Основи на дискретна математика.

Концептот на сет. Однос помеѓу множества.

Множеството е збир на предмети кои имаат одредено својство, обединети во една целина.

Предметите што сочинуваат множество се нарекуваат елементимножества. За одредено множество објекти да се нарече множество, треба да се исполнат следниве услови:

· Треба да постои правило според кое е моно да се определи дали некој елемент припаѓа на дадена збирка.

· Мора да постои правило според кое елементите можат да се разликуваат едни од други.

Множествата се означуваат со големи букви, а неговите елементи со мали букви. Начини за одредување множества:

· Набројување на множествени елементи. - за конечни множества.

Одредување на карактеристично својство .

празен сет- се нарекува множество кое не содржи никаков елемент (Ø).

За две множества се вели дека се еднакви ако се состојат од исти елементи. , A=B

Еден куп Бнаречено подмножество од множеството А( , ако и само ако сите елементи од множеството Бприпаѓаат на множеството А.

На пример:, Б =>

Имотот:

Забелешка: обично се разгледува подмножество од истото множество, кое се нарекува универзална(u). Универзалниот сет ги содржи сите елементи.

Операции на множества.

А

Б

1. Здружението 2 множества А и Б се нарекува такво множество на кое припаѓаат елементите од множеството А или множеството Б (елементи од најмалку едно од множествата).

2.преминување 2 сета е ново множество кое се состои од елементи кои истовремено припаѓаат и на првото и на второто множество.

Бр.: , ,

Сопственост: операции на синдикат и вкрстување.

· Комутативност.

Асоцијативност. ;

· Дистрибутивен. ;

У

4.Додаток. Ако Ае подмножество од универзалното множество У, потоа комплементот на сетот Амногу У(означено) е множеството кое се состои од тие елементи на множеството У, кои не припаѓаат на множеството А.

Бинарни односи и нивните својства.

Нека АИ ВОова се множества од изведена природа, разгледајте подреден пар елементи (а, в) a ϵ A, c ϵ Bможе да се разгледаат нарачаните „енкс“.

(а 1, а 2, а 3, ... а н), Каде А 1 ϵ A 1; А 2 ϵ A 2; …; А n ϵ A n ;

Декартов (директен) производ на множества A 1, A 2, ..., A n, се нарекува множество, кое се состои од подредени n k од формата.

Бр.: М= {1,2,3}

M× M= M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Подмножества на декартов производ наречен сооднос на степени nили енарна релација. Ако n=2, па размислете бинарниврска. Што велат тоа а 1, а 2се во бинарна врска Р, Кога а 1 Р а 2.

Бинарна релација на множество Мсе нарекува подмножество од директниот производ на множеството nврз себе.

M× M= M 2= {(а, б)| a, b ϵ M) во претходниот пример, односот е помал на сетот Мго генерира следното множество: ((1,2);(1,3); (2,3))

Бинарните односи имаат различни својства, вклучувајќи:

Рефлексивност: .

· Антирефлексивност (ирефлексивност): .

· Симетрија: .

· Антисиметрија: .

· Транзитивност: .

· Асиметрија: .

Видови врски.

Релација на еквивалентност;

· Релација на ред.

v Рефлексивна преодна релација се нарекува релација квази ред.

v Рефлексивна симетрична преодна релација се нарекува еквивалентна релација.

v Рефлексивна антисиметрична преодна релација се нарекува (делумна) редовна релација.

v Антирефлексна антисиметрична преодна релација се нарекува релација строг ред.

Дефиниција. Бинарна релација Рсе нарекува подмножество од парови (a,b)∈RДекартов производ A×B, т.е. R⊆A×B. Во исто време, многу Асе нарекува домен на дефиниција на релацијата R, множеството B се нарекува домен на вредности.

Ознака: aRb (т.е. a и b се во однос на R). /

Коментар: ако A = B, тогаш R се вели дека е релација од множеството A.

Начини за одредување бинарни односи

1. Список (набројување на парови) за кои оваа врска е задоволена.

