिभाषित केले जातात एस), सेटवर हस्तांतरित केले जाते मी", आणि परत.

एक विशिष्ट उदाहरण वापरून या परिस्थितीचे परीक्षण करूया.

सेट करू द्या एमआणि मी"संबंध "मोठे" परिभाषित केले आहेत, आणि ते या संबंधाच्या संदर्भात समरूपी आहेत; मग जर एमऑर्डर केले, म्हणजे जर मध्ये एमविभागातील गुणधर्म 1) आणि 2) समाधानी आहेत, नंतर ते देखील समाधानी आहेत मी".

मालमत्ता सिद्ध करूया 1). द्या एक"आणि ब"- घटक मी"आणि aआणि b- संबंधित घटक एम. अट 1) मध्ये एमसंबंधांपैकी एक समाधानी आहे a = b, a > b, b > a. डिस्प्ले एमवर मी""अधिक" संबंध राखते. याचा अर्थ असा की नातेसंबंधांपैकी एक समाधानी आहे एक" = ब", एक" > ब", ब" > एक". मध्ये असल्यास मी"त्यापैकी एकापेक्षा अधिक निष्पादित केले गेले, नंतर प्रदर्शित करताना "पेक्षा जास्त" संबंध जतन करण्यापासून मी"वर एमसाठी एकापेक्षा जास्त संबंध करणे आवश्यक आहे aआणि b, जे अट 1 च्या विरोधाभासी आहे).

मालमत्ता सिद्ध करूया २). तर एक" > ब"आणि ब" > ग", नंतर देखील a > bआणि b > c. खरं तर, मध्ये एमअसणे आवश्यक आहे a > c. म्हणजे, एक" > ग".

आता आपण रिंग आणि फील्डच्या गटांच्या समरूपतेचा सामना करूया. मुळे एक संबंध आहे a + b = cआणि ab = cकोणत्याहीसाठी अतिरिक्त आवश्यकता पूर्ण करा aआणि bएक आणि फक्त एक आहे c, ज्यासाठी a + b = cकिंवा ab = c(या दोन आवश्यकता मूलत: दोन अतिरिक्त स्वयंसिद्ध आहेत), आणि या गरजा पूर्ण केल्या आहेत असे गृहीत धरले जाते एम, आणि मध्ये मी", रिंग्ज आणि फील्ड्सच्या समूहांच्या आयसोमॉर्फिझमची व्याख्या या व्याख्येच्या तुलनेत सोपी केली जाऊ शकते, म्हणजे, फक्त पास होताना मूलभूत संबंधांचे जतन करणे आवश्यक आहे. एमला मी". अंकीय डोमेनच्या व्याख्येत नंतर आवश्यक असणार्‍या रिंग्ज आणि फील्ड्सच्या बाबतीत स्वतःला मर्यादित ठेवून (समूहांचे प्रकरण फक्त दोन ऐवजी एक ऑपरेशन आहे म्हणून विचारात घेतलेल्यापेक्षा वेगळे आहे), आम्ही अशा प्रकारे प्राप्त करतो:

रिंग (किंवा फील्ड) आरम्हणतात रिंग करण्यासाठी isomorphic(अनुक्रमे फील्ड) आर"(रेकॉर्ड) एक-टू-वन मॅपिंग असल्यास आरवर आर", ज्यामध्ये कोणत्याही घटकांची बेरीज आणि उत्पादन आरसंबंधित घटकांच्या बेरीज आणि उत्पादनाशी संबंधित आर".

आपण दाखवूया की ही व्याख्या सामान्य व्याख्येची एक विशेष बाब आहे. हे करण्यासाठी, आपण फक्त व्यस्त मॅपिंग याची खात्री करणे आवश्यक आहे आर"वर आरबेरीज आणि उत्पादन देखील संग्रहित करते. आत येऊ द्या आर"आमच्याकडे आहे: एक" + ब" = ग", आणि घटक एक", ब", ग"याच्याशी रिव्हर्समध्ये प्रदर्शित केल्यावर a, b, cपासून आर. ते आपण सिद्ध केले पाहिजे a + b = c. पण जर a + b = d ≠ c, नंतर मागील परिच्छेदामध्ये दिलेल्या व्याख्येवरून ते अनुसरण करेल एक" + ब" = डी" ≠ ग", जे मधील अॅडिशन ऑपरेशनच्या विशिष्टतेचा विरोधाभास करते आर"

व्याख्या 1.7.चला ( ए, ) आणि ( बी, ) – गट डिस्प्ले  : ए  बी म्हणतात समूह होमोमॉर्फिझम, जर ते ऑपरेशन वाचवते, म्हणजे.  x, y  ए  (x  y) =  (x) (y).

