Променливи редови. Апсолутна и условна конвергенција Наизменична серија примери на решенија

Бројната серија која содржи бесконечен број позитивни и бесконечен број негативни членови се нарекува наизменична.

Апсолутна и условна конвергенција

Серијата се нарекува апсолутно конвергентна ако серијата исто така конвергира.

Ако една серија апсолутно конвергира, тогаш таа е конвергентна (во вообичаена смисла). Обратно не е точно.

Се вели дека серијата е условно конвергентна ако самата се конвергира и серијата составена од модулите на нејзините членови се разминува.

Истражете за серии за конвергенција .

Да го примениме Лајбницовиот доволен тест за наизменична серија. Добиваме

затоа што . Затоа, оваа серија се спојува.

38. Наизменични редови. Знак Лајбниц.

Посебен случај на наизменична серија е наизменична серија, односно серија во која последователните членови имаат спротивни знаци.

Знак Лајбниц

За оние кои се менуваат во близина, се применува Лајбницовиот тест за доволна конвергенција.

Нека (an) е бројна низа таква што

1. an+1< an для всех n;

Потоа наизменични серии се во заминување.

39. Функционални редови. Моќна серија. радиус на конвергенција. Интервал на конвергенција.

Концептот на функционални серии и серии на моќност

Вообичаената бројна серија, запомнете, се состои од броеви:

Сите членови на серијата се БРОЈКИ.

Функционалниот ред се состои од ФУНКЦИИ:

Покрај полиномите, факториалите и другите подароци, заедничкиот термин на серијата секако ја вклучува буквата „x“. Изгледа вака, на пример:

Како и бројна серија, секоја функционална серија може да се напише во проширена форма:

Како што можете да видите, сите членови на функционалната серија се функции.

Најпопуларниот тип на функционални серии е моќна серија.

Дефиниција:

Серија на моќност е серија чиј заеднички термин вклучува позитивни цели броеви на независната променлива.

Поедноставена серија на моќност во многу учебници е напишана на следниов начин: , каде е старото познато „полнење“ на сериите на броеви (полиноми, степени, фактори кои зависат само од „ен“). Наједноставниот пример:

Да го погледнеме ова распаѓање и да ја преиспитаме дефиницијата: членовите на серијата моќност содржат „x“ во позитивни цели (природни) сили.

Многу често, серијата на моќност може да се најде во следните „модификации“: или каде што a е константа. На пример:

Строго кажано, поедноставените претстави на сериите на моќност, или не сосема точни. Во експонентот, наместо единствената буква „ен“, може да се лоцира покомплексен израз, на пример:

Или оваа серија на моќност:

Ако само експонентите на „xAx“ беа природни.

Конвергенција на сериите на моќност.

Интервал на конвергенција, радиус на конвергенција и област на конвергенција

Нема потреба да се плашите од такво изобилство термини, тие одат „еден до друг“ и не се особено тешки за разбирање. Подобро е да изберете некои едноставни експериментални серии и веднаш да започнете да разбирате.

Ве замолувам да ја сакате и да ја фаворизирате серијата моќност Променливата може да земе која било вистинска вредност од „минус бесконечност“ до „плус бесконечност“. Заменете неколку произволни x вредности во заедничкиот термин од серијата:

Ако x=1 тогаш

Ако x=-1, тогаш

Ако x=3 тогаш

Ако x=-0,2, тогаш

Очигледно е дека со замена на „x“ во една или друга вредност, добиваме различни нумерички серии. Некои серии на броеви ќе се спојат, а некои ќе се разминуваат. И нашата задача е да го најдеме множеството вредности на „x“ на кои ќе се спојува серијата на моќност. Таквото множество се нарекува регион на конвергенција на серијата.

