कडक संबंध. कडक ऑर्डरचा संबंध कठोर रेखीय ऑर्डरच्या संबंधात गुणधर्म असतात

"ऑर्डर" हा शब्द बऱ्याचदा विविध समस्यांमध्ये वापरला जातो. अधिकारी आज्ञा देतो: "संख्यात्मक क्रमाने गणना करा," अंकगणित ऑपरेशन्स एका विशिष्ट क्रमाने केले जातात, खेळाडूंना उंचीनुसार रँक केले जाते, सर्व प्रमुख बुद्धिबळ खेळाडूंना तथाकथित एलो गुणांकानुसार एका विशिष्ट क्रमाने व्यवस्था केली जाते (अमेरिकन प्राध्यापक ज्याने सिस्टीम गुणांक विकसित केला, ज्यामुळे तुम्हाला खेळाडूंचे सर्व यश आणि अपयश लक्षात घेता येईल), चॅम्पियनशिपनंतर, सर्व फुटबॉल संघ एका विशिष्ट क्रमाने स्थित असतात, इ. भाग तयार करताना ऑपरेशनचा क्रम असतो, वाक्यातील शब्दांचा क्रम ("तो म्हातारा माणूस" या वाक्याचा अर्थ मी गाढवाला लावला नाही हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करा!"

एकामागून एक विशिष्ट संचाच्या घटकांची मांडणी करून, आम्ही त्याद्वारे त्यांना क्रम देतो किंवा त्यांच्यामध्ये काही संबंध प्रस्थापित करतो क्रमानेसर्वात सोपे उदाहरण म्हणजे नैसर्गिक संख्यांचा नैसर्गिक क्रम. त्याची नैसर्गिकता या वस्तुस्थितीत आहे की कोणत्याही दोन नैसर्गिक संख्येसाठी कोणती एक दुसऱ्याच्या मागे येते किंवा कोणती एक दुसऱ्यापेक्षा मोठी आहे हे आपल्याला माहित आहे, म्हणून आपण नैसर्गिक संख्या अशा क्रमाने मांडू शकतो की मोठी संख्या स्थित असेल, उदाहरणार्थ, लहानाचा उजवा: 1, 2, 3, ... . अर्थात, घटकांचा क्रम डावीकडून उजवीकडे नव्हे तर कोणत्याही दिशेने लिहिता येतो. नैसर्गिक संख्यांच्या संकल्पनेत आधीच ऑर्डरची कल्पना आहे. कोणत्याही संचाच्या घटकांची काही सापेक्ष व्यवस्था स्थापित करून, आम्ही त्यावर काही बायनरी ऑर्डर संबंध परिभाषित करतो, ज्याचे प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात स्वतःचे नाव असू शकते, उदाहरणार्थ, "कमी असणे," "मोठे असणे," "ते ", "फॉलो" इ. मध्ये समाविष्ट केले जावे. क्रमाचे प्रतीकात्मक पदनाम देखील भिन्न असू शकतात, उदाहरणार्थ, Í, इ.

ऑर्डर रिलेशनचे मुख्य वेगळे वैशिष्ट्य म्हणजे त्यात संक्रमणाची मालमत्ता आहे. तर, जर आपण काही वस्तूंचा क्रम हाताळत आहोत x 1, x 2, ..., x n,..., आदेश दिले, उदाहरणार्थ, संबंधानुसार, नंतर जे केले जात आहे त्यावरून x १x 2... x n..., कोणत्याही जोडीसाठी ते अनुसरण केले पाहिजे x i, x jया क्रमाचे घटक देखील पूर्ण केले जातात x ix j:

घटकांच्या जोडीसाठी x ijसंबंध आलेखामध्ये आपण शिरोबिंदूवरून एक बाण काढतो x iशीर्षस्थानी x j, म्हणजे लहान घटकापासून मोठ्या घटकापर्यंत.