2. Матрица. Бинарната релација R ∈ A × A , каде што A = (a 1 , a 2 ,..., a n), одговара на квадратна матрица од редот n , во која елементот c ij , кој е на пресекот на i -тата редица и j-тата колона, е еднаква на 1 ако постои релација R помеѓу a i и a j, или 0 ако е отсутна:

Својства на врската

Нека R е релација на множество A, R ∈ A×A . Тогаш релацијата R:

рефлексивно ако Ɐ a ∈ A: a R a (главната дијагонала на матрицата на рефлексивната релација содржи само такви);

е антирефлексивен ако Ɐ a ∈ A: a R a (главната дијагонала на матрицата на рефлексивни односи содржи само нули);

симетрично ако Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрицата на таквата врска е симетрична во однос на главната дијагонала, т.е. c ij c ji);

антисиметрични ако Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (во матрицата на таквата релација, нема симетрични во однос на главната дијагонала);

преодно ако Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c ред, т.е. c ij = 1 , тогаш сите во j-тата редица (нека овие единици одговараат на k e координати така што, c jk = 1) мора да одговара на оние во i-тиот ред во истите k координати, т.е. c ik = 1 (и, можеби, и во други координати).

Задача 3.1.Определи ги својствата на релацијата R - „да биде делител“, дадена на множеството природни броеви.

Решение.

сооднос R = ((a,b):a делител b):

рефлексивен, а не антирефлексен, бидејќи секој број се дели без остаток: a/a = 1 за сите a∈N ;

не е симетричен, антисиметричен, на пример, 2 е делител на 4, но 4 не е делител на 2;

транзитивно, бидејќи ако b/a ∈ N и c/b ∈ N, тогаш c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, на пример, ако 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N , тогаш 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Задача 3.2.Определи ги својствата на релацијата Р - „да се биде брат“, дадена на множество луѓе.
Решение.

Сооднос R = ((a,b):a - брат на b):

нерефлексивни, антирефлексивни поради очигледното отсуство на aRa за сите a;

не е симетрично, бидејќи генерално постои aRb помеѓу братот a и сестрата b, но не и bRa;

не антисиметрични, бидејќи ако a и b се браќа, тогаш aRb и bRa, но a≠b;

транзитивно, ако браќата ги нарекуваме луѓе кои имаат заеднички родители (татко и мајка).

Задача 3.3.Определете ги својствата на релацијата R - „да се биде шеф“ наведени на множеството елементи на структурата

Решение.

Сооднос R = ((a,b) : a - шеф b):

• нерефлексивно, антирефлексивно, ако нема смисла во одредена интерпретација;
• не се симетрични, антисиметрични, бидејќи за сите a≠b aRb и bRa не се задоволни истовремено;
• преодно, бидејќи ако a е глава на b и b е глава на c, тогаш a е глава на c.

Определи ги својствата на релацијата R i , дефинирана на множеството M i со матрица, ако:

1. R 1 "имаат ист остаток кога се делат со 5"; M 1 е множество природни броеви.
2. R 2 "биди еднаков"; M 2 е множество природни броеви.
3. Р 3 „живее во ист град“; М 3 сет на луѓе.
4. R 4 „биди запознаен“; М 4 многу луѓе.
5. R 5 ((a,b):(a-b) - парни; M 5 множество броеви (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
6. R 6 ((a,b):(a+b) - парни; M 6 множество броеви (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
7. R7 ((a,b):(a+1) - делител (a+b)); М 7 - сет (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R8 ((a,b):a - делител (a+b),a≠1); M 8 е множество природни броеви.
9. Р 9 „да се биде сестра“; М 9 - многу луѓе.
10. Р 10 „да се биде ќерка“; М 10 - многу луѓе.

Операции на бинарни односи

Нека R 1 , R 1 се релации дефинирани на множеството A .

Унијата R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 или (a,b) ∈ R2);

раскрсница R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((а, б) : (а, б) ∈ R 1 и (а, б) ∈ R 2 );

разлика R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a,b) : (a,b) ∈ R1 и (a,b) ∉ R2);

универзална врска U: = ((a;b)/a ∈ A & b ∈ A). ;

додавање R 1 U \ R 1 , каде што U = A × A;

идентитетски однос I: = ((a;a) / a ∈ A);

обратна врскаР-1 1 : R-1 1 = ((а,б) : (б,а) ∈ R 1 );

составот R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), каде R 1 ⊂ A × C и R 2 ⊂ C×B;

Дефиниција. Степен на врска R на множеството А е неговиот состав со себе.

Ознака:

Дефиниција. Ако R ⊂ A × B, тогаш се нарекува R º R -1 јадрото на релацијата Р .

Теорема 3.1.Нека R ⊂ A × A е релација дефинирана на множество A.