व्याख्या 1.8.तर (ए, + ,  ) आणि ( बी, , ) – रिंग, नंतर मॅपिंग  : ए  बी म्हणतात रिंग homomorphism, जर ते दोन्ही ऑपरेशन्स वाचवते, म्हणजे.

 x,yए (x+y) =  (x)  (y), x, y ए (x y) =  (x)   (y).

व्याख्या 1.9.इंजेक्टिव्ह होमोमॉर्फिजम म्हणतात monomorphismsकिंवा गुंतवणूक, surjective homomorphisms - epimorphismsकिंवा आच्छादन, आणि द्विभाषिक - समरूपता.

व्याख्या 1.10.जर गट किंवा रिंग्जचा समरूपता असेल  : ए बी, नंतर गट किंवा रिंग ए, INम्हणतात समरूपी.

आयसोमॉर्फिझमचा अर्थ असा आहे की ते आयसोमॉर्फिक वस्तूंच्या घटकांमध्ये एक पत्रव्यवहार स्थापित करते, जे दर्शविते की संरक्षित बीजगणितीय क्रियांच्या दृष्टिकोनातून, समरूपी वस्तू अविभाज्य आहेत.

उदाहरणे: १.आयडेंटिटी आयसोमॉर्फिझम आय: ए  ए , x  ए आय (x) = x. (ए – गट किंवा रिंग).

2. युनिटकिंवा निरर्थक epimorphism: तर इ = {e} – सिंगलटन ऑब्जेक्ट (युनिट गट किंवा शून्य रिंग), नंतर कोणत्याही गटासाठी ( ए, ) किंवा epimorphism O ची व्याख्या केली जाते : ए  इ,  x  ए बद्दल (x) = e.

3. गट आणि रिंगांचे नैसर्गिक एम्बेडिंग: झेड प्र  आर  सी.

होमोमॉर्फिजमचे गुणधर्म

तर  : (ए,  )  (बी,  ) – गटांचे समरूपता, नंतर

1 0 .  (e ए) = e बी , त्या  एका घटकाला एका घटकामध्ये रूपांतरित करते.

2 0 .  a  ए  (a – 1) =  (a) – 1 , त्या  मध्ये व्यस्त घटकाचे भाषांतर करते ए च्या उलट ( ए).

तीस रिंग homomorphism बाबतीत  : (ए, + ,  )  (बी,  ,  ) आम्हाला मिळते  (0 ए) = 0 IN ,  (– a) = –  (a).

4 0 . एक अंगठी homomorphism साठी  : (ए, +, )  (बी, , ) बरोबर:

 x, y  ए  (x – y) =  (x) –  (y).

5 0 . फील्ड homomorphism  : (ए, + ,  )  (बी,  ,  ) एकतर शून्य किंवा नेस्टेड.

60. जर  : u  V आणि : V  w हे गट किंवा वलयांचे दोन समरूपता असतील, तर त्यांची रचना  ○  : u  w हे गट किंवा वलयांचे समरूपता असेल.

70. जर  : V  w हा समूह किंवा वलयांचा समरूपता असेल, तर व्यस्त मॅपिंग  –1: w  V हा समूह किंवा वलयांचा समरूपता आहे. आधुनिक गणितातील आयसोमॉर्फिझमची संकल्पना आणि कल्पना

समरूपता (किंवा समरूपता) ही आधुनिक गणिताच्या मूलभूत संकल्पनांपैकी एक आहे. एकाच प्रकारच्या दोन गणितीय वस्तू (किंवा स्ट्रक्चर्स) जर त्यांपैकी एकाचे दुसर्‍यावर मॅपिंग असेल तर त्यांना आयसोमॉर्फिक म्हटले जाते, जसे की ते आणि त्याचा व्यस्त वस्तूंची रचना जतन करतात, म्हणजे. विशिष्ट संबंधात असलेले घटक संबंधित संबंधात असलेल्या घटकांमध्ये भाषांतरित केले जातात.