ऑर्डर रिलेशन आलेख तथाकथित पद्धत वापरून सरलीकृत केले जाऊ शकते हॅसे आकृत्या.हॅसे आकृती खालीलप्रमाणे तयार केली आहे. लहान घटक कमी ठेवले आहेत, आणि मोठे घटक वर ठेवले आहेत. असा नियम केवळ चित्रणासाठी पुरेसा नसल्यामुळे, दोन घटकांपैकी कोणते मोठे आणि कोणते इतर घटकांपेक्षा लहान हे दर्शविणाऱ्या रेषा काढल्या जातात. या प्रकरणात, घटकांसाठी फक्त रेषा काढणे पुरेसे आहे जे लगेच एकमेकांचे अनुसरण करतात. हॅसे आकृतीची उदाहरणे आकृतीमध्ये दर्शविली आहेत:

तुम्हाला हॅसे डायग्राममध्ये बाण समाविष्ट करण्याची गरज नाही. हॅसे आकृती विमानात फिरवता येते, परंतु अनियंत्रितपणे नाही. वळताना, आकृतीच्या शिरोबिंदूंची सापेक्ष स्थिती (वर - खाली) राखणे आवश्यक आहे:

वृत्ती आरविपुल प्रमाणात एक्सम्हणतात कडक आदेशाची वृत्ती,जर ते सकर्मक आणि असममित असेल.

एक संच ज्यामध्ये कठोर ऑर्डर संबंध परिभाषित केला जातो त्याला म्हणतात आज्ञा केली.उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्यांचा संच “त्यापेक्षा कमी” या संबंधाने क्रमबद्ध केला जातो. परंतु हाच संच दुसऱ्या नात्याने देखील ऑर्डर केला आहे - “विभाजीत” आणि “अधिक”.

नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये "त्यापेक्षा कमी" संबंधाचा आलेख किरण म्हणून चित्रित केला जाऊ शकतो:

वृत्ती आरव्ही एक्ससंबंध म्हणतात कठोर नसलेला (आंशिक) ऑर्डर, जर ते सकर्मक आणि विषमताविरोधी असेल. कठोर नसलेल्या ऑर्डरचा कोणताही संबंध रिफ्लेक्सिव्ह असतो.

"आंशिक" हे विशेषण हे तथ्य व्यक्त करते की एखाद्या संचाचे सर्व घटक एखाद्या दिलेल्या संदर्भात तुलना करता येत नाहीत.

आंशिक क्रम संबंधांची विशिष्ट उदाहरणे म्हणजे संबंध "पेक्षा जास्त नाही," "पेक्षा कमी नाही" आणि "पेक्षा जास्त नाही." नातेसंबंधांच्या नावातील “नाही” हा कण त्यांची प्रतिक्षिप्तता व्यक्त करतो. "पेक्षा जास्त नाही" हे संबंध "पेक्षा कमी किंवा समान" संबंधाशी जुळतात आणि "कमी नाही" हे संबंध "पेक्षा मोठे किंवा समान" सारखेच आहे. या संदर्भात, आंशिक ऑर्डर देखील म्हटले जाते कडक नाहीक्रमाने बऱ्याचदा आंशिक (नॉन-कठोर) ऑर्डर संबंध "" चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो.

विशिष्ट संचाच्या उपसंचांमधील समावेशन संबंध Í देखील एक आंशिक क्रम आहे. अर्थात, या संदर्भात प्रत्येक दोन उपसंच तुलना करता येत नाहीत. खालील आकृती संच (1,2,3) च्या सर्व उपसंचांच्या संचावरील आंशिक समावेश क्रम दर्शविते. आलेखावरील बाण जे वरच्या दिशेने निर्देशित केले पाहिजेत ते दर्शवलेले नाहीत.

ज्या संचांवर आंशिक ऑर्डर दिली जाते त्यांना कॉल केले जाते अंशतः आदेश दिलेला,किंवा फक्त आज्ञा केलीसेट

घटक एक्सआणि येथेअर्धवट ऑर्डर केलेला सेट म्हणतात आमच्याशी तुलना करातर एक्सयेथेकिंवा येथेएक्स.अन्यथा त्यांची तुलना होत नाही.