1. R е рефлексивен ако и само ако (во натамошниот текст се користи знакот ⇔) кога јас ⊂ R.
2. R е симетричен ⇔ R = R -1 .
3. R е преоден ⇔ R º R ⊂ R
4. R е антисиметричен ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I.
5. R е антирефлексивен ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Задача 3.4 . Нека R е врската помеѓу множествата (1,2,3) и (1,2,3,4) дадени со набројување на парови: R = ((1,1), (2,3), (2, 4), (3.1), (3.4)). Покрај тоа, S е врска помеѓу множествата S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Пресметајте ги R -1 , S -1 и S º R. Проверете дали (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Решение.
R-1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S-1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
Sº R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.2), (2.3)) = (S º R) -1.

Задача 3.5 . Нека R е релацијата „...родител...“, а S релацијата „...брат...“ на множеството на сите луѓе. Наведете краток вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 и R º R.

Решение.

R -1 - релација "... дете ...";

S -1 - однос "... брат или сестра ...";

R º S - релација „... родител ...“;

S -1 º R -1 - релација "... дете ..."

R º R - однос „...баба или дедо...“

Задачи за самостојно решение

1) Нека R е релацијата „...татко...“, а S е релацијата „...сестра...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R-1, S-1, Rº S, S -1 º R-1, Rº R.

2) Нека R е релацијата „...брат...“, а S е релацијата „...мајка...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Нека R е релацијата „...дедо...“, а S е релацијата „...сине...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

4) Нека R е релацијата „...ќерка...“, а S е релацијата „...баба...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

5) Нека R е релацијата „...внука...“, а S е релацијата „...татко...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Нека R е односот „сестра...“, а S е односот „мајка...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Нека R е релацијата „...мајка...“, а S е релацијата „...сестра...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1, S1, Rº S, S1 º R1, Sº S.

8) Нека R е релацијата „...сине...“, а S е релацијата „...дедо...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Нека R е релацијата „...сестра...“, а S е релацијата „...татко...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Нека R е релацијата „...мајка...“, а S е релацијата „...брат...“ на множеството на сите луѓе. Дајте вербален опис на врската:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Дефиниции

• 1. Бинарна врска помеѓу елементите на множествата А и Б е кое било подмножество на Декартов производ RAB, RAA.
• 2. Ако A=B, тогаш R е бинарна релација на А.
• 3. Нотација: (x, y)R xRy.
• 4. Доменот на бинарната релација R е множеството R = (x: има y такво што (x, y)R).
• 5. Опсегот на бинарната релација R е множеството R = (y: има x така што (x, y)R).
• 6. Комплементот на бинарна релација R помеѓу елементите A и B е множеството R = (AB) R.
• 7. Инверзната релација за бинарната релација R е множеството R1 = ((y, x) : (x, y)R).
• 8. Производот на односите R1AB и R2BC е релацијата R1 R2 = ((x, y) : постои zB така што (x, z)R1 и (z, y)R2).
• 9. Релацијата f се нарекува функција од A до B ако се исполнети два услови:
  • а) f \u003d A, f B
  • б) за сите x, y1, y2, фактот дека (x, y1)f и (x, y2)f имплицира y1=y2.
• 10. Релацијата f се нарекува функција од A до B ако во првиот пасус f = A, f = B.
• 11. Нотација: (x, y)f y = f(x).
• 12. Функцијата за идентитет iA: AA е дефинирана на следниов начин: iA(x) = x.
• 13. Функцијата f се нарекува 1-1-функција ако за која било x1, x2, y фактот дека y = f(x1) и y = f(x2) имплицира x1=x2.
• 14. Функцијата f: AB врши кореспонденција еден-на-еден помеѓу A и B ако f = A, f = B и f е функција 1-1.
• 15. Својства на бинарната релација R на множеството А:
  • - рефлексивност: (x, x)R за сите xA.
  • - ирефлексивност: (x, x)R за сите xA.
  • - симетрија: (x, y)R (y, x)R.
  • - антисиметрија: (x, y)R и (y, x)R x=y.
  • - транзитивност: (x, y)R и (y, z)R (x, z)R.
  • - дихотомија: или (x, y)R или (y, x)R за сите xA и yA.
• 16. Множествата A1, A2, ..., Ar од P(A) формираат партиција на множеството A ако
• - Аi , i = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , и j.

Подмножества Аi , i = 1, ..., r, се нарекуваат партициони блокови.