За која било серија на моќност (привремено отстапување од конкретен пример), можни се три случаи:

1) Серијата на моќност конвергира апсолутно на одреден интервал. Со други зборови, ако избереме која било вредност на „x“ од интервалот и ја замениме во заеднички член од серијата на моќност, тогаш ќе добиеме апсолутно конвергентна бројна серија. Таквиот интервал се нарекува интервал на конвергенција на сериите на моќност.

Радиусот на конвергенција, едноставно, е половина од должината на интервалот на конвергенција:

Геометриски, ситуацијата изгледа вака:

Во овој случај, интервалот на конвергенција на серијата: радиусот на конвергенција на серијата:

Бројната серија која содржи бесконечен број позитивни и бесконечен број негативни членови се нарекува наизменична.

Апсолутна и условна конвергенција

Серијата се нарекува апсолутно конвергентна ако серијата исто така конвергира.

Ако една серија апсолутно конвергира, тогаш таа е конвергентна (во вообичаена смисла). Обратно не е точно.

Се вели дека серијата е условно конвергентна ако самата се конвергира и серијата составена од модулите на нејзините членови се разминува.

Истражете за серии за конвергенција .

Да го примениме Лајбницовиот доволен тест за наизменична серија. Добиваме

затоа што . Затоа, оваа серија се спојува.

38. Наизменични редови. Знак Лајбниц.

Посебен случај на наизменична серија е наизменична серија, односно серија во која последователните членови имаат спротивни знаци.

Знак Лајбниц

За оние кои се менуваат во близина, се применува Лајбницовиот тест за доволна конвергенција.

Нека (an) е бројна низа таква што

1. an+1< an для всех n;

Потоа наизменични серии се во заминување.

39. Функционални редови. Моќна серија. радиус на конвергенција. Интервал на конвергенција.

Концептот на функционални серии и серии на моќност

Вообичаената бројна серија, запомнете, се состои од броеви:

Сите членови на серијата се БРОЈКИ.

Функционалниот ред се состои од ФУНКЦИИ:

Покрај полиномите, факториалите и другите подароци, заедничкиот термин на серијата секако ја вклучува буквата „x“. Изгледа вака, на пример:

Како и бројна серија, секоја функционална серија може да се напише во проширена форма:

Како што можете да видите, сите членови на функционалната серија се функции.

Најпопуларниот тип на функционални серии е моќна серија.

Дефиниција:

Серија на моќност е серија чиј заеднички термин вклучува позитивни цели броеви на независната променлива.

Поедноставена серија на моќност во многу учебници е напишана на следниов начин: , каде е старото познато „полнење“ на сериите на броеви (полиноми, степени, фактори кои зависат само од „ен“). Наједноставниот пример:

Да го погледнеме ова распаѓање и да ја преиспитаме дефиницијата: членовите на серијата моќност содржат „x“ во позитивни цели (природни) сили.

Многу често, серијата на моќност може да се најде во следните „модификации“: или каде што a е константа. На пример:

Строго кажано, поедноставените претстави на сериите на моќност, или не сосема точни. Во експонентот, наместо единствената буква „ен“, може да се лоцира покомплексен израз, на пример:

Или оваа серија на моќност:

Ако само експонентите на „xAx“ беа природни.

Конвергенција на сериите на моќност.

Интервал на конвергенција, радиус на конвергенција и област на конвергенција

Нема потреба да се плашите од такво изобилство термини, тие одат „еден до друг“ и не се особено тешки за разбирање. Подобро е да изберете некои едноставни експериментални серии и веднаш да започнете да разбирате.

Ве замолувам да ја сакате и да ја фаворизирате серијата моќност Променливата може да земе која било вистинска вредност од „минус бесконечност“ до „плус бесконечност“. Заменете неколку произволни x вредности во заедничкиот термин од серијата:

Ако x=1 тогаш

Ако x=-1, тогаш

Дефиниција 1

Бројната серија $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, чии членови имаат произволни знаци (+), (?), се нарекува наизменична серија.

Наизменичните серии разгледани погоре се посебен случај на наизменичната серија; јасно е дека не секоја наизменична серија е наизменична. На пример, серијата $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ наизменични, но не наизменични серии со знаци.