एक क्रमबद्ध संच ज्यामध्ये कोणतेही दोन घटक तुलना करता येतात त्याला म्हणतात रेखीय क्रमाने, आणि क्रम रेखीय क्रम आहे. रेखीय क्रमाला परिपूर्ण ऑर्डर देखील म्हणतात.

उदाहरणार्थ, नैसर्गिक क्रमासह सर्व वास्तविक संख्यांचा संच, तसेच त्याचे सर्व उपसंच, रेखीय क्रमाने दिलेले आहेत.

सर्वात वैविध्यपूर्ण निसर्गाच्या वस्तू ऑर्डर केल्या जाऊ शकतात श्रेणीबद्धपणे.येथे काही उदाहरणे आहेत.

उदाहरण 1: पुस्तकाचे भाग अशा प्रकारे व्यवस्थित केले जातात की पुस्तकात अध्याय असतात, अध्यायांमध्ये विभाग असतात आणि विभागांमध्ये उपविभाग असतात.

उदाहरण 2. कॉम्प्युटर फाइल सिस्टीममधील फोल्डर्स एकमेकांच्या आत नेस्टेड असतात, एक शाखा संरचना बनवतात.

उदाहरण 3. पालक आणि मुलांमधील संबंध तथाकथित म्हणून चित्रित केले जाऊ शकतात वंशावळ,जे कोणाचे पूर्वज (किंवा संतती) कोण आहे हे दर्शविते.

सेटवर येऊ द्या एआंशिक ऑर्डर दिली आहे. घटक एक्सम्हणतात कमाल (किमान)संच A चा घटक, जर वस्तुस्थिती असेल तर एक्सयेथे(येथेएक्स),समानता खालीलप्रमाणे आहे एक्स= uदुसऱ्या शब्दांत, घटक एक्सकोणत्याही घटकासाठी कमाल (किमान) आहे येथेकिंवा ते खरे नाही एक्सयेथे(येथेएक्स), किंवा अंमलात आणले जाते एक्स=uअशाप्रकारे, कमाल (किमान) घटक त्याच्याशी संबंधित असलेल्या सर्व घटकांपेक्षा वेगळे (लहान) आहे.

घटक एक्सम्हणतात सर्वात मोठा (सर्वात लहान),जर कोणासाठी येथेÎ एकेले येथे< х (х< у).

अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये अनेक किमान आणि/किंवा कमाल घटक असू शकतात, परंतु एकापेक्षा जास्त किमान आणि कमाल घटक असू शकत नाहीत. सर्वात लहान (सर्वात मोठा) घटक देखील किमान (कमाल) आहे, परंतु संवाद सत्य नाही. डावीकडील आकृती दोन किमान आणि दोन कमाल घटकांसह आंशिक क्रम दर्शविते आणि उजवीकडे सर्वात लहान आणि सर्वात मोठ्या घटकांसह आंशिक क्रम दर्शविते:

मर्यादित अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये नेहमी किमान आणि कमाल घटक असतात.

सर्वात मोठा आणि सर्वात लहान घटक असलेल्या ऑर्डर केलेल्या सेटला म्हणतात मर्यादितआकृती अनंत बाउंडेड सेटचे उदाहरण दाखवते. अर्थात, मर्यादित पृष्ठावर अनंत संचाचे चित्रण करणे अशक्य आहे, परंतु आपण त्याच्या बांधकामाचे तत्त्व दर्शवू शकता. येथे रेखाचित्र सुलभ करण्यासाठी शिरोबिंदूंजवळील लूप दर्शविलेले नाहीत. त्याच कारणास्तव, ट्रान्झिटिव्हिटी गुणधर्माचे प्रदर्शन प्रदान करणारे आर्क्स दर्शविले जात नाहीत. दुसऱ्या शब्दांत, आकृती ऑर्डर रिलेशनचे हॅसे डायग्राम दर्शवते.