• 17. Еквивалентноста на множеството А е рефлексна, преодна и симетрична врска на А.
• 18. Класата на еквивалентност на елементот x по еквиваленција R е множеството [x]R=(y: (x, y)R).
• 19. Факторот множество A од R е множество од класи на еквивалентност на елементи од множеството A. Ознака: A/R.
• 20. Класите на еквивалентност (елементи од факторското множество A/R) формираат партиција на множеството A. Спротивно на тоа. Секоја партиција од множеството A одговара на еквивалентната релација R чии класи на еквивалентност се совпаѓаат со блоковите од наведената партиција. Поинаку. Секој елемент од множеството А спаѓа во некоја класа на еквивалентност од A/R. Класите на еквивалентност или не се сечат или се совпаѓаат.
• 21. Предредба на множество А е рефлексивна и преодна врска на А.
• 22. Делумен ред на множеството А е рефлексна, преодна и антисиметрична врска на А.
• 23. Линеарен редоследна множеството А е рефлексивна, транзитивна и антисиметрична релација на А која го задоволува особинито за дихотомија.

Нека A=(1, 2, 3), B=(a, b). Да го запишеме Декартовиот производ: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Земете кое било подмножество од овој декартов производ: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). Тогаш R е бинарна релација на множествата А и Б.

Дали оваа врска ќе биде функција? Да го провериме исполнувањето на двата услови 9а) и 9б). Доменот на релацијата R е множеството R = (1, 2) (1, 2, 3), односно првиот услов не е задоволен, па еден од паровите мора да се додаде на R: (3, а) или (3, б). Ако се додадат двата пара, тогаш вториот услов нема да биде исполнет, бидејќи ab. Од истата причина, еден од паровите (1, а) или (1, б) мора да се исфрли од R. Така, релацијата R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) е функција. Забележете дека R не е функција 1-1.

На дадените множества A и B, функции ќе бидат и следните односи: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), (1, a), (2, a), ( 3, б ) ), ( (1, б), (2, б), (3, б) ) итн.

Нека A=(1, 2, 3). Пример за релација на множество А е R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). Пример за функција од множеството A е f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Примери за решавање проблеми

1. Најдете R, R, R1, RR, RR1, R1R за R = ((x, y) | x, y D и x+y0).

Ако (x, y)R, тогаш x и y поминуваат низ сите реални броеви. Затоа R = R = D.

Ако (x, y)R, тогаш x+y0, па y+x0 и (y, x)R. Затоа R1=R.

За било кој xD, yD земаме z=-|max(x, y)|-1, потоа x+z0 и z+y0, т.е. (x, z)R и (z, y)R. Затоа RR = RR1 = R1R = D2.

2. За кои бинарни односи R е точно R1= R?

Нека RAB. Можни се два случаи:

• (1) АБ. Да земеме xAB. Потоа (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. Контрадикторност.
• (2) AB=. Бидејќи R1BA и RAB, тогаш R1= R=. Од R1 = следува дека R = . Од R = следува дека R=AB. Контрадикторност.

Затоа, ако А и Б, тогаш таквите односи R не постојат.

3. На множеството D од реални броеви, релацијата R ја дефинираме на следниов начин: (x, y)R (x-y) е рационален број. Докажете дека R е еквиваленција.

Рефлексивност:

За секој xD x-x=0 е рационален број. Бидејќи (x, x)R.

Симетрија:

Ако (x, y)R, тогаш x-y = . Тогаш y-x=-(x-y)=- е рационален број. Затоа (y, x)R.

Транзитивност:

Ако (x, y)R, (y, z)R, тогаш x-y = и y-z =. Со собирање на овие две равенки, добиваме дека x-z = + е рационален број. Затоа (x, z)R.

Оттука R е еквиваленција.

4. Преградата на рамнината D2 се состои од блоковите прикажани на слика а). Запишете ја еквивалентната релација R што одговара на оваа партиција и класите на еквивалентност.

Сличен проблем за б) и в).

а) две точки се еквивалентни ако лежат на права линија од формата y=2x+b, каде b е секој реален број.

б) две точки (x1,y1) и (x2,y2) се еквивалентни ако (целобројниот дел од x1 е еднаков на целиот дел од x2) и (целобројниот дел од y1 е еднаков на целобројниот дел од y2).

в) Одлучете сами.

Задачи за самостојно решение

• 1. Докажете дека ако f е функција од A до B и g е функција од B до C, тогаш fg е функција од A до C.
• 2. Нека A и B се конечни множества составени од m и n елементи, соодветно.

Колку бинарни односи постојат помеѓу елементите од множествата А и Б?