आयसोमॉर्फिक वस्तूंमध्ये घटकांचे भिन्न स्वरूप आणि त्यांच्यातील नातेसंबंध असू शकतात, परंतु ते पूर्णपणे तितकेच अमूर्तपणे संरचित आहेत आणि एकमेकांच्या प्रती म्हणून काम करतात. Isomorphism समान प्रकारच्या वस्तूंची "अमूर्त समानता" आहे. उदाहरणार्थ, अवशेष वर्ग मोड्युलो n चा मिश्रित गट जटिल मुळांच्या गुणाकार गटासाठी समरूपी आहे. n- 1 पासून पदवी.

समान प्रकारच्या गणितीय वस्तूंच्या कोणत्याही वर्गावरील समरूपता संबंध, समतुल्य संबंध असल्याने, वस्तुंच्या मूळ वर्गाला समरूपी वर्गांमध्ये विभागते - जोडीनुसार समरूपी वस्तूंचे वर्ग. प्रत्येक आयसोमॉर्फी वर्गातून एक ऑब्जेक्ट निवडून, आम्ही गणितीय वस्तूंच्या या वर्गाचे संपूर्ण अमूर्त विहंगावलोकन प्राप्त करतो. आयसोमॉर्फिझमची कल्पना म्हणजे दिलेल्या वर्गाच्या वस्तूंचे प्रतिनिधित्व करणे किंवा त्यांचे वर्णन करणे समरूपता पर्यंत.

प्रत्येक दिलेल्या वस्तू वर्गासाठी आहे isomorphism समस्या. दिलेल्या वर्गातील दोन अनियंत्रित वस्तू isomorphic आहेत का? हे कसे कळते? दोन वस्तूंचे समरूपता सिद्ध करण्यासाठी, नियमानुसार, त्यांच्यामध्ये एक विशिष्ट समरूपता तयार केली जाते. किंवा हे स्थापित केले जाते की दोन्ही वस्तू कोणत्यातरी तिसऱ्या वस्तूसाठी समरूपी आहेत. दोन वस्तू आयसोमॉर्फिक नाहीत हे तपासण्यासाठी, एका वस्तूकडे असलेली अमूर्त गुणधर्म दर्शवणे पुरेसे आहे, परंतु दुसर्‍याकडे नाही.

पद्धत 11.यु.एम. कोल्यागिन गणितातील दोन प्रकारचे अभ्यासेतर काम वेगळे करतात.

प्रोग्राम सामग्री शिकण्यात इतरांपेक्षा मागे असलेल्या विद्यार्थ्यांसोबत काम करणे, उदा. गणिताचे अतिरिक्त वर्ग.

गणितात रस असलेल्या विद्यार्थ्यांसोबत काम करणे.

परंतु आपण तिसऱ्या प्रकारचे काम देखील वेगळे करू शकतो.

गणित शिकण्याची आवड निर्माण करण्यासाठी विद्यार्थ्यांसोबत काम करणे.

अभ्यासेतर क्रियाकलापांचे खालील प्रकार आहेत:

गणितीय वर्तुळ.

ऐच्छिक.

ऑलिम्पिक स्पर्धा, प्रश्नमंजुषा.

गणितीय ऑलिम्पियाड.

गणिती चर्चा.

गणित आठवडा.

शाळा आणि वर्गातील गणित प्रिंट.

गणितीय मॉडेल्सचे उत्पादन.

गणिती सहली.

हे फॉर्म अनेकदा एकमेकांना छेदतात आणि म्हणून त्यांच्यामध्ये तीक्ष्ण सीमा काढणे कठीण आहे. शिवाय, त्यापैकी कोणत्याही एकावर काम आयोजित करताना अनेक स्वरूपांचे घटक वापरले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, गणिताची संध्याकाळ आयोजित करताना, आपण स्पर्धा, स्पर्धा, अहवाल इत्यादी वापरू शकता.

संघटनेचे टप्पे.