अनंत संचांमध्ये कमाल किंवा किमान घटक किंवा दोन्ही असू शकत नाहीत. उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये (1,2, 3, ...) सर्वात लहान घटक 1 आहे, परंतु कमाल नाही. नैसर्गिक क्रमासह सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये सर्वात लहान किंवा सर्वात मोठा घटक नसतो. तथापि, त्याचा उपसंच सर्व संख्यांचा समावेश होतो एक्स< 5 मध्ये सर्वात मोठा घटक आहे (संख्या 5), परंतु सर्वात लहान नाही.

A संचावर R ला बायनरी संबंध समजा.

व्याख्या. बायनरी संबंधसंच A वरील R ला A वरील ऑर्डर संबंध म्हणतात किंवा A वरील ऑर्डर संक्रामक आणि प्रति-सममित असल्यास.

व्याख्या. संच A वरील क्रम R चा संबंध जर A वर रिफ्लेक्सिव्ह असेल, म्हणजेच प्रत्येक A साठी असेल तर त्याला नॉनस्ट्रिक्ट म्हणतात.

ऑर्डर रिलेशन R ला कडक (A वर) म्हटले जाते जर ते A वर अँटी-रिफ्लेक्सिव्ह असेल, म्हणजेच A पैकी कोणत्याही साठी. तथापि, ट्रान्सिटिव्ह रिलेशन R च्या अँटी-रिफ्लेक्सिव्हिटीवरून, ते अँटीसिमेट्रिक आहे. म्हणून, खालील समतुल्य व्याख्या दिली जाऊ शकते.

व्याख्या. A संच A वरील बायनरी संबंध R ला A वर कठोर क्रम म्हणतात जर ते A वर संक्रामक आणि प्रतिक्षेपक असेल.

उदाहरणे. 1. संच M च्या सर्व उपसंचांचा संच असू द्या. संचावरील समावेशन संबंध हा कठोर क्रमाचा नसलेला संबंध आहे.

2. वास्तविक संख्यांच्या संचावरील संबंध अनुक्रमे कठोर आणि कठोर नसलेल्या क्रमाचे संबंध आहेत.

3. नैसर्गिक संख्यांच्या संचामधील विभाज्यता संबंध हा कठोर क्रम नसलेला संबंध आहे.

व्याख्या. संच A वरील बायनरी रिलेशन R ला प्रीऑर्डर रिलेशन किंवा A वर प्रीऑर्डर असे म्हणतात जर ते रिफ्लेक्झिव्ह ऑन आणि ट्रांझिटिव्ह असेल.

उदाहरणे. 1. पूर्णांकांच्या संचामध्ये विभाज्यता संबंध हा क्रम नाही. तथापि, ते रिफ्लेक्सिव्ह आणि ट्रांझिटिव्ह आहे, याचा अर्थ तो एक प्रीऑर्डर आहे.

2. तार्किक निहितार्थाचा संबंध हा प्रपोझिशनल लॉजिक फॉर्म्युलाच्या सेटवर एक पूर्वक्रम आहे.

रेखीय क्रम. ऑर्डरची एक महत्त्वाची विशेष बाब म्हणजे रेखीय क्रम.

व्याख्या. सेटवरील ऑर्डर रिलेशनला रेखीय क्रम संबंध किंवा रेखीय क्रम असे म्हणतात जर ते ऑन जोडलेले असेल, म्हणजे A पासून कोणत्याही x, y साठी.

रेखीय नसलेल्या ऑर्डर संबंधाला सामान्यतः आंशिक ऑर्डर संबंध किंवा आंशिक क्रम म्हणतात.

उदाहरणे. 1. वास्तविक संख्यांच्या संचावरील “त्यापेक्षा कमी” हा रेखीय क्रमाचा संबंध आहे.

2. रशियन भाषेतील शब्दकोषांमध्ये दत्तक घेतलेल्या क्रम संबंधाला कोशशास्त्रीय म्हणतात. रशियन भाषेतील शब्दांच्या संचावरील कोशलेखन क्रम एक रेखीय क्रम आहे.