Колку функции има од А до Б?

Колку 1-1 функции има од А до Б?

За кои m и n постои кореспонденција еден на еден помеѓу А и Б?

3. Докажете дека f го задоволува условот f(AB)=f(A)f(B) за кои било A и B ако и само ако f е функција 1-1.

Релацијата дефинирана на множество може да има голем број својства, имено:

2. Рефлексивност

Дефиниција.Став Рна сетот Xсе нарекува рефлексивен ако секој елемент Xмножества Xе во врска РСо себе.

Користејќи симболи, оваа врска може да се запише на следниов начин:

Ррефлективно на X Û(" XÎ X) x R x

Пример.Односот на еднаквост на множеството отсечки е рефлексивен, бидејќи секој сегмент е еднаков на себе.

Графикот на рефлексивни односи има јамки на сите темиња.

2. Антирефлексивност

Дефиниција.Став Рна сетот Xсе нарекува антирефлексивен ако нема елемент Xмножества Xне во врска РСо себе.

Рантирефлексивно на X Û(" XÎ X)

Пример.Врската „директна Xнормално на правата на» на множеството линии во авионот е антирефлексивен, бидејќи ниедна права линија на рамнината не е нормална на самата себе.

Графикот на антирефлексна врска не содржи никакви јамки.

Забележете дека постојат релации кои не се ниту рефлексивни ниту антирефлексивни. На пример, разгледајте ја релацијата „точка Xсиметрични до точка на» на множеството точки на авионот.

Точка Xсиметрични до точка X- точно; точка насиметрични до точка на- е неточно, затоа, не можеме да тврдиме дека сите точки на рамнината се симетрични на самите себе, ниту пак можеме да тврдиме дека ниту една точка од рамнината не е симетрична кон самата себе.

3. Симетрија

Дефиниција. Став Рна сетот Xсе нарекува симетричен ако од фактот дека елементот Xе во врска Рсо елемент на, произлегува дека елементот нае во врска Рсо елемент X.

Рсиметрични X Û(" X, наÎ X) x R y Þ y R x

Пример.Врската „директна Xја преминува линијата нана множеството прави линии на рамнината“ е симетрично, бидејќи ако прави Xја преминува линијата на, потоа права линија намора да ја премине линијата X.

График на симетрична релација заедно со секоја стрелка од точка Xточно натреба да содржи стрелка што ги поврзува истите точки, но во спротивна насока.

4. Асиметрија

Дефиниција. Став Рна сетот Xсе нарекува асиметричен ако нема елементи X, наод многу Xне може да се случи елементот Xе во врска Рсо елемент наи елемент нае во врска Рсо елемент X.

Расиметричен X Û(" X, наÎ X) x R y Þ

Пример.став“ X < на» асиметрично, бидејќи за кој било пар елементи X, нане може да се каже дека е во исто време X < наИ на<X.

График на асиметрична релација нема јамки, и ако две темиња на графикот се поврзани со стрелка, тогаш оваа стрелка е само една.

5. Антисиметрија

Дефиниција. Став Рна сетот Xсе нарекува антисиметрична ако, од фактот дека Xе во врска со на, А нае во врска со Xследи тоа X = y.

Рантисиметрични X Û(" X, наÎ X) x R y Ù y R xÞ x = y

Пример.став“ X£ на» е антисиметрична, бидејќи Услови X£ наИ на£ Xсе извршуваат во исто време само кога X = y.

Графикот на антисиметрична релација има јамки и ако две темиња на графикот се поврзани со стрелка, тогаш оваа стрелка е само една.

6. Транзитивност

Дефиниција. Став Рна сетот Xсе нарекува преоден ако за некој елемент X, на, zод многу Xод што Xе во врска со на, А нае во врска со zследи тоа Xе во врска со z.

Ртранзитивен X Û(" X, на, zÎ X) x R y Ù на РзÞ x Rz

Пример.став“ Xповеќекратни на» е транзитивно, бидејќи ако првиот број е множител на вториот, а вториот е множител на третиот, тогаш првиот број е множител на третиот.

График на преодна релација со секој пар стрелки од XДо наи од наДо zсодржи стрелка што оди од XДо z.

7. Поврзување

Дефиниција. Став Рна сетот Xсе нарекува поврзан ако за некој елемент X, наод многу x xе во врска со наили нае во врска со Xили x = y.