पूर्वतयारी

संघटनात्मक

अतिरिक्त क्रियाकलापांमध्ये स्वारस्य उत्तेजित करणे;

सार्वजनिक कार्यक्रम आणि वैयक्तिक स्पर्धांमध्ये सहभाग घेणे;

डिडॅक्टिक

अडचणींवर मात करण्यात मदत;

अतिरिक्त क्रियाकलापांमध्ये उदयोन्मुख स्वारस्य राखणे;

गणिताच्या स्वयं-शिक्षणात गुंतण्याची इच्छा

बेसिक

पुढील वैयक्तिक यशासाठी प्रत्येक विद्यार्थ्यासाठी आधार तयार करा;

विद्यार्थ्यांना अभ्यासक्रमाबाहेरील क्रियाकलापांचे सामाजिक, व्यावहारिक आणि वैयक्तिक महत्त्व समजण्यास मदत करणे;

अभ्यासेतर क्रियाकलापांमध्ये सहभागी होण्यासाठी सकारात्मक प्रेरणा निर्माण करा

अंतिम

अभ्यासेतर क्रियाकलापांचे निदान आणि प्रतिबिंब आयोजित करणे;

सक्रियपणे सहभागी झालेल्या विद्यार्थ्यांना सारांश द्या आणि प्रोत्साहित करा

रिंग्ज आणि फील्ड्सच्या समरूपतेच्या प्रश्नाचा थोडक्यात विचार करूया.

द्या आर 1 = (R 1, +, ⋅, 0, 1 ) आणि आर 2 = (R 2, +, ⋅, 0, 1 ) - रिंग्ज.

व्याख्या 2.9.मॅपिंग f: R 1 → R 2 म्हणतात रिंग homomorphism(R 1 ला R 1 मध्ये रिंग करा), जर f(x + y) = f(x) + f(y), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) कोणत्याही x, y ∈ साठी R 1, i.e. मॅपिंग f अंतर्गत रिंग R 1 च्या कोणत्याही दोन घटकांची बेरीज आणि उत्पादनाची प्रतिमा अनुक्रमे, रिंग R 2 मधील त्यांच्या प्रतिमांच्या बेरीज आणि उत्पादनाशी समान आहे.

मॅपिंग f surjective (अनुक्रमे द्विजेक्टिव्ह) असेल तर त्याला म्हणतात epimorphism (अनुक्रमे समरूपता ) रिंग्ज (रिंग्ज आर 1 प्रति रिंग आर 2)

उदाहरण 2.25.चला विचार करूया आर 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) पूर्णांकांची वलय आहे - आणि ℤ k = (ℤ k, ⊕ k, ⨀ k, 0, 1) मोड्युलो k अवशेषांची रिंग आहे. खालीलप्रमाणे मॅपिंग f: ℤ → ℤ k परिभाषित करूया: प्रत्येक पूर्णांक m साठी, प्रतिमा f(m) ही m च्या उरलेल्या k ने भागलेल्या समान आहे. आम्ही आधी सिद्ध केले आहे (उदाहरण 2.21 पहा) की कोणत्याही पूर्णांकांसाठी m आणि n समानता f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n) धारण करते. असाच युक्तिवाद करून, आम्ही दाखवू शकतो की कोणत्याही पूर्णांक प्रकारासाठी समानता f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n) देखील सत्य आहे. मॅपिंग f हे सजेक्टिव्ह आहे हे लक्षात घेऊन, आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचतो की हे अवशेष मोड्युलो k च्या रिंग ℤ k वर पूर्णांकांच्या रिंगचा समरूपता आहे. #

पुराव्याशिवाय, आम्ही होमोमॉर्फिझम आणि रिंग्स (आणि फील्ड) च्या समरूपता बद्दल काही प्रमेय तयार करतो. ही सर्व विधाने समलैंगिकता आणि समरूपता यांच्या समरूपी प्रमेयांशी साधर्म्य साधून सिद्ध करता येतात.

प्रमेय 2.20.द्या आर 1 आणि आर 2 - अनियंत्रित रिंग. जर f: आर 1 → आर 2 हा समरूपता आहे

1. शून्य रिंगची प्रतिमा आर मॅपिंग f अंतर्गत 1 हे रिंगचे शून्य आहे आर 2, i.e. f( 0 ) = 0 ;
2. रिंग युनिट प्रतिमा आर 1 दाखवताना f हे रिंगचे एकक आहे आर 2, i.e. f( 1 ) = 1 ;
3. रिंगच्या प्रत्येक घटक x साठी आर 1 घटक x च्या विरुद्ध असलेल्या घटकाची प्रतिमा x च्या प्रतिमेच्या विरुद्ध असलेल्या घटकाच्या समान आहे, म्हणजे. f(-x) = -f(x);
4. अंगठ्या असल्यास आर 1 आणि आर 1 फील्ड आहेत, नंतर रिंगच्या प्रत्येक घटक x साठी आर 1 घटकाची प्रतिमा x घटकाच्या प्रतिमेच्या गुणाकाराने व्युत्क्रमित घटक x च्या प्रतिमेच्या घटकाच्या बरोबरीची असते, म्हणजे. f(x -1) = -1

प्रमेय 2.21. जर f एक रिंग homomorphism आहे आर रिंग मध्ये के , a g एक रिंग होमोमॉर्फिझम आहे के रिंग मध्ये एल , नंतर मॅपिंग्जची रचना f॰g ही रिंगची समरूपता आहे आर , रिंग मध्ये एल .