"ऑर्डर" हा शब्द अनेकदा विविध समस्यांमध्ये वापरला जातो. अधिकारी आज्ञा देतो: "संख्येच्या क्रमानुसार, गणना करा," अंकगणित ऑपरेशन्स एका विशिष्ट क्रमाने केले जातात, खेळाडूंना उंचीनुसार रँक केले जाते, भाग बनवताना ऑपरेशन्स करण्याचा क्रम असतो आणि शब्दांचा क्रम. एका वाक्यात.

ऑर्डरबद्दल बोलत असताना सर्व प्रकरणांमध्ये काय सामान्य आहे? वस्तुस्थिती अशी आहे की "ऑर्डर" या शब्दाचा खालील अर्थ आहे: याचा अर्थ दिलेल्या संचाचा कोणता घटक कोणता आहे (किंवा कोणता घटक कोणत्या आधी आहे).

वृत्ती " एक्सअनुसरण करते येथे"संक्रामक: जर" एक्सअनुसरण करते येथे"आणि" येथेअनुसरण करते z", ते" xअनुसरण करते z" याव्यतिरिक्त, हे नाते विषमता असणे आवश्यक आहे: दोन भिन्न साठी एक्सआणि येथे, तर एक्सअनुसरण करते येथे, ते येथेअनुसरण करत नाही एक्स.

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सम्हणतात कठोर आदेशाचा संबंध, जर ते सकर्मक आणि विषमताविरोधी असेल.

कठोर क्रमाच्या संबंधांच्या आलेख आणि आलेखची वैशिष्ट्ये शोधूया.

एक उदाहरण पाहू. सेटवर एक्स= (5, 7, 10, 15, 12) दिलेले गुणोत्तर आर: « एक्स < येथे" जोड्यांची यादी करून हा संबंध परिभाषित करू
आर = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

त्याचा आलेख तयार करू. आपण पाहतो की या संबंधाच्या आलेखाला लूप नाहीत. आलेखावर दुहेरी बाण नाहीत. जर पासून एक्सबाण जातो येथे, आणि पासून येथे- व्ही z, नंतर पासून एक्सबाण जातो z(अंजीर 8).

तयार केलेला आलेख तुम्हाला संचाच्या घटकांची मांडणी करण्यास अनुमती देतो एक्सया क्रमाने:

{5, 7, 10, 12, 15}.

अंजीर 6 मध्ये (या प्रकरणाचा § 6), स्तंभ VII, VIII हे कठोर क्रमाच्या संबंधांचे आलेख आहेत.

कठोर नसलेले नाते

वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये “कमी पेक्षा कमी” संबंधाच्या विरुद्ध संबंध “कमी नाही” आहे. तो आता कडक आदेशाचा संबंध नाही. मुद्दा असा आहे की, जेव्हा एक्स = येथे, संबंध पूर्ण होतात एक्स ³ येथेआणि येथे ³ एक्स, म्हणजे "कमी नाही" वृत्ती प्रतिक्षिप्त आहे.

व्याख्या.वृत्ती आरसेटवर एक्सम्हणतात कठोर नसलेले संबंध, जर ते रिफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह असेल.

असे संबंध ओळखीच्या नातेसंबंधाशी कठोर क्रमाचे संबंध आहेत.

संचासाठी “नो मोअर” (£) संबंध विचारात घ्या

एक्स= (5, 7, 10, 15, 12). त्याचा आलेख तयार करूया (चित्र 9).

कठोर ऑर्डर रिलेशन आलेखाच्या विपरीत नॉन-स्ट्रिक्ट ऑर्डर रिलेशन आलेखामध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूवर लूप असतात.

अंजीर मध्ये. 6 (या प्रकरणातील § 6) स्तंभ V, VI हे कठोर नसलेल्या क्रमाच्या संबंधांचे आलेख आहेत.

ऑर्डर केलेले सेट

एक संच काही ऑर्डर रिलेशन द्वारे ऑर्डर केला जाऊ शकतो (ते पूर्णपणे ऑर्डर केलेले देखील म्हणतात), तर दुसरा सेट अशा रिलेशन द्वारे क्रमबद्ध किंवा अंशतः ऑर्डर केलेला असू शकतो.