Рповрзани X Û(" X, на, zÎ X) x R y Ú на РзÚ X= на

Со други зборови: однос Рна сетот Xсе нарекува поврзан ако за некои посебни елементи X, наод многу x xе во врска со наили нае во врска со Xили x = y.

Пример.став“ X< на» е поврзан, бидејќи без разлика какви реални броеви ќе земеме, еден од нив сигурно е поголем од другиот или се еднакви.

На графот на релација, сите темиња се поврзани со стрелки.

Пример.Проверете кои својства

став“ X -делител на» дефинирани на сетот

X= {2; 3; 4; 6; 8}.

1) оваа релација е рефлексивна, бидејќи секој број од даденото множество е делител на себе;

2) овој однос нема својство на антирефлексивност;

3) својството за симетрија не е задоволено, бидејќи на пример, 2 е делител на 4, но 4 не е делител на 2;

4) оваа врска е антисиметрична: два броја можат истовремено да бидат делители еден на друг само ако овие броеви се еднакви;

5) релацијата е преодна, бидејќи ако еден број е делител на вториот, а вториот е делител на третиот, тогаш првиот број нужно ќе биде делител на третиот;

6) релацијата нема својство на поврзаност, бидејќи на пример, броевите 2 и 3 на графикот не се поврзани со стрелка, бидејќи два различни броја 2 и 3 не се делители еден на друг.

Така, оваа врска има својства на рефлексивност, асиметрија и транзитивност.

§ 3. Релација на еквивалентност.
Поврзување на еквивалентната релација со поделба на множество на класи

Дефиниција.Став Рна сетот Xсе нарекува еквивалентна релација ако е рефлексна, симетрична и преодна.

Пример.Размислете за врската“ Xсоученик на» на збир на студенти на педагошкиот факултет. Има својства:

1) рефлексивност, бидејќи секој ученик е соученик за себе;

2) симетрија, бидејќи ако ученик X на, потоа ученикот нае соученик на ученик X;

3) транзитивност, бидејќи ако ученик X- соученик на, и ученикот на- соученик z, потоа ученикот Xбиди соученик на ученик z.

Така, оваа релација има својства на рефлексивност, симетрија и транзитивност и затоа е еквивалентна врска. Во исто време, множеството студенти на педагошкиот факултет може да се подели на подмножества кои се состојат од студенти запишани на истиот предмет. Добиваме 5 подмножества.

Релацијата на еквивалентност е исто така, на пример, односот на паралелните прави, односот на еднаквост на бројките. Секоја таква релација е поврзана со поделбата на множеството на класи.

Теорема.Ако на сетот Xсо оглед на еквивалентната релација, тогаш тој го дели ова множество на парно разединети подмножества (класи на еквивалентност).

Спротивното тврдење е исто така точно: ако некоја релација е дефинирана на множеството X, генерира партиција на ова множество во класи, тогаш тоа е еквивалентна релација.

Пример.На сетот X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) е дадена релацијата „имаат ист остаток кога се дели со 3“. Дали е тоа еквивалентност?

Ајде да изградиме график на оваа врска:

Оваа релација има својства на рефлексивност, симетрија и транзитивност, затоа е еквивалентна врска и го дели множеството Xво класи на еквивалентност. Секоја класа на еквивалентност ќе има броеви кои, кога се делат со 3, го даваат истиот остаток: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Се верува дека класата на еквивалентност ја одредува кој било нејзин претставник, т.е. произволен елемент од оваа класа. Значи, класата на еднакви дропки може да се определи со наведување на која било дропка што припаѓа на оваа класа.

Во почетниот тек на математиката се јавуваат и еквивалентни односи, на пример, „изрази XИ наимаат исти нумерички вредности“, „слика Xеднаква на фигурата на».

Нека е дадено некое непразно множество A, а R е некое подмножество од Декартов квадрат од множеството А: Р  А  А.

став Рна сетот Анаречено подмножество од множество А А(или А 2 ). Така ставпостои посебен случај на совпаѓање каде што областа на пристигнување е иста со областа на поаѓање. Исто како натпревар, релацијата е подреден пар каде двата елементи припаѓаат на истото множество.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Фактот дека ( а, б)R може да се напише на следниов начин: а Р б. Тоа гласи:“ Ае во однос Р со б“ или „помеѓу АИ бважи релацијата R. Инаку пиши: а, б)Р или аР б.

Пример за односи на множество броеви се следниве: "=", "", "", ">", итн. На сет на вработени во која било компанија, ставот „да се биде шеф“ или „да се биде подреден“, за збир на роднини - „да се биде предок“, „да се биде брат“, „да се биде татко “, итн.