Забележете дека во наизменични серии поими, и со знакот (+) и со знакот (-), има бесконечно многу. Ако ова не е точно, на пример, серијата содржи конечен број негативни членови, тогаш тие може да се отфрлат и може да се разгледа серија составена само од позитивни членови, и обратно.

Дефиниција 2

Ако броената серија $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се конвергира и нејзиниот збир е S, и делумнозбирот е еднаков на $S_n$, тогаш $r_(n) =S-S_(n) $ се нарекува остаток од серијата, а $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty) (S-S_(n))=S-S=0$, т.е. остатокот од конвергентната серија се стреми кон 0.

Дефиниција 3

Серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се нарекува апсолутно конвергентна ако серијата составена од апсолутните вредности на нејзините членови $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\десно| $.

Дефиниција 4

Ако серијата на броеви $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се конвергира и серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\десно| $, составена од апсолутните вредности на нејзините членови, се разминува, тогаш оригиналната серија се нарекува условно (не-апсолутно) конвергентна.

Теорема 1 (доволен критериум за конвергенција на наизменични серии)

Наизменичната серија $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ апсолутно конвергира ако серијата составена од апсолутните вредности на нејзините членови$\sum \limits _(n=1) ^ конвергира (\infty )\left|u_(n) \десно| $.

Коментар

Теорема 1 дава само доволен услов за конвергенција на наизменични серии. Конверзната теорема не е точна, т.е. ако наизменичната серија $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се конвергира, тогаш не е неопходно серијата составена од модули $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \десно| $ (може да биде или конвергентен или дивергентен). На пример, серијата $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ се конвергира според Лајбницовиот тест, а серијата составена од апсолутните вредности на нејзините членови е $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (хармонична серија) се разминува.

Имотот 1

Ако серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ апсолутно конвергира, тогаш таа апсолутно конвергира за која било пермутација на нејзините членови, а збирот на серијата не зависи од редоследот на членовите. Ако $S"$ е збирот на сите негови позитивни членови, а $S""$ е збирот на сите апсолутни вредности на неговите негативни членови, тогаш збирот на серијата е $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ е еднаков на $S=S"-S""$.

Имотот 2

Ако серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се конвергира апсолутно и $C=(\rm const)$, тогаш серијата $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ исто така се конвергира апсолутно.

Имотот 3

Ако серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ и $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ апсолутно се спојуваат, тогаш серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ исто така се спојуваат апсолутно.

Својство 4 (Риманова теорема)

Ако серијата условно се конвергира, тогаш без разлика кој број А го земеме, можеме да ги преуредиме членовите на оваа серија така што нејзиниот збир е точно еднаков на А; згора на тоа, можно е да се преуредат условите на условно конвергентна серија на таков начин што после тоа таа се разминува.

Пример 1

Истражете ја серијата за условна и апсолутна конвергенција

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n))(n .\] !}

Решение. Оваа серија е наизменични знаци, чиј заеднички термин го означуваме: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Пример 2

Испитајте ја серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за апсолутна и условна конвергенција.

1. Ја испитуваме серијата за апсолутна конвергенција. Означете $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ и составете серија од апсолутни вредности $a_(n) =\лево| u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Ја добиваме серијата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ со позитивни поими, на кои го применуваме граничниот критериум за споредба на серии. За споредба со $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ разгледајте серија што има форма $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Оваа серија е дирихлеова серија со експонент $p=\frac(1)(2)
2. Следно, ја испитуваме оригиналната серија $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за условно конвергенција. За да го направите ова, го проверуваме исполнувањето на условите од тестот Лајбниц. Услов 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, каде што $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , т.е. оваа серија е наизменично. За да го потврдиме условот 2) на монотоното намалување на термините од серијата, го користиме следниов метод. Размислете за помошната функција $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ дефинирана на $x\in)