व्याख्या.चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड एक्सम्हणतात आज्ञा केलीकाही ऑर्डर संबंध आर, जर कोणत्याही दोन घटकांसाठी x, yपासून एक्स:

(एक्स, येथे) Î आरकिंवा ( y, x) Î आर.

तर आरकडक ऑर्डरचा संबंध आहे, नंतर सेट एक्सप्रदान केलेल्या या संबंधाद्वारे क्रमबद्ध: जर एक्स, येथेसंचाचे कोणतेही दोन असमान घटक एक्स, ते ( एक्स, येथे) Î आरकिंवा ( y, x) Î आर, किंवा कोणतेही दोन घटक x, yसेट एक्ससमान आहेत.

शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमावरून हे कळते की संख्या संच एन , झेड , प्र , आर "पेक्षा कमी" (<).

एका विशिष्ट संचाच्या उपसंचांना समावेशन संबंध (I), किंवा वरील अर्थाने कठोर समावेश (S) सादर करून क्रमबद्ध केलेला नाही, कारण तेथे उपसंच आहेत, त्यापैकी एकही दुसऱ्यामध्ये समाविष्ट केलेला नाही. या प्रकरणात, आम्ही म्हणतो की दिलेला संच अंशतः संबंध Í (किंवा Ì) द्वारे क्रमबद्ध आहे.

संच विचारात घ्या एक्स= (1, 2, 3, 4, 5, 6) आणि त्यात दोन संबंध आहेत “पेक्षा कमी” आणि “विभाजित”. हे दोन्ही संबंध ऑर्डर संबंध आहेत हे सत्यापित करणे सोपे आहे. "पेक्षा कमी" संबंध आलेख एक किरण म्हणून चित्रित केला जाऊ शकतो.

"विभाजित" संबंधाचा आलेख फक्त एका विमानात चित्रित केला जाऊ शकतो.

याव्यतिरिक्त, दुसऱ्या संबंधाच्या आलेखामध्ये शिरोबिंदू आहेत जे बाणाने जोडलेले नाहीत. उदाहरणार्थ, 4 आणि 5 (चित्र 10) या अंकांना जोडणारा कोणताही बाण नाही.

पहिले नाते " एक्स < येथे"रेषीय म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, जर संबंध ऑर्डरचा असेल आर(कठोर आणि कठोर नसलेल्या) सेटवर एक्समालमत्ता आहे: कोणत्याही साठी एक्स, येथेÎ एक्सकिंवा xRy, किंवा yRx, नंतर त्याला रेखीय क्रम संबंध आणि संच म्हणतात एक्स- एक रेषीय ऑर्डर केलेला संच.

जर संच एक्सअर्थात, आणि यांचा समावेश आहे nघटक, नंतर रेखीय क्रम एक्सत्याच्या घटकांची संख्या 1,2,3, ..., सह क्रमांकित करण्यासाठी खाली येते. n.

रेखीय क्रमाने दिलेल्या सेटमध्ये अनेक गुणधर्म आहेत:

1°. द्या a, b, c- सेटचे घटक एक्स, संबंधाने आदेश दिले आर. हे माहीत असेल तर aRвआणि Rс मध्ये, नंतर ते म्हणतात की घटक व्हीघटकांच्या दरम्यान स्थित आहे एआणि सह.

2° चा गठ्ठा, चा गुच्छ, चा घड एक्स, नातेसंबंधाने रेखीय क्रमाने आर, त्याच्या कोणत्याही दोन घटकांमध्ये या संचाच्या घटकांचा केवळ मर्यादित संच असल्यास त्याला स्वतंत्र म्हणतात.

३°. जर या संचाच्या कोणत्याही दोन भिन्न घटकांसाठी त्यांच्यामध्ये संचाचा एक घटक असेल तर रेखीय क्रमाने तयार केलेल्या संचाला दाट असे म्हणतात.