Разгледаните односи се нарекуваат бинарни (двоместо) хомогени односи и се најважни во математиката. Заедно со нив сметаат и тие П-локален или П-ари односи:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

Бидејќи врската е посебен случај на кореспонденција, сите претходно опишани методи може да се користат за нивно поставување.

Очигледно, со поставување на односот на матричен начин, добиваме квадратна матрица.

Со геометриски (графички) приказ на врската, добиваме дијаграм кој вклучува:

темиња, означени со точки или кругови, кои одговараат на елементите на множеството,

и лакови (линии) што одговараат на парови елементи вклучени во бинарни односи, означени со линии со стрелки насочени од темето што одговара на елементот а до врвот што одговара на елементот б , Ако а Рб .

Таквата бројка се нарекува насочен график (или диграф) на бинарна релација.

Задача 4.9.1 . Сооднос „да се биде делител на множеството M = (1, 2, 3, 4)“ може да се даде матрица:

набројување: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4));

геометриски (графички):

1. Запиши ги подредените парови кои припаѓаат на следните бинарни релации во множеството A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. Релацијата R на множеството X = (a, b, c, d) е дадена со матрицата

,

во кој редоследот на редовите и колоните одговара на редоследот на испишаните елементи. Наброј ги подредените парови кои припаѓаат на дадената релација. Покажете ја врската користејќи графикон.

3. Релацијата на множеството A = (1, 2, 3, 4) е претставена со график. Неопходно:

наведете ги подредените парови кои припаѓаат на Р;

запишете ја соодветната матрица;

дефинирај ја оваа врска користејќи предикати.

(одговор: a-b= 1).

4.10. Основни типови (својства) на бинарни односи

Нека бинарната врска Рна сетот А 2 : R  A  A = (( а, б) | аА, б А, ( а, б)Р)

бинарна врска Р на сетот А повикани рефлектирачки, доколку има некој а А изведена аРа, тоа е ( А,А)Р. Главната дијагонала на матрицата на рефлексивни односи се состои од едни. Графикот на рефлексивни односи нужно има јамки на секое теме.

Примерирефлексивни односи: , =,  на множеството реални броеви, „да не се газда“ на множеството вработени.

бинарна врска Рна множеството А се вика анти-рефлексивни (нерефлексивен), доколку има некој аА не ја држи релацијата аРа, тоа е ( А,А)Р. Главната дијагонала на матрицата на ирефлексивни релации се состои од нули. Графикот на ирефлексивна врска нема јамки.

Примериантирефлексивни односи:<, >на множеството реални броеви, нормалност на правите на множеството прави.

бинарна врска Р на сетот А повикани симетрични, доколку има некој а, бАод аРбтреба да бРа, односно ако ( а, б)Р, тогаш и ( б, а)Р. Матрицата на симетричниот однос е симетрична во однос на нејзината главна дијагонала ( σ ij = σ џи). Графикот на симетрична релација не е насочен (рабовите се прикажани без стрелки). Секој пар темиња овде е поврзан со ненасочен раб.

Примерисиметрични односи:  на множеството реални броеви, „да се биде роднина“ на множеството луѓе.

бинарна врска Р на сетот А наречен:

антисиметрични, доколку има некој а, бАод аРбИ бРаследи тоа а=б. Тоа е, ако ( а, б)РИ ( б, а)Р, тогаш следува дека а=б. Матрицата со антисиметричен однос долж главната дијагонала ги има сите 1 и нема пар од 1 лоцирани на симетрични локации во однос на главната дијагонала. Со други зборови, сè σ ii=1, и ако σ ij=1, тогаш нужно σ џи=0. Графикот на антисиметрична врска има јамки на секое теме, а темињата се поврзани само со еден насочен лак.

Примериантисиметрични односи: , ,  на множеството реални броеви; ,  на сетови;

Асиметрични, доколку има некој а, бАод аРб проследено со неуспех бРа, односно ако ( а, б)Р, Тоа ( б, а) Р. Матрицата на сооднос на искривување долж главната дијагонала има нули ( σ ij=0) сите и без симетрични парови на единици (ако σ ij=1, тогаш нужно σ џи=0). Графикот на асиметрична релација нема јамки, а темињата се поврзани со еден насочен лак.

Примери на асиметрични врски:<, >на множеството реални броеви, „да се биде татко“ на множеството луѓе.