प्रमेय 2.22.जर f: आर 1 → आर 2 - रिंग isomorphism आर 1 प्रति रिंग आर 2, नंतर मॅपिंग f -1 हे रिंगचे समरूपता आहे आर 2 प्रति रिंग आर 1 . #

गटांच्या बाबतीत, अंगठी आणि समरूपी रिंगांच्या होमोमॉर्फिक प्रतिमेच्या संकल्पना परिभाषित केल्या आहेत. म्हणजे अंगठी TO अंगठीची होमोमॉर्फिक प्रतिमा म्हणतात आर , एक रिंग homomorphism असल्यास आर अंगठी वर के . दोन अंगठ्या आर आणि के आयसोमॉर्फिक म्हणतात आणि लिहा आर ≅ के , जर त्यांच्यापैकी एकाचा दुसर्‍यामध्ये समरूपता असेल.

अशाप्रकारे, उदाहरणार्थ, अवशेषांची रिंग मोड्युलो k ही homomorphism अंतर्गत पूर्णांकांच्या रिंगची होमोमॉर्फिक प्रतिमा आहे जी प्रत्येक पूर्णांक m च्या k ने भागाकाराच्या उर्वरित भागाशी संबंधित नकाशाद्वारे परिभाषित केली आहे.

फील्ड आयसोमॉर्फिझमचे एक मनोरंजक उदाहरण पाहू.

उदाहरण 2.26. उदाहरण 2.22 प्रमाणे, आपण कॉम्प्लेक्स संख्या a + bi ही मॅट्रिक्स f(a + bi) = सोबत जोडू या. आम्‍हाला मॅपिंग f मिळते, जे आधीच सिद्ध झाले आहे, एक इंजेक्शन आहे, आणि a(0) = a(0 + 0 ⋅ i) = 0, जेथे 0 हे शून्य मॅट्रिक्स आहे. लक्षात घ्या की दर्शविलेल्या प्रकारच्या मॅट्रिक्सचा निर्धारक 2 + b 2 च्या बरोबरीचा असल्याने, अशा सर्व मॅट्रिक्समध्ये फक्त शून्यामध्ये शून्य निर्धारक असेल.

पुढे, हे तपासणे सोपे आहे की अशा मॅट्रिक्सचा संच मॅट्रिक्सच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या ऑपरेशन्स अंतर्गत बंद आहे, त्यात शून्य आणि ओळख मॅट्रिक्स आहेत, तसेच प्रत्येक मॅट्रिक्स A सह, मॅट्रिक्स -A आहे. आणि, प्रत्येक नॉन-झिरो मॅट्रिक्ससह, त्याच्यासाठी व्यस्त मॅट्रिक्स. याचा अर्थ , a, b, ∈ ℝ या फॉर्मच्या मॅट्रिक्सचा संच, मॅट्रिक्सच्या बेरीज आणि गुणाकाराच्या क्रियांसह, फील्ड बनवते. चला ते M (a, b) दर्शवू. 2 .

उदाहरण 2.22 वरून असे दिसून येते की जटिल संख्यांच्या फील्डचा गुणाकार गट M (a,b) फील्डच्या गुणाकार गटासाठी समरूपी आहे. 2 . कारण

f[(a+bi) + (c+di)] = f((a+c) + (b+d)i] =

F(a+bi) + f(c+di),

मग जटिल संख्यांच्या फील्डचा बेरीज गट M (a,b) फील्डच्या बेरीज गटासाठी समरूपी आहे. 2 . तर, आम्हाला समजले की जटिल संख्यांचे क्षेत्र हे मॅट्रिक्स M (a,b) च्या क्षेत्रासाठी समरूपी आहे. 2 . हे समरूपता जटिल संख्यांच्या बीजगणिताचे मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व अधोरेखित करते, ज्याचा या बीजगणिताच्या संगणकीय अंमलबजावणीवर परिणाम होतो.