द्विआधारी संबंधांचा एक महत्त्वाचा प्रकार म्हणजे ऑर्डर संबंध. कडक आदेश संबंध -एक बायनरी संबंध जो प्रतिक्षिप्त, विरोधी सममितीय आणि सकर्मक आहे:

पदनाम - (एआधीचे b).उदाहरणे समाविष्ट आहेत

संबंध “अधिक”, “कमी”, “जुने” इ. संख्यांसाठी, नेहमीच्या नोटेशन म्हणजे चिन्हे "<", ">".

कठोर आदेश नसलेला संबंध -बायनरी रिफ्लेक्सिव्ह, अँटिसिमेट्रिक आणि ट्रांझिटिव्ह रिलेशन. संख्यांसाठी कठोर नसलेल्या असमानतेच्या नैसर्गिक उदाहरणांसह, एक उदाहरण म्हणजे विमान किंवा अंतराळाच्या बिंदूंमधील संबंध "निर्देशांकांच्या उत्पत्तीच्या जवळ असणे." पूर्णांक आणि वास्तविक संख्यांसाठी कठोर नसलेली असमानता, समानता आणि कठोर ऑर्डरच्या संबंधांचे विघटन म्हणून देखील मानले जाऊ शकते.

जर एखाद्या क्रीडा स्पर्धेत स्थानांच्या विभाजनाची तरतूद केली जात नसेल (म्हणजे, प्रत्येक सहभागीला विशिष्ट, फक्त खाण्यासाठी/पुरस्कृत ठिकाण मिळते), तर हे कठोर ऑर्डरचे उदाहरण आहे; अन्यथा, ते कठोर नाही.

ऑर्डर संबंध सेटवर स्थापित केले जातात जेव्हा त्याच्या घटकांच्या काही किंवा सर्व जोड्यांसाठी संबंध असतात

अग्रक्रम कार्य - काही ऑर्डरच्या संचासाठी संबंध म्हणतात त्याची "व्यवस्था,आणि याचा परिणाम म्हणून "स्वतःचा सेट" होतो आज्ञा केली.ऑर्डर रिलेशनशिप वेगवेगळ्या प्रकारे सादर केली जाऊ शकते.

जर ऑर्डर संबंधासाठी आरसेटवर .एमआणि काही भिन्न घटक किमान एक संबंध ठेवतात

aRbकिंवा बीआरए,नंतर घटक एआणि bम्हटले जाते तुलनात्मकअन्यथा - अतुलनीय

पूर्ण (किंवा रेखीय) ऑर्डर केलेला संच मी -

एक संच ज्यावर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट केला आहे आणि सेटचे कोणतेही दोन घटक एमतुलना करण्यायोग्य अर्धवट ऑर्डर केलेला सेट- समान, परंतु अतुलनीय घटकांच्या जोड्यांना परवानगी आहे.

रेषीय क्रमाने "उजवीकडे अधिक" संबंध असलेल्या रेषेवरील बिंदूंचा संच, पूर्णांकांचा संच, परिमेय संख्या, "पेक्षा जास्त" संबंध असलेल्या वास्तविक संख्या इ.

अंशतः क्रमबद्ध केलेल्या संचाचे उदाहरण त्रिमितीय व्हेक्टर असेल, जर खालीलप्रमाणे क्रम दिलेला असेल, तर

म्हणजेच, जर सर्व तीन निर्देशांकांसह अग्रक्रम चालवला गेला तर, व्हेक्टर (2, 8, 5) आणि (6, 9, 10) तुलना करता येतील, परंतु वेक्टर (2, 8, 5) आणि (12, 7, 40) तुलना करता येत नाही. ही क्रमवारी पद्धत कोणत्याही परिमाणाच्या सदिशांपर्यंत विस्तारित केली जाऊ शकते: वेक्टर

वेक्टरच्या आधी आहे जर

आणि केले

आम्ही वेक्टरच्या सेटवर ऑर्डर करण्याच्या इतर उदाहरणांचा विचार करू शकतो.

1) आंशिक ऑर्डर: , तर

त्या. वेक्टर लांबीनुसार; समान लांबीचे वेक्टर अतुलनीय आहेत.

२) रेखीय क्रम: , तर a तर a -d,ते b< е ; जर zhd = c?i6 = e, तर