бинарна врска Р на сетот А повикани транзитивенnym, доколку има некој а, б, СоАод аРбИ бРаследува дека и аРСо. Тоа е, ако ( а, б)РИ ( б, Со)Рго следи тоа ( А, Со)Р. Матрицата на транзитивна релација се карактеризира со тоа што ако σ ij=1 и σ jm=1, тогаш нужно σ јас сум=1. Графикот на транзитивна релација е таков што ако, на пример, првото-второто и второто-трето темиња се поврзани со лакови, тогаш нужно има лакови од првото до третото теме.

Примерипреодни односи:<, , =, >,  на множеството реални броеви; „да се биде шеф“ на група вработени.

бинарна врска Р на сетот А повикани антитранзитивенnym, доколку има некој а, б, СоАод аРбИ бРапроизлегува дека истиот не е исполнет аРСо. Тоа е, ако ( а, б)РИ ( б, Со)Рго следи тоа ( А, Со) Р. Матрицата на антитранзитивни односи се карактеризира со фактот дека ако σ ij=1 и σ jm=1, тогаш нужно σ јас сум=0. Графикот на антитранзитивната релација е таков што ако, на пример, првото-второто и второто-трето темиња се поврзани со лакови, тогаш нужно нема лак од првото до третото теме.

Примери на антитранзитивни односи: „несовпаѓање на паритет“ на множеството цели броеви; „да се биде непосреден претпоставен“ на група вработени.

Ако релацијата нема некое својство, тогаш со додавање на паровите што недостасуваат, можете да добиете нова врска со ова својство. Множеството од такви парови што недостасуваат се нарекува затворањеоднос за овој имот. Означете го како Р* . На овој начин можете да добиете рефлексивно, симетрично и преодно затворање.

Задача 4.10.1. На множеството A = (1, 2, 3, 4) релацијата R=(( а,б)| а,бА, а+бпарен број). Определете го типот на оваа врска.

Решение. Матрицата на оваа релација е:

. Очигледно врската е рефлектирачки, бидејќи има единици долж главната дијагонала. Тоа симетрично: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . транзитивно: (1,3)R, (3,1)R и (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R и (2,2)R итн.

Задача 4.10.2. Кои својства на множеството A = ( а, б, в, г) има бинарна релација R = (( а,б), (б,г), (а,г), (б,а), (б,в)}?

Решение . Ајде да изградиме матрица на оваа релација и нејзиниот график:

Став нерефлексивно, бидејќи сите σ ii= 0. Тоа Не симетрично, бидејќи σ 23 =1, и σ 32 =0, сепак, σ 12 =σ 21 =1. Став Не транзитивно, бидејќи σ 12 =1, σ 23 =1 и σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 и σ 11 =0; но во исто време σ 12 =1, σ 24 =1 и σ 14 =1.

Задача 4.10.3. На множеството A = (1,2,3,4,5) е дадена релацијата R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)). Определете го типот на врската и пронајдете ги следните затворачи за R:

рефлектирачки;

симетрични;

транзитивен.

Решение. Релацијата е нерефлексивна бидејќи нема елемент од формата ( А,А). Асиметрично, бидејќи не содржи парови од формата ( а,б) И ( б,а) и сите дијагонални елементи се 0. Антитранзитивни бидејќи (1,2)R, (2,3)R, но (1,3)R. Слично (2.4)R, (4.5)R и (2.5)R итн.

рефлексивно затворање на дадената релација R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

симетрично затворање: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

преодно затворање: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Размислете за графикот на оригиналната релација и добиената транзитивна.

Задачи за самостојно решение.

1. Дадена е релацијата R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)). Определете го неговиот тип и најдете затворачи по рефлексивност, симетрија и транзитивност.

2. Односот на множеството зборови на рускиот јазик е дефиниран на следниов начин: АР бако и само ако имаат барем една заедничка буква. Определи го типот на релација на множеството A = (крава, вагон, конец, секира).

3. Наведете примери на бинарни односи на множеството A = (1, 2) и B = (1, 2, 3), што би било:

не рефлексивен, не симетричен, не преоден;

рефлексивен, не симетричен, не преоден;

симетрични, но не рефлексивни и не преодни;

транзитивен, но не рефлексивен и не симетричен;

рефлексивен, симетричен, но не преоден;

рефлексивен, транзитивен, но не симетричен;

нерефлексивен, симетричен, преоден;

рефлексивен, симетричен, преоден.